Mozaic trihexagonal

Mozaic trihexagonal
Tip de	placare semiregulată
Configurația vârfurilor	(3.6) 2
Simbolul Schläfli	r{6,3} sau h 2 {6,3}
Simbolul Wythoff	2 | 6 3 3 3 | 3
Diagrama Coxeter-Dynkin	=
Simetrii	p6m, [6,3], (*632)
Simetrii de rotație	p6, [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Notație Bowers	Acea
Faguri duali	mozaic rombic
Proprietăți	vârf-tranzitiv muchie-tranzitiv

Plasarea trihexagonală este una dintre cele 11 plăci uniforme pe planul euclidian din poligoane regulate [1] . Mozaicul este format din triunghiuri regulate și hexagoane regulate aranjate astfel încât fiecare hexagon să fie înconjurat de triunghiuri și invers. Denumirea plăcii provine de la faptul că combină o placă hexagonală obișnuită și una obișnuită triunghiulară . Două hexagoane și două triunghiuri alternează în jurul fiecărui vârf, iar marginile formează o configurație nesfârșită de linii . Plasarea duală este rombica [2] .

Mozaicul și locul său în clasificarea mozaicurilor omogene au fost date de Johannes Kepler încă din 1619 în cartea sa Harmonices Mundi [3] . Modelul a fost folosit de mult în țesutul coșurilor japoneze , unde a fost numit kagome . Termenul japonez pentru acest model a fost împrumutat de fizicieni, unde a fost numit rețea kagome . Modelul se găsește în structurile cristaline ale unor minerale. Conway a folosit denumirea de hexadeltille (six-delta-mozaic), combinând părți din cuvintele hex-/delta/tille [4] .

Kagome

Kagome (籠目) este un model tradițional japonez de țesut din bambus. Numele este o combinație a cuvintelor kago (coș) și eu (ochi), acesta din urmă referindu-se la găurile din coșul de bambus.

Kagome este o configurație împletită de tije care formează un model de mozaic trihexagonal. Țeserea îi conferă lui Kagome simetria unui grup chiral de tapet, grupele p6.

Latice of kagome

Termenul kagome lattice a fost introdus de un fizician japonez, membru străin al Academiei Ruse de Științe [5] Koji Fushimi. Termenul a apărut pentru prima dată într-un articol din 1951 scris de Ishirō Shoji sub conducerea lui Fushimi [6] . Rețeaua kagome în acest sens constă din vârfurile și marginile unei plăci trihexagonale. Spre deosebire de nume, aceste intersecții nu formează o rețea matematică .

Structură 3D conectată formată din vârfurile și marginile unui fagure cu un sfert de cub, umplând spațiul cu tetraedre regulate și tetraedre trunchiate , se numește hiperrețea kagome [7] . Este reprezentat de vârfurile și marginile fagurelor de sferturi de cubi care umplu spațiul cu tetraedre și tetraedre trunchiate . Structura conține patru seturi de plane paralele, iar fiecare plan este o rețea kagome bidimensională. O altă reprezentare în spațiul tridimensional are nivele paralele de rețele bidimensionale și se numește rețeaua kagome ortorombic [7] . Fagurii prismatici trihexagonali reprezintă marginile și vârfurile acestei rețele.

Unele minerale , și anume jarozitul și herbertsmithite , conțin rețele bidimensionale sau rețele tridimensionale kagome formate din atomi într-o structură cristalină . Aceste minerale prezintă proprietăți fizice asociate cu magneții geometrici de frustrare . De exemplu, distribuția spinurilor ionilor magnetici în Co 3 V 2 O 8 este dispusă sub forma unei rețele kagome și prezintă un comportament magnetic uimitor la temperaturi scăzute [8] . Termenul este acum utilizat pe scară largă în literatura științifică, în special în studiul teoretic al proprietăților magnetice ale rețelei teoretice kagome.

Simetrie

Plasarea trihexagonală are simbolul Schläfli r{6,3} și diagrama Coxeter-Dynkin , simbolizând faptul că placarea este o placă hexagonală complet trunchiată , {6,3}. Simetriile sale pot fi descrise de grupul de tapet p6mm, (*632) [9] . Plasarea poate fi obținută prin construcția lui Wythoff din regiunile de reflexie fundamentale ale acestui grup . O placare trihexagonală este o placare cvasiregulară care alternează două tipuri de poligoane și având configurația vârfurilor (3.6) 2 . Tigla este, de asemenea, o placă uniformă , una dintre cele opt derivate dintr-o plăci hexagonală obișnuită.

Colorații uniforme

Există două culori uniforme diferite ale plăcilor trihexagonale. Aceste două colorări, dacă specificați indici de culoare pentru 4 fețe în jurul unui vârf (3.6.3.6), au seturi de indici 1212 și 1232 [10] . A doua colorare se numește placare hexagonală teșită , h 2 {6,3}, cu două culori triunghiulare din simetria (*333) a grupului de tapet p3m1 .

Simetrie	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Colorare
domeniu fundamental
Simbolul Wythoff	2 | 6 3	3 3 | 3
Diagrama Coxeter - Dynkin		=
Simbolul Schläfli	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Tilinge echivalente din punct de vedere topologic

O placă trihexagonală poate fi curbată geometric în plăci echivalente topologic cu un grad de simetrie mai scăzut [10] . În aceste variante de mozaic, marginile nu sunt neapărat segmente (pot fi curbate).

Tilinguri cvasi-regulate înrudite

Plasarea trihexagonală este prezentă într-o succesiune de simetrii de plăci cvasiregulate cu configurații de vârf (3. n ) 2 care începe cu plăci pe o sferă, merge în planul euclidian și trece în planul hiperbolic. Cu notație orbifold* n 32 simetrie, toate aceste plăci sunt create de construcția Wythoff cu o regiune de simetrie fundamentală și un punct generator la vârful regiunii cu unghi drept [11] [12] .

Infinități complexe regulate înrudite

Există 2 infinitate complexe regulate care au aceleași vârfuri ca și tigla trihexagonală. Infiniturile complexe regulate au vârfuri și muchii, în timp ce muchiile pot avea 2 sau mai multe vârfuri. Infinitățile regulate (apeirogoni) p { q } r au egalitatea limită: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Muchiile au p vârfuri dispuse ca un poligon regulat , iar figurile vârfurilor sunt r -gonale [13 ] .

Primul infinit este format din muchii triunghiulare, două triunghiuri în jurul fiecărui vârf, al doilea are muchii hexagonale, două hexagoane în jurul fiecărui vârf.

3{12}2 sau	6{6}2 sau

Vezi și

• pragul de percolare
• Steaua lui David
• Faguri prismatici trihexagonali

Note

1. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 . Vezi, în special, Teorema 2.1.3 la pagina 59 (clasificarea plăcilor omogene), Figura 2.1.5 la pagina 63 (ilustrarea acestei plăci), Teorema 2.9.1 la pagina 103 (clasificarea plăcilor colorate), Figura 2.9 . 2 la pagina 105 (ilustrarea plăcilor colorate), Figura 2.5.3(d) la pagina 83 (echivalent în stea topologic) și Exercițiul 4.1.3 la pagina 171 (echivalența topologică a plăcilor trihexagonale și bitriunghiulare).
2. ↑ Williams, 1979 , p. 38.
3. ↑ Kepler, 1997 , p. 104–105.
4. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , p. 288.
5. ↑ Fushimi Koji. | E ARAN . Preluat la 4 septembrie 2021. Arhivat din original la 4 iunie 2021. (nedefinit)
6. ↑ Mekata, 2003 , p. 12–13.
7. ↑ 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008 .
8. ↑ Yen, Chaudhury, Galstyan et al., 2008 , p. 1487–1489
9. ↑ Steurer, Deloudi, 2009 , p. douăzeci.
10. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987 .
11. ↑ Coxeter, 1973 .
12. ↑ Two Dimensional Symmetry Mutations de Daniel Huson
13. ↑ Coxeter, 1991 , p. 111-112, 136.

Literatură

• Robert Williams. Fundamentul geometric al structurii naturale: o carte sursă de proiectare . - New York: Dover Publications , 1979. - p  . 32 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard GC Tilings and Patterns. - New York: W.H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johannes Kepler. Armonia lumii de Johannes Kepler / Aiton EJ, Duncan AM, Field JV. - American Philosophical Society, 1997. - T. 209. - S. 104-105. — (Memorii ale Societății Filosofice Americane). — ISBN 9780871692092 .
• Coxeter HSMD Regular Complex Polytopes . — al 2-lea. - New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - P.  111-112 , 136. - ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter HSMD Capitolul V: Caleidoscopul, Secțiunea: 5.7 Construcția lui Wythoff // Politopi obișnuiți . - A treia editie. - Ediția Dover, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Capitolul 21: Numirea poliedrelor și plăcilor arhimediene și catalane; Teselații plane euclidiene // The Symmetries of Things. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - P. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: Povestea rețelei de țesătură de coș // Physics Today. - Editura AIP, 2003. - Februarie ( vol. 56 , numărul 2 ). — S. 12–13 . - doi : 10.1063/1.1564329 . — Cod biblic .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Lichid de spin topologic pe rețeaua hiperkagome de Na 4 Ir 3 O 8  // Physical Review Letters. - 2008. - iunie ( vol. 100 , numărul 22 ). - doi : 10.1103/physrevlett.100.227201 . - Cod . - arXiv : 0705.0990 .
• Yen F., Chaudhury RP, Galstyan E., Lorenz B., Wang YQ, Sun YY, Chu CW Diagrame de fază magnetice ale compusului de scară Kagome Co 3 V 2 O 8  // Fizica B: Materie condensată. - 2008. - T. 403 . - S. 1487-1489 . - doi : 10.1016/j.physb.2007.10.334 . - Cod . - arXiv : 0710.1009 .
• Dale Seymour, Jill Britton. Introducere în Teselații . - 1989. - S.  50-56 . — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Cristalografia cvasicristalelor: concepte, metode și structuri . - Springer, 2009. - T. 126. - P. 20. - (Springer Series in Materials Science). — ISBN 9783642018992 .