Grup de ornamente

Grupul de ornament (sau grupul de simetrie plană , sau grupul cristalografic plat ) este o clasificare matematică a modelelor repetate bidimensionale bazate pe simetrii . Astfel de modele se găsesc adesea în arhitectură și artele decorative . Există 17 grupuri diferite posibile .

Grupurile de ornamente sunt grupuri de simetrie bidimensionale , intermediare ca complexitate între grupurile marginale și grupurile cristalografice tridimensionale (numite și grupuri spațiale ).

Introducere

Grupurile de modele clasifică modelele în funcție de simetria lor. Diferențele subtile ale modelelor similare pot duce la alocarea modelelor unor grupuri diferite, în timp ce modelele care sunt substanțial diferite ca stil, culoare, scară sau orientare pot aparține aceluiași grup.

Luați în considerare următoarele exemple:

Exemplele A și B au același grup de modele, care se numește p 4 m în notația IUC și *442 în orbi - valori . Exemplul C are un alt grup de modele numit p 4 g sau 4*2 . Faptul că A și B au același grup înseamnă că aceste ornamente au aceleași simetrii, indiferent de detaliile modelelor, în timp ce C are un set diferit de simetrii în ciuda similitudinii exterioare.

O listă completă a tuturor celor șaptesprezece grupuri de ornamente posibile poate fi găsită mai jos.

Simetrii de model

Simetria unui model este, aproximativ vorbind, o modalitate de a transforma un model în așa fel încât să arate exact la fel după transformare ca și înainte de transformare. De exemplu, simetria translației paralele este prezentă dacă, cu o anumită deplasare ( translație paralelă ), modelul este aliniat cu el însuși. Imaginați-vă că mutați dungi verticale (de aceeași lățime) orizontal cu o dungă, modelul rămâne același. Strict vorbind, adevărata simetrie există doar pentru modelele care se repetă exact și la nesfârșit. Un set de, să zicem, doar cinci dungi nu are simetrie de transfer paralelă - atunci când este deplasat, o dungă pe o parte „dispare” și o nouă dungă este „adaugă” pe cealaltă parte.

Uneori sunt posibile două moduri de clasificare a unui model, unul bazat exclusiv pe formă, iar celălalt folosind colorare. Dacă culorile sunt ignorate, modelul poate avea mai multă simetrie. Printre mozaicurile alb-negru, se numără și 17 grupuri de ornamente. De exemplu, o țiglă colorată este echivalentă cu o țiglă alb-negru cu un „cod de bare” cu coduri de culoare, simetric radial, în centrul de masă al fiecărei plăci.

Tipurile de transformări considerate aici se numesc mișcări . De exemplu:

Cu toate acestea, exemplul C este diferit . Are reflexii doar despre direcțiile orizontale și verticale, dar nu și despre axele diagonale. Dacă răsturnăm modelul în jurul axei diagonale, nu vom obține același model. Vom obține modelul original deplasat cu o anumită distanță. Acesta este unul dintre motivele pentru care grupul de modele A și B este diferit de grupul de modele C.

O altă transformare este simetria privirii , o combinație de reflecție și translație de-a lungul axei de reflexie.

Istorie

Dovada că există doar 17 modele posibile a fost făcută mai întâi de Evgraf Stepanovici Fedorov în 1891 [1] și apoi, independent, de Gyorgy Poya în 1924 [2] . Dovada că lista grupelor ornamentale este completă a venit abia după ce s-a făcut acest lucru pentru cazul mult mai complicat al grupelor cristalografice.

Definiție

Grupul ornamental, sau grupul cristalografic plat , este o acțiune cocompactă izometrică complet discontinuă a grupului pe planul euclidian (cocompactitatea este echivalentă cu faptul că acțiunea conține două translații paralele liniar independente ).

Două astfel de grupuri de izometrii au același tip (același grup de ornamente) dacă sunt transformate unul în celălalt sub o transformare afină a planului.

Deci, de exemplu, deplasarea întregului model (și, prin urmare, transferul axelor de reflexie și al centrelor de rotație) nu afectează grupul de ornamente. Același lucru este valabil și pentru schimbarea unghiului dintre vectorii de translație paraleli, cu condiția ca aceasta să nu aibă ca rezultat adăugarea sau dispariția vreunei simetrii (acest lucru este posibil numai în cazul în care nu există simetrie în oglindă și simetrii de alunecare , iar simetria de rotație are o ordin de maxim 2).

Note

Discuție de definiție

Izometriile planului euclidian

Izometriile planului euclidian se împart în patru categorii (a se vedea articolul Izometria planului euclidian pentru mai multe informații).

Condiția pentru independența traducerilor paralele

Condiția independenței liniare a translațiilor paralele înseamnă că există vectori v și w liniar independenți (în R2 ) astfel încât grupul conține atât Tv cât și Tw .

Scopul acestei condiții este de a separa grupurile ornamentale de grupurile de frize , care au o translație paralelă, dar nu două liniar independente, și de grupurile de puncte discrete bidimensionale , care nu au deloc translații paralele. Cu alte cuvinte, grupurile ornamentale reprezintă un model care se repetă în două direcții diferite, spre deosebire de grupurile de frontieră, care se repetă doar de-a lungul unei axe.

(Putem generaliza această situație. Am putea, de exemplu, să studiem grupuri de izometrie discrete R n cu m translații paralele liniar independente, unde m este orice număr întreg în intervalul 0 ≤  m  ≤  n .)

Condiția pentru discontinuitate completă

Condiția de a fi complet discontinuu (numit uneori discret) înseamnă că există un număr real pozitiv ε astfel încât pentru orice translație paralelă T v din grup, vectorul v are lungimea de cel puțin ε (cu excepția, desigur, pentru cazul vector zero v ).

Scopul acestei condiții este de a se asigura că grupul are o zonă fundamentală compactă , sau cu alte cuvinte, o „celulă” cu o zonă finită diferită de zero care se repetă în plan (ca un model). Fără această condiție, putem obține, de exemplu, un grup care conține o translație paralelă T x pentru orice număr rațional x , care nu corespunde niciunui model ornamental acceptabil.

O consecință importantă și netrivială a condiției de discretitate în combinație cu condiția de independență a translațiilor paralele este că un grup poate conține doar rotații de ordinul 2, 3, 4 sau 6. Adică, orice rotație în grup trebuie să fie o rotație de 180°, 120°, 90° sau 60°. Acest fapt este cunoscut sub numele de teorema constrângerilor cristalografice , iar această teoremă poate fi generalizată la cazuri de dimensiuni mai mari.

Notație

Notație cristalografică

Există 230 de grupuri cristalografice diferite în cristalografie , mai mult de 17 grupuri ornamentale, dar multe dintre simetriile grupurilor sunt aceleași. Astfel, este posibil să se folosească notație similară pentru ambele tipuri de grupuri, notația lui Carl Hermann și Charles-Victor Maugin . Un exemplu de nume complet al unui ornament în stilul lui Hermann-Mogen (denumirile sunt numite și „Denotațiile Uniunii Internaționale a Cristalografilor”, IUC ) - p 31 m cu patru litere și numere. De obicei se folosește un nume prescurtat, cum ar fi cmm sau pg .

Pentru grupurile de ornamente, denumirea completă începe cu p (din celulă primitivă - celulă elementară ) sau c (din celulă centrată pe față - celulă centrată pe față). Ele vor fi explicate mai jos. Litera este urmată de cifra n , care indică cel mai înalt ordin de simetrie de rotație - 1 ori (nici unul), 2 ori, 3 ori, 4 ori sau 6 ori. Următoarele două caractere denotă simetrii în raport cu una dintre axele de translație paralele, care este considerată a fi „principalul”. Dacă există o simetrie în oglindă perpendiculară pe axa de translație paralelă, alegeți această axă ca principală (dacă sunt două, alegeți oricare dintre ele). Caracterele sunt m , g sau 1 , pentru simetrie în oglindă, simetrie de alunecare sau fără simetrie. Axa de simetrie în oglindă sau simetrie de alunecare este perpendiculară pe axa principală pentru prima literă și fie paralelă, fie înclinată cu 180°/ n (dacă n  > 2) pentru a doua literă. Multe grupuri includ alte simetrii. Notația scurtă renunță la cifre sau m dacă este definită logic, cu excepția cazului în care provoacă confuzie cu alte grupuri.

O celulă primitivă este o zonă minimă repetată printr-o translație paralelă de-a lungul grilei. Toate grupurile de simetrie ornamentale, cu excepția a două, sunt descrise de axele celulelor primitive, o bază de coordonate folosind vectorii de translație paraleli ai rețelei. În celelalte două cazuri, simetria este descrisă de celule centrate, care sunt mai mari decât celulele primitive și, prin urmare, au repetiție internă. Direcțiile laturilor lor sunt diferite de direcțiile vectorilor de translație paraleli. Notația Hermann-Mogen pentru cristalele grupărilor cristalografice utilizează tipuri de celule suplimentare.

Exemple

Nume a căror formă scurtă și completă sunt diferite.

Nume cristalografice scurte și complete
Un scurt p2 _ p.m pg cm pmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
Complet p . 211 p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p4gm _ _ p 6 mm

Numele rămase sunt p 1 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 și p 6 .

Notații Orbio

Denumirea orbi pentru grupurile ornamentale, popularizată de John Conway , se bazează nu pe cristalografie, ci pe topologie. Considerăm coeficientul orbifold al planului prin acțiunea grupului de ornament și îl descriem cu ajutorul mai multor simboluri.

Se consideră un grup cu notație cristalografică cmm . În notația lui Conway, acesta ar fi 2*22 . Cele 2 din fața * spune că avem un centru de rotație de 2x, fără oglinzi să treacă prin el. * Însuși * spune că avem o oglindă. Primele 2 după * indică faptul că avem un centru de rotație de 2x pe oglindă. Finalul 2 spune că avem un al doilea centru independent de rotație de două ori pe oglindă, care nu dublează primul centru la simetrii.

Un grup etichetat pgg va avea notația de 22× a lui Conway . Avem două centre simple de rotație de două ori și o axă de simetrie de alunecare. În contrast cu acest grup este grupul pmg , cu simbolul Conway 22* , în care notația cristalografică menționează o simetrie de privire, dar una care este implicată de celelalte simetrii ale orbifoldului.

Notația paranteze Coxeter este de asemenea inclusă. Se bazează pe grupul Coxeter și este modificat cu un plus (în superscript) pentru rotații, rotații necorespunzătoare și translații paralele.

Corespondența dintre notația Conway, Coxeter și notația cristalografică
Conway o ×× *** ** 632 *632
coxeter [∞ + ,2,∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Cristalografice p1 _ pg cm p.m p6 _ p 6 m
Conway 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
coxeter [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Cristalografice p 3 p 3 m 1 p 31 m p 4]] p 4 m p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * *2222 2 *22
coxeter [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Cristalografice p2 _ pgg pmg pmm cmm

De ce sunt exact șaptesprezece grupuri

Un orbifold poate fi gândit ca un poligon cu o față, muchii și vârfuri care pot fi extinse pentru a forma un set posibil infinit de poligoane care țiglă întreaga sferă , plan sau plan hiperbolic . Dacă un poligon plăcuiește un plan, dă un grup de ornamente, iar dacă o sferă sau un plan hiperbolic, atunci un grup de simetrie sferică sau un grup de simetrie hiperbolică . Tipul de spațiu din plăcile poligonului poate fi găsit prin calcularea caracteristicii lui Euler , χ  =  V  −  E  +  F , unde V este numărul de colțuri (de vârfuri), E este numărul de muchii și F este numărul de fețe. Dacă caracteristica Euler este pozitivă, atunci orbifoldul are o structură eliptică (sferică). Dacă caracteristica Euler este egală cu zero, are o structură parabolică, adică este un grup de ornamente. Dacă caracteristica lui Euler este negativă, atunci orbifoldul are o structură hiperbolică. Când au fost enumerate toate orbifoldurile posibile, s-a constatat că doar 17 aveau caracteristica Euler 0.

Când un orbifold este copiat pentru a umple un plan, elementele sale creează o structură de vârfuri, muchii și fețe care trebuie să satisfacă caracteristica lui Euler. Prin inversarea procesului, putem atribui numere elementelor orbifoldului, dar mai degrabă fracțional decât întreg. Deoarece orbifoldul în sine este grupul de coeficient al suprafeței complete în raport cu grupul de simetrie, caracteristica Euler a orbifoldului este coeficientul de împărțire a caracteristicii Euler a suprafeței la ordinea grupului de simetrie.

Caracteristica Euler a unui orbifold este 2 minus suma valorilor elementelor alocate după cum urmează:

Pentru un grup de ornamente, suma pentru caracteristica Euler trebuie să fie zero, deci suma valorilor elementelor trebuie să fie 2.

Exemple

Acum enumerarea tuturor grupurilor de ornamente este redusă la aritmetică, o listă de seturi de elemente care se adună până la 2.

Seturile de elemente cu o sumă diferită nu sunt lipsite de sens. Ele conțin teselații neplanare, despre care nu le discutăm aici. (Dacă caracteristica lui Euler a unui orbifold este negativă, tiling-ul este hiperbolic ; dacă este pozitiv, tiling-ul este fie sferic , fie rău ).

Un ghid pentru recunoașterea grupurilor de ornamente

Pentru a înțelege ce grup de ornamente corespunde unui anumit mozaic, puteți folosi următorul tabel [3] .

Dimensiunea minimă
a virajului		 Are reflexii?
da Nu
360° / 6 p6m ( *632 ) p6 (632)
360° / 4 Are oglinzi la un unghi de 45°? p 4 (442)
Da: p 4 m (*442) Nu: p 4 g (4*2)
360° / 3 Are centre de întoarcere în afara oglinzilor? p 3 (333)
Da: p 31 m (3*3) Nu: p 3 m 1 (*333)
360° / 2 Are reflexii perpendiculare? Are simetrie de alunecare?
da Nu
Are centre de întoarcere în afara oglinzilor? pmg (22*) Da: pgg (22×) Nr: p 2 (2222)
Da: cmm (2*22) Nu: pmm (*2222)
Fara viraje Are axele glisante în afara oglinzilor? Are simetrie de alunecare?
Da: cm (*×) Nu: pm (**) Da: pg (××) Nu: p 1 (o)

Vezi și Această prezentare generală cu diagrame .

Şaptesprezece grupuri cristalografice plate

Fiecare dintre grupurile din această secțiune are două diagrame de structură celulară, fiecare dintre acestea fiind interpretată după cum urmează (forma este importantă aici, nu culoarea):

centrul de rotație de ordinul doi (180°).
centrul de rotație de ordinul trei (120°).
centrul de rotație de ordinul patru (90°).
centrul de rotație de ordinul șase (60°).
axa de reflexie.
axa de simetrie de alunecare.

În partea dreaptă a diagramei, diferite clase de echivalență ale elementelor de simetrie sunt colorate (și rotite) diferit.

Zonele maro sau galbene indică zona fundamentală , adică cea mai mică parte care se repetă a modelului.

Diagramele din dreapta arată celula grilei corespunzătoare celei mai mici translații paralele. În stânga arată uneori o zonă mare.

Grupa p 1 (o)

Structuri celulare pentru p 1 după tipul de rețea

oblic
Hexagonal

Dreptunghiular
Rombic
Pătrat
Grupa p 1 exemple

Cele două transferuri paralele (laturile celulei) pot avea lungimi diferite și pot forma orice unghi.

Grupa p 2 (2222)

Structuri celulare pentru p 2 pe tipuri de rețele

oblic
Hexagonal

Dreptunghiular
Rombic
Pătrat
Grupa p 2 exemple

Grupa pm (**)

Structura celulară pentru pm

Reflexia orizontala
Reflexie verticală
exemple de grup pm

(Primele trei au axe verticale de simetrie, iar ultimele două au axe diagonale.)

Grup pg (××)

Structuri celulare pentru pg

Schimbări orizontale
Schimbări verticale
Dreptunghiular
pg exemple de grup

Fără a lua în considerare detaliile din interiorul zig-zagului, covorașul este pmg . Dacă luăm în considerare detaliile din interiorul zig-zagului, dar nu facem distincție între dungi maro și negre, obținem pgg .

Dacă marginile ondulate ale plăcilor sunt ignorate, pavajul este pgg .

Grupa cm (*×)

Structura celulară pentru cm

Reflexia orizontala
Reflexie verticală
Rombic
cm exemple de grup

Grupa pmm (*2222)

Structura celulară pentru pmm

dreptunghiular
pătrat
exemple de grup pmm

grup pmg (22*)

Structuri celulare pentru pmg

Reflexii orizontale
Reflexii verticale
exemple de grup pmg

Grup pgg (22×)

Structura celulară pentru pgg după tipul de rețea

Dreptunghiular
Pătrat
exemple de grup pgg

Grupa cmm (2*22)

Structuri celulare pentru cmm după tipul de rețea

Rombic
Pătrat

Simetriile de rotație de ordinul 2, cu centrele de rotație la centrele laturilor rombului, sunt o consecință a altor proprietăți.

Potriviri de model:

exemple de grup cmm

Grupa p 4 (442)

Grupa p 4 exemple

Modelul p 4 poate fi văzut ca o repetiție în rânduri și coloane a unei plăci pătrate cu simetrie de rotație de 4 ori. Poate fi văzută și ca o tablă de șah cu două astfel de plăci mai mici cu un factor de 4 și rotite cu 45°.

Grupa p 4 m (*442)

Aceasta corespunde unei rețele dreptunghiulare de rânduri și coloane de pătrate identice cu patru axe de simetrie. Acest lucru corespunde, de asemenea, modelului de șah a două astfel de pătrate.

Exemple de grup p 4 m

Exemplele sunt prezentate cu cea mai mică translație paralelă orizontală și verticală (ca în diagramă):

Exemple cu cea mai mică translație diagonală paralelă:

Grupa p 4 g (4*2)

Modelul p 4 g poate fi privit ca un aranjament în șah de copii de plăci pătrate cu simetrie de rotație de 4 ori și imaginile lor în oglindă. Alternativ, modelul poate fi vizualizat (atunci când este deplasat cu o jumătate de țiglă) ca un aranjament în șah de copii ale plăcilor simetrice orizontal sau vertical și versiunile lor rotite la 90°. Rețineți că ambele moduri de a-l privi nu sunt aplicabile unui model simplu de șah de plăci alb-negru, în acest caz este un grup p 4 m (cu translație paralelă diagonală a celulelor).

Exemple de grup p 4 g

Grupa p 3 (333)

Imaginează-ți o placare a planului cu triunghiuri echilaterale de aceeași dimensiune cu o latură corespunzătoare celei mai mici translații paralele. Atunci jumătate din triunghiuri au aceeași orientare, iar cealaltă jumătate este simetrică. Grupul de modele corespunde cazului în care toate triunghiurile de aceeași orientare sunt egale, în timp ce ambele tipuri au simetrie rotațională de ordinul trei, dar cele două nu sunt egale, nu sunt imagini în oglindă unul cu celălalt și ambele nu sunt simetrice (dacă ambele tipurile sunt egale, avem p 6 , dacă sunt imagini în oglindă unul cu celălalt, avem p 31 m , dacă ambele tipuri sunt simetrice, avem p 3 m 1 , dacă două dintre aceste trei proprietăți sunt valabile, atunci este valabil și a treia , și obținem p 6 m ). Pentru un model dat, sunt posibile trei dintre aceste plăci, fiecare cu centre de rotație la vârfuri, adică două deplasări sunt posibile pentru orice plăci. În termeni de desen: vârfurile pot fi triunghiuri roșii, albastre sau verzi.

În mod echivalent, imaginați-vă o placare a planului cu hexagoane regulate cu o latură egală cu cea mai mică translație paralelă împărțită la √3. Atunci acest grup de imagini de fundal corespunde cazului în care toate hexagoanele sunt egale (și au aceeași orientare) și au o simetrie de rotație de ordinul trei, dar nu există o reflexie în oglindă (dacă au o simetrie de rotație de ordinul șase, obținem p 6 dacă există o simetrie față de diagonala principală, avem p 31 m , dacă există simetrie față de liniile perpendiculare pe laturi, avem p 3 m 1 ; dacă două dintre aceste trei proprietăți sunt valabile, atunci a treia de asemenea tine si avem p 6 m ). Pentru o imagine dată, există trei plăci, fiecare obținută prin plasarea centrelor hexagoanelor în centrele de rotație ale modelului. În ceea ce privește desenul, triunghiurile roșii, albastre și verzi pot fi centrele hexagonului.

Grupa p 3 exemple

Grupa p 3 m 1 (*333)

Ca și grupul p 3 , imaginați-vă un plan cu triunghiuri echilaterale de aceeași dimensiune, cu o latură egală cu cea mai mică cantitate de translație paralelă. Apoi jumătate din triunghiuri au o orientare, iar cealaltă jumătate au orientarea opusă. Acest grup de imagini de fundal corespunde cazului în care toate triunghiurile de aceeași orientare sunt egale. Ambele tipuri au o simetrie de rotație de ordinul trei, ambele tipuri sunt simetrice, dar nu sunt egale și nu sunt imagini în oglindă unul cu celălalt. Pentru o imagine dată, sunt posibile trei teselații, fiecare având vârfuri la centrele de rotație. În termeni de desen, vârfurile pot fi triunghiuri roșii, albastru închis sau verzi.

Exemple de grup p 3 m 1

Grupa p 31 m (3*3)

În ceea ce privește p 3 și p 3 m 1 , imaginați-vă o placare a planului prin triunghiuri echilaterale de aceeași dimensiune, cu o latură egală cu cea mai mică translație paralelă. Apoi jumătate din triunghiuri au o orientare, iar cealaltă jumătate au orientarea opusă. Grupul de tapet corespunde cazului în care toate triunghiurile de aceeași orientare sunt egale, în timp ce ambele tipuri au simetrie de rotație de ordinul trei și fiecare este o imagine în oglindă a celuilalt, dar triunghiurile nu sunt nici simetrice, nici egale cu ele însele. Pentru o anumită imagine este posibilă o singură placare. În termeni de desen, triunghiurile albastru închis nu pot fi vârfuri.

Exemple de grup p 31 m

Grupa p 6 (632)

Un model cu această simetrie poate fi considerat o placare a planului cu plăci triunghiulare egale cu simetrie C 3 sau, echivalent, o placare a planului cu plăci hexagonale egale cu simetrie C 6 (în care marginile plăcilor nu fac neapărat parte din modelul).

Grupa p 6 exemple

Grupa p 6 m (*632)

Un model cu această simetrie poate fi gândit ca o placare pe un plan cu plăci triunghiulare egale cu simetrie D 3 sau, echivalent, o placare a planului cu plăci hexagonale egale cu simetrie D 6 (marginile plăcilor nu sunt neapărat parte a tiparului). Cele mai simple exemple sunt o rețea hexagonală cu sau fără linii de legătură și o placare hexagonală cu o culoare pentru contururile hexagoanelor și alta pentru fundal.

Exemple de grup p 6 m

Tipuri de zăbrele

Există cinci tipuri de zăbrele ( zăbrele curajoase ), care corespund celor cinci grupuri de ornamente ale zăbrelelor în sine. Un grup de ornamente tip model cu această rețea de simetrie de translație paralelă nu poate avea mai multe, dar poate avea mai puține, simetrii decât rețeaua în sine.

Grupuri de simetrie

Grupul de simetrie propriu-zis trebuie distins de grupul de ornamentație. Grupurile de ornamente sunt un set de grupuri de simetrie. Există 17 astfel de mulțimi, dar pentru fiecare mulțime există infinite grupuri de simetrie în sensul grupurilor de izometrie reale. Ele depind, separat de grupul de ornamente, de numărul de parametri ai vectorilor de transfer paraleli, de orientarea și poziția axelor de simetrie a oglinzii și a centrelor de rotație.

Numărul de grade de libertate este:

Cu toate acestea, în cadrul fiecărui grup de ornament, toate grupurile de simetrie sunt izomorfe din punct de vedere algebric.

Câteva izomorfisme ale grupurilor de simetrie:

Dependența grupurilor de ornamente în timpul transformărilor

Rețineți că, dacă o transformare reduce simetria, o transformare de același fel (inversa) crește evident simetria pentru același model. Această proprietate a unui model (de exemplu, extinderea într-o direcție dă un model cu simetrie cvadruplă) nu este considerată un tip de simetrie suplimentară.

Schimbarea culorilor nu afectează grupul de ornament dacă oricare două puncte care au aceeași culoare înainte de schimbare vor avea și ele aceeași culoare după schimbare și dacă oricare două puncte care au culori diferite înainte de schimbare vor avea culori diferite după schimbare.

Dacă primul se menține și cel din urmă nu, ca în cazul unei turnări alb/negru, simetriile vor fi păstrate, dar pot fi mărite astfel încât grupul de tapet să se schimbe.

Site-uri web și software

Unele produse software vă permit să creați modele bidimensionale folosind grupuri de simetrie ornamentale. De obicei, puteți edita țigla originală și toate copiile țiglei din model sunt actualizate automat.

Vezi și

Note

  1. ↑ Fedorov, 1891 , p. 245-291.
  2. ↑ Polonia, 1924 , p. 278–282.
  3. ↑ Radaelli, 2011 .
  4. ↑ Acest lucru ajută la tratarea pătratelor ca pe fundal, apoi vedem modele simple de rânduri de diamante.

Literatură

Link -uri

 mozaicuri geometrice
Periodic
Aperiodic
Alte
Prin configurarea vârfurilor
Sferic
Corect
semi
-corect
hiperbolic
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3,7) 2
  • (3,8) 2
  • 3.14 2
  • 3.16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4,5) 2
  • (4,6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4,7) 2
  • (4,8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6,8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7.6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2