Constante trigonometrice

Acest articol oferă expresii algebrice exacte pentru unele numere trigonometrice . Astfel de expresii pot fi necesare, de exemplu, pentru a aduce rezultatele expresiilor cu funcții trigonometrice într-o formă radicală , ceea ce face posibilă o simplificare suplimentară.

Orice număr trigonometric este algebric . Unele numere trigonometrice pot fi exprimate în radicali complecși , dar nu întotdeauna în cei reali: în special, dintre valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri exprimate în grade întregi , numai valorile în acelea dintre ele pot fi exprimate. exprimat în radicali reali , numărul de grade în care este multiplu de trei . Dar, după teorema lui Abel , există și acelea care sunt indecidabile în radicali.

Conform teoremei lui Niven , valoarea unui sinus cu un argument rațional în grade este fie irațională , fie egală cu unul dintre numerele dintre , , , , . $0$ ${\frac {1}{2))$ $unu$ $-\frac{1}{2}$ $-unu$

După teorema lui Baker , dacă sinusul , cosinusul sau tangenta la un punct dat dă un număr algebric , atunci argumentul lor în grade este fie rațional , fie transcendental . Cu alte cuvinte, dacă argumentul în grade este algebric și irațional , atunci valorile tuturor funcțiilor trigonometrice din acest argument vor fi transcendentale .

Criterii de includere

Valorile pentru funcțiile trigonometrice ale unui argument proporțional cu sunt exprimabile în radicali reali numai dacă numitorul fracției raționale reduse obținut prin împărțirea acesteia la este o putere a doi înmulțită cu produsul mai multor prime Fermat (vezi teorema Gauss-Wanzel ). Această pagină este dedicată în principal unghiurilor exprimate în radicali reali. $\pi$ $\pi$

Folosind formula semiunghiului , se pot obține expresii algebrice pentru valorile funcțiilor trigonometrice în orice unghi pentru care au fost deja găsite, împărțite la jumătate. În special, pentru unghiurile situate pe intervalul de la până la , formulele sunt adevărate $0$ ${\frac {\pi }{2))$

\sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2)}

, și .

\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2)}

\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}

Expresiile de mai jos permit, de asemenea, obținerea de expresii în radicali complecși pentru valorile funcțiilor trigonometrice în acele unghiuri în care acestea nu sunt exprimate în unghiuri reale. De exemplu, având în vedere formula pentru unghi, formula pentru $\theta$ $\theta$ 3se poate obține prin rezolvarea următoarei ecuații de gradul trei :

4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,

Cu toate acestea, în soluția sa generală, pot apărea numere complexe nereale (acest caz se numește casus irreducibilis ).

Tabelul unor unghiuri comune

Există diferite unități de măsură pentru unghiuri , de exemplu, grade , radiani , revoluții , grade (goni) .

1\,{\text{turnă completă))=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon}).

Acest tabel arată conversiile de la o măsură la alta și valorile funcțiilor trigonometrice din cele mai comune unghiuri:

Cifra de afaceri	grade	radiani	Grade (goni)	Sinusul	Cosinus	Tangentă
0	0°	0	0	0	unu	0
unu12	30°	$\pi$ 6	33unu	unu2	√ 32	√ 33
unuopt	45°	$\pi$ patru	cincizeci	√2 _2	√2 _2	unu
unu6	60°	$\pi$ 3	662	√ 32	unu2	√ 3
unupatru	90°	$\pi$ 2	100	unu	0
unu3	120°	2 $\pi$ 3	133unu	√ 32	−unu2	− √ 3
3opt	135°	3 $\pi$ patru	150	√2 _2	−√2 _2	−1
512	150°	5 $\pi$ 6	1662	unu2	−√ 32	−√ 33
unu2	180°	$\pi$	200	0	−1	0
712	210°	7 $\pi$ 6	233unu	−unu2	−√ 32	√ 33
5opt	225°	5 $\pi$ patru	250	−√2 _2	−√2 _2	unu
23	240°	patru $\pi$ 3	2662	−√ 32	−unu2	√ 3
3patru	270°	3 $\pi$ 2	300	−1	0
56	300°	5 $\pi$ 3	333unu	−√ 32	unu2	− √ 3
7opt	315°	7 $\pi$ patru	350	−√2 _2	√2 _2	−1
unsprezece12	330°	unsprezece $\pi$ 6	3662	−unu2	√ 32	−√ 33
unu	360°	2 $\pi$	400	0	unu	0

Alte unghiuri

Valorile funcțiilor trigonometrice în unghiuri care nu sunt în intervalul de la până sunt pur și simplu derivate din valorile din unghiurile acestui interval folosind formulele de reducere . Toate unghiurile sunt scrise în grade și radiani , reciproca factorului din fața expresiei pentru un unghi dat fiind singurul număr din simbolul Schläfli al unui poligon regulat (eventual stelat) cu un unghi extern egal cu cel dat. $0^{\circ }$ $45^{\circ }$ $\pi$

0° = 0 (rad)

\sin 0=0\,

\cos 0=1\,

\operatorname {tg} 0=0\,

\operatorname {ctg} 0=\infty \,

1,5°=(1/120)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi {120}}\right)=\sin \left(1,5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right )-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2))))\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5))))+{\sqrt {5)) +1\dreapta)}{16}}

\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1,5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2 +{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({ \sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}\dreapta)}{16}}

1,875°=(1/96)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1,875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)))))))))))))

2,25°=(1/80)π (rad)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2,25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5))}{2))))))))))))

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2,25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2))))))))))))

2,8125°=(1/64)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2,8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))))))))

3°=(1/60)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}+1\dreapta)}{16}}\,

\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\ sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\ sqrt {3}}-1\dreapta)}{16}}\,

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi {60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\dreapta]}{4}}\,

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi {60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left [\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\ sqrt {5}}}}\dreapta]}{4}}\,

3,75°=(1/48)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3,75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3))))))))))

4,5°=(1/40)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}

5,625°=(1/32)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5,625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2))))))))))

6°=(1/30)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}))-{\sqrt { 5}}-1}{8}}\,

\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {10-{\sqrt {20)}})+{\sqrt { 3))+{\sqrt {15}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}} }+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac ({\sqrt {27}}+{\sqrt {15} }+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,

7,5°=(1/24)π (rad)

\sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\ sqrt {2}}}}

\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7,5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\ sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\ sqrt {2}}}}

\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7,5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\dreapta)

\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi {24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7,5^{\circ }\right)={\sqrt {6} }+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\dreapta)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\dreapta)

9°=(1/20)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5 +{\sqrt {5}}}{2}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{ \sqrt {5}}}}\,

11,25°=(1/16)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11,25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11,25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11,25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2)}))-{ \sqrt {2}}-1

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11,25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2)}))+{ \sqrt {2}}+1

12°=(1/15)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{ \sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt { 3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15 ))+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)))\,\right]\,

15°=(1/12)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}

\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

18°=(1/10)π (rad) [1]

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right )\,

\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left( 5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5)}})\,

21°=(7/60)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5))))-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\dreapta)\dreapta)\,

\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3} }-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5))))+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\ sqrt {5}}\dreapta)\dreapta)\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\dreapta)\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\dreapta)\,

22,5°=(1/8)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22,5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}} },

\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22,5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}} }\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {tg} 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,

, sectiune argintie

24°=(2/15)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\ sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5- {\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt { 15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)))\right]\,

27°=(3/20)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}} -1-{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2 {\sqrt {5}}}}\,

30°=(1/6)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,

33°=(11/60)π (rad)

\sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\dreapta)\dreapta]\,

\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3} }+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5))))+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\dreapta)\dreapta]\,

\operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\,\dreapta]\,

\operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left (2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\,\dreapta]\,

36°=(1/5)π (rad)

[unu]

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}} }}

\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\ varphi }{2}},

unde este secțiunea de aur ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5)}})\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{ \sqrt {5}}}}}

39°=(13/60)π (rad)

\sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\dreapta)\dreapta]\,

\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt { 3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\dreapta)\dreapta]\,

\operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 -{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\,\dreapta]\,

\operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2 +{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt { 5}}\dreapta)}}\,\dreapta]\,

42°=(7/30)π (rad)

\sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {30+6{\sqrt {5)}))-{\ sqrt {5}}+1}{8}}\,

\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}{8}}\,

\operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac ({\sqrt {15}}+{\sqrt {3 }}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5} ))}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,

45°=(1/4)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\,

54°=(3/10)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!

\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)}}){4}}

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}} }}{5}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20)}))\,

60°=(1/3)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,

\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,

67,5°=(3/8)π (rad)

\sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67,5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}} }}\,

\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67,5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}} }}\,

\operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {tg} 67,5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,

\operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 67,5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,

72°=(2/5)π (rad)

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\dreapta)}}\,

\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\ dreapta)={\frac {\varphi }{2)),

unde este secțiunea de aur ;

\varphi

\operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5)}})\ ,

\operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,

75°=(5/12)π (rad)

\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\ sqrt {2}}\dreapta)\,

\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\ sqrt {2}}\dreapta)\,

\operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,

\operatorname {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,

90°=(1/2)π (rad)

\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,

\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,

\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,

\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,

Lista de valori ale funcțiilor trigonometrice cu un argument egal cu 2π/n

Sunt date numai formule care nu folosesc rădăcini cu un grad mai mare decât . Deoarece (prin teorema lui Moivre ) în mulțimea numerelor complexe, extragerea rădăcinii unui număr întreg de grad n duce la n valori diferite, atunci pentru rădăcinile gradelor 3 și 5 de numere nereale care apar în această secțiune de mai jos, unul ar trebui să ia valoarea principală egală cu rădăcina cu cea mai mare parte reală: este întotdeauna pozitivă. Prin urmare, sumele rădăcinilor de gradul 3 sau 5 de numere conjugate complexe care apar în tabel sunt de asemenea pozitive. Tangenta este dată în cazurile în care se poate scrie mult mai ușor decât raportul dintre înregistrările sinus și cosinus. $5$

În unele cazuri de mai jos, sunt folosite două numere care au proprietatea că . $\omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(- 1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$ $\omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1$ ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi {n)}\right)&\cos \left({\frac {2 \pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\ \hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({ \sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}} &{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{ \frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{ \frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right )&\\\hlinia 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hlinia 9&{\ frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3))))-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline { \omega _{3}}}}\right)&\\\hlinia 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right) &{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hlinia 11&&&\\ \hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\ \\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt { 13}}-3i{\sqrt {39}})))}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}))) }\ dreapta)))&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13) }} -3i{\sqrt {39))))}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))\ dreapta)& \\\hlinia 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}} }{2 ))}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)))&{\frac {1}{6} }\left (1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3 }}} {\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}} \left( {\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\ stânga(1 +{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\dreapta)\\\ hlinia 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hlinia 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt { 17))+{\sqrt {34-2{\sqrt {17))))+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17} ))}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17))))))\right)&\\\hlinia 18&{\frac {i}{2))\left({\sqrt[{ 3}]{-\omega _{3))}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3))))}\right)&{\frac {1}{2 }}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right )&\\\hlinia 19&&&\\\hlinia 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left ({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}} \right)\\\hlinia 21&&&\\\hlinia 22&&&\\\hlinia 23&&&\\\hlinia 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2} }\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hlinia 25& {\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}} })&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5} }}})&\end{matrice}}$

Dovada

Una dintre metodele comune și vizuale de a obține formule pentru ( n și o sunt numere întregi) este de a rezolva ecuația x n = 1, adică de a găsi rădăcinile complexe ale lui 1 . În acest caz , cosinusul și sinusul sunt egale și, respectiv , . Această metodă este justificată de teorema lui De Moivre : $x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}$ ${\tfrac {x+1/x}{2))$ ${\tfrac {x-1/x}{2i)}$

dacă este un modul și este un argument al unui număr complex, atunci toate rădăcinile unui grad întreg de la sunt exprimate prin numere în care trece mulțimea de numere întregi $r>0$ $\alpha \in {\mathbb {R}}$ $n\neq 0$ $r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ ${\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha {n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin( {\tfrac {\alpha }{n))+{\tfrac {2\pi o}{n)))),$ $o$ $\mathbb{Z}.$

La rândul său, această teoremă este dovedită prin afirmația că atunci când numerele complexe sunt înmulțite, modulele lor sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate (acesta din urmă este echivalent cu identitățile trigonometrice pentru suma ):

$[r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta)]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].$

Printre rădăcinile de gradul natural n de 1 se numără cele care nu sunt rădăcini de niciun alt grad natural m < n de 1 - se numesc rădăcini antiderivate sau primitive de gradul al n -lea de 1 . Iar un polinom care conține doar radicali primitivi de la 1 ca rădăcini, și cu multiplicitatea unitară, se numește circular . Pentru rădăcinile a n- a ale lui 1, gradul polinomului circular este egal cu φ ( n ), unde φ este funcția Euler și este în mod necesar par pentru n ≥ 3, deoarece pentru n ≥ 3 toate rădăcinile primitive (printre care nu există mai lungi ±1) sunt nereale și formează perechi conjugate complexe.

Pentru n ≥ 2, polinomul circular este simetric , adică toți coeficienții săi sunt reflectați în raport cu puterea φ ( n )/2. Dacă n ≥ 3, atunci pentru a rezolva o ecuație cu un polinom circular s φ(n) ( x ) = 0 de grad par φ(n) , polinomul simetric s φ(n) ( x ) trebuie împărțit la x φ( n) /2 și apoi grupați după puteri ale numărului x + 1/ x (acest lucru este posibil datorită simetriei), care, ca o coincidență, se dovedește a fi cosinusul dorit înmulțit cu 2.

Exemplul 1: n = 3

Metoda 1 - rezolvarea ecuației de gradul 2 după metoda generală

Polinomul este descompus în factori circulari și primul dintre care are rădăcina egală cu 1, iar al doilea este un polinom de gradul 2. Și în cazul general, pentru a rezolva o ecuație pătratică, trebuie să împărțiți polinomul la coeficientul principal (aici este egal cu 1), apoi selectați pătratul exact, astfel încât să scăpați de termenul monomial al gradului care este mai mic decât gradul polinomului cu 1, adică aduceți ecuația polinomială la forma canonică : $x^{3}-1$ $x-1$ $x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x=-1,$

$(x+{\tfrac {1}{2)))^{2}=-{\tfrac {3}{4)),$

$(x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0$ ( vedere canonică ).

Ca rezultat, împreună cu ecuația , se dovedește că $x-1=0$

$x=1$ sau $x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Metoda 2 - reducerea ecuației la ecuația de gradul I

În loc să rezolvăm ecuația ca pătratică, polinomul simetric poate fi împărțit la x , grupat în jurul x + 1/ x , având în vedere că x + 1/ x este cosinusul necesar înmulțit cu 2: $x^{2}+x+1=0$ $x^{2}+x+1$

$(x+{\tfrac {1}{x)))+1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}=-1,$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.$

Exemplul 2: n = 5

Un polinom circular este egal cu și pentru a-și găsi rădăcinile, el trebuie împărțit la x 2 , grupat după puterile lui x + 1/ x (redus la un polinom pătrat) și egalat cu 0: $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,$

$x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}+(x+{\tfrac {1}{x)))-1=0,$

$x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$ (cosinusul dorit înmulțit cu 2),

$x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10 \pm_{1}2{\sqrt {5}}}}.$

Exemplul 3: n = 7

Simboluri . Notează ca $\cos {\tfrac {2\pi {n}}+i\sin {\tfrac {2\pi {n}}$ $\omega _{n}.$

Pasul 1 - aducerea ecuației la forma canonică

După ce am efectuat transformări cu un polinom circular similar cu cele prezentate pentru n \u003d 5, obținem o ecuație de gradul 3. În plus, ca și în cazul unei ecuații pătratice, această ecuație trebuie adusă la forma canonică, adică împărțiți ambele părți ale ecuației la coeficientul principal (unul) și apoi selectați cubul exact, scăpând de termenul gradului care este mai mic decât gradul polinomului cu 1: $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ $(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x }})-1=0.$

$(x+{\tfrac {1}{x)))^{3}+(x+{\tfrac {1}{x)))^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x }})+1,$

$[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x)))+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}}),$

$(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1} {3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0$ ( forma canonică ).

Pasul 2 - Metoda del Ferro

Metoda de rezolvare a ecuațiilor cubice canonice a intrat în istorie sub numele de Gerolamo Cardano , dar a fost descoperită pentru prima dată de Scipio del Ferro . Constă în următoarele: înlocuiți variabila necesară ( ) cu suma : $x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}$ $v+w$

$(v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac { 7}{27}}=0,$

și apoi setați relația dintre v și w astfel încât ecuația să poată fi redusă la mai puțin decât a treia putere. Apoi se dovedește că în număr factorul trebuie egalat cu zero. În acest caz, și (cosinusul însuși), și ecuația cubică în sine este redusă la una pătratică: $3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w) )$ $3vw-{\tfrac {7}{3)}$ $w={\tfrac {7}{9v}}$ ${\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w )={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})$

$v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0 ,$

$v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}} }-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}} }{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},$

și luând în considerare principalele valori ale rădăcinilor cubice, rezultă:

$v={\tfrac {\omega _{3}^{m)}{3)} {\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3)}}{2 }}),{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},$ Unde $m\in \mathbb {Z} ,$

$\cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[ {3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i {\sqrt {3}}}{2}}}\dreapta),$

unde o = 1 ( o = 6) corespunde cu m = 0, o = 2 ( o = 5 ) corespunde cu m = 1, iar o = 3 ( o = 4 ) corespunde cu m = 2.

Pasul 3 - sine [2]

Cel mai bine este să căutați sinusul nu după identitatea trigonometrică de bază, ci după formula semiunghiului, altfel vor apărea pătrate de numere și simplificarea va deveni neevidentă. Ca rezultat, toate rădăcinile a șaptea primitive ale lui 1 sunt egale $\sin {\tfrac {2\pi o}{7}}=\pm {\sqrt ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos {\ tfrac {4\pi o}{7}}}},$ ${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}(7\pm 21i{\sqrt {3}})))),$

${\frac {1}{6}}\left[-1+w+{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}w-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

Unde $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Exemplul 4: n = 3 2 = 9

Simbol . Notează ca $\cos {\tfrac {2\pi {n}}+i\sin {\tfrac {2\pi {n}}$ $\omega _{n}.$

Numărul 9 este factorizat în factori primi ca 3 2 , astfel încât polinomul poate fi factorizat în factori circulari ca Rădăcinile ultimei dintre acestea sunt a treia rădăcină a numerelor (rădăcinile polinomului ), care, la rândul lor, sunt rădăcinile primitive de gradul 3 al lui 1, adică rădăcinile primitive ale lui 1 sunt $x^{9}-1$ $(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{6}+x^{3}+1).$ $x^{2}+x+1$

$x=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1))},$ Unde $m\in \{0,1,2\}.$

Apoi (ținând cont de principalele valori ale rădăcinilor cubice) cosinusurile și sinusurile „primitive” sunt exprimate ca

${\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(\omega _{3} ^{m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\pm 1}}}+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}\dreapta),$

${\frac {1}{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {i}{2}}\left(\omega _{3 }^{-m}{\sqrt[{3}]{\omega _{3}^{\mp 1}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\ omega _{3}^{\pm 1}}}\right),$

Exemplul 5: n = 2 7 = 14

Simbol: $\omega _{n}:=\cos {\tfrac {2\pi {n}}+i\sin {\tfrac {2\pi {n}}.$

Polinomul are factori circulari: $x^{14}-1=(x^{7}-1)(x^{7}+1)$

$x-1$ (polinom circular pentru gradul I);
$x+1$ (polinom circular pentru gradul II);
$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ (pentru gradul 7);
$x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ (pentru gradul 14).

Rădăcinile unui polinom sunt exact opusul rădăcinilor unui polinom (acest lucru poate fi demonstrat prin schimbarea unei variabile în opusul ei sau folosind teorema lui Vieta ) și, prin urmare, arată astfel: $x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ $x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$

${\frac {1}{6}}\left[1-w-{\overline {w}}\pm i{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3} }}y-\omega _{3}{\overline {w}}\right)}}\right],$

Unde $2w^{3}=7+21i{\sqrt {3)).$

Exemplul 6: n = 3 5 = 15

Polinomul circular nu este foarte simplu și, în loc să-i căutați rădăcinile, este mai bine să extindeți unghiul ( o este un număr întreg) ca o sumă în care o 1 și o 2 sunt niște numere întregi. $x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1$ ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\tfrac {2\pi }{3}}o_{1}+{\tfrac {2\pi }{5}}o_{2},$

Notă . Spre deosebire de 15, factorizarea numărului 9 implică același factor de dublă multiplicitate - și, spre deosebire de unghiul , nu este întotdeauna posibil să se extindă sub formă ( o , o 1 și o 2 sunt numere întregi). ${\tfrac {2\pi o}{3\cdot 5}}$ ${\tfrac {2\pi o}{3^{2)}}$ ${\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{3}}$

Prin extinderea unghiului în suma unghiurilor, puteți calcula cosinusul și sinusul:

$\cos({\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})+i\sin({\tfrac {2 \pi o_{1}}{3}}+{\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=(\cos {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{1}}{3}})(\cos {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}}+i\sin {\tfrac {2\pi o_{2}}{5}})=$

$=\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{o_{1}}\left[{\tfrac {1}{4}} (-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5))))\right]^{o_{2)).$

De exemplu, dacă o = 1, atunci puteți alege −1 și 2 ca o 1 și , respectiv, o 2 . Apoi

$\cos {\tfrac {2\pi }{15}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{15}}={\tfrac {1}{8}}(-1-i{ \sqrt {3)))(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}})=$

$={\tfrac {1}{8}}[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i({\sqrt {3} }+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5)))))))].$

Exemplul 7: n = 17

Pasul 1

Deoarece acest număr Fermat este prim, atunci, ca și în cazul lui n = 3, n = 5 și n = 7, în primul rând, trebuie să împărțim polinomul circular la x 8 și să îl înlocuim cu o variabilă b = x + 1/ x — obținem $x^{16}+\cdots +x+1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1.$

Simbol. Notăm rădăcinile polinomului ca $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b_{o/17}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{17)).$

Pasul 2 [3]

Rădăcinile unui polinom se găsesc cel mai bine nu prin intermediul coeficienților săi, ci prin utilizarea faptului că rădăcinile sale sunt cosinusuri dublate. Pentru a face acest lucru, trebuie să distribuiți cumva toate rădăcinile sale peste două sume S 1 și S 2 , să găsiți S 1 + S 2 și S 1 S 2 și, folosind teorema Vieta, să deduceți o ecuație pentru S 1 și S 2 , rezolvând pe care le obţinem S 1 şi S 2 . $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

Mai precis, rădăcinile polinomului trebuie să fie distribuite în puteri a două : $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$

$S_{1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{1}/17}+b_{2^{2}/17}+b_{2^{3}/17 }=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17};$
$S_{2}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}+ b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}.$

Suma S 1 + S 2 este egală cu suma tuturor rădăcinilor , ceea ce înseamnă că conform teoremei Vieta este egală cu −1, iar produsul se găsește prin formula cosinus a produsului $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1,$ $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$(b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5 /17}+b_{7/17})=$

$=\underbrace {(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots +(b_{8/17}b_{7/17})} _{\text{16 termeni))= \underbrace {(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots +(b_{15/17}+b_{1/17})} _{\text{32 termeni inclusiv în paranteze} }$ (conform formulei cosinusului produsului)

$=2\underbrace {(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots +b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 termeni)} =4(S_{1}+S_{2})=-4.$

Apoi obținem o ecuație pătratică cu rădăcini și acestea sunt distribuite după cum urmează: $S^{2}+S-4=0$ ${\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$

$S_{1}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}={\tfrac {-1+{\sqrt {17)} {2}};$
$S_{2}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}={\tfrac {-1-{\sqrt {17)} {2}}.$

Pasul 3

Termenii încadrați în S 1 și S 2 trebuie din nou împărțiți în jumătate prin sume, în plus, prin puterile celor patru - și se formează patru numere:

$T_{1.1}=b_{2^{0}/17}+b_{2^{2}/17}=b_{1/17}+b_{4/17};$
$T_{1.2}=b_{2^{1}/17}+b_{2^{3}/17}=b_{2/17}+b_{8/17};$
$T_{2.1}=b_{3\cdot 2^{0}/17}+b_{3\cdot 2^{2}/17}=b_{3/17}+b_{5/17};$
$T_{2.2}=b_{3\cdot 2^{1}/17}+b_{3\cdot 2^{3}/17}=b_{6/17}+b_{7/17}.$

Suma (unde m trece prin mulțimea {1, 2}) este egală și produsul (după aceeași formulă ) este egal cu −1 (pentru m = 1 și pentru m = 2), ceea ce înseamnă că aici, prin teorema Vieta, obținem o ecuație pătratică pentru T : $T_{m.1}+T_{m.2}$ $S_{m}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {17}}}{2}},$ $T_{m.1}T_{m.2}$ $\cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\pm \alpha \mp \beta )]$ $T_{m}^{2}-S_{m}T_{m}-1=0$

$T_{1.1}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{1.2}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.1}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}});$
$T_{2.2}={\tfrac {1}{4}}(-1-{\sqrt {17}}-{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}).$

Pasul 4

În etapele a 2-a și a 3-a, de fiecare dată „împărțim” sumele la jumătate. Aici vom face la fel și astfel vom ajunge deja la rădăcinile înșiși (numerele b o /17 ). Sumele sunt:

$b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1,1};$
$b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1,2};$
$b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1};$
$b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2,2},$

și lucrările corespunzătoare:

$b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1};$
$b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2};$
$b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1,2};$
$b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}.$

După ce au compilat toate ecuațiile pătratice necesare, obținem cosinusurile dorite :

$b_{1/17}/2$ sau - $b_{4/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N+{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N-{\sqrt {2N}}-2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{2/17}/2$ sau - $b_{8/17}/2$ ${\tfrac {1}{16}}(16-N-{\sqrt {2N}}\pm 2{\sqrt {2M-N+{\sqrt {2N}}+2{\sqrt {2M} }}});$
$b_{3/17}/2,b_{5/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M+{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M-{\sqrt {2M}}+2{\sqrt {2N} }}});$
$b_{6/17}/2,b_{7/17}/2$ — ${\tfrac {1}{16}}(16-M-{\sqrt {2M}}\pm 2{\sqrt {2N-M+{\sqrt {2M}}-2{\sqrt {2N} }}});$

unde $M=17+{\sqrt {17)),N=17-{\sqrt {17}}$ .

Exemplul 8: n = 13

Trebuie să împărțim polinomul circular la x 6 și să înlocuim x + 1/ x cu o variabilă b - obținem un polinom numere prime și, în al doilea rând, gradele polinoamelor (care corespunde cu n = 13) și ( n = 17) sunt numere compuse - prin urmare, există o asemenea suspiciune că rădăcinile polinomului trebuie găsite după același principiu ca în al 7-lea exemplu: și aici trebuie mai întâi să derivați și să rezolvați ecuația pătratică și abia apoi - cea cubică . $x^{12}+\cdots +x+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1.$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b^{8}+b^{7}+\cdots -4b+1$ $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$

Simbol . Notăm rădăcinile polinomului ca $b^{6}+b^{5}-5b^{4}-4b^{3}+6b^{2}+3b-1$ $b_{o/13}=2\cos {\tfrac {2\pi o}{13)).$

Pasul 1

Distribuim toate cele șase rădăcini ale polinomului indicat pe două sume S 1 , S 2 și peste puterile tripluului:

$S_{1}=x_{3^{0}/13}+x_{3^{1}/13}+x_{3^{2}/13}=x_{1/13}+x_{ 3/13}+x_{4/13};$
$S_{2}=x_{2\cdot 3^{0}/13}+x_{2\cdot 3^{1}/13}+x_{2\cdot 3^{2}/13}= x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13}$

și calculați următoarele cantități folosind identitatea $(2\cos \alpha )(2\cos \beta )=[2\cos(\alpha +\beta )]+[2\cos(\pm \alpha \mp \beta )]\colon$

$S_{1}+S_{2}=-1;$
${\begin{aligned}S_{1}S_{2}&=(b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_ {6/13}+b_{5/13})\\&=b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_ {5/13}\\&+b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13}\\& +b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13}\\&=(b_{3/13} +b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13})\\&+(b_{5/13} }+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13})\\&+(b_{6/ 13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13})\\&=3(b_{ 1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_{1}+S_{ 2})=-3,\\\end{aliniat}}$

după ce am primit ecuația , rezolvând care obținem: $S^{2}+S-3=0$ $S_{1}=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}={\tfrac {-1+{\sqrt {13}}}{2}},$ $S_{2}=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}={\tfrac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}.$

Pasul 2

S 1 și S 2 sunt cunoscute - acum cu ajutorul lor trebuie să derivați ecuații cubice pentru b . Pentru a demonstra, alegem, de exemplu, rădăcinile incluse în suma S 1 . Apoi, trebuie să găsiți următoarele cantități:

$b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_{1}={\tfrac {-1+{\sqrt {13)}}{2));$
$b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13}=b_{4/13}+b_ {2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}=S_{1}+S_{2}=-1;$
$b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13} ^{2}+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_{2 }={\tfrac {3-{\sqrt {13}}}{2}},$

pentru a obține ecuația prin teorema lui Vieta. Dacă, împreună cu rădăcinile incluse în S 1 , includem rădăcinile incluse în S 2 , rezultatul este o ecuație . $b^{3}-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13}}}{2}}b^{2}-b+{\tfrac {-3\pm {\sqrt {13} }}{2}}=0$

Pasul 3 - canonizare

$(b-{\tfrac {-1\pm {\sqrt {13)}}{6)))^{3}+{\tfrac {-13\pm {\sqrt {13)}}{6 }}(b-{\tfrac {1\pm {\sqrt {13}}}{6}})+{\tfrac {-26\pm 5{\sqrt {13}}}{27}}=0$ ( forma canonica ) $|\cdot 6^{3},$

$[6b-(-1\pm {\sqrt {13)})]^{3}+6(-13\pm {\sqrt {13))}[6b-(-1\pm {\sqrt {13}})]+8(-26\pm 5{\sqrt {13}})=0$ (astfel încât în răspuns a fost scos imediat numitorul de sub rădăcină).

Pasul 4 este soluția ecuației canonice

${\begin{aligned}6b-(-1\pm {\sqrt {13)})&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{-{\tfrac { 8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}-{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13}})}{2}}^ {2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13)))}{3}}^{3}}}}}\\&+\omega _{3}^{-m} {\sqrt[{3}]{-{\tfrac {8(-26\pm 5{\sqrt {13)))}{2))+{\sqrt {{\tfrac {8(-26\pm 5 {\sqrt {13)))}{2}}^{2}+{\tfrac {6(-13\pm {\sqrt {13}})}{3}}^{3}}}}}\ \&=\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39))))}}+\ omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{4(26\mp 5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})))),\\\end {aliniat }}$

unde m trece prin {0, 1, 2} și $\omega _{n}=\cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi {n}}.$

Diverse

Folosiți pentru a calcula alte constante

De exemplu, volumul unui dodecaedru regulat cu o lungime a muchiei poate fi dat prin formula: $A$

V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}.

Dacă folosim expresii

\cos 36^{\circ }={\frac ({\sqrt {5}}+1}{4)),\,

\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}))),\,

formula poate fi simplificată la

V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}.\,

Derivare prin triunghiuri

Derivarea valorilor sinusului , cosinusului și tangentei într-o formă radicală se bazează pe posibilitatea de a construi poligoane regulate folosind o busolă și o riglă .

Aici, pentru a calcula rapoartele trigonometrice fundamentale sunt folosite triunghiuri dreptunghiulare formate prin secțiuni de-a lungul axelor de simetrie ale poligoanelor regulate. În fiecare triunghi dreptunghic, vârfurile sunt:

Centru poligon
Vârful poligonului
Punctul de mijloc al laturii care conține acest vârf

Un n -gon regulat poate fi împărțit în 2n triunghiuri cu colțuri180n.90 180n, 90 de grade pentru n mai mare sau egal cu 3. Posibilitatea de a construi cu o busolă și o riglă un triunghi, pătrat, cinci și cincisprezece gon - în bază, bisectoarele unghiulare permit și poligoane cu un număr de laturi egal cu o putere de două, înmulțită cu numărul de laturi ale unui poligon dat.

Poate fi construit cu busolă și dreptar
- 3 × 2 n -goni regulate, unde n = 0, 1, 2, 3, …
  - 30°-60°-90°: triunghi dreptunghic
  - 60°-30°-90°: hexagon obișnuit
  - 75°-15°-90°: Dodecagon obișnuit
  - 82,5°-7,5°-90°: douăzeci și patru obișnuite
  - 86,25°-3,75°-90°: 48-gon obișnuit
  - 88.125°-1.875°-90°: 96-gon obișnuit
  - 89,0625°-0,9375°-90°: regulat 192-gon
  - 89,53125°-0,46875°-90°: Regular 384-gon
  - …
- 4 × 2 n - gonuri
  - 45°-45°-90°: pătrat
  - 67,5°-22,5°-90°: octogon obișnuit
  - 78,75°-11,25°-90°: hexagon obișnuit
  - 84,375°-5,625°-90°: 32-gon obișnuit
  - 87,1875°-2,8125°-90°: regulat 64-gon
  - 88,09375°-1,40625°-90°: regulat 128-gon
  - 89,046875°-0,703125°-90°: Regular 256-gon
  - …
- 5 × 2 n - gonuri
  - 54°-36°-90°: Pentagon obișnuit
  - 72°-18°-90°: decagon regulat
  - 81°-9°-90°: hexagon obișnuit
  - 85,5°-4,5°-90°: octogon obișnuit
  - 87,75°-2,25°-90°: octogon regulat
  - 88.875°-1.125°-90°: regulat 160-gon
  - 89,4375°-0,5625°-90°: 320-gon obișnuit
  - …
- 15 × 2 n - gonuri
  - 78°-12°-90°e: Pentagon obișnuit
  - 84°-6°-90°: tiragon obișnuit
  - 87°-3°-90°: Hexagon obișnuit
  - 88,5°-1,5°-90°: Regular 120
  - 89,25°-0,75°-90°: 240-gon obișnuit
- …

Există, de asemenea, poligoane regulate care pot fi construite folosind o busolă și o riglă: 17 , 51, 85, 255, 257 , 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537 , 694891, 7. ., 4294967295. )

Nu poate fi construit cu compas și drepte (cu unghiuri de jumătate de grad sau întregi) - Nu există forme de radical finite pentru rapoartele rezultate ale laturilor triunghiurilor, inclusiv numerele reale, ceea ce înseamnă că poligoane cu un număr de laturi egal cu un puterea de două ori numărul de laturi ale unui poligon dat nu poate fi retrasă.
- 9 × 2 n - gonuri
  - 70°-20°-90°: Nonagon obișnuit
  - 80°-10°-90°: Octogon obișnuit
  - 85°-5°-90°: 36-gon obișnuit
  - 87,5°-2,5°-90°: 72-gon obișnuit
  - …
- 45 × 2 n - gonuri
  - 86°-4°-90°: patruzeci de pentagon obișnuit
  - 88°-2°-90°: Nonagon regulat
  - 89°-1°-90°: 180-gon obișnuit
  - 89,5°-0,5°-90°: Regular 360
  - …

Valorile calculate ale sinusului și cosinusului

Cantități banale

Sinusul și cosinusul de 0, 30, 45, 60 și 90 de grade pot fi calculate din triunghiurile dreptunghice corespunzătoare folosind teorema lui Pitagora.

Când folosiți radiani, sinusul și cosinusul / 2 n pot fi exprimate sub formă de radical prin aplicarea recursivă a următoarelor formule: $\pi$

2\cos \theta ={\sqrt {2+2\cos 2\theta }}={\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; etc.

2\sin \theta ={\sqrt {2-2\cos 2\theta }}={\sqrt {2-{\sqrt {2+2\cos 4\theta }}}}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\cos 8\theta ))))))}

; etc.

De exemplu:

\cos {\frac {\pi }{2^{1}}}={\frac {0}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2+0}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{2}}}={\frac {\sqrt {2-0}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{2^{3)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}})){2))

;

\sin {\frac {\pi }{2^{3)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2)})} {2)}

\cos {\frac {\pi }{2^{4)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)}}))){2} }

;

\sin {\frac {\pi }{2^{4)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2)}}))){2} }

\cos {\frac {\pi }{2^{5)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)}} }}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{5)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)}} }}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{2^{6}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}}}}}}}{2}}

etc.

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (3× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{3}}={\frac {-1}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2+1}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{1}}}={\frac {\sqrt {2-1}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{2})}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3)}}){2))

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{2})}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3)}}){2))

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{3})}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3)}}))} ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{3})}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3)}}))} ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{4)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{4)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{3\times 2^{5)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{3\times 2^{5)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}

etc.

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (5× 2n )

\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{0}}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

(Prin urmare )

2+2\cos {\frac {\pi }{5}}=2+{\sqrt {1,25}}+0,5

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{1})}={\frac {\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25}))} {2)}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{1})}={\frac {\sqrt {1,5-{\sqrt {1,25)})){2))

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{2)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25}})))} ) {2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{2)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25}})))} ) {2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{3)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{3)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25 }}}}}}}}{2}}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{4)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\sqrt {1,25}}}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{4)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2,5 +{\sqrt {1,25}}}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{5\times 2^{5)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25))))))))))))))){2))

;

\sin {\frac {\pi }{5\times 2^{5)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {2,5+{\sqrt {1,25))))))))))))))){2))

etc.

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (5×3× 2n )

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{0})}={\frac ({\sqrt ({\sqrt {0,703125)}+1,875))+{\sqrt {0,3125} }-0,25}{2}}

\cos {\frac {\pi {15\times 2^{1})}={\frac {\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125)}+1,875))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{1)}}={\frac {\sqrt {2,25-{\sqrt ({\sqrt {0,703125)}+1,875))-{ \sqrt {0,3125}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{2)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))}+1,875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{2)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt {0,703125))}+1,875 ))+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{3)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt) {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{3)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt ({\sqrt ({\sqrt) {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{4)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{4)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {{ \sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}}}}}}}{2}}

\cos {\frac {\pi }{15\times 2^{5)}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}))))))))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{15\times 2^{5)}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2 +{\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {0,703125}}+1,875}}+{\sqrt {0,3125}}+1,75}}))))))))){2}}

etc.

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (17× 2n )

Dacă și atunci $M=2(17+{\sqrt {17)})$ $N=2(17-{\sqrt {17)})$

\cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {\sqrt {M-4+2({\sqrt {N}}+{\sqrt {2(2M-N+{\sqrt {17N}}-{\sqrt {N}}-8{\sqrt {M))))))))){8}}.

Apoi, folosind inducția, obținem asta

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {30+2{\sqrt {17}}+{\sqrt {136-8{ \sqrt {17))))+{\sqrt {272+48{\sqrt {17}}+8{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\times ({\sqrt {17} }-1)-64{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}}{8}};

\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Inducția aplicată mai sus poate fi aplicată în același mod oricăror numere prime Fermat (F 3 =2 2 3 +1=2 8 +1= 257 ; F 4 =2 2 4 +1=2 16 +1= 65537 ), multipli ale căror valori de sinus și cosinus există în formă radicală, dar sunt prea lungi pentru a fi enumerate aici. $\pi$

\cos {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{257\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{257\times 2 ^{n}}}}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65537\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65537\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

D = 2 32 - 1 = 4294967295 este cel mai mare numitor întreg impar cunoscut în prezent pentru care sunt cunoscute formele radicale sin( /D) și cos ( /D). Folosind formele radicale ale mărimilor din secțiunile de mai sus și aplicând regula prin inducție, obținem - $\pi$ $\pi$ $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{15}}-{ \frac {\pi }{17))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{255\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{255\times 2 ^{n}}}}}{2}};

Prin urmare, folosind formele radicale ale mărimilor din secțiunile de mai sus și aplicând regula prin inducție, obținem - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257}}))){2}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{0}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{255}}-{ \frac {\pi }{257))))}}{2}};

\cos {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{65535\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{65535\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

În cele din urmă, folosind formele radicale ale mărimilor din secțiunile de mai sus și aplicând regula prin inducție, obținem - $\cos(ab)=\cos a\times \cos b+\sin a\times \sin b$

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0})}={\frac {\sqrt {2+2\cos({\frac {\pi }{65535)}-{ \frac {\pi }{65537))))}{2}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{0})}={\frac {\sqrt {2-2\cos({\frac {\pi }{65535)}-{ \frac {\pi }{65537))))}{2));

\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}}

;

\sin {\frac {\pi }{4294967295\times 2^{n+1)}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{4294967295\times 2 ^{n}}}}}{2}}.

Forma radicală a dezvăluirii prezentate mai sus este foarte mare, prin urmare, exprimată într-un mod mai simplu (ca mai sus).

n × π(5× 2m )

Metoda geometrică

Aplicând inegalitatea lui Ptolemeu patrulaterului înscris ABCD definit de patru vârfuri succesive ale pentagonului, aflăm că:

\operatorname {crd} 36^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ADB} )={\frac {a}{b))={\frac {2}{1+ {\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}

care este reciproca luiunuφîn raport cu raportul de aur . crd este o funcție a lungimii acordului,

\operatorname {crd} \ {\theta }=2\sin {\frac {\theta} {2)).\,

Care înseamnă

\sin 18^{\circ }={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}.

(De asemenea, puteți face fără inegalitatea lui Ptolemeu. Fie X să desemneze intersecția dintre AC și BD și rețineți că triunghiul AXB este isoscel și, prin urmare, AX = AB = a . Triunghiurile AXD și CXB sunt similare , deoarece AD este paralel cu BC . Prin urmare, XC = a (Ab). Dar AX + XC = AC, deci un + a 2b = b . Rezolvând rezultatul, avem astaAb = unuφ, așa cum a fost obținut mai devreme).

Similar

\operatorname {crd} \ 108^{\circ }=\operatorname {crd} (\angle \mathrm {ABC} )={\frac {b}{a))={\frac {1+{\ sqrt{5}}}{2}},

care înseamnă

\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}.

Metoda algebrică

Dacă θ este 18° sau −54°, atunci 2θ și 3θ se reduc la 5θ = 90° sau −270°, deci . $\sin 2\theta =\cos 3\theta$

(2\sin \theta)\cos \theta =\sin 2\theta =\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =(4\cos ^{2 }\theta -3)\cos \theta =(1-4\sin ^{2}\theta )\cos \theta

În continuare , ce face

4\sin ^{2}\theta +2\sin \theta -1=0

\sin \theta =\sin(18^{\circ },-54^{\circ })={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}.

Prin urmare,

\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}

și și

\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}

\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5)})){4))

și

\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5)})){4)).

De asemenea, formulele unghiurilor multiple pentru funcțiile lui 5 x , unde x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} și 5 x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, pot fi rezolvate pentru funcțiile lui x , deoarece știm valorile funcțiilor din 5 x . Următoarele sunt formulele unghiurilor multiple:

\sin 5x=16\sin ^{5}x-20\sin ^{3}x+5\sin x,\,

\cos 5x=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x.\,

Dacă sin 5 x \u003d 0 sau cos 5 x \u003d 0, notăm y \u003d sin x sau y \u003d cos x și rezolvăm ecuația pentru y :

16y^{5}-20y^{3}+5y=0.\,

Una dintre rădăcini este 0, deci ecuația quartică rezultată poate fi rezolvată ca o ecuație pătratică pentru y 2 .

Dacă sin 5 x \u003d 1 sau cos 5 x \u003d 1, notăm din nou y \u003d sin x sau y \u003d cos x și rezolvăm ecuația pentru y :

16y^{5}-20y^{3}+5y-1=0,\,

ceea ce consideram ca:

(y-1)\left(4y^{2}+2y-1\right)^{2}=0.\,

n × $\pi$ douăzeci

9° = 45 - 36 și 27° = 45 - 18; astfel încât să puteți folosi formula diferențelor pentru sinus și cosinus.

n × $\pi$ treizeci

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3 și 42° = 60 − 18; astfel încât să puteți folosi formula diferențelor pentru sinus și cosinus.

n × $\pi$ 60

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 și 39° = 54 − 15, deci puteți folosi formula diferenței (sau sumă) pentru sinus și cosinus.

Modalități de simplificare a expresiilor

Raționalizarea numitorului

Dacă numitorul este o rădăcină naturală n > 1, numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu acest radical până la puterea n − 1: . ${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$
În cazul general, dacă numitorul este un număr algebric de gradul doi (un număr complex de forma , unde q și r sunt raționali), atunci numărătorul și numitorul trebuie înmulțiți cu numărul său conjugat: $q\pm {\sqrt {r)}$ ${\tfrac {1}{1+{\sqrt {3})))={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{(1+{\sqrt {3}})(1 -{\sqrt {3))))}}={\tfrac {1-{\sqrt {3}}}{-2}}.$
În unele cazuri, numitorul trebuie raționalizat de mai multe ori:
- $\csc {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}={\tfrac {4{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})(10-2{\sqrt {5}})))}={\tfrac { \sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\sqrt {10(5-{\sqrt {5}}))){5}}.$
Iar dacă numitorul este un număr algebric de mai mult de gradul doi, atunci cel mai bine ar fi să nu se înmulțească prin numere conjugate (deși se întâmplă și acest lucru), ci să se găsească polinomul minim al acestui număr algebric, se exprimă prin el un polinom. , a cărui rădăcină este numărul, inversul acestui număr și găsiți rădăcinile acestuia din urmă.
- Dat un număr . Reciproca acestuia, înmulțită cu 2, este rădăcina polinomului (aceasta a fost arătată mai sus ). Apoi secanta însăși, împărțită la 2, este rădăcina polinomului și, ca rezultat $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\frac {6}{-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {3}} i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}}}.$ $b^{3}+b^{2}-2b-1$ ${\displaystyle (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^{3))$ $\sec {\tfrac {2\pi }{7}}={\tfrac {2}{3}}(-2+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7+21{\ sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {-7-21{\sqrt {3}}i}{2}}}).$

Transformarea unei fracții în suma (diferența) a două (sau mai multe) fracții

Uneori ajută să împărțiți o fracție în suma mai multor și să le simplificați și mai mult separat.

Pătrarea și luarea rădăcinii pătrate

Acest plan poate ajuta dacă expresia constă dintr-un singur membru compus și este prezent un singur tip de radical. Pătrați un termen, adăugați termeni similari și luați rădăcina pătrată. Această metodă poate lăsa radicali imbricați, dar adesea o astfel de expresie este mai simplă decât cea originală.

Simplificarea expresiilor cu radicali imbricați

Practic, radicalii imbricați nu sunt simplificați. Dar dacă

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c})})\,

unde a , b și c sunt numere raționale, obținem asta

R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}\,

rațional, apoi ambele expresii

d={\frac {a+R}{2}}{\text{ și }}e={\frac {aR}{2}}\,

raţional; prin urmare

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c})})={\sqrt {d}}\pm {\sqrt {e}}.\,

De exemplu,

4\sin 18^{\circ }={\sqrt {6-2{\sqrt {5}}))={\sqrt {5}}-1.\,

4\sin 15^{\circ }=2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}={\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\ dreapta).

Vezi și

Un poligon care poate fi construit cu busolă și dreptă , pentru oricare dintre ele, sinusul și cosinusul unghiurilor central și intern au o expresie rațională în rădăcini pătrate
Construcția unui șaptesprezeceagon , dând o expresie exactă pentru cos 2 $\pi$ 17
Identități trigonometrice
Teorema lui Niven pentru valorile raționale ale sinusului unui multiplu rațional $\pi$
Tabelul de acorduri ptolemeic
Funcții trigonometrice
Număr trigonometric , valoarea unei funcții trigonometrice a unui multiplu rațional $\pi$

Note

↑ 1 2 Bradie, Brian. Valori exacte pentru sinusul și cosinusul multiplilor de 18°: O abordare geometrică // The College Mathematics Journal :revistă. - 2002. - Septembrie ( vol. 33 , nr. 4 ). - P. 318-319 . - doi : 10.2307/1559057 . — .
↑ trigonometrie - Metoda de a găsi $\sin (2\pi/7)$ . Schimb de stivă de matematică . Preluat la 30 martie 2021. Arhivat din original la 28 septembrie 2015. (nedefinit)
↑ Cum se demonstrează că [math]\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17} }+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} [/math] - Quora . www.quora.com . Data accesului: 3 aprilie 2021. (nedefinit)

Weisstein, Eric W. Poligon constructibil la Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Trigonometry angles (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
- $\pi$ /3 (60°) - /6 (30°) - /12 (15°) - /24 (7,5°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /4 (45°) - /8 (22,5°) - /16 (11,25°) - /32 (5,625°) $\pi$ $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /5 (36°) - /10 (18°) - /20 (9°) $\pi$ $\pi$
- $\pi$ /7 - /14 $\pi$
- $\pi$ /9 (20°) - /18 (10°) $\pi$
- $\pi$ /unsprezece
- $\pi$ /13
- $\pi$ /15 (12°) - /30 (6°) $\pi$
- $\pi$ /17
- $\pi$ /19
- $\pi$ /23
Bracken, Paul; Cizek, Jiri. Evaluarea sumelor de perturbații mecanice cuantice în termeni de surduri pătratice și utilizarea lor în aproximarea ζ (3 ) / 3 // Int. J. Quantum Chem. $\pi$ : jurnal. - 2002. - Vol. 90 , nr. 1 . - P. 42-53 . - doi : 10.1002/qua.1803 .
Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo. Pe unghiuri ale căror funcții trigonometrice pătrate sunt raționale // Disc . Și Comp. Geom. : jurnal. - 1999. - Vol. 22 , nr. 3 . - P. 321-332 . - doi : 10.1007/PL00009463 . — arXiv : math-ph/9812019 .
Gerstmair, Kurt. Câteva relații liniare între valorile funcțiilor trigonometrice la k / n // Acta Arithmetica $\pi$ : jurnal. - 1997. - Vol. 81 , nr. 4 . - P. 387-398 . - doi : 10.4064/aa-81-4-387-398 .
Gurak, S. Despre polinomul minim al perioadelor gauss pentru puteri prime // Matematica calculului : jurnal. - 2006. - Vol. 75 , nr. 256 . - P. 2021-2035 . - doi : 10.1090/S0025-5718-06-01885-0 . - .
Servi, L.D. Rădăcini pătrate imbricate de 2 (engleză) // Amer. Matematică. Lunar . - 2003. - Vol. 110 , nr. 4 . - P. 326-330 . - doi : 10.2307/3647881 . — .

Link -uri

Poligoane regulate construibile
Sinusul și cosinusul ca numere iraționale includ expresii alternative în unele cazuri, precum și expresii pentru unele unghiuri

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate

Constante trigonometrice

Criterii de includere

Tabelul unor unghiuri comune

Alte unghiuri

0° = 0 (rad)

1,5°=(1/120)π (rad)

1,875°=(1/96)π (rad)

2,25°=(1/80)π (rad)

2,8125°=(1/64)π (rad)

3°=(1/60)π (rad)

3,75°=(1/48)π (rad)

4,5°=(1/40)π (rad)

5,625°=(1/32)π (rad)

6°=(1/30)π (rad)

7,5°=(1/24)π (rad)

9°=(1/20)π (rad)

11,25°=(1/16)π (rad)

12°=(1/15)π (rad)

15°=(1/12)π (rad)

18°=(1/10)π (rad) [1]

21°=(7/60)π (rad)

22,5°=(1/8)π (rad)

24°=(2/15)π (rad)

27°=(3/20)π (rad)

30°=(1/6)π (rad)

33°=(11/60)π (rad)

36°=(1/5)π (rad)

39°=(13/60)π (rad)

42°=(7/30)π (rad)

45°=(1/4)π (rad)

54°=(3/10)π (rad)

60°=(1/3)π (rad)

67,5°=(3/8)π (rad)

72°=(2/5)π (rad)

75°=(5/12)π (rad)

90°=(1/2)π (rad)

Lista de valori ale funcțiilor trigonometrice cu un argument egal cu 2π/n

Dovada

Exemplul 1: n = 3

Exemplul 2: n = 5

Exemplul 3: n = 7

Exemplul 4: n = 3 2 = 9

Exemplul 5: n = 2 7 = 14

Exemplul 6: n = 3 5 = 15

Exemplul 7: n = 17

Exemplul 8: n = 13

Diverse

Folosiți pentru a calcula alte constante

Derivare prin triunghiuri

Valorile calculate ale sinusului și cosinusului

Cantități banale

Forma radicală, sinus și cosinus(3× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus(5× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus(5×3× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus(17× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus(257× 2n );(65537× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus(255× 2n ),(65535× 2n );(4294967295× 2n )

n × π(5× 2m )

n × douăzeci

n × treizeci

n × 60

Modalități de simplificare a expresiilor

Raționalizarea numitorului

Transformarea unei fracții în suma (diferența) a două (sau mai multe) fracții

Pătrarea și luarea rădăcinii pătrate

Simplificarea expresiilor cu radicali imbricați

Vezi și

Note

Link -uri

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (3× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (5× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (5×3× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (17× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (257× 2n ); $\pi$ (65537× 2n )

Forma radicală, sinus și cosinus $\pi$ (255× 2n ), $\pi$ (65535× 2n ); $\pi$ (4294967295× 2n )

n × $\pi$ douăzeci

n × $\pi$ treizeci

n × $\pi$ 60