Teorema de echipartiție

Teorema privind echipartiția energiei cinetice în grade de libertate , legea echipartiției , teorema echipartiției - conectează temperatura unui sistem cu energia sa medie în mecanica statistică clasică . În forma sa originală, teorema a afirmat că, la echilibrul termic , energia este împărțită în mod egal între diferitele sale forme, de exemplu, energia cinetică medie a mișcării de translație a unei molecule trebuie să fie egală cu energia cinetică medie a mișcării sale de rotație .

Folosind teorema de echipartiție, se pot face predicții cantitative. La fel ca teorema virală , ea oferă energiile cinetice și potențiale medii totale pentru un sistem la o temperatură dată, din care poate fi calculată capacitatea termică a sistemului. Cu toate acestea, teorema de echipartiție permite, de asemenea, să se determine valorile medii ale componentelor energetice individuale , cum ar fi energia cinetică a unei singure particule sau energia potențială a unui arc individual . Teorema afirmă că fiecare moleculă a unui gaz ideal monoatomic , care se află în echilibru termodinamic (sau într-o stare apropiată de echilibrul termodinamic), are o energie cinetică medie egală cu (3/2)k B T , unde k B este Boltzmann constantă , T este temperatura. În general, poate fi aplicat oricărui sistem clasic în echilibru termic , indiferent cât de complex este acesta. Teorema de echipartiție poate fi utilizată pentru a deriva ecuația de stare a gazului ideal și legea Dulong-Petit , pentru a determina căldura specifică a solidelor. Este, de asemenea, folosit pentru a prezice proprietățile stelelor , chiar și cum ar fi piticele albe și stelele neutronice , deoarece echipartiția este valabilă chiar și atunci când efectele relativiste trebuie luate în considerare.

Deși teorema de echipartiție face predicții foarte precise în anumite condiții, își pierde aplicabilitatea atunci când intră în joc efectele cuantice . Echipartiția este valabilă numai atunci când energia termică k B T este mult mai mare decât intervalul dintre nivelurile de energie cuantică vecine, deoarece în caz contrar valorile medii ale energiei și capacității termice pe anumite grade de libertate sunt mai mici decât valorile obținute folosind teorema de echipartiție . Ei spun că gradul de libertate este înghețat dacă energia termică este mult mai mică decât acest interval (asta înseamnă că în practică un astfel de grad de libertate în condițiile date poate fi ignorat, într-o astfel de condiție trecerea la stările excitate cu respect la un anumit grad de libertate este practic imposibil). De exemplu, capacitatea de căldură a unui solid scade la temperaturi scăzute - pe măsură ce diferitele tipuri de mișcare devin înghețate - în loc să rămână constantă, așa cum ar trebui să fie conform teoremei clasice de echipartiție. Această scădere a capacității de căldură a fost primul semn pentru fizicieni în secolul al XIX-lea că fizica clasică își pierde aplicabilitatea la temperatură scăzută și au trebuit formulate noi legi pentru a explica comportamentul observat efectiv al capacității de căldură în funcție de temperatură. Alături de o altă controversă, eșecul legii echipartiției de a descrie radiația electromagnetică - cunoscută și sub numele de catastrofa ultravioletă - l-a determinat pe Max Planck la ideea că lumina este emisă și absorbită în cuante . Această ipoteză revoluționară a marcat începutul teoriei cuantice, care, atunci când a fost dezvoltată în continuare, a dat naștere mecanicii cuantice și teoriei cuantice a câmpurilor .

Ideea principală și exemple simple

Inițial, termenul „echidistribuție” însemna că energia cinetică totală a unui sistem este împărțită în mod egal între toate părțile sale independente , în medie , odată ce sistemul a atins echilibrul termic. Teorema de echipartiție oferă și predicții cantitative pentru aceste energii. De exemplu, prezice că fiecare atom al unui gaz nobil aflat în echilibru termic la o temperatură T are o energie cinetică de translație medie egală cu (3/2)k B T . În consecință, atomii de xenon mai grei au o viteză medie mai mică decât atomii de heliu mai ușori la aceeași temperatură. Figura arată distribuția Maxwell pentru vitezele atomilor în patru gaze.

În acest exemplu, este important să rețineți că energia cinetică este o funcție pătratică a vitezei. Teorema de echipartiție afirmă că, la echilibrul termic, orice grad de libertate (componente ale vectorilor de poziție sau ale vitezei particulelor) [1] care apare doar ca funcție pătratică în energie are o energie medie egală cu ½ k B T și, prin urmare, contribuie cu ½ k B la capacitatea de încălzire a sistemului. Această afirmație are multe aplicații practice.

Energia mișcării de translație a particulelor de gaze ideale

Energia cinetică a unei particule de gaz cu masa m și viteza v este dată ca

H^{\mathrm {kin} }={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left( v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),

unde v x , v y și v z sunt componentele carteziene ale vectorului viteză v . Aici simbolul H denotă funcția hamiltoniană a sistemului și este folosit ca simbol energetic în formalismul hamiltonian . Ea joacă un rol central în majoritatea generalizărilor legii echipartiției.

Deoarece energia cinetică este o funcție pătratică a componentelor vitezei, din legea echipartiției rezultă că fiecare dintre aceste componente are aceeași contribuție ½ k B T la energia cinetică medie a unui gaz în echilibru termic. Rezultă că energia cinetică medie a particulei este (3/2) k B T, ca în exemplul de gaz nobil de mai sus.

În general, energia totală a unui gaz ideal constă din energia cinetică (de translație) a particulelor individuale, în ipoteza că particulele nu au grade interne de libertate și se mișcă independent unele de altele. Echipartiția înseamnă că energia totală medie a unui gaz ideal de N particule este (3/2) N k B T .

Rezultă că capacitatea termică a gazului este (3/2) N k B și, în special, capacitatea termică a unui mol de gaz al unor astfel de particule este (3/2) N A k B =(3/2) R , unde NA este numărul Avogadro și R este constanta gazului . Deoarece R ≈ 2 cal /( mol K ) , legea echipartiției prezice că capacitatea de căldură molară a unui gaz ideal este de aproximativ 3 cal /( mol K ) . Această predicție a fost verificată experimental. [2]

Energia cinetică medie ne permite să estimăm rădăcina pătrată a vitezei pătrate medii v rms a particulelor dintr-un gaz:

v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},

unde M = N A m este masa molară a gazului. Acest rezultat este util pentru multe aplicații practice, cum ar fi legea lui Graham pentru efuziune , care este utilizată în metoda de îmbogățire a uraniului [3]

Energia mișcării de rotație

Un exemplu similar poate fi găsit atunci când se consideră o moleculă rotativă cu momente principale de inerție I 1 , I 2 și I 3 . Energia de rotație a unei astfel de molecule este dată de expresie

H^{\mathrm {putrecerea} }={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^ {2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),

unde ω 1 , ω 2 şi ω 3 sunt componentele principale ale vitezei unghiulare . Prin exact același raționament ca și în cazul mișcării de translație, echipartiția implică faptul că la echilibrul termic energia de rotație medie a fiecărei particule este: (3/2)k B T . În mod similar, teorema de echipartiție permite să se calculeze viteza unghiulară medie (mai precis, rădăcina pătrată a pătratului mediu) a vitezei unghiulare a moleculelor. [patru]

Energie potențială și oscilatoare armonice

Echipartiția se aplică nu numai energiei cinetice, ci și energiei potențiale . Exemplele importante includ oscilatorii armonici , cum ar fi un arc , care are o energie potențială care este pătratică în coordonate

H^{\mathrm {pot} }={\tfrac {1}{2}}aq^{2},

unde constanta a descrie rigiditatea arcului și q este abaterea de la poziția de echilibru. Dacă un astfel de sistem unidimensional are masa m , atunci energia sa cinetică este H kin : ½ mv² = p² /2 m , unde v și p = mv reprezintă viteza și impulsul oscilatorului. Însumând aceste contribuții, obținem energia totală a sistemului [5]

H=H^{\mathrm {kin} }+H^{\mathrm {pot} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}} aq^{2}.

Echipartiția implică faptul că la echilibrul termic oscilatorul are o energie medie care este egală cu

\langle H\rangle =\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{B }T+{\tfrac {1}{2}}k_{B}T=k_{B}T,

unde parantezele unghiulare denotă medierea valorii conținute în ele. [6] $\left\langle \ldots \right\rangle$

Acest rezultat este valabil pentru orice tip de oscilator armonic, cum ar fi un pendul , o moleculă oscilantă sau un generator electric pasiv . Sistemele de astfel de oscilatoare apar în multe cazuri. Conform legii echipartiției, fiecare astfel de oscilator are o energie totală medie k B T și, prin urmare, contribuie cu k B la capacitatea termică a sistemului. Această concluzie poate fi folosită pentru a deriva o formulă pentru zgomotul termic [7] și legea Dulong-Petit pentru căldura specifică a solidelor. Acesta din urmă a jucat un rol important în istoria teoremei de echipartiție.

Capacitatea termică a solidelor

Legea echipartiției este utilizată pentru a determina capacitatea termică specifică a corpurilor cristaline. Deoarece fiecare atom dintr-un astfel de corp poate oscila în trei direcții independente, cristalul poate fi considerat un sistem de 3N oscilatoare armonice independente , unde N denotă numărul de atomi din rețea. Fiecare oscilator armonic are o energie medie k B T , deci energia totală medie a corpului este de 3Nk B T , iar căldura sa specifică este de 3Nk B .

Dacă luăm pentru N numărul Avogadro ( N A ), atunci, folosind relația R = N A k B dintre constanta gazului ( R ) și constanta Boltzmann ( k B ), obținem expresia pentru Dulong- Legea Petit , care descrie capacitatea de căldură molară a solidelor. Se spune că capacitatea termică specifică a unui mol de atomi ai rețelei cristaline este 3R ≈ 6 cal /( mol K ) .

De menționat că această lege nu este valabilă la temperaturi scăzute, unde este important să se țină cont de efectele cuantice. De asemenea, intră în conflict cu cea de -a treia lege a termodinamicii , confirmată experimental, conform căreia capacitatea termică specifică a oricărei substanțe tinde spre zero pe măsură ce temperatura tinde spre zero absolut. [7] Teorii mai precise care iau în considerare efectele cuantice au fost dezvoltate de Albert Einstein ( 1907 ) și Peter Debye ( 1911 ). [opt]

Multe sisteme fizice pot fi modelate ca un sistem de oscilatoare armonice cuplate . Mișcările unor astfel de oscilatoare pot fi descompuse în moduri normale , care pot fi considerate moduri de vibrație ale unei coarde de pian sau rezonanțe ale unei țevi de orgă . Pe de altă parte, teorema de echipartiție devine inaplicabilă pentru astfel de sisteme din cauza lipsei schimbului de energie între modurile normale. În cazul limitativ, modurile sunt independente și astfel energiile lor sunt conservate independent. Aceasta înseamnă că amestecarea energiilor, numită formal ergodicitate , este importantă pentru legea echipartiției.

Sedimentarea particulelor

Energia potențială nu este întotdeauna o funcție pătratică a coordonatelor, dar teorema de echipartiție afirmă că dacă gradul de libertate x este inclus cu factorul x s (pentru o constantă fixă s ) în energia totală, atunci la echilibrul termic energia medie a această parte este egală cu k B T / s .

Această generalizare este utilizată atunci când se consideră sedimentarea particulelor sub influența gravitației . [9] De exemplu, ceața observată uneori în bere poate fi cauzată de bucăți de proteine care împrăștie lumina. [10] De- a lungul timpului, aceste piese se acumulează pe partea de jos sub forța gravitației, determinând ca mai multă lumină să se împrăștie în partea de jos a sticlei decât în partea de sus. Cu toate acestea, datorită difuziei care lucrează în direcția opusă, particulele se deplasează în sus, spre partea de sus a sticlei. Odată atins echilibrul, teorema de echipartiție poate fi utilizată pentru a determina poziția medie a unei anumite piese de masă plutitoare m b . Pentru o sticlă de bere infinit de mare, energia potențială gravitațională este dată ca

H^{\mathrm {grav} }=m_{b}gz\,,

unde z este poziția verticală a piesei proteice din sticlă și g este accelerația datorată gravitației. Deoarece s=1 , atunci energia potențială medie a piesei proteice este egală cu k B T . Dacă masa proteinei este de aproximativ 10 MDa (aproximativ aceasta este dimensiunea virusului ), atunci la echilibru va apărea o suspensie cu o înălțime medie de aproximativ 2 cm. Procesul de sedimentare la poziția de echilibru este descris de Ecuația Mason-Weaver . [unsprezece]

Istorie

Acest articol folosește unități non- SI de cal /( mol K ) pentru capacitatea termică specifică datorită preciziei notației zecimale.
Pentru a converti în unități SI J /( mol K ) , aceste valori trebuie înmulțite cu 4,2 J / cal .

Distribuția egală a energiei cinetice pe grade de libertate a fost propusă în 1843 (este mai corect să vorbim despre 1845) John James Waterston . [12] [13] [14] [15] [16] În 1859 , James Clerk Maxwell a susținut că energia cinetică la temperatură ridicată a unui gaz este împărțită în mod egal între energia de translație și energia de rotație. [17] În 1876, Ludwig Boltzmann a arătat că energia medie este împărțită în mod egal între toate componentele independente de mișcare dintr-un sistem. [18] [19] Boltzmann a aplicat legea echipartiției pentru a explica teoretic legea empirică Dulong-Petit pentru capacitatea termică a solidelor.

Istoria teoremei de echipartiție este împletită cu studiile de capacitate termică care au fost efectuate în secolul al XIX-lea. În 1819, fizicienii francezi Pierre Dulong și Alexis Petit au descoperit că capacitățile de căldură molare specifice pentru solide sunt practic egale la temperatura camerei, la aproximativ 6 cal /( mol K ) . [21] Legea lor a fost folosită de mulți ani pentru a măsura greutățile atomice . [8] Cu toate acestea, studiile ulterioare ale lui James Dewar și Heinrich Weber au arătat că legea Dulong-Petit este valabilă doar la temperaturi ridicate, [22] [23] [24] și la temperaturi scăzute sau pentru cristale foarte dure, cum ar fi diamantul , căldura. capacitatea este mai mică. [25] [26] [27]

Valorile experimentale ale capacității termice a gazelor au ridicat și întrebări cu privire la corectitudinea teoremei de echipartiție. Teorema prezice că capacitatea de căldură specifică molară a gazelor monoatomice ar trebui să fie de aproximativ 3 cal /( mol K ) , iar pentru gazele diatomice de aproximativ 7 cal / ( mol K ) . Experimentele au confirmat prima predicție, [2] dar pentru gazele biatomice, experimentul a arătat că capacitatea de căldură molară specifică este de numai 5 cal /( mol K ), [28] și scade la 3 cal /( mol K ) la temperaturi foarte scăzute. . [29] Maxwell a observat în 1875 că discrepanța dintre experiment și legea echipartiției este și mai gravă dacă se iau aceste valori; [30] deoarece atomii au o structură internă, atunci energia termică trebuie să meargă la mișcarea acestor părți interne, ceea ce duce la predicții pentru capacitățile de căldură molare specifice ale gazelor monoatomice și diatomice mult mai mari decât 3 cal /( mol K ) și 7 cal . / ( mol K ), respectiv.

Al treilea dezacord este legat de capacitatea termică a metalelor. [31] Conform modelului Drude clasic , electronii dintr-un metal se comportă ca un gaz ideal și, în consecință, trebuie să contribuie (3/2) N e k B , unde N e este numărul de electroni, la capacitatea termică a metal conform teoremei de equipartiție. Experimental, însă, contribuția electronilor la capacitatea termică este mică: capacitățile termice molare ale diverșilor conductori și dielectrici practic coincid. [31] (Vezi și secțiunea „ Limitări impuse de mecanica cuantică ”).

Au fost propuse mai multe explicații pentru inexactitatea teoremei de echipartiție în determinarea capacităților termice. Boltzmann a apărat demonstrarea teoremei sale ca fiind corectă, dar a sugerat că gazele ar putea să nu fie în echilibru termic din cauza interacțiunii lor cu eterul . [32] Lord Kelvin a sugerat că derivarea teoremei de echipartiție trebuie să fie greșită, deoarece concluziile sale nu sunt de acord cu experimentul, dar nu a putut indica eroarea. [33] Lord Rayleigh a avansat în schimb ipoteza mai radicală că atât teorema de echipartiție, cât și ipoteza experimentală a echilibrului termic sunt corecte, dar pentru a le reconcilia, el a vorbit despre necesitatea unui nou principiu care să ofere o scăpare din simplitatea distructivă a teorema de echipartiție. [34] Albert Einstein a arătat calea de a rezolva această contradicție atunci când, în 1907, a arătat că aceste anomalii în capacitatea termică se datorează efectelor cuantice, în special cuantizării energiei vibrațiilor elastice ale unui corp rigid. [35] [36] [37] [38] [39] Einstein a folosit inexactitatea legii echipartiției ca argument pentru necesitatea unei noi teorii cuantice a materiei. [8] Experimentele lui Nernst din 1910 care măsoară capacitatea de căldură la temperaturi scăzute [40] au confirmat teoria lui Einstein și au condus la sprijinul larg pentru teoria cuantică în rândul fizicienilor. [41]

Formularea generală a teoremei de echipartiție

Cea mai generală formulare a teoremei de echipartiție [4] [6] [9] spune că în anumite condiții (vezi mai jos) pentru un sistem fizic cu H Hamiltonian și grade de libertate x n , următoarea relație este valabilă pentru orice indici m și n :

{\Bigl \langle}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T.

Aici δ mn este simbolul Kronecker , care este egal cu unu dacă m = n și zero în caz contrar. Parantezele unghiulare denotă media , care se poate referi atât la media în timp, cât și la media ansamblului mai general în spațiul fazelor. Cerința de ergodicitate utilizată în teoremă implică faptul că cele două medii sunt echivalente. $\left\langle \ldots \right\rangle$

Formularea generală a teoremei este adevărată atât în cazul unui ansamblu microcanonic , [6] când energia totală a sistemului este constantă, cât și în cazul unui ansamblu canonic , [4] [42] când sistemul este conectat. la un rezervor termic , cu care poate face schimb de energie. Derivarea formulei generale este dată mai jos .

Formula generală este echivalentă cu următoarele expresii:

${\Bigl \langle}x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T$ pentru toate n .
${\Bigl \langle}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=0$ pentru toate m ≠ n .

Dacă gradul de libertate x n apare doar ca termen patratic a n x n² în Hamiltonianul H , atunci prima formulă spune că

k_{B}T={\Bigl \langle}x_{n}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n} x_{n}^{2}\rangle ,

de două ori contribuția acestui grad de libertate la energia medie . Apoi, din formula generală rezultă echipartiția pentru un sistem cu energii în funcție de pătratele coordonatelor. Un argument similar pentru gradul s este aplicabil în general pentru o contribuție de forma a n x n s . $\langle H\rangle$

Gradele de libertate x n sunt coordonate în spațiul de fază al sistemului și, prin urmare, sunt de obicei împărțite în coordonate generalizate q k și momente generalizate p k , unde p k este impulsul conjugat cu q k . În acest caz, formula 1 înseamnă că pentru toți k

{\Bigl \langle}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k)}}{\Bigl \rangle }={\Bigl \langle}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Folosind ecuațiile mecanicii hamiltoniene , [5] aceste formule pot fi, de asemenea, rescrise ca

{\Bigl \langle }p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigl \rangle }=-{\Bigl \langle}q_{k}{\frac {dp_{ k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{B}T.

Formula 2 afirmă că mediile

{\Bigl \langle}q_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k)}}{\Bigl \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{j}{ \frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial p_{k} )){\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{j}{\frac {\partial H}{\partial q_{k))}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle },

și

{\Bigl \langle}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k)}}{\Bigr \rangle )

sunt zero pentru j≠k .

Legătura cu teorema virială

Teorema generală de echipartiție este o generalizare a teoremei viriale (propusă în 1870 [43] ) și se citește

{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k)}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\ sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k))}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{k}p_{k}{ \frac {dq_{k}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}{ \Bigr \rangle },

unde t indică timpul . [5] Cele două diferențe esențiale dintre cele două sunt că teorema virală leagă mediile „însumate” mai degrabă decât „individuale” între ele, iar prima nu le raportează la temperatura „T”. O altă diferență este că dovezile tradiționale ale teoremei viriale folosesc medierea pe o perioadă lungă de timp, în timp ce teorema de echipartiție utilizează, de asemenea , medierea spațiului de fază .

Aplicații

Ecuația de stare pentru un gaz ideal

Teorema de echipartiție este folosită pentru a deriva ecuația de stare pentru un gaz ideal din mecanica clasică. [4] . Formula pentru energia cinetică medie per particulă, luând în considerare doar trei grade de libertate de translație, este scrisă ca

{\begin{aliniat}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m)}\langle p_{x}^{2}+p_{y}^ {2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H ^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} } }{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} )){\partial p_{z} )){\Bigr \rangle }{\biggr )}={\frac {3}{2}}k_{B}T\end{aligned}}

Dacă q = ( q x , q y , q z ) și p = ( p x , p y , p z ) reprezintă coordonatele și impulsul unei particule dintr-un gaz, iar F este forța care acționează asupra acelei particule, atunci

{\begin{aliniat}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle}q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}} {\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigl \langle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigl \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\ Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y))}{\Bigl \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{ \frac {\partial H}{\partial q_{z))}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aliniat))

unde prima egalitate este a doua lege a lui Newton , iar a doua linie folosește ecuațiile și echipartiția lui Hamilton. Însumarea unui sistem de N particule duce la exprimare

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }.

Folosind cea de-a treia lege a lui Newton și ipoteza că gazul este ideal, obținem forța totală din sistem - forța care acționează din partea laterală a pereților recipientului asupra sistemului, iar această forță este dată de presiunea P a gazului. prin urmare

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P \oint _{\mathrm {suprafață} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} ,

unde dS este un element de suprafață infinitezimal al pereților containerului. Deoarece divergența vectorului rază q este

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y} }{\partial q_{y))}+{\frac {\partial q_{z)){\partial q_{z))}=3,

apoi din teorema divergenței obținem

P\oint _{\mathrm {suprafață} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} = P\int _{\mathrm {volum} }\left ({\boldsymbol {\nabla ))\ cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

unde dV este volumul infinitezimal din interiorul recipientului, V este volumul total al acestuia.

Punând împreună ecuațiile, obținem

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\ biggr \rangle }=3PV,

ceea ce duce la ecuația de stare pentru un gaz ideal pentru N particule:

PV=Nk_{B}T=nRT,

unde n=N/N A este numărul de moli de gaz și R=N A k B este constanta gazului . [44]

Gaze diatomice

Un gaz diatomic poate fi reprezentat ca două mase m 1 și m 2 legate între ele prin intermediul unui arc cu o rigiditate a . [20] Energia clasică a acestui sistem se scrie ca suma energiilor cinetice ale mișcării maselor individuale și energia potențială a deformarii arcului:

H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _ {2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},

unde p 1 și p 2 sunt momentele a doi atomi, q este abaterea de la poziția de echilibru. Fiecare grad de libertate este o funcție pătratică și, prin urmare, trebuie să contribuie cu ½ k B T la energia medie totală și cu ½ k B la căldura specifică. Astfel, capacitatea termică specifică a unui gaz de N molecule biatomice trebuie să fie egală cu 7N · ½ k B : momentele p 1 și p 2 dau fiecare trei grade de libertate, iar abaterea q adaugă o al șaptea. Rezultă că capacitatea termică specifică a unui mol dintr-un gaz de molecule biatomice fără alte grade de libertate decât cele menționate mai sus ar trebui să fie (7/2) N A k B = (7/2) R și, astfel, prognoza capacitatea de căldură specifică molară va fi de 7 cal /( mol K ) . În același timp, măsurătorile au arătat că capacitatea de căldură specifică molară a unui gaz de molecule biatomice este de 5 cal /( mol K ) [28] și scade la 3 cal /( mol K ) la temperaturi foarte scăzute. [29] Această discrepanță între valoarea prezisă din legea echipartiției și experiment nu poate fi explicată folosind o structură mai complexă a moleculei, deoarece odată cu adăugarea de grade de libertate crește și valoarea estimată a capacității termice. [30] Acest dezacord a fost unul dintre cele cheie, care a cerut mai corecte, și anume idei cuantice despre structura materiei.

Gaze ideale ultrarelativiste

Legea echipartiției a fost folosită mai sus pentru a deriva ecuația de stare clasică a gazelor ideale din mecanica newtoniană . Cu toate acestea, efectele relativiste devin dominante în unele sisteme, cum ar fi piticele albe și stelele neutronice [6] , iar ecuația de stare a gazului ideal trebuie schimbată. Teorema de echipartiție oferă o modalitate convenabilă de a deriva legile corespunzătoare pentru un gaz ideal ultrarelativist . [4] În acest caz, energia cinetică a unei particule individuale este dată de

H^{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.

Diferențiând H față de componenta impulsului p x , obținem

p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}

și în mod similar pentru componentele p y și p z . Adunând cele trei componente, ajungem la expresia energiei cinetice medii

{\begin{aliniat}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\biggl \langle}c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{ 2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}{\biggr \rangle }\\&={\Bigl \langle }p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x))}{\Bigl \rangle }+{\Bigl \langle }p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y))}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }p_{z}{ \frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}{\Bigr \rangle }\\&=3k_{B}T\end{aligned}}

unde ultima egalitate decurge din equipartitie. Astfel, energia totală medie a unui gaz ultrarelativist este de două ori mai mare decât energia totală a gazului în cazul non-relativist: pentru N particule, obținem 3 N k B T .

Gaze neideale

Într-un gaz ideal, particulele interacționează numai prin ciocniri. Legea echipartiției poate fi folosită pentru a obține o expresie pentru presiunea și energia „gazelor neideale” în care particulele interacționează între ele prin forțe conservatoare . Potențialul de interacțiune U ( r ) al acestor particule depinde doar de distanța r dintre particule. [4] Această situație este descrisă în modelul cu o particulă, în care particulele rămase în gaz formează o distribuție simetrică sferic . Este convenabil să se introducă o funcție de distribuție radială g(r) , astfel încât densitatea de probabilitate de a găsi o particulă la distanța r de cea dată să fie egală cu 4π r²ρ g(r) , unde ρ=N/V este media densitatea gazului. [45] Rezultă că energia potențială medie a interacțiunii unei particule cu mediul său este egală cu

\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.

Energia potențială medie totală a gazului este , unde N este numărul de particule din gaz, iar factorul ½ este necesar deoarece însumarea tuturor particulelor include fiecare interacțiune de două ori. $\langle H^{pot}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h^{\mathrm {pot} }\rangle$

După însumarea energiei potențiale și cinetice și aplicarea echipartiției, obținem ecuația energiei

H=\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{B}T+2 \pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.

Raționament similar [4] conduce la ecuația pentru presiune

3Nk_{B}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.

Oscilatoare anarmonice

Pentru un oscilator anarmonic (spre deosebire de un oscilator armonic simplu ), energia potențială nu este o funcție pătratică a deplasării q (o coordonată generalizată care indică abaterea de la poziția de echilibru). Astfel de oscilatoare permit o vedere mai largă a legii echipartiției. [46] [47] Ca exemplu simplu, luați în considerare funcțiile de energie potențială ale formei

H^{\mathrm {pot} }=Cq^{s},

unde C și s sunt constante reale arbitrare . În acest caz, legea echipartiției conduce la expresia

k_{B}T={\Bigl \langle}q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q)} {\Bigr \rangle }=\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle .

Astfel, energia potențială medie este egală cu k B T/s , și nu k B T/2 ca pentru potențialul patratic al unui oscilator armonic (unde s =2).

Mai general, o funcție energetică tipică a unui sistem unidimensional poate fi reprezentată ca o expansiune Taylor în q :

H^{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n)

pentru numere întregi nenegative n . Termenul cu n =1 este absent, deoarece nu există o forță rezultantă în punctul de echilibru și prima derivată a energiei dispare. Trebuie inclus termenul cu n = 0, deoarece energia potențială în punctul de echilibru poate fi aleasă în mod arbitrar (zero pentru simplitate). În acest caz, din legea echipartiției rezultă că [46]

k_{B}T={\Bigl \langle}q{\frac {\partial H^{\mathrm {pot} }}{\partial q}}{\Bigr \rangle }=\sum _{n =2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n }\rangle .

Spre deosebire de celelalte exemple date aici, legea echipartiției

\langle H^{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({ \frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle

căci energia potențială medie nu poate fi scrisă în termeni de constante cunoscute.

Mișcarea browniană

Legea echipartiției este utilizată pentru a deriva deviația standard a unei particule browniene folosind ecuația Langevin . [4] Conform acestei ecuații, mișcarea unei particule cu masa m și viteza v respectă a doua lege a lui Newton

{\frac {d\mathbf {v} {dt)}={\frac {1}{m)}\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau } }+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} ^{\mathrm {rnd} },

unde F rnd este o forță aleatorie care descrie ciocnirile aleatorii ale unei particule cu moleculele din jur și unde constanta de timp reflectă existența unei forțe de frecare , care este îndreptată în direcția opusă mișcării. Forța de frecare este adesea scrisă ca proporțională cu viteza particulei , caz în care constanta de timp este . $\tau$ $\mathbf {F} ^{\mathrm {glisare} }=-\gamma \mathbf {v}$ $\tau$ $m/\gamma$

Produsul scalar al acestei ecuații și vectorul de localizare a particulelor după medierea (în timp) conduce la ecuație $\mathbf {r}$

{\Bigl \langle }\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} {dt)} {\Bigr \rangle }+{\frac {1}{\tau })\ langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0

pentru mișcarea browniană (deoarece forța aleatoare F rnd este necorelată cu vectorul r ). Utilizarea relațiilor matematice

{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2} \right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)

și

{\frac {d}{dt)}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d \mathbf {v} }{dt}},

ecuația de bază pentru mișcarea browniană poate fi scrisă ca

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt }}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{B}T,

unde ultima egalitate rezultă din legea echipartiției pentru energia cinetică a mișcării de translație:

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle ={\Bigl \langle }{\frac {p^{2}}{2m}}{\Bigr \rangle }=\langle {\tfrac { 1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{B}T.

Atunci ecuația diferențială pentru (cu condiții inițiale adecvate) poate fi rezolvată exact: $\langle r^{2}\rangle$

\langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{B}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\ frac {t}{\tau }}\right).

Dacă timpul este mic în comparație cu constanta de timp ( ), atunci particula poate fi considerată ca se mișcă liber și folosind expansiunea Taylor pentru funcția exponențială, deoarece pătratul deplasării crește aproximativ pătratic , obținem $t\ll \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{B}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.

Uneori mult mai mare decât constanta de timp ( ), termenul exponențial și constanta sunt neglijabil mici, iar pătratul deplasării crește liniar : $t\gg \tau$

\langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{B}T\tau {m}}t=6\gamma k_{B}Tt.

Această expresie descrie difuzia unei particule în timp. O ecuație similară pentru difuzia rotațională a unei molecule rigide este derivată printr-o metodă similară.

Fizica stelelor

Teorema de echipartiție și teorema virială au fost folosite de mult în astrofizică . [48] De exemplu, teorema virială este folosită pentru a estima temperaturile stelelor sau limita Chandrasekhar pentru masa piticelor albe . [49] [50]

Temperatura medie a unei stele este estimată din teorema de echipartiție. [51] Deoarece majoritatea stelelor sunt simetrice sferic, energia potențială gravitațională totală este estimată prin integrală

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M (r)\,\rho (r)\,dr,

unde M(r) este masa în interiorul razei r , ρ(r) este densitatea stelară la raza r , G este constanta gravitațională , R este raza totală a stelei. În cazul unei densități constante de stele, integrarea pe rază duce la expresie

H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R)),

unde M este masa totală a stelei. Rezultă că energia potențială medie a unei particule este egală cu

\langle H^{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {tot} }^{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^ {2}}{5RN}},

unde N este numărul de particule din stea. Majoritatea stelelor constau în principal din hidrogen ionizat , deci N este aproximativ (M/m p ) , unde m p este masa protonului. Aplicarea legii echipartiției oferă o estimare a temperaturii stelei

{\Bigl \langle}r{\frac {\partial H^{\mathrm {grav} }}{\partial r)} {\Bigr \rangle}=\langle -H^{\mathrm {grav} }\rangle =k_{B}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.

Înlocuind masa și raza Soarelui în această expresie , temperatura solară estimată T este de 14 milioane kelvin , foarte apropiată de temperatura nucleului Soarelui (15 milioane kelvin). Adevărat, trebuie remarcat aici că Soarele este mult mai complex ca structură decât este acceptat în acest model simplificat, iar temperatura lui, precum și densitatea, se modifică puternic în funcție de rază și un acord atât de bun (≈7% relativ eroare ) este parțial norocul nostru. [52]

Formarea stelelor

Formulele derivate mai sus pot fi folosite pentru a determina condițiile pentru formarea stelelor din norii moleculari giganți . [53]

Fluctuațiile locale ale densității în astfel de nori pot duce la o stare instabilă în care norul se prăbușește sub propria greutate. O astfel de prăbușire are loc atunci când teorema de echipartiție, sau echivalent teorema virală , nu se mai aplică, adică atunci când energia potențială gravitațională este de două ori mai mare decât energia cinetică.

{\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{B}T

Presupunând că densitatea norului este constantă, conform formulei $\rho$

M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho

se poate obține o estimare a masei minime pentru nașterea unei stele, care se numește masa Jeans M J

M_{J}^{2}=\left({\frac {5k_{B}T}{Gm_{p))}\right)^{3}\left({\frac {3}{4} \pi \rho }}\right)

Înlocuirea valorilor maselor tipice în astfel de nori observabili ( T =150 K, ρ = 2⋅10 −16 g/cm³) oferă o estimare a masei minime de 17 mase solare, care este în concordanță cu formarea stelelor observate. Acest efect este cunoscut sub numele de instabilitate a blugilor . Este numit după fizicianul britanic James Jeans , care a publicat o descriere a acestei instabilitati în 1902. [54]

Concluzii

Energia cinetică și distribuția Maxwell-Boltzmann

Formularea originală a teoremei de echipartiție spune că într-un sistem fizic la echilibru termodinamic, fiecare particulă are aceeași energie cinetică medie , (3/2) k B T . [55] Acest lucru poate fi arătat folosind distribuția Maxwell-Boltzmann (a se vedea figura de mai sus pentru distribuția densității de probabilitate a vitezelor moleculare ), care este distribuția de probabilitate

{\displaystyle f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\!\!v^{2}\ exp {\Bigl (}{\frac {-mv^{2}}{2k_{B}T}}{\Bigr )))

pentru viteza unei particule cu masa m în sistem, unde viteza v este amplitudinea vectorului viteză . ${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))$ $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$

Distribuția Maxwell-Boltzmann este aplicabilă unui sistem de atomi și presupune doar că sistemul de particule este un ansamblu canonic , în special că energiile cinetice sunt distribuite conform factorului Boltzmann la temperatura T. [55] Energia cinetică medie pentru o particulă cu masa m este dată de formula integrală

\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle =\int _{0}^{\infty }{\ tfrac {1}{2}}mv^{2}\ f(v)\ dv={\tfrac {3}{2}}k_{B}T,

exact cum spune teorema de equipartiție. Același rezultat poate fi obținut prin mediarea energiilor particulelor și folosind probabilitatea de a găsi o particulă într-o stare cuantică de energie [44] .

Energiile cuadratice și funcția de partiție

Într-o formulare mai generală, teorema de echipartiție spune că orice grad de libertate care apare în energia totală doar ca termen patratic de forma , unde este o constantă, are o energie medie de ½ în echilibru termodinamic. În acest caz, echipartiția poate fi derivată din funcția de partiție , unde este temperatura reciprocă . [56] Integrarea peste o variabilă dă factorul $X$ $H$ $Ax^{2}$ $A$ $k_{B}T$ $Z(\beta )$ $\beta =1/(k_{B}T)$ $X$

Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2)}={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A }}},

în formula pentru . Energia medie asociată acestui factor este dată de $Z$

\langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \ln Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{B}T

după cum spune teorema de equipartiție.

Dovezi generale

Concluziile generale ale teoremei de echipartiție pot fi găsite în multe manuale de mecanică statistică atât pentru ansamblul microcanonic [4] [6] cât și pentru ansamblul canonic [4] [42] . Aceste metode implică media sistemului pe un spațiu de fază , care este o varietate simplectică .

Pentru a explica aceste concluzii, trebuie să introducem următoarea notație. Mai întâi, spațiul fazelor este descris în termeni de coordonate generalizate q j împreună cu momentul lor conjugat p j . Mărimile q j descriu complet configurația sistemului, în același timp mărimile ( q j , p j ) împreună descriu complet starea acestuia .

În al doilea rând, este introdus un volum infinitezimal

d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}dp_{i)

spațiul de fază și folosiți-l ca volum Γ( E , Δ E ) al acelei părți a spațiului de fază în care energia sistemului H ia o valoare în intervalul de energie între E și E+ΔE :

\Gamma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma.

În această expresie, ΔE este foarte mic, ΔE<<E . În mod similar, Σ( E ) este definit ca volumul total al spațiului de fază în care energia este mai mică decât E :

\Sigma (E)=\int _{H<E}d\Gamma .

Datorită dimensiunii mici a lui ΔE , următoarele integrări sunt echivalente

\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E {\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H <E}\ldots d\Gamma ,

unde punctele reprezintă o expresie integrabilă. Rezultă că Γ este proporțional cu ΔE

\Gamma =\Delta E\ {\frac {\partial \Sigma }{\partial E))=\Delta E\\rho (E),

unde ρ(E) este densitatea stărilor . După definițiile obișnuite din mecanica statistică , entropia S este egală cu k B log Σ(E) , iar temperatura T este definită ca

{\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{b}{\frac {\partial \log \Sigma }{\partial E}} =k_{b}{\frac {1}{\Sigma }}\,{\frac {\partial \Sigma }{\partial E)).

Ansamblul Canonic

În ansamblul canonic , sistemul este în echilibru termic cu un rezervor termic infinit la temperatura T (în kelvins). [4] [42] Probabilitatea fiecărei stări în spațiul fazelor este dată de multiplicatorul său Boltzmann înmulțit cu factorul de normalizare , care este ales astfel încât suma probabilităților să fie egală cu unu $\mathcal{N}$

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}d\Gamma =1,

unde β = 1/k B T . Integrarea pe părți pentru o variabilă în spațiul de fază x k (care poate fi fie q k sau p k ) între două limite a și b are ca rezultat ecuația

{\mathcal {N}}\int \left[e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\right]_{x_{k}=a}^{x_{k} =b}d\Gamma _{k}+{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}\beta {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}d\Gamma =1,

unde dΓ k = dΓ/dx k , adică prima integrare nu se realizează peste x k . Primul termen este de obicei zero deoarece x k este zero la limite sau pentru că energia diverge la limite. În acest caz, teorema de echipartiție decurge imediat din această ecuație

{\mathcal {N}}\int e^{-\beta H(p,q)}x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}\,d\ Gamma ={\Bigl \langle }x_{k}{\frac {\partial H}{\partial x_{k))}{\Bigr \rangle }={\frac {1}{\beta ))=k_{ B}T.

Aici, media înseamnă o medie asupra ansamblului canonic . $\langle \ldots \rangle$

Ansamblul Microcanonic

În ansamblul microcanonic, sistemul este izolat de restul lumii, sau cel puțin vag cuplat. [6] Rezultă că energia sa totală este o constantă. Fie, pentru certitudine, energia totală H să fie între E și E+ΔE . Pentru o anumită energie E și incertitudine ΔE , există o regiune în spațiul fazelor Γ în care sistemul are acea energie și probabilitățile fiecărei stări din acea regiune a spațiului fazelor sunt egale, prin definiția ansamblului microcanonic. Din aceste definiții rezultă că media asupra variabilelor spațiului de fază x m (care poate fi fie q k sau p k ) și x n este dată de

{\begin{aligned}{\Bigl \langle}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }&={\frac {1} {\Gamma ))\,\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\, d\Gamma \\&={\frac {\Delta E}{\Gamma }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n))}\,d\Gamma \\&={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\ int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial \left(HE\right)}{\partial x_{n))}\,d\Gamma ,\end{aliniat))

unde ultima egalitate rezultă din faptul că E nu depinde de x n . Integrarea pe părți duce la relație

{\begin{aliniat}\int _{H<E}x_{m}{\frac {\partial (HE)}{\partial x_{n)}}\,d\Gamma &=\int _ {H<E}{\frac {\partial }{\partial x_{n))}{\bigl (}x_{m}(HE){\bigr )}\,d\Gamma -\int _{H< E}\delta _{mn}(HE)d\Gamma \\&=\delta _{mn}\int _{H<E}(EH)\,d\Gamma ,\end{aligned}}

întrucât primul termen din dreapta în prima linie este egal cu zero (se poate scrie ca o integrală H - E peste hiperspațiu , unde H = E ).

Înlocuind acest rezultat în ecuația anterioară, obținem

{\Bigl \langle}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\frac {1}{ \rho }}\,{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\left(EH\right)\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac { 1}{\rho }}\,\int _{H<E}\,d\Gamma =\delta _{mn}{\frac {\Sigma }{\rho )).

Deoarece , legea equipartiției spune: $\rho ={\frac {\partial \Sigma {\partial E)}$

{\Bigl \langle}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}{\Bigl (}{\ frac {1}{\Sigma }}{\frac {\partial \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}{\Bigl (}{\frac { \partial \log \Sigma }{\partial E}}{\Bigr )}^{-1}=\delta _{mn}k_{B}T.

Astfel, am obţinut formularea generală a teoremei de echipartiţie

{\Bigl \langle}x_{m}{\frac {\partial H}{\partial x_{n)}}{\Bigr \rangle }=\delta _{mn}k_{B}T,

care a fost folosit în aplicațiile de mai sus.

Aplicabilitate

Cerință de ergonomie

Legea echipartiției este valabilă numai pentru sistemele ergodice aflate în echilibru termodinamic , ceea ce implică faptul că toate stările de energie egală trebuie umplute cu probabilitate egală. [6] Prin urmare, ar trebui să fie posibil schimbul de energie între diferitele sale forme în cadrul sistemului sau cu un rezervor termic extern în ansamblul canonic . Numărul de sisteme fizice pentru care se cunoaște o dovadă riguroasă a ergodicității este mic. Cel mai faimos exemplu este sistemul Jacob Sinai de mingi dure . [57] Cerințele studiate pentru sisteme izolate cu ergodicitate garantată și, prin urmare, echipartiția, au oferit premisele pentru teoria haosului modern a sistemelor dinamice . Un sistem haotic Hamiltonian nu trebuie să fie ergodic, deși aceasta este de obicei o bună aproximare. [58]

Un sistem de oscilatoare armonice cuplate este un contraexemplu citat în mod obișnuit, deoarece energia nu este împărțită între diferitele sale forme și echipartiția nu este valabilă în ansamblul microcanonic. [58] Dacă sistemul este izolat de restul lumii, energia în fiecare mod normal este constantă și nicio energie nu este transferată dintr-un mod în altul. Prin urmare, legea echipartiției nu este valabilă pentru un astfel de sistem, deoarece cantitatea de energie în fiecare mod normal este determinată de valoarea sa inițială. Dacă există termeni neliniari suficient de puternici în energie, atunci aceasta poate fi redistribuită între modurile normale, ceea ce duce la faptul că legea echipartiției este îndeplinită. Totuși, teorema Kolmogorov-Arnold-Moser afirmă că perturbațiile neliniare trebuie să fie suficient de puternice pentru a redistribui energia; în caz contrar, atunci când sunt mici, energia va rămâne concentrată în cel puțin unele dintre moduri.

Limitări impuse de mecanica cuantică

Legea echipartiției este încălcată atunci când energia termică k B T devine mult mai mică decât distanța dintre nivelurile de energie. Echipartiția nu funcționează deoarece ipoteza unui spectru continuu de niveluri de energie, care a fost folosită mai sus pentru a deriva legea echipartiției, nu mai este o aproximare bună. [4] [6] Din punct de vedere istoric, imposibilitatea de a explica căldura și radiația specifică a unui corp negru folosind teorema clasică de echipartiție a servit drept principal motiv pentru a realiza faptul că sunt necesare noi teorii ale materiei și radiațiilor, și anume mecanica cuantică și teoria câmpului cuantic . [opt]

Pentru a ilustra încălcarea teoremei de echipartiție, luați în considerare energia medie a unui singur oscilator armonic (cuantic), care a fost discutată mai sus pentru cazul clasic. Nivelurile sale cuantice sunt date ca E n = nhν , unde h este constanta lui Planck , ν este frecvența fundamentală a oscilatorului și n este un număr întreg pozitiv. Probabilitatea ca un anumit nivel de energie să fie umplut în ansamblul canonic este dată de multiplicatorul său Boltzmann:

P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z)),

unde β = 1/ k B T și numitorul Z este funcția de partiție , aici seria geometrică

Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }} }.

Energia sa medie este dată ca

\langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n= 0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}= -{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta )).

Înlocuind formula cu Z , ajungem la rezultatul dorit [6]

\langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.

La temperaturi ridicate, când energia termică k B T este mult mai mare decât distanța hν dintre nivelurile de energie, exponențialul βhν se dovedește a fi mult mai mic decât unitatea și energia medie devine egală cu k B T , în conformitate cu legea echipartiției (vezi graficul). Cu toate acestea, la temperaturi scăzute, când hν >> k B T , energia medie tinde spre zero - nivelurile de energie de înaltă frecvență „îngheață” (vezi graficul). Ca un alt exemplu, stările electronice excitate ale atomului de hidrogen nu contribuie la capacitatea termică specifică a unui gaz la temperatura camerei, deoarece energia termică k B T (aproximativ 0,025 eV ) este mult mai mică decât distanța dintre starea fundamentală și primul nivel excitat (aproximativ 10 eV ).

Considerații similare se aplică indiferent dacă distanța dintre nivelurile de energie este mai mare decât energia termică. De exemplu, această premisă a fost folosită de Albert Einstein pentru a rezolva catastrofa radiației ultraviolete a corpului negru. [59] Paradoxul rezultă din faptul că există un număr infinit de moduri independente ale câmpului electromagnetic într-un container închis, fiecare dintre acestea fiind tratat ca un oscilator armonic. Dacă fiecare mod electromagnetic are o energie medie k B T , atunci containerul va conține energie infinită. [59] [60] Cu toate acestea, din motivul discutat mai sus, energia medie în modurile de înaltă frecvență tinde spre zero pe măsură ce frecvența merge la infinit; în plus, legea radiației corpului negru a lui Planck , care decurge din distribuția de energie găsită experimental pe moduri, decurge din același motiv. [59]

Există efecte cuantice mai subtile care pot duce la corecții ale teoremei de echipartiție, cum ar fi identitățile particulelor și simetriile continue . Efectele de indistinguire a particulelor pot domina la concentrații mari și la temperaturi scăzute. De exemplu, electronii de valență dintr-un metal pot avea o energie cinetică medie de câțiva electroni volți , ceea ce corespunde unei temperaturi de zeci de mii de grade. Acești electroni, într-o stare în care densitatea lor este atât de mare încât principiul excluderii Pauli face ca abordarea clasică să fie inaplicabilă, formează un gaz Fermi degenerat . Astfel de gaze sunt importante în structura piticelor albe și a stelelor neutronice . La temperaturi scăzute, se formează un analog fermionic al condensatului Bose-Einstein (în care multe particule identice ocupă starea de energie fundamentală); astfel de electroni superfluizi sunt responsabili de supraconductivitate .

Vezi și

Note

↑ Aici, după cum puteți vedea, termenul de grad de libertate este folosit în acel sens „termodinamic”, care este oarecum diferit de cel obișnuit în fizică și anume (în versiunea dată în acest articol): coordonată (responsabilă pentru energia potențială). ) și viteza (responsabilă pentru cinetică), în timp ce de obicei coordonatele și viteza corespunzătoare sunt atribuite aceluiași grad de libertate. Este ușor de observat că în acest context o astfel de schimbare a sensului termenului este justificată de simplitatea formulării teoremei. Rețineți că coordonatele, de care energia potențială nu depinde (cel puțin în prima aproximare) pătratic (și acestea sunt coordonatele corespunzătoare mișcării de translație și rotație a moleculei), au o contribuție neglijabilă la energia potențială, deși contribuția obișnuită este de ½ k B T la energia cinetică. Trăsătura distinctivă a gradelor de libertate vibraționale, a căror energie potențială este pătratică (cel puțin aproximativ), este aceea că în sistemele oscilatoare apropiate de armonie , energia potențială este egală cu energia cinetică pentru vibrațiile libere.
↑ 1 2 Kundt, A. ; Warburg E. Über die specifische Wärme des Quecksilbergases (Despre căldura specifică a gazelor de mercur) (engleză) // Annalen der Physik : journal. - 1876. - Vol. 157 . - P. 353-369 . Arhivat din original pe 13 aprilie 2013. (Limba germana)
↑ Fișă informativă despre îmbogățirea uraniului , arhivată la 25 februarie 2021 la Wayback Machine US Nuclear Regulatory Commission. Accesat la 30 aprilie 2007
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pathria, RK Statistical Mechanics. — Pergamon Press, 1972. - S. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
↑ 1 2 3 Goldstein, H. Mecanica clasică. — al 2-lea. ed. - Addison-Wesley , 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Huang, K. Mecanica statistică. - Ed. a II-a .. - John Wiley and Sons , 1987. - S. 136-138.
↑ 12 Mandl , F. Fizica statistică . - John Wiley and Sons , 1971. - S. 213-219 .
↑ 1 2 3 4 Pais, A. Subtil este Domnul . - Oxford University Press , 1982. - ISBN 0-19-853907-X .
↑ 1 2 Tolman, RC O Teorie Generală a Partiției Energiei cu Aplicații la Teoria Cuantică // Revista fizică : jurnal . - 1918. - Vol. 11 . - P. 261-275 .
↑ Miedl M., Garcia M., Bamforth C. Haze formation in model beer systems // J. Agric . chimie alimentară. : jurnal. - 2005. - Vol. 53 , nr. 26 . - P. 10161-10165 . - doi : 10.1021/jf0506941 . — PMID 16366710 .
↑ Mason, M; Weaver W. Settlement of Small Particles in a Fluid // Revista fizică : jurnal . - 1924. - Vol. 23 . - P. 412-426 . - doi : 10.1103/PhysRev.23.412 .
↑ Brush, SG Tipul de mișcare pe care îl numim căldură, volumul 1 . - Amsterdam: Olanda de Nord, 1976. - P. 134-159. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Brush, SG Tipul de mișcare pe care îl numim căldură, volumul 2 . - Amsterdam: Olanda de Nord, 1976. - P. 336-339. — ISBN 978-0444870094 .
↑ Waterston, JJ . Despre fizica mediilor care sunt compuse din molecule libere și elastice în stare de mișcare (engleză) // Roy. soc. Proc. : jurnal. — 1846/1893. — Vol. 5 . — P. 604 . (abstract). Nu a fost publicat complet până la {{{title}}} // Philos. Trans. R. Soc. Londra. - 1893. - T. A183 . - S. 1-79 . Republicat Lucrările științifice colectate ale lui John James Waterston / JS Haldane. — Edinburgh: Oliver & Boyd, 1928.
↑ Waterston, JJ Gânduri despre funcțiile mentale. - 1843. (Retipărit în lucrările sale , 3 , 167, 183.)
↑ Waterston, JJ {{{title}}} // British Association Reports. - 1851. - T. 21 . - S. 6 . Lucrarea principală a lui Waterston a fost scrisă și depusă în 1845 la Royal Society . După ce a refuzat să imprime lucrarea, societatea a refuzat să returneze manuscrisul și l-a păstrat printre alte articole în arhivă. Manuscrisul a fost găsit în 1891 de Lord Rayleigh , care l-a criticat pe referent pentru că nu a recunoscut semnificația lucrării lui Waterston. Waterston a reușit să-și publice ideile în 1851, așa că a fost înaintea lui Maxwell în prezentarea primei versiuni a teoremei de equipartiție.
↑ Maxwell, JC Illustrations of the Dynamical Theory of Gases // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell / WD Niven. - New York: Dover, 2003. - P. Vol. 1, pp. 377-409. — ISBN 978-0486495606 . Citit de prof. Maxwell la o reuniune a Asociației Britanice la Aberdeen pe 21 septembrie 1859 .
↑ Boltzmann, L. Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht (Câteva afirmații generale despre echilibrul termic) (germană) // Wiener Berichte : magazin. - 1871. - Bd. 63 . - S. 679-711 . (germană) În această lucrare preliminară, Boltzmann a arătat că energia cinetică totală medie este egală cu energia potențială totală medie atunci când forțele armonice externe acționează asupra sistemului.
↑ Boltzmann, L. Über die Natur der Gasmoleküle (Despre natura moleculelor de gaz) // Wiener Berichte. - 1876. - T. 74 . - S. 553-560 . (Limba germana)
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Mecanica statistică . - revizuit ed. a II-a - University Science Books, 2000. - pp . 91-128 .
↑ Petit, A. T. ; Dulong PL Recherches sur quelques points importants de la théorie de la chaleur (Studii asupra punctelor cheie în teoria căldurii) (franceză) // Annales de Chimie et de Physique :revistă. - 1819. - Vol. 10 . - P. 395-413 . Arhivat din original pe 22 ianuarie 2009. (fr.)
↑ Dewar, J. The Specific Heat of Carbon at High Temperatures // Philosophical Magazine : journal . - 1872. - Vol. 44 . - P. 461 .
↑ Weber, H.F. Die specifische Wärme des Kohlenstoffs (Căldura specifică a carbonului) (engleză) // Annalen der Physik : jurnal. - 1872. - Vol. 147 . - P. 311-319 . Arhivat din original pe 10 decembrie 2006. (Limba germana)
↑ Weber, HF Die specifische Wärmen der Elemente Kohlenstoff, Bor und Silicium (The specific heats of elemental carbon, bor, and silicon ) // Annalen der Physik : journal. - 1875. - Vol. 154 . - P. 367-423, 553-582 . (link indisponibil) (germană)
↑ de la Rive, A.; Marcet F. Quelques recherches sur la chaleur spécifique (Unele cercetări asupra căldurii specifice) (franceză) // Annales de Chimie et de Physique :revistă. - 1840. - Vol. 75 . - P. 113-144 . Arhivat din original pe 27 aprilie 2021. (fr.)
↑ Regnault, HV Recherches sur la chaleur spécifique des corps simples et des corps composés (deuxième Mémoire) (Studii ale căldurilor specifice ale corpurilor simple și compozite) (franceză) // Annales de Chimie et de Physique :revistă. - 1841. - Vol. 1 (3me Serie) . - P. 129-207 . Arhivat din original pe 13 aprilie 2013. (franceză) Citit la l'Académie des Sciences la 11 ianuarie 1841 .
↑ Wigand, A. Über Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme fester Elemente (Despre dependența de temperatură a căldurilor specifice ale solidelor ) // Annalen der Physik : jurnal. - 1907. - Vol. 22 . - P. 99-106 . (Limba germana)
↑ 1 2 Wüller, A. Lehrbuch der Experimentalphysik (Manual de fizică experimentală ) . - Leipzig: Teubner, 1896. - P. Vol. 2, 507 și urm. (Limba germana)
↑ 1 2 Eucken, A. Die Molekularwärme des Wasserstoffs bei tiefen Temperaturen (Căldura specifică moleculară a hidrogenului la temperaturi scăzute ) // Sitzungsberichte der königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften : jurnal. - 1912. - Vol. 1912 . - P. 141-151 . (Limba germana)
↑ 1 2 Maxwell, JC Despre evidența dinamică a constituției moleculare a corpurilor // Lucrările științifice ale lui James Clerk Maxwell / WD Niven. - Cambridge: At the University Press, 1890. - P. Vol. 2, pp. 418-438. Prelegere susținută de profesorul Maxwell Societății de Chimie la 18 februarie 1875 .
↑ 1 2 Kittel, C. Introducere în fizica stării solide. - New York: John Wiley and Sons , 1996. - S. 151-156.
↑ Boltzmann, L. Despre anumite întrebări ale teoriei gazelor // Natura . - 1895. - Vol. 51 . - P. 413-415 .
↑ Thomson, W. Baltimore Lectures. — Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1904. - S. Sec. 27. Retipărit în 1987 de MIT Press sub numele de Kelvin's Baltimore Lectures and Modern Theoretical Physics: Historical and Philosophical Perspectives (Robert Kargon și Peter Achinstein, editori). ISBN 978-0-262-11117-1
↑ Rayleigh, JWS Legea partiției energiei cinetice // Philosophical Magazine : journal . - 1900. - Vol. 49 . - P. 98-118 .
↑ Einstein, A. Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme (The Planck theory of radiation and theory of specific heat) // Annalen der Physik . - 1907. - T. 22 . - S. 180-190 . (Limba germana)
↑ Einstein, A. Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme' (Corectare la articolul precedent) (germană) // Annalen der Physik : magazin. - 1907. - Bd. 22 . — S. 800 . (Limba germana)
↑ Einstein, A. Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül (A connection between the elastic behavior and the specific heat of solids with single-atom molecules) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 34 . - S. 170-174 . Arhivat 20 mai 2020. (Limba germana)
↑ Einstein, A. Bemerkung zu meiner Arbeit: 'Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten and der spezifischen Wärme bei festen Körpern mit einatomigem Molekül' (Comentariu la articolul precedent) (germană) // Annalen der Physik : magazin. - 1911. - Bd. 34 . - S. 590 . Arhivat 20 mai 2020. (Limba germana)
↑ Einstein, A. Elementare Betrachtungen über die thermische Molekularbewegung in festen Körpern (Observații elementare asupra mișcărilor termice ale moleculelor în solide) // Annalen der Physik . - 1911. - T. 35 . - S. 679-694 . Arhivat din original pe 27 aprilie 2021. (Limba germana)
↑ Nernst, W. Untersuchungen über die spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen. II. (Investigații asupra căldurii specifice la temperaturi scăzute) // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: journal. - 1910. - Vol. 1910 . - P. 262-282 . (Limba germana)
↑ Hermann, Armin. Geneza teoriei cuantice (1899–1913) (engleză) . — titlu original: Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) , tradus de Claude W. Nash. - Cambridge, MA: The MIT Press , 1971. - P. 124-145 . - ISBN 0-262-08047-8 , .
↑ 1 2 3 Tolman, R. C. Principiile mecanicii statistice. - New York: Dover Publications , 1938. - pp. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
↑ Clausius, R. Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz (germană) // Annalen der Physik : magazin. - 1870. - Bd. 141 . - S. 124-130 . Arhivat din original pe 8 martie 2021. (germană)
Clausius, RJE Despre o teoremă mecanică aplicabilă căldurii // Philosophical Magazine, Ser. 4. - 1870. - T. 40 . - S. 122-127 .
↑ 1 2 L. Vu-Quoc, Integral de configurare (mecanica statistică) Arhivat 11 octombrie 2008. , 2008.
↑ McQuarrie, D. A. Statistical Mechanics . - revizuit ed. a II-a - University Science Books, 2000. - pp . 254-264 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ 1 2 Tolman, R. C. Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry . - Chemical Catalog Company, 1927. - P. 76-77.
↑ Terletskii, YP Statistical Physics. — tradus: N. Fröman. - Amsterdam: Olanda de Nord, 1971. - S. 83-84. - ISBN 0-7204-0221-2 , .
↑ Collins, GW The Virial Theorem in Stellar Astrophysics . — Pachart Press, 1978. Arhivat 4 decembrie 2010 la Wayback Machine
↑ Chandrasekhar, S. O introducere în studiul structurii stelare . - Chicago: University of Chicago Press , 1939. - P. 49-53.
↑ Kourganoff, V. Introduction to Advanced Astrophysics. — Dordrecht, Olanda: D. Reidel, 1980. - S. 59-60, 134-140, 181-184.
↑ Chiu, H.-Y. Stellar Physics, volumul I. - Waltham, MA: Blaisdell Publishing, 1968.
↑ Noyes, R.W. The Sun, Our Star . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1982. - ISBN 0-674-85435-7 .
↑ Ostlie, D.A.; Carroll BW O introducere în astrofizica stelar modernă . - Reading, MA: Addison-Wesley , 1996. - ISBN 0-201-59880-9 .
↑ Jeans, JH Stabilitatea unei nebuloase sferice // Phil . Trans. A : jurnal. - 1902. - Vol. 199 . - P. 1-53 . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 .
↑ 1 2 McQuarrie, D. A. Mecanica statistică . - revizuit ed. a II-a - University Science Books, 2000. - pp . 121-128 . — ISBN 978-1891389153 .
↑ Callen, HB Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics . - New York: John Wiley and Sons , 1985. - P. 375-377 . — ISBN 0-471-86256-8 .
↑ Arnold, VI ; Avez A. Théorie ergodique des systèms dynamiques. — Gauthier-Villars, Paris. (franceză) (ediție în engleză: Benjamin-Cummings, Reading, Mass. 1968), 1967.
↑ 1 2 Reichl, LE Un curs modern de fizică statistică. - Ed. a II-a .. - Wiley Interscience , 1998. - S. 326-333. — ISBN 978-0471595205 .
↑ 1 2 3 Einstein, A. Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (A Euristic Model of the Creation and Transformation of Light) (germană) // Annalen der Physik : magazin. - 1905. - Bd. 17 . - S. 132-148 . - doi : 10.1002/andp.19053220607 . (link indisponibil) (germană) . O traducere în engleză este disponibilă de la Wikisource .
↑ Rayleigh, JWS Remarks on the Law of Complete Radiation // Philosophical Magazine : journal . - 1900. - Vol. 49 . - P. 539-540 .

Literatură

K Huang . Mecanica Statistica. — Ed. a II-a. - John Wiley and Sons , 1987. - P. 136-138. — ISBN 0-471-81518-7 .
AI Khinchin . Fundamentele matematice ale mecanicii statistice / Per. G. Gamow . - New York: Dover Publications , 1949. - P. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .
L.D. Landau , E.M. Lifshitz . Fizica Statistică, Partea 1. - Ed. a III-a. - Pergamon Press , 1980. - P. 129-132. — ISBN 0-08-023039-3 .
F. Mandl. Fizica Statistică . - John Wiley and Sons , 1971. - P. 213-219 . - ISBN 0-471-56658-6 .
F. Mohling. Mecanica statistică: metode și aplicații. - John Wiley and Sons , 1982. - P. 137-139, 270-273, 280, 285-292. — ISBN 0-470-27340-2 .
RK Patria. Mecanica Statistica. - Pergamon Press , 1972. - P. 43-48, 73-74. — ISBN 0-08-016747-0 .
W. Pauli . Pauli Prelegeri de fizică: Volumul 4. Mecanica statistică. - MIT Press , 1973. - P. 27-40. — ISBN 0-262-16049-8 .
R. C. Tolman . Mecanica statistică, cu aplicații la fizică și chimie. - Chemical Catalog Company , 1927. - P. 72-81.
R. C. Tolman . Principiile mecanicii statistice. - New York: Dover Publications , 1938. - P. 93-98. - ISBN 0-486-63896-0 .

Link -uri

Applet Arhivat 6 august 2020 la Wayback Machine care demonstrează legea echipartiției în timp real pentru un amestec de gaze monoatomice și diatomice
Teorema de echipartiție în fizica stelară , scrisă de Nir J. Shaviv, profesor asociat la Institutul de Fizică Racah din Universitatea Ebraică din Ierusalim .