Produsul direct al grupurilor este o operație care, prin grupuri , construiește un nou grup, de obicei notat ca . Această operație este analogul teoretic de grup al produsului mulțimii carteziane și unul dintre exemplele principale ale conceptului de produs direct .
În contextul grupurilor abeliene, un produs direct este uneori numit sumă directă și notat cu . Sumele directe joacă un rol important în clasificarea grupurilor abeliene: conform teoremei privind structura grupurilor abeliene generate finit , orice grup abelian generat finit poate fi descompus într-o sumă directă de grupuri ciclice .
Dacă și sunt grupuri cu operații și respectiv, atunci produsul direct este definit după cum urmează:
Obiectul algebric rezultat satisface axiomele grupului:
Asociativitatea operației binare Operația binară pe este asociativă , care este verificată din punct de vedere al componentelor. Existența unui singur element Produsul direct are elementul de identitate , unde este elementul de identitate și este elementul de identitate . Existența elementului invers Inversul unui element în este perechea , unde este inversul lui în și este inversul lui în .* | unu | A |
---|---|---|
unu | unu | A |
A | A | unu |
* | unu | b |
---|---|---|
unu | unu | b |
b | b | unu |
Atunci produsul direct este izomorf cu grupul cvadruplu Klein :
* | (1,1) | (a,1) | (1b) | (a,b) |
---|---|---|---|---|
(1,1) | (1,1) | (a,1) | (1b) | (a,b) |
(a,1) | (a,1) | (1,1) | (a,b) | (1b) |
(1b) | (1b) | (a,b) | (1,1) | (a,1) |
(a,b) | (a,b) | (1b) | (a,1) | (1,1) |
Să fie și să fie grupuri, și . Luați în considerare următoarele două subseturi :
și .Ambele aceste subseturi sunt subgrupuri și sunt izomorfe din punct de vedere canonic și izomorfe din punct de vedere canonic . Dacă le identificăm cu și respectiv, atunci putem presupune că produsul direct conține grupurile originale și ca subgrupe.
Aceste subgrupuri au următoarele trei proprietăți importante:
Împreună, aceste trei proprietăți definesc complet structura algebrică a produsului direct . Cu alte cuvinte, dacă este orice grup care are subgrupuri și care satisface proprietățile de mai sus, atunci este izomorf la un produs direct al lui și . În această situație, este uneori numit produsul direct interior al subgrupurilor sale și .
În unele cazuri, a treia dintre proprietățile de mai sus este înlocuită cu următoarele:
3'. și sunt normale în .Această proprietate este echivalentă cu proprietatea 3, deoarece elementele a două subgrupuri normale cu intersecție trivială comută în mod necesar, ceea ce poate fi demonstrat luând în considerare comutatorul , unde este orice element în și este orice element în .
∙ | unu | A | b | c |
---|---|---|---|---|
unu | unu | A | b | c |
A | A | unu | c | b |
b | b | c | unu | A |
c | c | b | A | unu |
Structura algebrică poate fi utilizată pentru a reprezenta produsul direct folosind prezentările și . În special, să presupunem că
șiunde și sunt seturi generatoare (disjunctive) ale grupului , și și sunt seturi de relații între generatoare. Apoi
unde este ansamblul relaţiilor care determină ca fiecare element din navetă cu fiecare element din .
De exemplu, dacă
șiapoi
După cum sa menționat mai sus, subgrupurile și sunt normale în . În special, se pot defini funcțiile și formulele
și .Atunci și sunt homomorfisme de proiecție cu nuclee și respectiv.
De aici rezultă că este o extensie cu (sau invers). În cazul în care este un grup finit , factorii de compoziție ai grupului sunt exact uniunea factorilor de compoziție ai grupului și factorii de compoziție ai grupului .
Produsul direct poate fi caracterizat prin următoarea proprietate universală . Fie și să fie homomorfisme de proiecție. Apoi, pentru orice grup și orice homomorfisme și există un homomorfism unic corespunzător următoarei diagrame comutative :
Cu alte cuvinte, homomorfismul este dat de formula
.Acesta este un caz special al proprietății universale pentru produse din teoria categoriei .
Dacă este un subgrup și este un subgrup de , atunci produsul direct este un subgrup de . De exemplu, copia izomorfă a lui in este produsul , unde este subgrupul trivial al lui .
Dacă și sunt normale, atunci este un subgrup normal de . Mai mult, grupul de factori al produselor directe este izomorf cu produsul direct al coeficientilor:
.Rețineți că, în general, nu este adevărat că fiecare subgrup de este produsul unui subgrup de cu un subgrup de . De exemplu, dacă este orice grup non-trivial, atunci produsul are un subgrup diagonal
care nu este un produs direct al a doua subgrupe .
Subgrupurile de produse directe sunt descrise de lema Goursat .
Două elemente și sunt conjugate în dacă și numai dacă și sunt conjugate în și simultan și sunt conjugate în . Aceasta implică faptul că fiecare clasă de conjugație în este produsul cartezian al clasei de conjugație în și clasa de conjugație în .
În mod similar, dacă , atunci centralizatorul este produsul centralizatorilor și :
.De asemenea , centrul este produsul centrelor și :
.Normalizatorii se comportă într-un mod mai complicat, deoarece nu toate subgrupurile de produse directe se descompun în produse directe.
Dacă este un automorfism și este un automorfism , atunci produsul funcțiilor definit de formula
este un automorfism . De aici rezultă că conține o subgrupă izomorfă cu produsul direct .
În general, nu este adevărat că fiecare automorfism are forma de mai sus. De exemplu, dacă este orice grup, atunci există un automorfism al grupului , care schimbă doi factori, adică
.Un alt exemplu: grupul de automorfism al unui grup este grupul tuturor matricelor de dimensiune cu valori întregi și determinant egal cu . Acest grup de automorfisme este infinit, dar numai un număr finit de automorfisme este dat ca .
În general, fiecare endomorfism poate fi scris ca o matrice de mărime
unde este un endomorfism , este un endomorfism și și sunt homomorfisme. Această matrice trebuie să aibă proprietatea că fiecare element al imaginii comută cu fiecare element al imaginii și fiecare element al imaginii comută cu fiecare element al imaginii .
Când și sunt grupuri indecompuse cu centre triviale, atunci grupul de automorfism direct al produsului este relativ simplu: , dacă și nu sunt izomorfe, iar , dacă , unde denotă produsul coroană . Aceasta face parte din teorema Krull–Schmidt , într-un caz mai general este valabilă pentru produse directe finite.
Este posibil să luați produsul direct a mai mult de două grupuri în același timp. Pentru o succesiune finită de grupuri, produsul direct
este definită după cum urmează:
Are multe dintre proprietățile pe care le are un produs direct al două grupuri și poate fi caracterizat algebric într-un mod similar.
De asemenea, este posibil să se ia produsul direct al unui număr infinit de grupuri. Pentru o succesiune infinită de grupuri, aceasta poate fi definită exact în același mod ca și pentru un produs direct finit, elementele produsului direct infinit fiind tupluri infinite.
Mai general, pentru o familie indexată de grupuri, produsul direct este definit după cum urmează:
Spre deosebire de un produs direct finit, un produs direct infinit nu este generat de elementele subgrupurilor izomorfe . În schimb, aceste subgrupuri dau naștere la subgrupul de produs direct cunoscut sub numele de suma directă infinită , care constă din toate elementele care au doar un număr finit de componente non-identității.
Amintiți-vă că un grup cu subgrupuri și este izomorf la un produs direct și dacă îndeplinește următoarele trei condiții:
Produsul semidirect și se obține prin slăbirea celei de-a treia condiții, astfel încât doar unul dintre cele două subgrupe , trebuie să fie normal. Produsul rezultat este încă format din perechi ordonate , dar cu o regulă de înmulțire puțin mai complexă.
De asemenea, este posibil să se relaxeze complet a treia condiție fără a necesita ca vreunul dintre subgrupuri să fie normal. În acest caz, grupul se numește produsul Zappa-Sep al grupurilor și .
Lucrări gratuiteProdusul liber al grupurilor și , de obicei notat ca , este similar cu produsul direct, cu excepția faptului că subgrupurile și grupurile nu sunt obligate să facă naveta. Și anume dacă
și ,sunt prezentări ale și , atunci
.Spre deosebire de produsul direct, elementele unui produs gratuit nu pot fi reprezentate în perechi ordonate. Mai mult, produsul liber al oricăror două grupuri netriviale este infinit. Un produs gratuit, destul de ciudat, este un coprodus din categoria grupelor .
Subdirect produseDacă și sunt grupuri, atunci produsul subdirect al lui și este orice subgrup care se mapează surjectiv în și sub homomorfismele de proiecție. Conform lemei Goursat , fiecare produs subdirect este fibrat.
Produse stratificateFie , și să fie grupuri, și fie și să fie homomorfisme. Produsul fibros și peste este următorul subgrup :
.Dacă și sunt epimorfisme ale lui , atunci acesta este un produs subdirect.