Spațiu normat

Un spațiu normat este un spațiu vectorial cu o normă dată pe el ; Unul dintre principalele obiecte ale studiului analizei funcționale .

Mai precis, un spațiu normat este o pereche de spațiu vectorial peste câmpul numerelor și mapării reale sau complexe , astfel încât următoarele proprietăți să mențină pentru orice și un scalar [1] : ${\ displaystyle (x, \ | \ cdot \ |)}$ $X$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | \ colon x \ to \ mathbb {r}}$ $x, y \ în x$ $\ lambda$

$\|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Rightarrow x=0$ (Definiție pozitivă)
$\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ (однородность)
$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ( Inegalitate triunghi )

Norma este o generalizare naturală a conceptului de lungime a unui vector în spațiul euclidian , astfel spațiile normate sunt spații vectoriale echipate cu capacitatea de a determina lungimea unui vector.

Un spațiu semi-normat este o pereche , unde este un spațiu vectorial și este un semi - normă . $\stanga(X,p\dreapta)$ $X$ $p$ $X$

Într -un spațiu normat, o funcție definește (induce) o metrică . Metrica definită în acest fel, pe lângă proprietățile obișnuite ale unei metrice, are și următoarele proprietăți: $d (x, y) = \ | xy \ |$

$d (x, y) = d (x+z, y+z)$ (Shift Invarianță),
$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)$ (uniformitate pozitivă).

Nu orice spațiu vectorial metric poate avea o normă.

Dacă spațiul este complet prin metrica indusă , atunci un spațiu normat este, prin definiție, un spațiu Banach . Nu orice spațiu normat este Banach, dar fiecare spațiu normat are o finalizare la Banach. $X$

Structura topologică

Pentru orice spațiu vectorial semi-normat, este posibil să se specifice distanța dintre doi vectori și AS . Un astfel de spațiu semi-normat cu distanța definită în acest fel se numește un spațiu metric semi-normat , în care putem defini astfel de concepte precum continuitate și convergență . Mai abstract, orice spațiu vectorial semi-normat este un spațiu vectorial topologic și poartă astfel structura topologică generată de semi-normă. $\ mathbf {u}$ $\ mathbf {v}$ $\ stânga \ vert {\ mathbf {u}}-{\ mathbf {v}} \ dreapta \ vert$

Un interes deosebit sunt spațiile complete normate, numite spații Banach . Orice spațiu vectorial normat se găsește ca un subspațiu dens în interiorul unui spațiu Banach, iar acest spațiu Banach este determinat în mod unic de spațiu și se numește finalizarea spațiului . $V$ $V$ $V$

Toate normele dintr-un spațiu vectorial dimensional fin sunt echivalente topologic, deoarece generează aceeași topologie. Și întrucât orice spațiu euclidian este complet, putem concluziona că toate spațiile vectoriale de dimensiuni finite sunt spații Banach. Un spațiu vectorial normat este dimensional finit dacă și numai dacă bila unității este compactă , care poate fi dacă și numai dacă este compactă local . $V$ $B = \ {x \ colon \ stânga \ vert x \ dreapta \ vert \ leqslant 1 \}$ $V$

Topologia unui vector semi-normat are mai multe proprietăți interesante. Luând un sistem de cartier în jur , este posibil să construiți toate celelalte sisteme de vecinătate ca: ${\ Mathcal {n}} \ stânga (0 \ dreapta)$ $0$

{\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N} } \ stânga (0 \ dreapta) \ dreapta \}

prin utilizarea

{\ displaystyle x+n: = \ left \ {x+n {\ bar {n}} \ in n \ dreapta \}}

Mai mult, există o bază de cartier pentru , constând în seturi de absorbție și convexe . Deoarece această proprietate este foarte utilă în analiza funcțională , generalizările spațiilor vectoriale normate cu această proprietate sunt studiate ca spații convexe la nivel local . $0$

Mapări liniare și spații duale

Cele mai importante mapări între două spații vectoriale normate sunt mapările liniare continue . Spațiile vectoriale normate cu astfel de mapări formează categoria .

Norma este o funcție continuă în spațiul său vectorial. Toate mapările liniare între spațiile vectoriale dimensionale finite sunt, de asemenea, continue.

Izometriile sunt întotdeauna continue și injective . $f$ $\ stânga \ vert f \ left ({\ mathbf {v}} \ dreapta) \ dreapta \ vert = \ left \ vert {\ mathbf {v}} \ dreapta \ vert$ $\ mathbf {v}$ $V$ $W$

Vorbind despre spații vectoriale normate, trebuie să menționăm spațiile duale . Spațiul dual al unui spațiu vectorial normat este spațiul tuturor mapării liniare continue de pe câmpul principal (câmpul numerelor complexe sau reale), iar astfel de mapări liniare sunt numite funcționale . Norma funcțională este definită ca: $V '$ $V$ $V$ $\ Varphi$

\left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v}:\left\ Vert \mathbf {v} \right\Vert =1

Introducerea unei astfel de norme se transformă într -un spațiu vectorial normat. Un rezultat important asupra funcționalității liniare continue în spațiile vectoriale normate este teorema Hahn -Banach . $V '$

Spații normate ca un coeficient al spațiului de spații semi-normate

Definițiile multor spații normate (cum ar fi spațiul Banach ) includ un seminorm definit pe un spațiu vectorial, iar apoi un spațiu normat este definit ca un spațiu coeficient de un subspațiu de elemente al cărui seminorm este zero. $L_ {p}$

{\ displaystyle \ stânga \ vert f \ dreapta \ vert _ {p} = \ left (\ int \ stânga \ vert f \ stânga (x \ dreapta) \ dreapta \ vert ^{p} \; dx \ dreapta) ^{ \ frac {1} {p}}}

este un seminorm în spațiul vectorial al tuturor funcțiilor a căror Lebesgue Integral (în dreapta) este definit și finit.

Cu toate acestea, Seminorm este zero pentru toate funcțiile al căror suport are o măsură zero Lebesgue . Aceste funcții formează un subspațiu care este „încrucișat”, ceea ce le face echivalente cu funcția nulă.

Produse finite ale spațiilor

Având în vedere spații semi-normate cu semi-norme , putem defini produsul spațiilor ca $n$ $X_ {i}$ $p_ {i}$

x{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}

cu adăugarea vectorială definită ca

\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots,y_{n}\right){\stackrel {{\mathrm {def}}}{ =}}\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\dreapta),

și multiplicarea scalară definită ca

\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right){\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots,\ alpha x_{n}\right).

Să definim o nouă funcție $p$

p: x \ mapsto {\ mathbb {r}}

Cum

p:\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\to \sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}\left(x_{i}\ dreapta),

care este un seminorm în . O funcție va fi o normă dacă și numai dacă toate sunt norme. $X$ $p$ $p_ {i}$

Vezi și

Spațiile convexe la nivel local sunt generalizări ale spațiilor vectoriale semi-normate
Spațiu strict normat
Spațiu convex uniform

Note

↑ Kerin S. G. Analiza funcțională.

Векторы и матрицы

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Bază ortogonală Coordonate vectoriale Colinearitate Ortogonalitate Dependență liniară Пространство столбцов
Tipuri de vectori	Vector unitar Аксиальный вектор Изотропный вектор Normal Colinearitate Vector zero Vector de rază Eigenvector
Operațiuni pe vectori	Produs scalar Produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Двойное векторное произведение
Tipuri de spațiu	Spațiu vectorial Spațiu aflat Spațiu euclidian Spațiu pseudo-euclidean Spațiu normat Spațiu Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matricea transpusă Matricea conjugată Hermitian Matricea simetrică matrice inversă Valoarea eigen Polinomul caracteristic al unei matrice
Matrice speciale	Matrice de identitate Zero Matrix Matricea diagonală Lambda Matrix
Descompuneri matriceale	LU descompunere Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunere de LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte