Distribuția Poisson

Distribuția Poisson
Funcția de probabilitate
funcția de distribuție
Desemnare	${\mathrm {P}}(\lambda )$
Opțiuni	$\lambda \in (0,\infty )$
Purtător	$k\în \{0,1,2,\ldots\}$
Funcția de probabilitate	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!)}}$
funcția de distribuție	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!)))$
Valorea estimata	$\lambda$
Median	$\aproximativ \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
Modă	$\lfloor \lambda \rfloor$
Dispersia	$\lambda$
Coeficientul de kurtoză	$\lambda ^{-1}$
Entropia diferenţială	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\ lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Funcția generatoare a momentelor	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
functie caracteristica	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

Distribuția Poisson este o distribuție de tip discret a unei variabile aleatoare reprezentând numărul de evenimente care au avut loc într-un timp fix, cu condiția ca aceste evenimente să apară cu o intensitate medie fixă și independent unele de altele.

Distribuția Poisson joacă un rol cheie în teoria cozilor de așteptare .

Definiție

Să alegem un număr fix și să definim o distribuție discretă dată de următoarea funcție de probabilitate : $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

Unde

$k$ - numărul de evenimente,
$\lambda$ - așteptarea matematică a unei variabile aleatoare (număr mediu de evenimente pentru o perioadă fixă de timp),
$k!$ denotă factorialul unui număr , $k$
$e=2{,}718281828\ldots$ este baza logaritmului natural .

Faptul că o variabilă aleatoare are o distribuție Poisson cu așteptare matematică , se scrie: . $Y$ $\lambda$ $Y\sim ~{\mathrm {P}}(\lambda )$

Momente

Funcția generatoare de moment a distribuției Poisson are forma:

E_{Y}(t)=e^{{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}

Unde

{\mathbb {M}}[Y]=\lambda

{\mathbb {D}}[Y]=\lambda

Pentru momentele factoriale ale distribuției este valabilă formula generală:

\mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end {matrice}}\dreapta\}

unde parantezele denotă numere Stirling de al doilea fel . $k=1,2,...$

Și întrucât momentele și momentele factoriale sunt legate liniar, deseori momentele factoriale sunt studiate pentru distribuția Poisson, din care, dacă este necesar, pot fi derivate și momente obișnuite.

Proprietățile distribuției Poisson

Suma variabilelor aleatoare Poisson independente are și o distribuție Poisson. Lasă . Apoi $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}\sim {\mathrm {P}}\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n} \lambda _{i}\dreapta)

Să , și . Atunci distribuția condiționată cu condiția ca , să fie binomială. Mai precis: $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,2$ $Y=Y_{1}+Y_{2)$ $Y_{1}$ $Y=y$

Y_{1}\mid Y=y\sim {\mathrm {Bin}}\left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} \dreapta)

Pe măsură ce distribuția Poisson crește , ea tinde către o distribuție gaussiană cu o abatere standard și o deplasare . Pentru a demonstra acest lucru, trebuie să aplicăm formula lui Stirling pentru factorial și apoi să folosim expansiunea seriei Taylor în vecinătatea și în vârful distribuției . Apoi se dovedește $\lambda$ $\sigma=\sqrt{\lambda}$ $\lambda$ $\ln(\lambda/k)^k$ $k=\lambda$ $\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}$

p(k)\aprox\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)

Tendința asimptotică la distribuție

Destul de des, în teoria probabilității, se consideră nu distribuția Poisson în sine, ci o succesiune de distribuții care sunt asimptotic egale cu aceasta. Mai formal, luați în considerare o secvență de variabile aleatoare care iau valori întregi, astfel încât pentru oricare aceasta să fie valabilă pentru . $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ $k$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$ $n\la\infty$

Cel mai simplu exemplu este atunci când are o distribuție binomială cu o probabilitate de succes în fiecare dintre încercări. $\xi _{n}$ ${\frac {\lambda }{n}}$ $n$

Feedback cu momente factoriale

Să luăm în considerare o succesiune de variabile aleatoare care iau valori întregi nenegative. Dacă pentru și pentru orice fix (unde este --lea moment factorial ), atunci pentru orice pentru , avem . $\xi _{1},\xi _{2},\dots ,$ $\mu _{r}({\xi _{n)))\sim \lambda ^{r}$ $n\la\infty$ $r$ $\mu _{r}({\xi _{n)))$ $r$ $k$ $n\la\infty$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$

Dovada Lema

Mai întâi, să demonstrăm formula generală de calcul a probabilității de apariție a unei anumite valori a unei variabile aleatoare în termeni de momente factoriale. Să știm pentru unii pe toți și pentru . Apoi $\xi$ $\mu _{r}(\xi )$ $\mu _{r}(\xi )\la 0$ $r\to\infty$

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!} }}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {s!} {k!(rk)!(sr)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Schimbând ordinea însumării, această expresie poate fi convertită în

$\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1) ^{rk}s!}{k!(rk)!(sr)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{sk}{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)-t)!}}}.$

În plus, din formula binecunoscută , obținem că at și aceeași expresie degenerează în at . $\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ ${\frac {s!}{k!}}\sum _{{t=0}}^{{sk}}{{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)- t)!}}}=0$ $s>k$ $unu$ $s=k$

Astfel, se dovedește că $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!}}}.$

Demonstrarea teoremei

Conform lemei și condițiilor teoremei, pentru . $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{{r=k}}^{{\infty }}{(-1)^{{rk}}{\frac {\ lambda ^{r}}{k!(rk)!}}}=\sum \limits _{{r=0}}^({\infty }}{(-1)^{r}{\frac {\ lambda ^{{r+k}}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits _{{r=0}}^{{ \infty )){{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!} }$ $n\la\infty$

QED

Ca exemplu de consecință netrivială a acestei teoreme, se poate cita, de exemplu, tendința asimptotică de distribuție a numărului de muchii izolate (componente conectate cu două vârfuri) într-un grafic aleator de vârfuri, unde fiecare dintre muchiile este inclusă în grafic cu probabilitate . [unu] ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $n$ $p_{n}\sim {\frac {2\lambda }{n^{2))}$

Istorie

În 1837 a fost publicată „Studiile privind probabilitatea condamnării în cauzele penale și civile” [2] a lui Siméon Denis Poisson , în care a fost introdusă această distribuție . Exemple de alte situații care pot fi modelate folosind această distribuție sunt: defecțiunile echipamentelor, timpul de întreținere pentru un angajat stabil, eroarea de imprimare, creșterea bacteriilor într-o cutie Petri , defecte la o panglică sau un lanț lung, pulsurile contorului de radiații, numărul de goluri marcate de o echipă de fotbal și altele [4]

Vezi și

Note

↑ Conferință video susținută de Școala de Analiză a Datelor . Data accesului: 7 decembrie 2014. Arhivat din original pe 8 aprilie 2014. (nedefinit)
↑ Poisson, 1837 .
↑ Chukova Yu. P. Distribuția Poisson // „Quantum” : pop științific. Fiz.-Matematică. revistă - M . : "Nauka" , 1988. - Nr. 8 . — P. 15‒18 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Vince, 2012 , p. 370.

Literatură

Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teoria probabilității și aplicațiile sale de inginerie. a 2-a ed. - M . : Şcoala superioară , 2000. - 480 p. - ISBN 978-5-406-00565-1 . - S. 135.
Vince, Ralph. Matematica tehnicilor de analiză a riscurilor de gestionare a banilor pentru comercianți. — M .: Editura Alpina , 2012. — 400 p. - ISBN 978-5-9614-1894-1 .
Poisson S. D. Studii privind probabilitatea condamnării în cauze penale și civile = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. - Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. - 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8 . [Poisson.pdf ] . Arhivat din original la 1 noiembrie 2014. (nedefinit)
Guerriero V. Distribuția Legii Puterii: Metoda Statisticii Inferențiale Multiscale . — Journal of Modern Mathematics Frontier , 2012, 1 . - P. 21-28. Arhivat pe 21 februarie 2018 la Wayback Machine

Link -uri

Poisson Distribution - Calculator online

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare Marele Soviet (1 ed.) Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4253010-6 J9U : 987007558217205171 LCCN : sh85103956 NDL : 00569122

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă