Produs direct al grupurilor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 14 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Produsul direct al grupurilor este o operație care, prin grupuri , construiește un nou grup, de obicei notat ca . Această operație este analogul teoretic de grup al produsului mulțimii carteziane și unul dintre exemplele principale ale conceptului de produs direct . $G$ $H$ $G\ ori H$

În contextul grupurilor abeliene, un produs direct este uneori numit sumă directă și notat cu . Sumele directe joacă un rol important în clasificarea grupurilor abeliene: conform teoremei privind structura grupurilor abeliene generate finit , orice grup abelian generat finit poate fi descompus într-o sumă directă de grupuri ciclice . $G\oplus H$

Definiție

Dacă și sunt grupuri cu operații și respectiv, atunci produsul direct este definit după cum urmează: $G$ $H$ $*$ $\triunghi$ $G\ ori H$

Setul este produsul cartezian, . Elementele sale sunt perechi ordonate , unde și . $G\ ori H$ $(g,h)$ $g\în G$ $h\în H$
Operația binară pe este definită în funcție de componente: $\cdot$ $G\ ori H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\triunghi h_{2})$

Obiectul algebric rezultat satisface axiomele grupului:

Asociativitatea operației binare Operația binară pe este asociativă , care este verificată din punct de vedere al componentelor.

G\ ori H

Existența unui singur element Produsul direct are elementul de identitate , unde este elementul de identitate și este elementul de identitate .

1_{G\times H}=(1_{G},1_{H})

1_{G}

G

1_H

H

Existența elementului invers Inversul unui element în este perechea , unde este inversul lui în și este inversul lui în .

(g,h)

G\ ori H

(g^{-1},h^{-1})

g^{{-1}}

g

G

h^{-1)

h

H

Exemple

Fie un grup de numere reale cu operație de adunare . Atunci produsul direct este grupul tuturor vectorilor cu două componente cu operația de adunare vectorială : $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $(X y)$ $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ .
Fie un grup de numere reale pozitive cu operație de înmulțire. Atunci produsul direct este grupul tuturor vectorilor din primul cadran de coordonate cu operația de înmulțire pe componente: $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R^{+}} \times \mathbb {R^{+}}$ $(x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=(x_{1}\times x_{2},y_{1}\times y_{2} )$ .
Fie și să fie grupuri ciclice , fiecare dintre ele conține două elemente: $G$ $H$

$G$

* unu A

unu unu A

A A unu
$H$

* unu b

unu unu b

b b unu

*	unu	A
unu	unu	A
A	A	unu

*	unu	b
unu	unu	b
b	b	unu

Atunci produsul direct este izomorf cu grupul cvadruplu Klein : $G\ ori H$

G\ ori H

*	(1,1)	(a,1)	(1b)	(a,b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a,b)	(1b)
(1b)	(1b)	(a,b)	(1,1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1b)	(a,1)	(1,1)

Proprietăți elementare

Ordinea produsului direct al grupurilor finite este egală cu produsul ordinelor acestor grupuri și : $G\ ori H$ $G$ $H$ $|G\times H|=|G||H|$ . Aceasta rezultă din formula pentru cardinalitatea produsului cartezian al mulțimilor.
Ordinea fiecărui element este cel mai mic multiplu comun al ordinelor și [1] : $(g,h)$ $g$ $h$ $\operatorname {ord} ((g,h))=lcm(\operatorname {ord} (g),\operatorname {ord} (h))$ . În special, dacă și sunt relativ prime , atunci ordinea este egală cu produsul ordinelor și . $\operatorname {ord} (g)$ $\operatorname {ord} (h)$ $(g,h)$ $g$ $h$
În consecință, dacă și sunt grupări ciclice ale căror ordine sunt coprime, atunci produsul direct este, de asemenea, un grup ciclic. Și anume, dacă și sunt coprime, atunci $G$ $H$ $G\time H$ $m$ $n$ $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$ . Acest fapt este o variantă a teoremei chineze a restului .
Produsul direct poate fi considerat ca o operație pe grupuri. Această operație este comutativă și asociativă până la izomorfism : și pentru orice grupuri , și . Un grup banal este elementul său de identitate până la izomorfism, adică dacă este un grup trivial, atunci pentru orice grup . $G\times H\cong H\times G$ $(G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)$ $G$ $H$ $K$ $E$ $G\cong G\times E\cong E\times G$ $G$

Structura algebrică

Să fie și să fie grupuri, și . Luați în considerare următoarele două subseturi : $G$ $H$ $P=G\times H$ $P$

G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\)

și .

H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\)

Ambele aceste subseturi sunt subgrupuri și sunt izomorfe din punct de vedere canonic și izomorfe din punct de vedere canonic . Dacă le identificăm cu și respectiv, atunci putem presupune că produsul direct conține grupurile originale și ca subgrupe. $P$ $G^{\prime }$ $G$ $H^{\prime }$ $H$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$

Aceste subgrupuri au următoarele trei proprietăți importante:

Intersecția este banală . $G\cap H$
Fiecare element din poate fi reprezentat în mod unic ca produs al unui element din și al unui element din . $P$ $G$ $H$
Fiecare element din navetă cu fiecare element din . $G$ $H$

Împreună, aceste trei proprietăți definesc complet structura algebrică a produsului direct . Cu alte cuvinte, dacă este orice grup care are subgrupuri și care satisface proprietățile de mai sus, atunci este izomorf la un produs direct al lui și . În această situație, este uneori numit produsul direct interior al subgrupurilor sale și . $P$ $P$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$

În unele cazuri, a treia dintre proprietățile de mai sus este înlocuită cu următoarele:

3'. și sunt normale în .

G

H

P

Această proprietate este echivalentă cu proprietatea 3, deoarece elementele a două subgrupuri normale cu intersecție trivială comută în mod necesar, ceea ce poate fi demonstrat luând în considerare comutatorul , unde este orice element în și este orice element în . $[g,h]$ $g$ $G$ $h$ $H$

Exemple de produs direct interior

Fie cele patru grupe Klein : $V$ V
∙ unu A b c
unu unu A b c
A A unu c b
b b c unu A
c c b A unu
Atunci este produsul direct interior al subgrupurilor cu două elemente și . $V$ $\{1,a\}$ $\{1,b\)$
Fie un grup ciclic de ordin , unde și sunt numere prime relativ. Atunci și sunt subgrupuri ciclice de ordine și , respectiv, și este produsul direct interior al acestor subgrupuri. $\langle a\rangle$ $mn$ $m$ $n$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $m$ $n$ $\langle a\rangle$
Fie grupul de numere complexe diferite de zero cu operația de înmulțire . Apoi este produsul direct interior al grupului de cerc , format din numere complexe cu modul , și grupul de numere reale pozitive cu operația de înmulțire. $\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {T}$ $unu$ $\mathbb {R} ^{+)$
Grupul liniar complet complex este produsul direct interior al grupului liniar special și al subgrupului format din toate matricele scalare . $GL(n,\mathbb {C} )$ $SL(n,\mathbb {C} )$
Dacă este un număr impar, atunci grupul liniar complet real este produsul direct interior al grupului liniar special și al subgrupului format din toate matricele scalare . $n$ $GL(n,\mathbb {R} )$ $SL(n,\mathbb {R} )$
În mod similar, când este impar, grupul ortogonal este produsul direct interior al grupului ortogonal special și al subgrupului cu două elemente , unde denotă matricea de identitate . $n$ $O(n,\mathbb {R} )$ $SO(n,\mathbb {R} )$ $\{-I,I\)$ $eu$
Grupul de simetrie al cubului este produsul direct intern al subgrupului de rotație al cubului și al grupului cu două elemente , unde este elementul de identitate și reflectarea punctului prin centrul cubului. Un fapt similar este valabil și pentru grupul de simetrie al icosaedrului . $\{-I,I\)$ $eu$ $-Eu$
Fie impar și fie un grup diedric de ordine : $n$ $D_{4n)$ $4n$ $D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$ Atunci este produsul direct interior al unui subgrup (care este izomorf cu ) și al unui subgrup cu două elemente . $D_{4n)$ $\langle r^{2},s\rangle$ $D_{2n}$ $\{1,r^{n}}\}$

∙	unu	A	b	c
unu	unu	A	b	c
A	A	unu	c	b
b	b	c	unu	A
c	c	b	A	unu

Prezentări directe ale produselor

Structura algebrică poate fi utilizată pentru a reprezenta produsul direct folosind prezentările și . În special, să presupunem că $G\ ori H$ $G$ $H$

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \\

și

\\H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

unde și sunt seturi generatoare (disjunctive) ale grupului , și și sunt seturi de relații între generatoare. Apoi $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

unde este ansamblul relaţiilor care determină ca fiecare element din navetă cu fiecare element din . $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

De exemplu, dacă

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

și

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

apoi

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Structura normală

După cum sa menționat mai sus, subgrupurile și sunt normale în . În special, se pot defini funcțiile și formulele $G$ $H$ $G\ ori H$ $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ $\pi _{H}:G\time H\rightarrow H$

\pi _{G}(g,h)=g~

și .

~\pi _{H}(g,h)=h

Atunci și sunt homomorfisme de proiecție cu nuclee și respectiv. $\pi _{G}$ $\pi _{H}$ $H$ $G$

De aici rezultă că este o extensie cu (sau invers). În cazul în care este un grup finit , factorii de compoziție ai grupului sunt exact uniunea factorilor de compoziție ai grupului și factorii de compoziție ai grupului . $G\ ori H$ $G$ $H$ $G\ ori H$ $G\ ori H$ $G$ $H$

Proprietăți suplimentare

Proprietate generică

Produsul direct poate fi caracterizat prin următoarea proprietate universală . Fie și să fie homomorfisme de proiecție. Apoi, pentru orice grup și orice homomorfisme și există un homomorfism unic corespunzător următoarei diagrame comutative : $G\ ori H$ $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ $\pi _{H}:G\time H\rightarrow H$ $P$ $f_{G}:P\rightarrow G$ $f_{H}:P\rightarrow H$ $f:P\rightarrow G\times H$

Cu alte cuvinte, homomorfismul este dat de formula $f$

f(p)=(f_{G}(p),f_{H}(p))

Acesta este un caz special al proprietății universale pentru produse din teoria categoriei .

Subgrupuri

Dacă este un subgrup și este un subgrup de , atunci produsul direct este un subgrup de . De exemplu, copia izomorfă a lui in este produsul , unde este subgrupul trivial al lui . $A$ $G$ $B$ $H$ $A\ori B$ $G\ ori H$ $G$ $G\ ori H$ $G\times \{1\)$ $\{unu\}$ $H$

Dacă și sunt normale, atunci este un subgrup normal de . Mai mult, grupul de factori al produselor directe este izomorf cu produsul direct al coeficientilor: $A$ $B$ $A\ori B$ $G\ ori H$

(G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)

Rețineți că, în general, nu este adevărat că fiecare subgrup de este produsul unui subgrup de cu un subgrup de . De exemplu, dacă este orice grup non-trivial, atunci produsul are un subgrup diagonal $G\ ori H$ $G$ $H$ $G$ $G\time G$

\triunghi =\{(g,g):g\in G\)

care nu este un produs direct al a doua subgrupe . $G$

Subgrupurile de produse directe sunt descrise de lema Goursat .

Conjugație și centralizatori

Două elemente și sunt conjugate în dacă și numai dacă și sunt conjugate în și simultan și sunt conjugate în . Aceasta implică faptul că fiecare clasă de conjugație în este produsul cartezian al clasei de conjugație în și clasa de conjugație în . $(g_{1},h_{1})$ $(g_{2},h_{2})$ $G\ ori H$ $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h_1$ $h_2$ $H$ $G\ ori H$ $G$ $H$

În mod similar, dacă , atunci centralizatorul este produsul centralizatorilor și : $(g,h)\in G\times H$ $(g,h)$ $g$ $h$

C_{G\times H}(g,h)=C_{G}(g)\times C_{H}(h)

De asemenea , centrul este produsul centrelor și : $G\ ori H$ $G$ $H$

Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)

Normalizatorii se comportă într-un mod mai complicat, deoarece nu toate subgrupurile de produse directe se descompun în produse directe.

Automorfisme și endomorfisme

Dacă este un automorfism și este un automorfism , atunci produsul funcțiilor definit de formula $\alfa$ $G$ $\beta$ $H$ $\alpha \times \beta:G\times H\rightarrow G\times H$

(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))

este un automorfism . De aici rezultă că conține o subgrupă izomorfă cu produsul direct . $G\ ori H$ $\operatorname {Aut} (G\times H)$ $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$

În general, nu este adevărat că fiecare automorfism are forma de mai sus. De exemplu, dacă este orice grup, atunci există un automorfism al grupului , care schimbă doi factori, adică $G\ ori H$ $G$ $\sigma$ $G\time G$

\sigma (g_{1},g_{2})=(g_{2},g_{1})

Un alt exemplu: grupul de automorfism al unui grup este grupul tuturor matricelor de dimensiune cu valori întregi și determinant egal cu . Acest grup de automorfisme este infinit, dar numai un număr finit de automorfisme este dat ca . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $GL(2,\mathbb {Z} )$ $2\times 2$ $\pm 1$ $\alpha \times \beta$

În general, fiecare endomorfism poate fi scris ca o matrice de mărime $G\ ori H$ $2\times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end {bmatrix})

unde este un endomorfism , este un endomorfism și și sunt homomorfisme. Această matrice trebuie să aibă proprietatea că fiecare element al imaginii comută cu fiecare element al imaginii și fiecare element al imaginii comută cu fiecare element al imaginii . $\alfa$ $G$ $\delta$ $H$ $\beta:H\rightarrow G$ $\gamma:G\rightarrow H$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$

Când și sunt grupuri indecompuse cu centre triviale, atunci grupul de automorfism direct al produsului este relativ simplu: , dacă și nu sunt izomorfe, iar , dacă , unde denotă produsul coroană . Aceasta face parte din teorema Krull–Schmidt , într-un caz mai general este valabilă pentru produse directe finite. $G$ $H$ $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$ $G$ $H$ $\operatorname {Aut} (G)~wr~2$ $G\cong H$ $wr$

Generalizări

Produse directe finite

Este posibil să luați produsul direct a mai mult de două grupuri în același timp. Pentru o succesiune finită de grupuri, produsul direct $G_{1},...,G_{n}$

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n)

este definită după cum urmează:

Elementele sunt tupluri , unde pentru oricare . $G_{1}\times \cdots \times G_{n)$ $(g_{1},...,g_{n})$ $g_{i}\in G_{i}$ $i$
Operația pe este definită în funcție de componente: $G_{1}\times \cdots \times G_{n)$ $(g_{1},...,g_{n})(g'_{1},...,g'_{n})=(g_{1}g'_{1}, ...,g_{n}g'_{n})$ .

Are multe dintre proprietățile pe care le are un produs direct al două grupuri și poate fi caracterizat algebric într-un mod similar.

Produse directe infinite

De asemenea, este posibil să se ia produsul direct al unui număr infinit de grupuri. Pentru o succesiune infinită de grupuri, aceasta poate fi definită exact în același mod ca și pentru un produs direct finit, elementele produsului direct infinit fiind tupluri infinite. $G_{1},G_{2},...$

Mai general, pentru o familie indexată de grupuri, produsul direct este definit după cum urmează: $\{G_{i}\}_{i\in I}$ $\Pi _{i\in I}G_{i)$

Elementele sunt elementele produsului infinit cartezian al multimilor ; adică, elementele unui produs cartezian infinit pot fi înțelese ca funcții cu proprietatea că pentru orice . $\Pi _{i\in I}G_{i)$ $G_{i}$ $f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}G_{i)$ $f(i)\in G_{i)$ $i$
Produsul a două elemente este definit component cu component: $f, g$ $(f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)$ .

Spre deosebire de un produs direct finit, un produs direct infinit nu este generat de elementele subgrupurilor izomorfe . În schimb, aceste subgrupuri dau naștere la subgrupul de produs direct cunoscut sub numele de suma directă infinită , care constă din toate elementele care au doar un număr finit de componente non-identității. $\Pi _{i\in I}G_{i)$ $\{G_{i}\}_{i\in I}$

Alte lucrări

Produse semidirecte

Amintiți-vă că un grup cu subgrupuri și este izomorf la un produs direct și dacă îndeplinește următoarele trei condiții: $P$ $G$ $H$ $G$ $H$

Intersecția este un grup banal . $G\cap H$
Fiecare element din poate fi reprezentat în mod unic ca produs al unui element din și al unui element din . $P$ $G$ $H$
Și , și sunt normale în . $G$ $H$ $P$

Produsul semidirect și se obține prin slăbirea celei de-a treia condiții, astfel încât doar unul dintre cele două subgrupe , trebuie să fie normal. Produsul rezultat este încă format din perechi ordonate , dar cu o regulă de înmulțire puțin mai complexă. $G$ $H$ $G$ $H$ $(g,h)$

De asemenea, este posibil să se relaxeze complet a treia condiție fără a necesita ca vreunul dintre subgrupuri să fie normal. În acest caz, grupul se numește produsul Zappa-Sep al grupurilor și . $P$ $G$ $H$

Lucrări gratuite

Produsul liber al grupurilor și , de obicei notat ca , este similar cu produsul direct, cu excepția faptului că subgrupurile și grupurile nu sunt obligate să facă naveta. Și anume dacă $G$ $H$ $G*H$ $G$ $H$ $G*H$

G=\langle ~S_{G}~|~R_{G}~\rangle

și ,

H=\langle ~S_{H}~|~R_{H}~\rangle

sunt prezentări ale și , atunci $G$ $H$

G*H=\langle ~S_{G}\cup S_{H}~|~R_{G}\cup R_{H}~\rangle

Spre deosebire de produsul direct, elementele unui produs gratuit nu pot fi reprezentate în perechi ordonate. Mai mult, produsul liber al oricăror două grupuri netriviale este infinit. Un produs gratuit, destul de ciudat, este un coprodus din categoria grupelor .

Subdirect produse

Dacă și sunt grupuri, atunci produsul subdirect al lui și este orice subgrup care se mapează surjectiv în și sub homomorfismele de proiecție. Conform lemei Goursat , fiecare produs subdirect este fibrat. $G$ $H$ $G$ $H$ $G\ ori H$ $G$ $H$

Produse stratificate

Fie , și să fie grupuri, și fie și să fie homomorfisme. Produsul fibros și peste este următorul subgrup : $G$ $H$ $Q$ $\varphi:G\rightarrow Q$ $\chi:H\rightarrow Q$ $G$ $H$ $Q$ $G\ ori H$

G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\)

Dacă și sunt epimorfisme ale lui , atunci acesta este un produs subdirect. $\varphi:G\rightarrow Q$ $\chi:H\rightarrow Q$

Note

↑ Joseph Gallian. Algebră abstractă modernă. - Ed. a VII-a - Cengage Learning, 2010. - 157 p. — ISBN 9780547165097 .

Literatură

Michael Artin. Algebră. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-89871-510-1 .
Israel Nathan Herstein. Algebră abstractă. - Ed. a 3-a. - Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., 1996. - ISBN 978-0-13-374562-7 .
Israel Nathan Herstein. Subiecte în algebră. - Ed. a II-a. - Lexington, Massachusetts: Xerox College Publishing, 1975.
Serge Leng. Algebră. - ediția a 3-a revizuită. - New York: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 978-0-387-95385-4 .
Serge Leng. algebră de licență. - Ed. a 3-a. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. - ISBN 978-0-387-22025-3 .
Derek John Scott Robinson. Curs de teorie de grup. - New York: Springer-Verlag, 1996. - ISBN 978-0-387-94461-6 .