Problema Sturm-Liouville

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 aprilie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Problema Sturm-Liouville , numită după Jacques Charles Francois Sturm și Joseph Liouville , este de a găsi soluții non-triviale (adică diferite de zeroul identic) pe intervalul ecuației Sturm-Liouville $(a,\;b)$

L[y]=\lambda \rho (x)y(x),

satisfacerea condiţiilor de limită (limită) omogene

{\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _ {1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2} +\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}

și valorile parametrului pentru care există astfel de soluții. $\lambda$

Operatorul de aici este un operator diferențial liniar de ordinul doi care acționează asupra unei funcții de formă $L[y]$ $y(x)$

L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)

( operator Sturm-Liouville sau operator Schrödinger), este un argument real. $X$

Se presupune că funcțiile sunt continue pe ; în plus, funcțiile sunt pozitive pe . $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$ $p(x),\;\rho (x)$ $(a,\;b)$

Soluțiile netriviale dorite se numesc funcții proprii ale acestei probleme, iar valorile pentru care există o astfel de soluție sunt valorile sale proprii (fiecare valoare proprie corespunde propriei sale funcții). $\lambda$

Enunțul problemei

Tip de ecuație

Dacă funcțiile și sunt de două ori continuu diferențiabile și pozitive pe interval și funcția este continuă pe , atunci ecuația Sturm-Liouville de forma $\rho$ $p$ $[a,b]$ $q$ $[a,\;b]$

(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0

folosind transformarea Liouville se reduce la forma [1] [2]

-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)

Prin urmare, ecuația Sturm-Liouville este adesea considerată sub forma (1), funcția se numește potențial [3] [4] . Sunt studiate probleme Sturm-Liouville cu potențiale din diferite clase de funcții: continuu , (sumabil) și altele. $q_{1}(x)$ $L$ $L_{2}$

Tipuri de condiții la limită

termeni Dirichlet $y(a) = y(b) = 0.$
Condiții Neumann $y'(a) = y'(b) = 0$
Termenii Robin $y'(a) - hy(a) = 0, \quad y'(b) + H y(b) = 0.$
Condiții mixte: condiții de diferite tipuri la diferite capete ale segmentului . $[a,\;b]$
Condiții la limită decadente ale unei forme generale

\begin{array}{l} \alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0. \\ \end{array}

Conditii periodice . $y(a) = y(b), \quad y'(a) = y'(b)$
Condiții antiperiodice . $y(a) = -y(b), \quad y'(a) = -y'(b)$
Condiții generale la limită

a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\ ;2.

În acest din urmă caz, condițiile suplimentare de regularitate sunt de obicei impuse coeficienților . [3] [5] $a_{{ij}}$

Pentru comoditate, un segment arbitrar este adesea tradus într-un segment sau prin intermediul unei schimbări de variabilă. $[a,\;b]$ $[0,\;l]$ $[0,\;\pi ]$

Operator Sturm-Liouville

L y = -\frac{1}{\rho(x)} \Bigl( \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{d}{dx}y \right] - q(x ) y \Bigr)

este un caz special al unui operator diferenţial liniar [6]

p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.

Domeniul de definire al operatorului constă din funcții care sunt de două ori diferențiabile continuu pe interval și care satisfac condițiile la limită ale problemei Sturm-Liouville. Astfel, problema Sturm-Liouville poate fi considerată ca o problemă pentru valorile proprii și funcțiile proprii ale operatorului : . Dacă funcțiile și coeficienții condițiilor la limită sunt reali , atunci operatorul este autoadjunct în spațiul Hilbert . Prin urmare, valorile sale proprii sunt reale, iar funcțiile proprii sunt ortogonale cu greutatea . $L$ $[a,\;b]$ $y$ $L$ $L y = \lambda y$ $p,\q,\\rho$ $L$ $L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$ $\rho(x)$

Rezolvarea problemei

Exemplu

Rezolvarea problemei Sturm-Liouville cu potențial zero:

-y''=\lambda y,\qquad (2)

y(0)=y(l)=0

poate fi găsit în mod explicit [7] . Lasă . Soluția generală a ecuației (2) pentru fiecare fix are forma $\lambda = \rho^2$ $\lambda$

y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)

(în special, când (3) dă ). Din urmează . Substituind (3) în condiția la limită , obținem . Deoarece căutăm soluții non-triviale, atunci , și ajungem la o ecuație cu valori proprii $\rho=0$ $y(x) = Ax + B$ $y(0) = 0$ $B=0$ $y(l) = 0$ $A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0$ $A \ne 0$

{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.

Rădăcinile sale , prin urmare, valorile proprii dorite sunt de formă $\rho_n = \frac{\pi n}{l}$

\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ ldots

iar funcţiile lor proprii corespunzătoare sunt

y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots

(până la un factor constant).

Caz general

În general, orice soluție a ecuației Sturm-Liouville

-y'' + q(x)y = \lambda y \qquad (4)

reprezentabil ca o combinație liniară

y(x)=AS(x,\;\lambda)+BC(x,\;\lambda)\qquad (5)

soluţiile sale şi îndeplinirea condiţiilor iniţiale $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$

S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1

Soluții și formează un sistem fundamental de soluții pentru ecuația (4) și sunt funcții întregi ale în raport cu fiecare . (Pentru , , ). Înlocuind (5) în condițiile la limită , obținem că valorile proprii coincid cu zerourile funcției caracteristice $S(x,\;\lambda )$ $C(x,\;\lambda )$ $\lambda$ $X$ $q(x) \equiv 0$ $S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$ $C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$ $\rho = \sqrt \lambda$ $y(0) = y(\pi) = 0$

\Delta (\lambda)=S(\pi,\;\lambda),

analitic în întregul -plan. [patru] $\lambda$

În cazul general, valorile proprii și funcțiile proprii nu pot fi găsite în mod explicit, dar au fost obținute formule asimptotice pentru ele:

\sqrt \lambda_n = n + \frac{c}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad c = \frac{1}{2\pi} \int_0 ^{\pi} q(\tau) \, d \tau,

y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2))}\right),

(în cazul continuului pe potențial ). [8] Pentru mari , valorile proprii și funcțiile proprii sunt apropiate de valorile proprii și funcțiile proprii ale problemei din exemplul cu potențial zero. $[0,\;\pi ]$ $q(x)$ $n$

Proprietăți ale valorilor proprii și ale funcțiilor proprii

Există un set infinit numărabil de valori proprii: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$
Fiecare valoare proprie corespunde unei funcții proprii unice până la un factor constant . $\lambda_n$ $y_{n}$
Toate valorile proprii sunt reale .
În cazul condițiilor la limită și când condiția este îndeplinită, toate valorile proprii sunt pozitive . $y(a)=y(b)=0$ $q(x)\geqslant 0$ $\lambda _{n}>0$
Funcțiile proprii formează un sistem ortogonal cu greutate : $y_{n}(x)$ $[a,\;b]$ $\rho (x)$ $\{y_{n}(x)\}$

\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.

Teorema lui Steklov este valabilă .

Metode numerice de rezolvare

metoda de tragere . Pentru a rezolva problema Sturm-Liouville cu condițiile la limită Dirichlet , putem lua problema Cauchy cu condiții inițiale pentru ecuația inițială și ajustam parametrul până când condiția la limită corectă este satisfăcută. [9] $y(a) = y(b) = 0$ $u(a) = 0$ $u'(a) = 1$ $\lambda$
Metoda diferențelor finite [10] [11] . Se construiește o aproximare cu diferențe finite , care permite înlocuirea problemei Sturm-Liouville cu problema găsirii valorilor proprii ale matricei.
Metoda vectorului mărit. Diferența de funcție proprie este completată de componenta . Raportat la vectorul augmentat, se obține un sistem neliniar care poate fi rezolvat prin metoda lui Newton . [12] ${\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots,\;y_{N}\))$ $y_{N + 1} = \lambda$
metoda lui Galerkin . [13]
Metode variaționale . [paisprezece]

Aplicație la soluția ecuațiilor cu diferențe parțiale

Problemele Sturm-Liouville apar la rezolvarea ecuațiilor diferențiale parțiale prin metoda separării variabilelor .

Ca exemplu, luați în considerare problema valorii la limită pentru o ecuație de tip hiperbolic :

\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)

(h_1 u_x - hu)_{|x = 0} = 0, \quad (H_1 u_x + H u)_{|x = l} = 0, \qquad (7)

u_{|t = 0} = \Phi(x), \quad u_{t|t = 0} = \Psi(x). \qquad (8)

Aici și sunt variabile independente , sunt o funcție necunoscută, , , , , sunt funcții cunoscute și sunt numere reale . [15] Vom căuta soluții parțiale ale ecuației (6) care nu sunt identic zero și îndeplinesc condițiile la limită (7) sub forma $X$ $t$ $u(x,\;t)$ $\rho$ $k$ $q$ $\Phi$ $\psi$ $h,\h_{1},\H,\H_{1)$

u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)

Înlocuirea formei (9) în ecuația (6) dă

\frac{(k(x)Y'(x))' - q(x)Y(x)}{\rho(x) Y(x)} = \frac{T''(t)}{T( t)}.

Deoarece și sunt variabile independente, egalitatea este posibilă numai dacă ambele fracții sunt egale cu o constantă. Să notăm această constantă cu . Primim $X$ $t$ $-\lambda$

T''(t) + \lambda T(t) = 0, \qquad(10)

-(k(x)Y'(x))' + q(x) Y(x) = \lambda \rho(x) Y(x), \quad 0 < x < l. \qquad (11)

Înlocuirea formei (9) în condițiile la limită (7) dă

h_1 Y'(0) - h Y(0) = 0, \quad H_1 Y'(l) + HY(l) = 0. \qquad (12)

Soluțiile netriviale (6) - (7) de forma (9) există numai pentru valorile care sunt valori proprii ale problemei Sturm - Liouville (11) - (12) . Aceste soluții au forma , unde sunt funcțiile proprii ale problemei (11)–(12) și sunt soluțiile ecuației . Rezolvarea problemei (6) - (8) este sub forma unei sume de soluții particulare ( seria Fourier în termeni de funcții proprii ale problemei Sturm - Liouville ): $\lambda$ $\lambda_n$ $T_n(t) Y_n(x)$ $Y_n(x)$ $T_n(t)$ $\lambda = \lambda_n$ $Y_n(x)$

u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) Y_n(x).

Probleme inverse Sturm-Liouville

Problemele inverse Sturm-Liouville constau în restabilirea potențialului operatorului Sturm-Liouville și a coeficienților condițiilor la limită din caracteristicile spectrale. [8] [3] [4] Problemele Sturm-Liouville inverse și generalizările lor au aplicații în mecanică , fizică , electronică , geofizică , meteorologie și alte domenii ale științelor naturale și tehnologiei. Există o metodă importantă pentru integrarea ecuațiilor de evoluție neliniare (de exemplu, ecuația KdV ) asociată cu utilizarea problemei inverse Sturm-Liouville pe axa ( ). $q(x)$ $-y'' + q(x)y$ $-\infty < x < \infty$

De regulă, un spectru (un set de valori proprii) nu este suficient pentru a restabili în mod unic un operator. Prin urmare, următoarele caracteristici spectrale sunt de obicei utilizate ca date inițiale ale problemei inverse:

Două spectre corespunzătoare condițiilor la limită diferite (problema lui Borg).
Date spectrale, inclusiv valori proprii și numere de greutate egale cu normele pătrate ale $L_{2}$ funcțiilor proprii în .
Funcția Weyl este o funcție meromorfă egală cu raportul a două funcții caracteristice ale problemelor cu valori la limită diferite.

Fiecare dintre seturile de date 1-3 definește în mod unic potențialul . În plus, specificarea funcției Weyl este echivalentă cu specificarea a două spectre sau date spectrale, astfel încât problemele inverse pentru datele 1-3 sunt echivalente. Există metode constructive pentru rezolvarea problemelor inverse Sturm-Liouville bazate pe reducerea problemelor inverse neliniare la ecuații liniare în anumite spații Banach . [patru] $q(x)$

Vezi și

Note

↑ Levitan, Sargsyan, 1988 , p. zece.
↑ Yurko, 2010 , p. 45.
↑ 1 2 3 Marchenko, 1977 .
↑ 1 2 3 4 Yurko, 2007 .
↑ Naimark, 1969 , p. 72.
↑ Naimark, 1969 .
↑ Yurko, 2010 , p. 25.
↑ 1 2 Levitan, Sargsyan, 1988 .
↑ Kalitkin, 1978 , p. 281.
↑ Kalitkin, 1978 , p. 284.
↑ Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Metode numerice. - Binom, 2008. - ISBN 978-5-94774-815-4 .
↑ Kalitkin, 1978 , p. 286.
↑ Kalitkin, 1978 , p. 287.
↑ Gelfand I. M., Fomin S. V. Calculul variațiilor. — 1961.
↑ Yurko, 2010 , p. treizeci.

Literatură

Levitan B. M. , Sargsyan I. S. Sturm-Liouville și operatorii Dirac. - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1988. - 432 p. — ISBN 5-02-013751-0 .
Operatorii Marchenko V. A. Sturm-Liouville și aplicațiile acestora. - Kiev: Naukova Dumka, 1977.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Probleme inverse Sturm-Liouville cu condiții de limită nedegradabile. - M. : Editura Universității din Moscova, 2009. - 184 p. - ISBN 978-5-211-05557-5 .
Yurko VA Ecuații ale fizicii matematice. — Saratov, 2010.
Yurko VA Introducere în teoria problemelor spectrale inverse. - M. : Fizmatlit, 2007. - 384 p. — ISBN 978-5-9221-07 .
Naimark M. A. Operatori diferenţiali liniari. - M .: Nauka, 1969.
Kalitkin N. N. Metode numerice. — M .: Nauka, 1978.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare