Ecuația căldurii

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 13 ianuarie 2019; verificările necesită 5 modificări .

Ecuația căldurii este o ecuație diferențială parțială de ordinul doi care descrie distribuția temperaturii într-o anumită regiune a spațiului și schimbarea acesteia în timp.

Tip de ecuație

În spațiul cu un sistem de coordonate arbitrar, ecuația căldurii are forma ${\mathbf {r}}=(r_{1},\ldots,r_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f({\mathbf {r}},t),$

unde este o constantă pozitivă (numărul este difuzivitatea termică ), este operatorul Laplace și este o funcție a surselor de căldură [1] . Funcția dorită setează temperatura în punctul cu coordonatele la momentul respectiv . $A$ $a^2$ $\Delta =\nabla ^{2}$ $f({\mathbf {r)),t)$ $u=u({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

Această ecuație poate fi explicată după cum urmează. Rata schimbării temperaturii în timp este proporțională cu curbura distribuției temperaturii în spațiu (derivata a doua). Cu alte cuvinte, cu cât curbura „cocoașelor” de temperatură în corp este mai mare, cu atât mai rapid are loc egalizarea temperaturii în aceste locuri.

În spațiul cu coordonate carteziene , ecuația căldurii ia forma $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2))}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2 }}}\dreapta)=f(x,t).$

Ecuația de conducere a căldurii se numește omogenă dacă , i.e. nu există surse și „chivoare” de căldură în interiorul sistemului. $f(x,t)\equiv 0$

Problema Cauchy pentru ecuația căldurii

Ecuație omogenă

Luați în considerare problema Cauchy pentru ecuația căldurii omogene :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t)} -a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{matrice}}

unde este funcția inițială , continuă și mărginită pe întreg spațiul, iar funcția dorită este continuă și mărginită pentru și toate valorile argumentului . $\varphi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geqslant 0$ $X$

Următoarele proprietăți sunt valabile pentru problema Cauchy omogenă [2] :

Principiul maximului (teorema maximului și minim): Rezolvarea problemei omogene Cauchy satisface inegalitățile pentru toate și . [3] $\inf \varphi \leqslant u(x,t)\leqslant \sup \varphi$ $x \in \mathbb{R}^n$ $t>0$
Teorema existenței și unicității: Pentru orice soluție a problemei omogene Cauchy există, este unică și depinde continuu de funcția inițială din bandă . Cu alte cuvinte, această problemă Cauchy este bine pusă [4] . $T>0$ $\varphi(x)$ $S=\{(x,t)\mid 0\leqslant t\leqslant T,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\)$
Nucleul ecuației căldurii este soluția problemei Cauchy pentru ecuația omogenă a căldurii cu condiția inițială , unde este funcția delta Dirac . Arată ca: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

unde este pătratul scalar standard al vectorului . Uneori nucleul ecuației de căldură este numit și soluția sa fundamentală , deși cel mai adesea soluția fundamentală este înțeleasă ca o funcție care se obține din nucleu prin înmulțirea cu funcția Heaviside .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

Coincidența formulei pentru nucleul ecuației de căldură cu densitatea distribuției normale cu așteptare matematică zero și dispersie proporțională cu nu este întâmplătoare. Se explică prin faptul că transferul de căldură este asociat cu mișcarea browniană a particulelor, care este descrisă matematic folosind procesul aleator Wiener . $a^{2}t$
Integrală Poisson: Într-un spațiu cu coordonate carteziene, soluția problemei Cauchy omogene este dată sub forma unei formule integrale numită integrală Poisson . Și anume, pentru toate există o convoluție față de variabila spațiu a nucleului cu funcția inițială: $u(x, t)$ $t>0$ $X$

u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\ frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

Integrala Poisson definește o soluție unică continuă și mărginită a problemei Cauchy dată (rețineți că există infinit de soluții nemărginite).
Paradoxul fizic: din formula Poisson rezultă că dacă funcția inițială este egală cu zero peste tot, cu excepția unei zone limitate, de exemplu, dată de condiția , în care este pozitivă, atunci după o perioadă de timp arbitrar mică soluția va fi strict pozitiv în toate punctele din spațiu, cu valori arbitrar mari . Aceasta implică o afirmație paradoxală din punct de vedere fizic că căldura se propagă cu o viteză infinită. Explicația paradoxului este că ecuația căldurii nu descrie cu exactitate procesul fizic real de propagare a căldurii. Practica arată că în majoritatea cazurilor această ecuație oferă încă o aproximare destul de bună [2] . $\varphi$ $|x|<\epsilon$ $t>0$ $u(x, t)$ $|x|$

Ecuație neomogenă

Luați în considerare problema Cauchy pentru ecuația căldurii neomogene :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t)) -a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{matrice}}

În acest caz, integrala Poisson are forma [5] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Ecuația unidimensională a căldurii

Pentru cazul unei variabile spațiale x (problema încălzirii sau răcirii tijei), ecuația căldurii ia forma

u_{t}-a^{2}u_{xx}=0.

Pentru această ecuație, puteți stabili și rezolva diverse probleme cu valori la limită , una dintre metodele de rezolvare care a fost propusă de matematicianul francez Fourier și îi poartă numele [6]

Metoda de separare a variabilelor (metoda Fourier)

Ecuația de căldură omogenă cu condiții la limită omogene

Luați în considerare următoarea problemă:

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\; 0)=\varphi (x);\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\u(l,\ ;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\\\end{array}}

Trebuie să găsiți o funcție pentru . $u(x,\;t)$ $\forall (x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T$

Reprezentăm funcția dorită ca produs

u(x,\;t)=X(x)T(t).

Apoi substituim forma propusă a soluției în ecuația originală, obținem

X(x)T'(t)=a^{2}X''(x)T(t).

Să împărțim expresia în : $a^{2}X(x)T(t)$

{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {T'(t)}{T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x))) =-\lambda ,\;\lambda ={\mathrm {const}}.

Deoarece în partea stângă a ecuației avem o funcție care depinde numai de , iar în dreapta - numai de , apoi, fixând orice valoare în partea dreaptă, obținem că pentru orice valoare a părții stângi a ecuației este constantă . În același mod, vă puteți asigura că partea dreaptă este constantă, adică egală cu o anumită constantă (minusul este luat pentru comoditate). Astfel, obținem două ecuații diferențiale liniare obișnuite: $t$ $X$ $X$ $t$ $-\lambda$

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0,\\T'(t)+a^{2}\lambda T(t)=0.\end{ matrice}}

Să acordăm atenție condițiilor la limită ale problemei inițiale și să substituim forma propusă a ecuației în ele, obținem:

{\begin{matrice}{l}u(0,\;t)=X(0)T(t)=0,\\u(l,\;t)=X(l)T(t)=0 ,\end{matrice}}

de unde ( , deoarece altfel am avea o soluție , și căutăm doar soluții nebanale). $X(0)=X(l)=0$ $T(t)\neq 0$ $u(x,\;t)=0$

Ținând cont de condițiile la limită obținute, obținem problema Sturm-Liouville :

{\begin{matrice}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0;\\X(0)=0,\\X(l)=0.\\\end{matrice} }

Soluția sa se reduce la rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare și luând în considerare trei cazuri:

$\lambda<0.$ În acest caz, forma generală a soluției va fi următoarea: $X(x)=C_{1}e^{{{\sqrt {-\lambda }}x}}+C_{2}e^{{-{\sqrt {-\lambda }}x}}.$ Prin înlocuirea condițiilor la limită, ne asigurăm că soluția va fi , și căutăm doar soluții netriviale, prin urmare, acest caz nu este potrivit. $X(x)\equiv 0$
$\lambda=0.$ Vedere generală a soluției $X(x)=C_{1}x+C_{2}.$ Este ușor de observat că nici această opțiune nu ni se potrivește.
$\lambda>0.$ Vedere generală a soluției $X(x)=C_{1}\cos({\sqrt \lambda }x)+C_{2}\sin({\sqrt \lambda }x).$ Inlocuim conditiile la limita: ${\begin{array}{l}X(0)=C_{1}=0,\\X(l)=C_{2}\sin({\sqrt \lambda }l)=0.\end{array }}$ Întrucât căutăm doar soluții non-triviale, nu ni se potrivește, așadar $C_{2}=0$ ${\begin{array}{l}\sin({\sqrt \lambda }l)=0,\\{\sqrt \lambda }l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ ldots \\\end{matrice}}$ $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;\ldots$ De aici $X_{n}(x)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots$

Ținând cont de rezultatul găsit , derivăm soluția generală a ecuației diferențiale liniare $\lambda$

T'(t)+a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}T(t)=0.

Ar trebui să primească un răspuns

T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l))\right)^{2}t\dreapta), \quad D_{n}={\mathrm {const}}.

Acum totul este gata pentru a scrie soluția problemei inițiale:

u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\ dreapta)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\dreapta),\quad n=1,\;2, \;\ldots

Ca rezultat, avem un număr infinit de soluții particulare ale ecuației. Toate aceste soluții particulare sunt liniar independente , adică o combinație liniară a oricărui număr de soluții este egală cu zero numai dacă toți coeficienții lor sunt egali cu zero. Prin urmare, este logic să presupunem că prin însumarea tuturor soluțiilor particulare de la unitate la infinit, vom obține o soluție generală a problemei inițiale. $n$

u(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }u_{n}(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}} ^{\infty }C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\dreapta)^{2}t\dreapta).

Rămâne de determinat valoarea constantei (în funcție de ) din condiția inițială $C$ $n$

u(x,\;0)=\varphi (x).

Pentru a determina valoarea lui , este necesar să se extindă funcția într- o serie Fourier : $C_{n}$ $\varphi(x)$

{\begin{array}{l}\varphi (x)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{ l}}x\right),\\A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi)\sin \left( {\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}

Primim:

{\begin{array}{l}u(x,\;0)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }C_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x \right),\\C_{n}=A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi)\sin \left ({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}

De unde vine soluția generală:

u(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\left({\dfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l }\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l))\xi \right)\,d\xi \right)\sin \left({\dfrac {\pi n} {l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\dfrac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\dreapta).

În cursul fizicii matematice , se demonstrează că seria rezultată îndeplinește toate condițiile acestei probleme, adică funcția este diferențiabilă (și seria converge uniform ), satisface ecuația din domeniul definiției și este continuă la punctele limitei acestui domeniu. $u(x,\;t)$

Ecuație de căldură neomogenă cu condiții la limită omogene

Luați în considerare următoarea problemă pentru o ecuație neomogenă :

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\ u(l,\;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\end{array}}

Lăsa

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t),\\f_{n}(x,\;t)= X_{n}(x)F_{n}(t),\\X_{n}(x)=\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right).\end{ matrice}}

Apoi, folosind relația evidentă , rescriem ecuația originală ca: $X''_{n}(x)=-\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}X_{n}(x)$

{\begin{array}{l}X_{n}(x)T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l)}\right)^{ 2}X_{n}(x)T_{n}(t)+X_{n}(x)F_{n}(t),\\T'_{n}(t)=-\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t)+F_{n}(t).\end{array}}

Să rezolvăm ultima ecuație liniară neomogenă prin metoda variației constantei . În primul rând, găsim soluția generală a ecuației liniare omogene

{\begin{array}{l}T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}T_{n}( t),\\T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right). \end{matrice}}

În soluția generală, înlocuim constanta cu o variabilă și o înlocuim în ecuația originală. $D_{n}$ $D_{n}(t)$

{\begin{array}{l}T_{n}(t)=D_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right )^{2}t\right),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t \right)-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right) ^{2}t\right)D_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}\exp \left(-\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)D_{n}(t)+F_{n}(t),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)=F_{n}(t),\\D_{n}(t)=\ stil de afișare \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)\,dt+A_{n}, \\T_{n}(t)=A_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)+\exp \ stânga(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\,dt.\end{array}}

Din condiția inițială obținem:

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;0)=X_{n}(x)T_{n}(0)=0,\\T_{n}(0)=0. \end{matrice}}

Ținând cont de condiția pentru , obținem $T$

T_{n}(t)=\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l))\right)^{2 }(t-\tau )\right)F_{n}(\tau )\,d\tau .

pentru că

f_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)F_{n}(t)=\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)F_{ n}(t),

atunci , evident, este coeficientul seriei Fourier și este egal cu $F_{n}(t)$

F_{n}(t)={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;t)\sin \left({\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .

Ca urmare, formula generală este:

u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum \limits _{n= 1}^{\infty }\left[\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2} (t-\tau )\right)\left\{{\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;\tau )\sin \left( {\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi \right\}\,d\tau \right]\sin \left({\frac {\pi n}{l} }x\dreapta).

Problemă generală a primei valori la limită

În multe cazuri, este posibil să se rezolve ecuația de căldură neomogenă cu limită neomogene și condiții inițiale

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\\u(x,\;0)=\varphi (x ),\\u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t)\end{array}}

folosind metodele descrise mai sus și următorul truc simplu. Reprezentăm funcția dorită ca o sumă:

{\begin{array}{l}u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+U(x,\;t),\\{\tilde u}(x, \;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi (x)-U(x,\;0),\\{\tilde u}(0,\; t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{array}}

Să găsim funcția : $U(x,\;t)$

{\begin{array}{l}U(x,\;t)=Ax+b,\\U(0,\;t)=b=\mu _{1}(t),\\U(l ,\;t)=Al+\mu _{1}=\mu _{2}\Rightarrow A={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l )),\\U(x,\;t)={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l}}x+\mu _{1}( t).\end{matrice}}

Astfel, problema inițială se reduce la următoarele:

{\begin{array}{l}{\tilde u}_{t}=a^{2}{\tilde u}_{{xx))+f(x,\;t)-{\dfrac {\ mu '_{2}(t)-\mu '_{1}(t)}{l}}x-\mu '_{1}(t),\\{\tilde u}(x,\; 0)=\varphi (x)-{\dfrac {\mu _{2}(0)-\mu _{1}(0)}{l))x-\mu _{1}(0),\ \{\tilde u}(0,\;t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{array))

După ce găsim funcția , găsim funcția dorită prin formula ${\tilde u}(x,\;t)$

u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{l}}x+\mu _{1 }.

Literatură

În rusă

Petrovsky IG Prelegeri despre ecuații cu diferențe parțiale. - cap. IV, § 40. - Orice editie.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuații ale fizicii matematice. - cap. III. - Orice ediție.

În engleză

Cannon, John Rozier (1984), The One–Dimensional Heat Equation , voi. 23 (prima ed.), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Reading-Menlo Park-London-Don Mills-Sidney-Tokyo/ Cambridge-New York-New Rochelle-Melbourne-Sidney: Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , Cu. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2 , < https://books.google.com/?id=XWSnBZxbz2oC&printsec=frontcover#v=onepage&q= > .

Crank, J.; Nicolson, P. & Hartree, D. R. (1947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol. 43: 50–67 , DOI 10.1017/S401700502031700502
Einstein, Albert (1905), Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , Ann. Fiz. Leipzig 17 Vol. 322 (8): 549–560 , DOI 10.1002/andp.19053220806
Evans, L.C. (1998), Ecuații cu diferențe parțiale , Societatea Americană de Matematică, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Ecuații cu diferențe parțiale (ed. a patra), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
Wilmott, P.; Howison, S. & Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction , Cambridge University Press
Carslaw, H.S. & Jaeger, J.C. (1959), Conducerea căldurii în solide (ed. a doua), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
Thambynayagam, RKM (2011), Manualul de difuzare: soluții aplicate pentru ingineri , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
Perona, P & Malik, J. (1990), Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence vol . 12 (7): 629–639
Unsworth, J. & Duarte, FJ (1979), Difuzia căldurii într-o sferă solidă și Teoria Fourier , Am. J Phys. T. 47 (11): 891–893 , DOI 10.1119/1.11601

Link -uri

Derivarea ecuației căldurii
Ecuații liniare de căldură : soluții particulare și probleme cu valori la limită — de la EqWorld

Note

↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuații ale fizicii matematice. - cap. III, § 1. - Orice editie.
↑ 1 2 Petrovsky I. G. Prelegeri despre ecuații cu derivate parțiale. - cap. IV, § 40. - Orice editie.
↑ Dacă, împreună cu soluțiile mărginite, le considerăm nemărginite, principiul maximului nu este adevărat: mărginirea soluției nu rezultă din mărginirea datelor inițiale. Prin urmare, nu există o soluție unică. Vezi, de exemplu, A. Tychonoff, „Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur”, Mat. Sat., 42:2 (1935), 199–216
↑ Afirmațiile despre unicitatea și dependența continuă a soluției sunt o simplă consecință a principiului maximului.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, p. 156 . Preluat la 11 iunie 2015. Arhivat din original la 27 martie 2016. (nedefinit)
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuații ale fizicii matematice. - cap. III, § 2. - Orice editie.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare