Teoria Kaluza-Klein

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 aprilie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Teoria Kaluza-Klein este una dintre teoriile multidimensionale ale gravitației , care vă permite să combinați două interacțiuni fizice fundamentale: gravitația și electromagnetismul . Teoria a fost publicată pentru prima dată în 1921 de matematicianul german Theodor Kaluza , care a extins spațiul Minkowski la spațiul cu 5 dimensiuni și a derivat din ecuațiile teoriei sale ecuațiile relativității generale și ecuațiile clasice ale lui Maxwell . Rațiunea neobservabilității celei de-a cincea dimensiuni (compacitatea ei) a fost propusă de fizicianul suedez Oscar Klein în 1926 [1] .

Această teorie a fost una dintre primele teorii de succes care au pus bazele interpretării geometrice a câmpurilor gauge (și anume, singura cunoscută la momentul creării sale, în afară de gravitație, câmpul electromagnetic). A fost, de asemenea, prima teorie a unificării de succes , care, deși nu a condus la descoperiri confirmate experimental, a fost o teorie consecventă din punct de vedere intern și cu semnificație ideologică, care nu a contrazis experimentul.

Versiunea originală a teoriei nu includea alte interacțiuni fundamentale (puternice și slabe) necunoscute la acel moment și, de asemenea, nu exista loc pentru particule cu spin semiîntreg. Dar ideea teoriilor de câmp unificate multidimensionale cu spații complementare compactate și-a găsit aplicație în teoriile moderne ale supersimetriei , supergravitației și superstringurilor [2] .

Istorie

Abordarea geometrică în fizică a fost pusă de R. Descartes , I. Kant și G. Galileo . Pentru o lungă perioadă de timp, conceptul de curbură spațială nu a putut apărea în știință din cauza dominației ideilor despre omogenitatea spațiului și timpului, care se baza pe cea de -a cincea axiomă a lui Euclid și coincidea cu experiența cotidiană [3] . Respingerea axiomei paralelismului dreptelor l-a condus pe N. I. Lobachevsky la descoperirea unei noi geometrii (non-euclidiene) într-un spațiu cu curbură negativă . B. Riemann a descoperit un alt tip de geometrie non-euclidiană cu curbură pozitivă , când nu există o singură linie paralelă paralelă cu cea dată (dreptele geodezice) care să treacă prin orice punct care nu se află pe această dreaptă [4] . Geometria sferică a lui Riemann descrie lumea cu un volum finit. W. Clifford a prezis unele consecințe ale geometriei sferice, a luat în considerare idei despre lumea unui gândac care se târăște pe o sferă și a pus o întrebare despre geometria Universului nostru și legătura ei cu fizica:

Să ne întrebăm dacă nu putem considera în mod similar drept o modificare a caracterului fizic acele acțiuni care, de fapt, își datorează originea modificărilor în curbura spațiului nostru. Nu se va dovedi că toate sau unele dintre cauzele pe care le numim fizice provin din structura geometrică a spațiului nostru? [5]

Asumarea esențială a lui Clifford a fost legătura dintre câmpul electric și geometria spațiului [6] . Dar oamenii de știință implicați în căutarea unei descrieri geometrice a lumii nu au putut ajunge la construirea unei teorii generale a relativității înainte de includerea timpului ca una dintre coordonatele spațiului nostru, care a fost promovată în lucrările lui H. Lorentz , A. Einstein , G. Minkowski [7] . În 1913, M. Grossman și A. Einstein au sugerat că interacțiunea gravitațională se datorează curburii spațiului-timp cu 4 dimensiuni. La începutul anilor 1915 și 1916, aproape simultan, în lucrările lui A. Einstein și D. Hilbert au apărut ecuații pentru câmpul gravitațional [8] .

Fizica teoretică descrie lumea prin matematică, caută să găsească universalitatea în legile ei. Newton a observat că gravitația care acționează asupra unui măr este aceeași gravitație care controlează mișcarea corpurilor cerești. Astăzi sunt cunoscute patru interacțiuni fundamentale, iar teoria modernă ia în considerare posibilitatea de a descrie toate interacțiunile într-un mod unificat prin invocarea unor dimensiuni superioare [9] . În acest context, teoria cuantică a câmpului în spațiul cinci-dimensional (5D) este o extensie naturală a teoriei generale a relativității (GR) a lui Einstein [10] .

Gunnar Nordström a încercat pentru prima dată să combine teoria gravitației cu electromagnetismul, invocând cea de-a cincea dimensiune, în 1914. Dar în acest caz, a cincea componentă a fost adăugată potențialului vectorial electromagnetic, care este potențialul gravitațional newtonian, deoarece teoria sa a apărut mai devreme decât relativitatea generală și nu și-a asumat natura tensorală a potențialului gravitațional [11] , și permițând scrierea ecuațiilor lui Maxwell în cinci dimensiuni [12 ] [13] .

Dezvoltarea teoriei cinci-dimensionale (5D) este împărțită în trei etape. Conjectura originală se datorează lui Theodor Kaluza , care i-a trimis rezultatele lui Einstein în 1919 [14] și le-a publicat în 1921 [15] . Kaluza a prezentat o extensie 5D pur clasică a relativității generale cu un tensor metric de 15 componente. 10 componente sunt identificate cu o metrică spațiu-timp cu patru dimensiuni, patru componente cu un potențial vectorial electromagnetic și o componentă cu un câmp scalar neidentificat , pe care Kaluza nu l-a luat în considerare, numit uneori „ radion ” sau „dilaton”. În consecință, ecuațiile Einstein 5D dau ecuațiile Einstein 4D pentru câmp , ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic și ecuația pentru câmpul scalar. Kaluza a introdus și ipoteza „condiției cilindrice”, conform căreia niciuna dintre componentele metricii cincidimensionale nu depinde în mod explicit de coordonata a cincea. Fără această presupunere, apar termeni care includ derivate ale câmpurilor în raport cu coordonata a cincea, care, ca și câmpul scalar, nu sunt observate în experimente. Acest grad suplimentar de libertate este de așa natură încât ecuațiile câmpului de coordonată a cincea devin incredibil de complexe. Fizica standard în 4D apare atunci când se impune o condiție cilindrică, iar matematica corespunzătoare ia o formă mai simplă [16] .

În 1926, Oskar Klein a dat teoriei clasice Kaluza cinci-dimensionale o interpretare cuantică în conformitate cu descoperirile lui Heisenberg și Schrödinger [17] [18] . Klein a emis ipoteza că cea de-a cincea dimensiune este ondulată și microscopică pentru a explica condiția cilindrică, iar mișcarea ciclică în a cincea dimensiune poate explica în mod natural cuantizarea sarcinii electronilor [19] . Klein a sugerat că geometria celei de-a cincea dimensiuni suplimentare ar putea fi circulară cu o rază de 10 -30 cm . Klein a contribuit, de asemenea, la teoria clasică prin furnizarea unei metrici 5D normalizate în mod corespunzător [18] . Lucrările asupra teoriei câmpului Kaluza au continuat până în anii 1930 de către Einstein și colegii săi de la Princeton [20] .

Teoria originală Kaluza-Klein este considerată incorectă din mai multe motive. În special, compactarea celei de-a cincea dimensiuni conduce la concluzia că particulele care vor domina lumea trebuie să aibă mase Planck, ceea ce nu este observat în experiment. Această problemă este cunoscută sub numele de problema ierarhiei de masă . Ignorarea câmpului scalar al lui Calucei nu lasă nicio modalitate de a explica prezența energiei întunecate în Universul nostru [19] . De asemenea, după Einstein, condiția cilindrică, care este cauza apariției maselor, exclude interpretarea geometrică a maselor [21] .

În anii 1940, teoria clasică a fost finalizată și ecuațiile complete ale câmpului, inclusiv câmpul scalar, au fost obținute de trei grupuri de cercetare independente [22] : Thiry [23] [24] [25] , lucrând în Franța la o disertație sub Lichnerovich. ; Jordan, Ludwig și Müller în Germania [26] [27] [28] [29] [30] , cu contribuții critice ale lui Pauli și Fierz; și Scherrer [31] [32] [33] care lucra singur în Elveția. Lucrările lui Jordan au condus la teoria tensorilor scalari Brans-Dicke [34] ; Bruns și Dike, evident, nu știau despre Tiri și Scherrer. Ecuațiile complete ale Kaluza cu condiția cilindrică sunt destul de complexe, iar majoritatea recenziilor în limba engleză, precum și traducerile în engleză ale lui Thiry, conțin unele erori. Tensorii de curbură pentru ecuațiile complete ale lui Kaluza au fost calculați folosind sistemul de calcul algebră tensorială în 2015 [35] , verificând rezultatele Ferrari [36] și Coquero și Esposito-Farese [37] . Forma covariantă 5D a sursei (tensorul energiei-impuls) a fost considerată de Williams [38] .

Ipoteza lui Kaluza

În lucrarea sa din 1921 [15] , Kaluza a folosit toate elementele teoriei clasice cinci-dimensionale: metrica, ecuațiile de câmp, ecuațiile de mișcare, tensorul energie-impuls și condiția cilindrică. Fără a folosi parametri liberi, el a extins relativitatea generală la cinci dimensiuni.

Să începem cu o ipoteză despre forma metricii cinci-dimensionale. , unde indicii latini acoperă cinci dimensiuni. Introducem, de asemenea, o metrică spațiu-timp cu patru dimensiuni , în care indicii greci acoperă cele patru dimensiuni obișnuite ale spațiului și timpului; Vectorul 4 este identificat cu potențialul vector electromagnetic; și câmp scalar [39] . Apoi împărțim metrica 5D astfel încât metrica 4D să fie încadrată de un potențial vectorial electromagnetic cu un câmp scalar în poziția a cincea pe diagonală. Aceasta poate fi reprezentată ca: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${g}_{\mu \nu )$ $A^{\mu }$ $\phi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}\,.

Mai precis, se poate scrie

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv \phi ^{2}\,,

unde indicele indică a cincea coordonată prin convenție, în timp ce primele patru coordonate au indici 0, 1, 2 și 3. Metrica inversă corespunzătoare este $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alfa \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Această expansiune este destul de generală și toți termenii sunt adimensionali. Kaluza aplică apoi aparatul relativității generale standard acestei metrici . Ecuațiile câmpului sunt derivate din ecuațiile Einstein cu cinci dimensiuni , în timp ce ecuațiile de mișcare sunt derivate din ipoteza geodezică cu cinci dimensiuni. Ecuațiile de câmp rezultate dau atât ecuații de relativitate generală, cât și ecuații de electrodinamică; ecuațiile de mișcare dau ecuația bidimensională a geodezicii și legea forței Lorentz [40] , și se constată că sarcina electrică se identifică cu mișcarea în dimensiunea a cincea.

Ipoteza metrică implică faptul că există un element de lungime cincidimensional invariant [39] : $\operatorname {d} \!s$

\operatorname {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operatorname {d} \!x^{a}\operatorname {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\operatorname {d} \!x^{\nu }+\phi ^{2}\left(A_{\nu }\operatorname {d} \ !x^{\nu }+\operatorname {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Ecuații de câmp din conjectura lui Kaluza

Ecuațiile de câmp ale teoriei 5D nu au fost niciodată definite corect de Kaluza sau Klein, deoarece au ignorat câmpul scalar. Derivarea ecuațiilor complete ale câmpului Kaluza este de obicei atribuită lui Thiry [24] care a obținut ecuațiile câmpului în vid. Kaluza [15] a scris inițial tensorul energie-impuls pentru teoria sa, iar Thiry a inclus tensorul energie-impuls în disertația sa. Dar, așa cum a descris Gonner [22] , mai multe grupuri independente au lucrat la ecuații de câmp în anii 1940 și mai devreme. Thiry este probabil cel mai cunoscut doar pentru că Applequist, Chodos și Freund au publicat o traducere în limba engleză a lucrării sale în cartea lor de recenzii [41] . Applequist și colaboratorii au publicat și o traducere în engleză a articolului lui Kaluza. Lucrările lui Jordan nu au fost traduse în engleză [26] [27] [29] . Primele ecuații corecte ale câmpului Kaluza în limba engleză, inclusiv câmpul scalar, au fost obținute de Williams [35] .

Pentru a obține ecuațiile câmpului 5D, simbolurile de conexiune Christoffel 5D sunt calculate din metrica 5D , iar tensorul Ricci 5D este calculat din simbolurile de conexiune Christoffel 5D. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Rezultatele clasice ale lui Thiry și ale altor autori au fost obținute folosind condiția cilindrică:

{\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0

Fără această ipoteză, ecuațiile câmpului devin mult mai complexe, conducând la mult mai multe grade de libertate care pot fi identificate cu diferite câmpuri noi. Paul Wesson și colegii săi au încercat să slăbească condiția cilindrică pentru a obține termeni suplimentari care pot fi identificați cu câmpurile de materie [42] , pentru care Kaluza [15] a introdus manual tensorul energie-impuls.

Obiecția față de ideea inițială a lui Kaluza a fost folosirea celei de-a cincea dimensiuni, dar fără dinamica ei. Totuși, Thiry a susținut [22] că interpretarea legii pentru forța Lorentz în termenii unei geodezice 5-dimensionale contrazice puternic existența unei a cincea dimensiuni, indiferent de condiția cilindrică. Prin urmare, majoritatea autorilor au folosit condiția cilindrică la derivarea ecuațiilor de câmp. În plus, se presupun de obicei ecuații de vid pentru care

{\widetilde {R}}_{ab}=0

Unde

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

și

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

Ecuațiile câmpului de vid obținute în acest fel de Thiry [24] și grupul lui Jordan [26] [27] [29] sunt scrise mai jos.

Ecuația câmpului pentru se obține din ${\displaystyle A^{\nu ))$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta}F_{\alpha \beta}

unde , , și este derivata covariantă standard cu patru dimensiuni. Ecuația arată că câmpul electromagnetic este sursa câmpului scalar. Rețineți că câmpul scalar nu poate fi presupus a fi constant fără a impune o constrângere adecvată câmpului electromagnetic. Interpretările anterioare ale lui Kaluza și Klein nu au descris în mod adecvat câmpul scalar și nu au luat în considerare constrângerea rezultată asupra câmpului electromagnetic, presupunând un câmp scalar constant. $F_{\alpha \beta}\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta}-\partial _{\beta}A_{\alpha }$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu ))$ $\nabla _{\mu }$

Ecuația câmpului pentru tensorul Ricci cu patru dimensiuni este obținută din $R_{\mu \nu }$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\right)

Dacă câmpul scalar este constant, atunci are forma ecuațiilor de vid ale lui Maxwell.

{\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R&={1 \over 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alfa \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \over 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \right)\end{aligned))

unde este scalarul Ricci standard 4D. $R$

Din această ecuație, numită de A. Salam „miracolul lui Kaluza” [43] rezultă un rezultat remarcabil – forma exactă a tensorului energie-impuls al câmpului electromagnetic ia naștere din ecuațiile de vid 5D ca sursă în ecuațiile 4D – câmpul din vid. Un alt miracol implică explicarea invarianței gauge [44] . Forma tensorului energie-impuls al câmpului electromagnetic ne permite să-l identificăm în final cu potențialul vectorial electromagnetic. Pentru a face acest lucru, câmpul trebuie scalat folosind constanta de transformare : . Relația de mai sus arată că constanta ar trebui să fie de forma $A^{\mu }$ $k$ $A^{\mu }\rightarrow kA^{\mu }$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}

unde este constanta gravitațională și este permeabilitatea magnetică a spațiului liber . În teoria lui Kaluza, constanta gravitațională poate fi înțeleasă ca o constantă de cuplare electromagnetică într-o metrică. Există, de asemenea, un tensor de energie-impuls pentru un câmp scalar. Câmpul scalar se comportă ca o constantă gravitațională variabilă în ceea ce privește modularea conexiunii tensorului energie-impuls al câmpului electromagnetic cu curbura spațiu-timp. Semnul în metrică este fixat în conformitate cu teoria 4D, astfel încât densitățile de energie electromagnetică sunt pozitive. Se presupune adesea că a cincea coordonată este asemănătoare spațiului în semnătura sa în metrică. $G$ $\mu_{0}$ $\phi ^{2}$

În prezența materiei, condiția de vid 5D este încălcată. Într-adevăr, Kaluza nu se aștepta la asta. Ecuațiile câmpului complet necesită calculul tensorului Einstein 5D

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

după cum se vede din reconstrucția tensorului energie-impuls al câmpului electromagnetic de mai sus. Tensorii de curbură 5D sunt complexi, iar majoritatea recenziilor în limba engleză conțin erori în sau la fel ca traducerile lor în limba engleză [24] . Vezi Williams [35] pentru un set complet de tensori de curbură 5D cu o condiție cilindrică calculată cu un program de algebră tensorală. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Ecuații de mișcare din ipoteza lui Kaluza

Ecuațiile mișcării sunt derivate din ipoteza geodezică cu cinci dimensiuni [15] în termenii vitezei de 5 : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Această ecuație poate fi transformată în mai multe moduri și a fost studiată în diferite forme de autori printre care Kaluza [15] , Pauli [45] , Gross și Perry [46] , Hegenberg și Kunstatter [47] și Wesson și Ponce de Leon [48] ] . dar pentru o mai bună înțelegere, este util să îl convertiți înapoi la elementul de lungime 4-dimensional obișnuit , care este legat de elementul de lungime 5-dimensional , ca mai sus: $c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu )$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu }dx^{\nu }+dx^{5}\right )^{2}

Apoi, ecuația geodezică 5D poate fi scrisă [49] pentru componentele spațio-temporale ale vitezei cu 4,

{\begin{aligned}&U^{\nu }\equiv {dx^{\nu } \over d\tau }\\&{dU^{\nu } \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\right)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\right)=0\end{aligned}}

Un termen pătratic în , are ca rezultat o ecuație geodezică 4D plus câțiva termeni electromagnetici: ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{ \beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Termenul, liniar în , conduce la legea forței Lorentz : ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alfa \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Aceasta este o altă expresie a „miracolului lui Kaluza”. Aceeași ipoteză pentru metrica 5D care produce tensorul energie-impuls câmp electromagnetic în ecuațiile Einstein oferă, de asemenea, legea forței Lorentz în ecuația de mișcare împreună cu ecuația geodezică 4D. Cu toate acestea, conformitatea cu legea forței Lorentz necesită ca componenta cu 5 viteze de-a lungul celei de-a cincea dimensiuni să fie identificată cu sarcina electrică:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\rightarrow {q \over mc}

unde este masa particulei și este sarcina electrică a particulei. Astfel, sarcina electrică este înțeleasă ca mișcare de-a lungul celei de-a cincea dimensiuni. Faptul că legea forței lui Lorentz poate fi înțeleasă ca o geodezică în 5 dimensiuni a fost principala motivație a lui Kaluza pentru a lua în considerare ipoteza 5-dimensională chiar și în prezența condiției cilindrice neplăcute din punct de vedere estetic. $m$ $q$

Dar există o problemă: termenul, care este pătratic în , duce la ecuație $U^{5}$

{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}

Dacă nu există gradient în câmpul scalar, atunci termenul pătratic în dispare. Dar în rest, din expresia de mai sus rezultă $U^{5}$

U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2}}}

Pentru particulele elementare . Termenul pătratic în trebuie să domine în ecuație, posibil în contradicție cu faptele experimentale. Acesta a fost principalul neajuns al teoriei 5-dimensionale, așa cum a văzut-o Kaluza [15] , pe care a considerat-o în lucrarea sa originală. Yu. S. Vladimirov evidențiază următoarele neajunsuri ale teoriei: semnificația fizică a celei de-a cincea componente și -componentă a tensorului metric nu este clară; cauza stării cilindrice nu este clară; o astfel de unire este formală și nu dă noi predicții verificabile experimental și altele [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ $U^{5}$ $G_{55}$

Ecuația mișcării pentru este simplificată în special în condiția cilindrice. Să începem cu o formă alternativă a ecuației geodezice scrisă pentru o viteză covariantă cu 5: $U^{5}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \partial x^{a}}

Aceasta înseamnă că, ținând cont de condiția cilindrică , constanta mișcării 5-dimensionale este: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5}\right)={\rm {constant))

Ipoteza lui Kaluza despre tensorul energie-impuls al materiei

Kaluza [15] a propus să utilizeze tensorul energie-impuls materiei 5D în formă ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

unde este densitatea și elementul de lungime definite mai sus. $\rho$ $ds$

Apoi componenta spațiu-timp oferă un tensor tipic de energie-impuls al materiei praf :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

Partea mixtă servește ca o sursă de 4 curenți pentru ecuațiile lui Maxwell:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}

Așa cum o metrică cu cinci dimensiuni include o metrică cu patru dimensiuni încadrată de un potențial vectorial electromagnetic, un tensor de energie-impuls 5-dimensional include un tensor de energie-impuls 4-dimensional încadrat de un vector 4-curent.

Interpretarea cuantică a lui Klein

Ipoteza originală a lui Kaluza a fost pur clasică și relativitatea generală extinsă. Până la momentul contribuției lui Klein, descoperirile lui Heisenberg, Schrödinger și de Broglie au atras multă atenție. Lucrarea lui Klein în Nature [18] sugerează că a cincea dimensiune este închisă și periodică și că identificarea sarcinii electrice cu mișcarea în a cincea dimensiune poate fi interpretată ca unde staționare cu o lungime de undă similară cu electronii din jurul unui nucleu în modelul Bohr de un atom. Atunci cuantificarea sarcinii electrice ar putea fi bine înțeleasă în termeni de multipli întregi ai impulsului cincidimensional. Combinând rezultatul anterior al lui Kaluza în ceea ce privește sarcina electrică și relația de impuls a lui de Broglie , Klein a derivat o expresie pentru modul 0 al unor astfel de unde: $\lambda ^{5}$ $U^{5}$ $p^{5}=h/\lambda ^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

unde este constanta lui Planck. Klein a găsit cm și, prin urmare, o explicație pentru starea cilindrică la o valoare atât de mică. $h$ $\lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}$

Articolul lui Klein din Zeitschrift für Physik din același an [17] oferă o discuție mai detaliată, care utilizează în mod explicit metodele lui Schrödinger și de Broglie. Ea a reprodus o mare parte din teoria clasică a lui Kaluza descrisă mai sus și apoi a trecut la interpretarea cuantică a lui Klein. Klein a rezolvat o ecuație de undă similară cu cea a lui Schrödinger folosind o expansiune în termeni de unde cinci-dimensionale care rezonează într-o a cincea dimensiune închisă, compactă.

Interpretarea teoriei grupurilor

În 1926, Oskar Klein a sugerat că a patra dimensiune spațială este înfășurată într-un cerc cu o rază foarte mică , astfel încât o particulă care se mișcă o mică distanță de-a lungul acestei axe se va întoarce la punctul de plecare. Distanța pe care o poate parcurge o particulă înainte de a ajunge la poziția inițială se numește dimensiunea dimensiunii. Această dimensiune suplimentară este un set compact , iar construcția acestei dimensiuni compacte se numește compactare .

În geometria modernă, a cincea dimensiune suplimentară poate fi înțeleasă ca grupa U(1) , deoarece electromagnetismul poate fi formulat în esență ca o teorie gauge pe un fascicul , un fascicul pe un cerc , cu un grup gauge U(1). În teoria Kaluza-Klein, acest grup presupune că simetria gauge este simetria spațiilor circulare compacte. Odată ce această interpretare geometrică este acceptată, este relativ ușor să schimbăm faptul că U(1) este un grup general de Lie . Asemenea generalizări sunt adesea numite teorii Yang-Mills . Dacă se face o distincție, atunci teoriile Yang-Mills apar în spațiu-timp plat, în timp ce Kaluza-Klein ia în considerare cazul mai general al spațiu-timp curbat. Spațiul de bază al teoriei Kaluza-Klein nu trebuie să fie spațiu-timp cu patru dimensiuni; poate fi orice ( pseudo ) varietate riemanniană , varietate supersimetrică , orbifold sau chiar un spațiu necomutativ .

Construcția poate fi descrisă aproximativ după cum urmează [51] . Începem prin a considera un fascicul principal P cu un grup de gabarit G peste o varietate M. Având în vedere o conexiune pe fascicul, o metrică pe colectorul de bază și o metrică invariantă de gabarit pe tangenta la fiecare fibră, putem construi un fascicul . metrica definită pe întregul pachet. Calculând curbura scalară a acestei metrici de mănunchi, constatăm că este constantă pe fiecare strat: acesta este „miracolul lui Kaluza”. Nu a fost nevoie de a impune în mod explicit o condiție cilindrică sau de a compacta: prin presupunere, grupul de calibre este deja compact. Apoi această curbură scalară este luată ca densitate a Lagrangianului și, pornind de la aceasta, se construiește acțiunea Einstein-Hilbert pentru mănunchiul în ansamblu. Ecuațiile mișcării, ecuațiile Euler-Lagrange , pot fi obținute în mod obișnuit, luând în considerare o acțiune staționară în raport cu variațiile fie ale metricii pe varietatea subiacentă, fie ale conexiunii gabaritului. Variațiile față de metrica de bază dau ecuații de câmp Einstein pe varietatea de bază, unde tensorul energie-impuls este dat de curbura conexiunii gabaritului . Pe de altă parte, acțiunea este staționară în raport cu variațiile relației gauge exact atunci când relația gauge este o soluție a ecuației Yang-Mills . Astfel, aplicând o singură idee: principiul celei mai mici acțiuni la o singură mărime: curbura scalară pe fascicul (în ansamblu), se pot obține simultan toate ecuațiile de câmp necesare atât pentru câmpul spațiu-timp, cât și pentru câmpul gauge.

Ca o abordare a unificării forțelor, este ușor să aplicați teoria Kaluza-Klein în încercarea de a unifica gravitația cu forțe puternice și electroslabe folosind grupul de simetrie SU(3) × SU(2) × U(1) al modelului standard. . Totuși, încercarea de a transforma această construcție geometrică interesantă într-un model cu drepturi depline al realității eșuează din cauza unei serii de dificultăți, inclusiv a faptului că fermionii trebuie introduși artificial (în modelele nesupersimetrice). Cu toate acestea, teoria Kaluza-Klein rămâne o piatră de încercare importantă în fizica teoretică și este adesea încorporată în teorii mai complexe. Este studiat în sine ca obiect de interes geometric în teoria K.

Chiar și în absența unei baze pe deplin satisfăcătoare a fizicii teoretice, ideea de a explora dimensiuni suplimentare, compactate, prezintă un interes considerabil în comunitățile experimentale și astrofiziciene . Se pot face multe predicții cu implicații experimentale reale (în cazul dimensiunilor suplimentare mari și modelelor distorsionate ). De exemplu, pe baza celor mai simple principii, ne-am aștepta la unde staționare într-o dimensiune sau dimensiuni suplimentare compactate. Dacă dimensiunea extraspațială are o rază R , masa invariantă a unor astfel de unde staționare va fi M n = nh / Rc, unde n este un număr întreg , h este constanta lui Planck și c este viteza luminii . Acest set de valori posibile de masă este adesea denumit turnul Kaluza-Klein . În mod similar, în teoria câmpului cuantic la temperaturi diferite de zero, compactarea dimensiunii timpului euclidian duce la frecvențe Matsubara și, prin urmare, la un spectru de energie termică discretă.

Totuși, abordarea lui Klein față de teoria cuantică este eronată și, de exemplu, duce la o masă de electroni calculată de ordinul masei Planck [52] .

Exemple de implicații verificabile experimental ale teoriei includ munca de colaborare CDF , care a reanalizat datele de coliziune de particule pentru a identifica efectele asociate cu dimensiuni suplimentare mari și modele deformate .

Brandenberger și Wafa au sugerat că în universul timpuriu , inflația cosmică a făcut ca trei dimensiuni spațiale să se extindă la dimensiuni cosmologice, în timp ce dimensiunile rămase ale spațiului au rămas microscopice.

Teoria spațiu-timp-materie

O variantă particulară a teoriei Kaluza-Klein, cunoscută sub numele de teoria spațiu-timp-materie sau teoria materiei induse , a fost explorată în principal de Paul Wesson și alți membri ai Consorțiului spațiu-timp-materie [53] . Această versiune a teoriei notează că soluțiile ecuației

{\widetilde {R}}_{ab}=0

poate fi reformulat astfel încât în patru dimensiuni aceste soluții să satisfacă ecuațiile lui Einstein

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

cu forma exactă T μν care decurge din condiția privind dispariția tensorului Ricci în spațiul cincidimensional. Cu alte cuvinte, condiția cilindrică nu este utilizată, iar acum tensorul energie-impuls este obținut din derivatele metricii 5D față de a cincea coordonată. Deoarece tensorul energie-impuls este de obicei considerat în spațiul cu patru dimensiuni cu materie, rezultatul de mai sus poate fi interpretat ca materie cu patru dimensiuni indusă de geometria spațiului cu cinci dimensiuni.

În special, soluțiile solitonilor conțin metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker atât în formele dominate de radiații (universul timpuriu), cât și în formele dominate de materie (universul târziu). Se poate demonstra că ecuațiile generale sunt suficient de strâns de acord cu testele clasice ale relativității generale pentru a fi acceptabile din punct de vedere al principiilor fizice, permițând totuși o latitudine considerabilă în alegerea modelelor cosmologice interesante . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Interpretare geometrică

Teoria Kaluza-Klein are o expunere deosebit de elegantă în ceea ce privește geometria. Într-un anumit sens, aceasta este similară cu gravitația obișnuită în spațiul liber , cu excepția faptului că este exprimată în cinci dimensiuni în loc de patru.

Ecuațiile lui Einstein

Ecuațiile care descriu gravitația obișnuită în spațiul liber pot fi obținute din acțiune prin aplicarea principiului variațional la o anumită acțiune . Fie M o varietate ( pseudo ) Riemanniană care poate fi luată ca spațiu-timp al relativității generale . Dacă g este o metrică pe această varietate, acțiunea S ( g ) este definită ca

S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

unde R ( g ) este curbura scalară și vol( g ) este elementul de volum . Aplicarea principiului variațional la acțiune

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

obținem exact ecuațiile lui Einstein pentru spațiul liber:

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0

unde R ij este tensorul Ricci .

Ecuațiile lui Maxwell

În contrast, ecuațiile lui Maxwell care descriu electromagnetismul pot fi înțelese ca ecuațiile Hodge ale unui mănunchi U(1) principal sau mănunchi de cerc cu o fibră U(1) . Adică, câmpul electromagnetic este o formă armonică 2 în spațiul formelor 2 diferențiabile de pe varietatea . În absența sarcinilor și a curenților, ecuațiile lui Maxwell într-un câmp liber au forma $\pi:P\la M$ $F$ $\Omega ^{2}(M)$ $M$

\mathrm {d} F=0\quad {\text {și)}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

unde este steaua Hodge . $\star$

Geometria lui Kaluza-Klein

Pentru a construi teoria Kaluza-Klein, pe cerc se alege o metrică invariantă , adică fibra fasciculului U(1) al electromagnetismului. În această discuție , o metrică invariantă este pur și simplu o metrică care este invariantă în cazul rotațiilor cercului. Să presupunem că această metrică dă cercului o lungime totală . Apoi, valorile de pe pachet sunt considerate care sunt în concordanță atât cu metrica fibrelor, cât și cu metrica pe varietatea de bază . Condiții de consistență: $S^{1}$ $\lambda$ ${\widehat {g)}$ $P$ $M$

Proiecția în subspațiul vertical trebuie să fie în concordanță cu metrica de pe stratul de deasupra punctului de pe colector . ${\widehat {g)}$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P$ $M$
Proiecția în subspațiul orizontal al spațiului tangent într-un punct trebuie să fie izomorfă cu metrica pe la . ${\widehat {g)}$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P$ $p\in P$ $g$ $M$ $\pi (P)$

Acțiunea Kaluza-Klein pentru o astfel de metrică este dată de

S({\widehat {g)})=\int _{P}R({\widehat {g)})\;{\mbox{vol)}({\widehat {g))}\,

Curbura scalară scrisă în componente se extinde apoi la

R({\widehat {g)})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\dreapta),

unde este codiferenţialul proiecţiei fasciculului de fibre . Conexiunea pe stratul mănunchiului este legată de tensorul câmpului electromagnetic $\pi ^{*}$ $\pi:P\la M$ $A$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

Faptul că o astfel de conexiune există întotdeauna, chiar și pentru pachetele de topologie arbitrar complexă, este rezultatul omologiei și, în special, al teoriei K. Aplicând teorema Fubini și integrând peste strat, obținem

S({\widehat {g)}}=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\dreapta)\;{\mbox{vol}}(g)

Variind acțiunea față de componenta , ajungem la ecuațiile lui Maxwell. Aplicând principiul variațional la metrica de bază , obținem ecuațiile Einstein $A$ $g$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

cu tensorul energie-impuls dat ca

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},

care se numește uneori tensorul maxwellian de stres .

Teoria originală definește cu o metrică de strat și îi permite să varieze de la strat la strat. În acest caz, legătura dintre gravitație și câmpul electromagnetic nu este constantă, ci are propriul său câmp dinamic - radionic . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Generalizări

Mai sus, dimensiunea buclei acționează ca o constantă de cuplare între câmpul gravitațional și câmpul electromagnetic. Dacă varietatea de bază este patrudimensională, atunci varietatea Kaluza-Klein P este cincidimensională. A cincea dimensiune este un spațiu compact , care se numește dimensiunea compactă . Metoda de introducere a dimensiunilor compacte pentru a obține o varietate multidimensională se numește compactare . Compactificarea nu realizează acțiuni de grup asupra fermionilor chirali, cu excepția cazurilor foarte specifice: dimensiunea întregului spațiu trebuie să fie 2 mod 8, iar indicele G al operatorului Dirac al spațiului compact trebuie să fie diferit de zero [54] . $\lambda$

Dezvoltarea de mai sus se generalizează mai mult sau mai puțin direct la pachetele G principale generale pentru un grup arbitrar de Lie G care ocupă locul lui U(1) . În acest caz, teoria este adesea numită teoria Yang-Mills . Dacă varietatea de bază este supersimetrică , atunci teoria rezultată este o teorie Yang-Mills supersimetrică.

Verificare experimentală

Nu au existat rapoarte oficiale despre semne experimentale sau observaționale de dimensiuni suplimentare. Multe metode teoretice de căutare au fost propuse pentru a detecta rezonanțe Kaluza-Klein folosind interacțiunea în masă a unor astfel de rezonanțe cu quarcul superior . Cu toate acestea, observarea unor astfel de rezonanțe la Large Hadron Collider este puțin probabilă. O analiză a rezultatelor LHC din decembrie 2010 limitează sever teoriile cu dimensiuni suplimentare mari [55] .

Observarea bosonului de tip Higgs la LHC stabilește un nou test empiric care poate fi aplicat la căutarea rezonanțelor Kaluza-Klein și a particulelor supersimetrice. Diagramele Feynman în buclă , care există în interacțiunile Higgs, permit oricărei particule cu o sarcină electrică și o masă să se miște de-a lungul unei astfel de bucle. Particulele modelului standard, altele decât quarcul superior și bosonul W , nu contribuie mult la secțiunea transversală observată în H → γγ , dar dacă noi particule apar în afara modelului standard, ele ar putea modifica raportul dintre modelul standard prezis H → γγ la secțiunea observată experimental. Prin urmare, măsurarea oricărei modificări bruște a H → γγ prezisă de Modelul Standard este critică pentru studiul fizicii dincolo de limitele sale.

O altă lucrare mai recentă din iulie 2018 [56] oferă o oarecare speranță acestei teorii; în lucrare ei contestă faptul că gravitația pătrunde în dimensiuni superioare, ca în teoria branelor. Totuși, articolul arată că câmpul electromagnetic și gravitația au același număr de dimensiuni, iar acest fapt confirmă teoria Kaluza-Klein; dacă numărul de dimensiuni este de fapt 3 + 1 sau de fapt 4 + 1 este o chestiune de dezbatere ulterioară.

Vezi și

Dimensiuni suplimentare universale

Note

↑ A. A. Starobinsky. Kaluza - Teoria Klein // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1990. - T. 2: Factorul de calitate - Magneto-optică. - 704 p. — 100.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kalutsy - Teoria Klein / A. A. Starobinsky // Marea Enciclopedie Rusă [Resursă electronică]. — 2004.
↑ Vladimirov, 2009 , p. unsprezece.
↑ Vladimirov, 2009 , p. cincisprezece.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 16.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 17.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 19.
↑ Vladimirov, 2009 , p. 21-22.
↑ Wesson, 2006 , p. unu.
↑ Wesson, 2006 , p. 1-2.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , p. 307.
↑ Nordström, Gunnar (1914). „Despre posibilitatea unificării câmpurilor gravitaționale și electromagnetice”. Fiz. Zeitschr . 15 :504-506. arXiv : fizica/0702221 .
↑ Keskinen, Raimo. Gunnar Nordström & Suomen Einstein (fin.) (link indisponibil) (25 iunie 2007). Preluat la 10 iulie 2021. Arhivat din original la 3 martie 2016.
↑ Pais, Abraham. Subtil este Domnul...: Știința și viața lui Albert Einstein . - 1982. - P. 329-330 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kaluza, Theodor (1921). „Zum Unitätsproblem in der Physik”. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Fizic.) : 966-972. Cod biblic : 1921SPAW .......966K .
↑ Wesson, 2006 , p. 3-4.
↑ 1 2 Klein, Oskar (1926). „Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie”. Zeitschrift blana Physik A . 37 (12): 895-906. Cod biblic : 1926ZPhy ...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
↑ 1 2 3 Klein, Oskar (1926). „Atomicitatea electricității ca lege a teoriei cuantice.” natura . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038/118516a0 .
↑ 12 Wesson , 2006 , p. 5.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , p. 308.
↑ Wesson, 2006 , p. 6.
↑ 1 2 3 Goenner, H. (2012). „Câteva observații despre geneza teoriilor scalare-tensoare.” Relativitatea generală și gravitația . 44 (8): 2077-2097. arXiv : 1204,3455 . Cod biblic : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007/s10714-012-1378-8 .
↑ Lichnerowicz, A. (1947). „Probleme de calcul des variații liés à la dinamică clasică și à la teoria unitaire du champ.” Compt. Rupe. Acad. sci. Paris . 224 : 529-531.
↑ 1 2 3 4 Thiry, Y. (1948). „Les équations de la théorie unitaire de Kaluza”. Compt. Rupe. Acad. sci. Paris . 226 : 216-218.
↑ Thiry, Y. (1948). „Sur la regularité des champs gravitationnel et electromagnétique in the theories unitaires”. Compt. Rupe. Acad. sci. Paris . 226 : 1881-1882.
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1946). „Relativistische Gravitationstheorie mit variar Gravitationskonstante”. Naturwissenschaften . 11 (8): 250-251. Cod biblic : 1946NW .....33..250J . DOI : 10.1007/BF01204481 .
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1947). „Uber die Feldgleichungen der Gravitation bei variar „Gravitationslonstante ” ”. Z.Naturforsch . 2a (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA...2....1J . DOI : 10.1515/zna-1947-0102 .
↑ Ludwig, G. (1947). „Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie” . Z.Naturforsch . 2a (1): 3-5. Bibcode : 1947ZNatA...2....3L . DOI : 10.1515/zna-1947-0103 . Arhivat din original pe 04.10.2020 . Preluat 2021-07-10 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1948). Funfdimensionale Kosmologie. Astron. Nachr . 276 (5-6): 193-208. Cod biblic : 1948AN ....276..193J . DOI : 10.1002/asna.19482760502 .
↑ Ludwig, G. (1948). „Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung”. Annalen der Physik . 2 (6): 76-84. Bibcode : 1948AnP...437...76L . DOI : 10.1002/andp.19484370106 .
↑ Scherrer, W. (1941). „Bemerkungen zu meiner Arbeit: „Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen ” ”. Helv. Fiz. Acta . 14 (2): 130.
↑ Scherrer, W. (1949). „Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld”. Helv. Fiz. Acta . 22 : 537-551.
↑ Scherrer, W. (1950). „Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)”. Helv. Fiz. Acta . 23 :547-555.
↑ Brans, CH (1 noiembrie 1961). „Principiul lui Mach și o teorie relativistă a gravitației” . Revizuirea fizică . 124 (3): 925-935. Cod biblic : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ 1 2 3 Williams, LL (2015). „Ecuații de câmp și lagrangian pentru metrica Kaluza evaluată cu software-ul Tensor Algebra” (PDF) . Jurnalul gravitației . 2015 . DOI : 10.1155/2015/901870 . Arhivat (PDF) din original pe 2021-06-30 . Preluat 2021-07-10 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Ferrari, JA (1989). „Despre o soluție aproximativă pentru un obiect încărcat și dovezi experimentale pentru teoria Kaluza-Klein”. Gen. relativ. Gravit . 21 (7). Cod biblic : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007/BF00759078 .
↑ Coquereaux, R. (1990). „Teoria lui Kaluza-Klein-Iordan-Thiry revăzută”. Annales de l'Institut Henri Poincare . 52 .
^ Williams, LL (2020). „Ecuațiile de câmp și lagrangianul tensorului energie-impuls Kaluza”. Progrese în fizica matematică . 2020 . DOI : 10.1155/2020/1263723 .
↑ 12 Wesson , 2006 , p. 13.
↑ Wesson, 2006 , p. paisprezece.
↑ Appelquist, Thomas. Teorii moderne Kaluza–Klein / Thomas Appelquist, Chodos, Alan, Freund, Peter GO. - Menlo Park, Cal. : Addison-Wesley, 1987. - ISBN 978-0-201-09829-7 .
^ Wesson, Paul S. Space–Time–Matter, Modern Kaluza–Klein Theory . - Singapore: World Scientific, 1999. - ISBN 978-981-02-3588-8 .
↑ Vladimirov, 2012 , p. 16.
↑ Nugayev Rinat M. Space-Time Dimension Problem as a Stumbling Block of Inflationary Cosmology // Metauniverse, Space, Time / Vadim V. Kazutinsky, Elena A. Mamchur, Alexandre D. Panov & VD Erekaev (eds.). - Institutul de Filosofie al RAS, 2013. - P. 52-73. (Rusă)
↑ Pauli, Wolfgang. Teoria relativității . - 1958. - P. Suplimentul 23.
↑ Gross, DJ (1983). „Monopurile magnetice în teoriile Kaluza-Klein”. Nucl. Fiz. b . 226 (1): 29-48. Cod biblic : 1983NuPhB.226 ...29G . DOI : 10.1016/0550-3213(83)90462-5 .
↑ Gegenberg, J. (1984). „Mișcarea particulelor încărcate în spațiu-timp Kaluza–Klein”. Fiz. Lett . 106A (9). Cod biblic : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016/0375-9601(84)90980-0 .
↑ Wesson, PS (1995). „Ecuația mișcării în cosmologia Kaluza-Klein și implicațiile sale pentru astrofizică.” Astronomie și Astrofizică . 294 . Cod biblic : 1995A &A...294....1W .
↑ Williams, LL (2012). „Fizica controlului electromagnetic al spațiului și al gravitației” . Actele celei de-a 48-a conferințe comune de propulsie AIAA . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514/6.2012-3916 .
↑ Vladimirov, 1987 , p. 45-46.
↑ David Bleecker, „ Gauge Theory and Variational Principles Arhivat 9 iulie 2021 la Wayback Machine ” (1982) Editura D. Reidel (vezi capitolul 9 )
↑ Ravndal, F., Oskar Klein și a cincea dimensiune, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
↑ 5Dstm.org . Preluat la 10 iulie 2021. Arhivat din original la 21 august 2013. (nedefinit)
↑ L. Castellani et al., Supergravity and superstrings, Vol. 2, capitolul V.11
↑ CMS Collaboration, „Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider”, https://arxiv.org/abs/1012.3375 Arhivat la 10 august 2017 la Wayback Machine
↑ Limite ale numărului de dimensiuni spațiu-timp din GW170817 , https://arxiv.org/abs/1801.08160 Arhivat la 3 noiembrie 2019 la Wayback Machine

Literatură

Vladimirov Yu. S. Dimensiunea spațiu-timp fizic și asocierea interacțiunilor. - M. : Editura Universității de Stat din Moscova, 1987. - 215 p.
Vladimirov Yu. S. Teoria clasică a gravitației. - M . : Knizhny dom LIBROKOM, 2009. - 264 p. - ISBN 978-5-397-00884-6 .
Vladimirov Yu. S. Geometrofizică. - Ed. a II-a, Rev. - M. : Binom. Laboratorul de cunoștințe, 2012. - 536 p. - ISBN 978-5-9963-0303-8 .
Hodos, A. Kaluza-Klein theories: a general overview // Phys . - 1985. - T. 146 . - S. 647-654 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508d.0647 .
Wesson, Paul S. Fizica cinci-dimensională: consecințele clasice și cuantice ale cosmologiei Kaluza-Klein . — Hackensack, NJ: World Scientific, 2006. — ISBN 9812566619 .
Overduin JM, Wesson PS Kaluza-Klein gravitație // Rapoarte de fizică. - 1997. - T. 283 . - S. 303-378 . - doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . - arXiv : gr-qc/9805018 .
Kaluza, Theodor (1921). „Zum Unitätsproblem in der Physik”. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Fizic.) : 966-972. Cod biblic : 1921SPAW .......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Klein, Oskar (1926). „Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie”. Zeitschrift blana Physik A . 37 (12): 895-906. Cod biblic : 1926ZPhy ...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
Witten, Edward (1981). „Căutați o teorie realistă Kaluza–Klein”. Fizica nucleară B . 186 (3): 412-428. Cod biblic : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
Duff, MJ Kaluza–Klein Teoria în perspectivă // Proceedings of the Symposium 'The Oskar Klein Centenary' / Lindström, Ulf. - Singapore : World Scientific, 1994. - P. 22–35. — ISBN 978-981-02-2332-8 .
Overduin, JM (1997). Gravitația Kaluza-Klein. Rapoarte de fizică . 283 (5): 303-378. arXiv : gr-qc/9805018 . Cod biblic : 1997PhR ...283..303O . DOI : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 .
Wesson, Paul S. Fizica cinci-dimensională: Consecințele clasice și cuantice ale cosmologiei Kaluza–Klein . - Singapore : World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-256-661-4 .
Colaborarea CDF, Căutare dimensiuni suplimentare folosind energia lipsă la CDF , (2004 )
John M. Pierre Extra Dimensions , (2003).
Chris Pope, Prelegeri despre teoria Kaluza–Klein .
Edward Witten (2014). „O notă despre Einstein, Bergmann și a cincea dimensiune”, arXiv : 1401.8048
Lee Smolin Probleme cu fizica: ascensiunea teoriei corzilor, declinul științei și mai departe

Teorii ale gravitației

Teorii standard ale gravitației

Teorii alternative ale gravitației

Teorii cuantice ale gravitației

Teorii unificate de câmp

fizica clasica

Teoria gravitației lui Newton

Fizica relativistă

Teoria generală a relativității
- Formulare matematică
- Formulare hamiltoniană

Principii

Clasic

Relativistă

Multidimensional

Siruri de caractere

Alte

Teoria excepțional de simplă a tuturor

Fizica dincolo de modelul standard
Dovezi	Problema ierarhiei gauge Materie întunecată energie întunecată Problema constantei cosmologice Problemă CP puternică Oscilații ale neutrinilor
teorii	Technicolor A cincea forță Teoria Kaluza-Klein Marile teorii unificate Teoria tuturor Teoria corzilor
supersimetrie	MSSM teoria superstringurilor supragravitație
gravitația cuantică	Teoria corzilor Gravitația cuantică în buclă Triangularea dinamică cauzală Gravitația cuantică canonică
Experimente	ANNIE Sasso INO REZERVOR SNO Super-K Tevatron Muon g- NOvA