Ipoteza lui Firuzbekht

Conjectura lui Firuzbekht [1] [2] este o presupunere despre distribuția numerelor prime . Conjectura poartă numele matematicianului iranian Farida Firuzbakht (1962-2019) de la Universitatea din Isfahan, care a propus-o în 1982.

Enunț de ipoteză

Conjectura afirmă că (unde este al n -lea număr prim) este o funcție strict descrescătoare a lui n , i.e. $p_{n}^{1/n}$ $p_n$

{\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n))))

pentru toți

n\geqslant 1.

Echivalent:

p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}))

pentru toți

n\geqslant 1,

vezi secvenţele A182134 , A246782 .

Confirmarea ipotezei

Folosind tabelul intervalelor maxime , Farida Firuzbakht și-a testat ipoteza până la 4.444⋅10 12 [2] . Cu un tabel extins de intervale maxime, conjectura a fost testată pentru toate numerele prime până la [3] [4] . $10^{19}$

Relația cu alte ipoteze

Dacă ipoteza este adevărată, atunci funcția intervalelor dintre numere prime trebuie să satisfacă inegalitatea [5] $g_{n}=p_{n+1}-p_{n)$

g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n)

pentru toți

n>4.

Mai mult [6] ,

g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1

pentru toți

n>9,

vezi și secvența A111943 . Conjectura este printre cele mai puternice ipoteze despre limitele superioare pentru intervalele dintre numere prime, este chiar ceva mai puternică decât conjecturile lui Cramer și Shanks [4] . Conjectura implică o formă puternică a conjecturii Cramer și, prin urmare, este incompatibilă cu euristica lui Granville, Pintz [7] [8] [9] și Mayer [10] [11] , care presupun că

g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}

apare de nenumărate ori pentru oriunde indică constanta Euler-Mascheroni . $\varepsilon >0,$ $\gamma$

Două ipoteze înrudite (vezi comentariile secvenței A182514 )

\left({\frac {\log p_{n+1}}{\log p_{n}}}\right)^{n}<e,

care este ceva mai slabă și

\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log n

pentru toți

n>5,

care este mai puternic.

Vezi și

Teorema numerelor prime

Link -uri

Hans Riesel. Numerele prime și metodele computerizate pentru factorizare , ediția a doua . — Birkhauser, 1985. - ISBN 3-7643-3291-3 .

Literatură

Paul Ribenboim. Mica carte a primelor mai mari ediția a doua . - 2004. - ISBN 0-387-20169-6 .
Carlos Rivera. Conjectura 30. Conjectura Firoozbakht . — 2012.
Granville A. Harald Cramér și distribuția numerelor prime (engleză) // Scandinavian Actuarial Journal. - 1995. - Vol. unu.
Andrew Granville. Nereguli neașteptate în distribuția numerelor prime (engleză) // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. - 1995. - Vol. unu.
Janos Pintz. Cramer vs. Cramér: Pe modelul probabilistic al lui Cramér pentru numere prime // Funct . Aproximativ. cometariu. Matematică.. - 2007. - Vol. 37 , iss. 2 .
Leonard Adleman , Kevin McCurley. Probleme deschise în complexitatea teoretică a numerelor, II. Teoria algoritmică a numerelor (Ithaca, NY, 1994 ) . - Berlin: Springer, 1994. - Vol. 877.- (Lecture Notes in Comput. Sci.).
Helmut Mayer. Prime în intervale scurte // The Michigan Mathematical Journal. - 1985. - Vol. 32 , iss. 2 . — ISSN 0026-2285 . - doi : 10.1307/mmj/1029003189 .
Alexei Kurbatov. Lacunele principale : Conjectura Firoozbakht . — 2018.
Nilotpal Kanti Sinha. Pe o nouă proprietate a primelor care duce la o generalizare a conjecturii lui Cramer . - 2010. - arXiv : 1010.1399 .
Alexei Kurbatov. Limite superioare pentru golurile prime legate de conjectura lui Firoozbakht (engleză) // Journal of Integer Sequences. - 2015. - Vol. 18. - arXiv : 1506.03042 .

Note

↑ Ribenboim, 2004 , p. 185.
↑ 12 Rivera , 2012 .
↑ Lacune între numere prime consecutive . Preluat la 25 martie 2018. Arhivat din original la 10 septembrie 2012.
↑ 12 Kourbatov , 2018 .
↑ Sinha, 2010 , p. 1–10.
↑ Kourbatov, 2015 .
↑ Granville, 1995 , p. 12–28.
↑ Granville, 1995 , p. 388–399.
↑ Pintz, 2007 , p. 232–471.
↑ Adleman, McCurley, 1994 , p. 291–322.
↑ Maier, 1985 , p. 221–225.

Ipoteze despre numere prime
Ipoteze	Hardy - Littlewood Ago - Jugi Andritsy Artina Ipoteza Bateman-Horn Brocard Bunyakovsky Ipoteza chineză Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Probleme Landau Goldbach Legendre Numerele gemene Legendre constantă Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Ipoteza H Waringa

Clasele numerelor prime
Conform formulei	Fermă (2 2 n + 1) Mersenne (2 p ? 1) Mersenne dublă (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Factorial ( n ! ± 1) Primaria ( p n # ± 1) Euclid ( p n # + 1) Pitagora ( 4n + 1) Pierpont (2 u •3 v + 1) Quartan ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n •2 n + 1) Woodall ( n •2 n ? 1) Cubic ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Kenya (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Mori (pardosea( A 3 n ))
Secvențe	Fibonacci Luca Pella Newman-Shanks-Williams Perrina Împărțirea unui număr Bella • Motzkina
După proprietăți	Viferikha pereche Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm Wilson Fericit Fortunovs Ramanujan Pillai Regulat puternic rautacios Supersingular (curbe eliptice) Supersingular (teoria monstruoasă a nonsensului) Bun Supersimplu Higgs Cotient ridicat
Dependent de sistemul numeric	mulțumit diedru palindromic Eotsorp Reunește (10 n ? 1)/9 Permutațional Inel trunchiată Strobograme Minim Slab simplu Complet repetat Unic primordial auto-a generat Smarandsha - Wellena
Modele	Gemeni ( p , p + 2) Un lanț de gemeni ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Triplul numerelor prime ( p , p + 2 sau p + 4, p + 6) Cvadruplu de numere prime ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tuplu Înrudite ( p , p + 4) Diferă cu 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( p , 2 p + 1) Lanțuri Cunningham ( p , 2 p ± 1, …) Sigur ( p , ( p ? 1)/2) Progresii ( p + a•n , n = 0, 1, …) Echilibrat (consecutiv p ? n , p , p + n )
La dimensiune	Titanic (+1.000 de caractere) Uriaș (10.000+) Megasimple (1.000.000+) Cel mai mare cunoscut
Numere complexe	Primele Eisenstein Primele gaussiene
Numerele compuse	Pseudosimple Aproape simplu Semisimplu Intersimple
subiecte asemănătoare	Probabil simplu Industrial ilegal Formula numărului prim Intervale între numere prime