Automorfism

Automorfismul este un izomorfism între un obiect matematic și el însuși; o mapare care modifică un obiect, păstrând în același timp toate proprietățile sale originale. Mulțimea tuturor automorfismelor unui obiect formează grupul de automorfisme , care poate fi considerat ca o generalizare a grupului de simetrie al obiectului .

Definiția exactă a unui automorfism depinde de tipul de obiect matematic și de context. În algebra universală, un automorfism este definit ca un homomorfism bijectiv al unui sistem algebric asupra lui însuși. Maparea identităţii este uneori numită un automorfism banal ; în consecință, se spune că automorfismele neidentice sunt netriviale .

Un automorfism în teoria categoriilor este definit ca un endomorfism , care este, de asemenea, un izomorfism .

Dacă automorfismele unui obiect dintr-o categorie formează o mulțime , atunci ele formează un grup în raport cu operația de compunere a morfismelor - un grup de automorfisme (sau pur și simplu , dacă categoria este clară din context). $X$ $C$ $\operatorname {Aut} _{C}(X)$ $\operatorname {Aut}(X)$

Primul automorfism de grup binecunoscut descris este automorfismul de ordinul doi în icosian , descoperit de Hamilton în 1856 [1] .

Exemple

În teoria mulțimilor, o permutare arbitrară a elementelor unei mulțimi este un automorfism. Grupul automorfism mai este numit și grupul simetric pe . $X$ $X$ $X$

Mulțimea numerelor întregi , considerată ca un grup prin adunare, are un singur automorfism netrivial: luând opusul în semn. Cu toate acestea, considerat ca un inel , are doar un automorfism banal. În general, a lua opusul este un automorfism pentru orice grup abelian , dar nu pentru un inel sau un câmp. $\mathbb {Z}$

Un automorfism de grup este un izomorfism de grup al unui grup asupra lui însuși; „permutarea” elementelor grupului, în care structura rămâne neschimbată. Pentru fiecare grup există un homomorfism de grup natural a cărui imagine este grupul de automorfisme interioare și al cărui nucleu este centrul grupului . Astfel, dacă un grup a are un centru trivial , acesta poate fi încorporat într-un grup propriu de automorfism [2] . $G$ $G\to \operatorname {Aut} (G)$ $\operatorname{Inn}(G)$ $G$ $G$

În algebra liniară, un endomorfism de spațiu vectorial este un operator liniar . În acest context, un automorfism este un operator liniar reversibil pe . Când spațiul vectorial este de dimensiuni finite, grupul de automorfism este același cu grupul liniar general . (Structura algebrică constând din toate endomorfismele lui , este ea însăși o algebră peste același câmp cu , ale cărei elemente inversabile constau exact din .) $V$ $V\la V$ $V$ $V$ $\operatorname {GL} (V)$ $V$ $V$ $\operatorname {GL} (V)$

Un automorfism de câmp este un homomorfism inel bijectiv al unui câmp în sine. În cazul numerelor raționale și al numerelor reale , nu există automorfisme netriviale ale acestor câmpuri. Unele subcâmpuri au automorfisme non-triviale, care, totuși, nu se extind la toate (de exemplu, deoarece aceste automorfisme nu păstrează proprietatea unui număr de a avea rădăcină pătrată în ). În cazul numerelor complexe, există un singur automorfism non-trivial care se traduce în : conjugare complexă , dar există o mulțime infinită ( nenumărabilă ) de automorfisme „sălbatice” (presupunând axioma alegerii ) [3] [4] . Automorfismele de câmp sunt importante pentru teoria extensiilor de câmp , în special extensiile Galois . În cazul unei extensii Galois, subgrupul tuturor automorfismelor care fixează punctual se numește grupul Galois al extensiei. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $L/K$ $L$ $K$

Grupul de automorfisme de cuaternioni ( ) ca inele sunt automorfisme interioare după teorema Skolem-Noether : mapări de forma [5] . Acest grup este izomorf cu , grupul de rotații în spațiul tridimensional. $H$ $a\to bab^{-1}$ $\operatorname {SO} (3)$

Grupul de automorfism octonion ( ) este un grup excepțional de Lie G2 . $O$

Un rol important în teoria ordinii îl joacă un automorfism de ordine , un automorfism de mulțimi parțial ordonate care păstrează relația de ordine.

În teoria grafurilor, un automorfism de graf este o permutare a nodurilor care păstrează marginile și non-muchiile. În special, dacă două noduri sunt conectate printr-o muchie, atunci mapările lor după aplicarea automorfismului sunt de asemenea conectate printr-o muchie. În acest caz, automorfismul funcționează ca o renumerotare sau o permutare a vârfurilor unui graf.

În geometrie, un automorfism se numește mișcare a spațiului. Se folosește și terminologie specializată: în categoria suprafețelor Riemann , un automorfism este o mapare biholomorfă (numită și mapare conformă ) de la o suprafață pe ea însăși. De exemplu, automorfismele sferei Riemann sunt transformări Möbius . Un automorfism al unei varietăți diferențiabile este un difeomorfism din în sine. Grupul de automorfism este uneori notat cu . $M$ $M$ $\operatorname {Diff} (M)$

În topologie, morfismele dintre spațiile topologice sunt numite mapări continue , iar un automorfism al unui spațiu topologic este un homeomorfism al unui spațiu în sine. Acesta este un exemplu al faptului că nu este întotdeauna suficient ca un morfism să fie bijectiv pentru a fi izomorfism.

Automorfisme interioare și exterioare

În unele sisteme algebrice, inclusiv grupuri , inele și algebre Lie , automorfismele pot fi împărțite în două tipuri - interior și exterior.

În cazul grupurilor, automorfismele interioare sunt conjugări prin intermediul elementelor grupului însuși. Pentru fiecare element al grupului, conjugarea cu este o operație definită ca (sau ; depinde de sursă). Este ușor de verificat că conjugarea cu este un automorfism de grup. Automorfismele interne formează un subgrup normal al grupului , notat cu ; aceasta este descrisă de lema lui Goursat . $A$ $G$ $A$ $\phi _{a}:G\to G$ $\phi _{a}(g)=aga^{-1)$ $a^{-1}ga$ $A$ $\operatorname {Aut} (G)$ $\operatorname{Inn}(G)$

Automorfismele rămase se numesc automorfisme exterioare. Un grup de factori este de obicei notat ; elementele netriviale sunt seturi care conțin automorfisme exterioare. $\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)$ $\operatorname{Out}(G)$

Aceeași definiție are sens în orice inel cu o unitate sau într- un câmp în care orice element este inversabil . Pentru algebrele Lie, definiția este ușor diferită.

Literatură

↑ Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum privind un nou sistem de rădăcini ale unității” (PDF) . Revista Filosofică . 12 :446.
…deci aceasta este o nouă a cincea rădăcină a unității, conectată cu fosta a cincea rădăcină prin relații de reciprocitate perfectă. $\mu$ $\lambda$
↑ PJ Pahl, R Damrath. §7.5.5 Automorfisme // Fundamentele matematice ale ingineriei computaţionale . — traducere Felix Pahl. - Springer, 2001. - P. 376 . — ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Yale, Paul B. (mai 1966). „Automorfismele numerelor complexe” (PDF) . Revista de matematică . 39 (3): 135-141. DOI : 10.2307/2689301 . JSTOR 2689301 .
↑ Lounesto, Pertti. Algebre și spinori Clifford . — al 2-lea. - Cambridge University Press, 2001. - P. 22-23 . - ISBN 0-521-00551-5 .
↑ Handbook of Algebra , vol. 3, Elsevier , 2003, p. 453

Link -uri

Artamonov V. A. . Capitolul VI. Algebre universale // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Un sistem de automorfism algebric este un articol din Encyclopedia of Mathematics . D. M. Smirnov
Plotkin BI Grupuri de automorfism de sisteme algebrice. — M .: Nauka , 1966. — 603 p. - 6000 de exemplare.