Pentagon

Pentagon
Fifteendecagon obișnuit
Tip de	poligon regulat
coaste	cincisprezece
Simbolul Schläfli	{cincisprezece}
Diagrama Coxeter-Dynkin
Un fel de simetrie	Grupul diedric (D 15 )
Colț interior	156°
Proprietăți
convex , înscris , echilateral , echiunghiular , izotoxal
Fișiere media la Wikimedia Commons

Un poligon cu cincisprezece laturi este un poligon cu cincisprezece laturi.

Hexagon regulat

Un hexagon regulat este reprezentat de simbolul Schläfli {15}.

Un pentagon regulat are unghiuri interioare de 156 ° . Cu latura a , pentagonul are o zonă dată de formula

{\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{15}}&={\frac { 15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={ \frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5 }}}}\right)\\&\simeq 17.642362910544204\,a^{2}.\end{aligned}}

Utilizare

Un triunghi regulat, un decagon și un unghi de cincisprezece pot acoperi complet un vârf din plan .

Clădire

Deoarece 15 = 3 × 5 este un produs al mai multor numere prime Fermat , un pentagon obișnuit poate fi construit folosind o busolă și o linie dreaptă : Următoarele construcții ale unui pentagon regulat cu un cerc circumferitor dat sunt similare cu ilustrația pentru revendicarea XVI din Cartea a IV -a a lui Euclid. Elemente [1] .

Comparația construcției cu construcția lui Euclid, vezi figura Pentagon

În construcția unui cerc circumscris dat: egal cu latura unui triunghi echilateral și egal cu latura unui pentagon regulat [2] . Punctul împarte raza proporțional cu raportul de aur : ${\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\ ;|E_{1}E_{6}|$ $|E_{2}E_{5}|$ $H$ ${\overline {AM}}$ ${\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \aprox 1.618{\text{.}}$

Comparația cu prima animație (cu linii verzi) este prezentată în următoarele două figuri. Două arce (pentru unghiuri de 36° și 24°) sunt deplasate în sens invers acelor de ceasornic. Construcția nu folosește segmentul , ci folosește segmentul ca rază pentru al doilea arc (unghi de 36°). ${\overline {CG)}$ ${\overline {MG}}$ ${\overline {AH)}$

Construcție folosind o busolă și o linie dreaptă pentru o lungime dată de latură. Construcția este aproape aceeași ca și pentru construirea unui pentagon de-a lungul unei laturi date, de asemenea, începe cu crearea unui segment ca o continuare a laturii, aici , care este împărțită proporțional cu raportul de aur: ${\overline {FE_{2}}}{\text{,}}$

${\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2))))={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1,618033988749895{\text{.}}$

Raza cercului circumscris

{\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;

Lungime laterală

{\overline {E_{1}E_{2))}=a\;;\;\;

Colţ

DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }

${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2)}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}))+{\ sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\ sqrt {5))))))\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ )))))\cdot a\aprox. 2.4048671723720654 \cdot a\end{aligned}}$

Simetrie

Un pentagon regulat are o simetrie diedrică de ordinul 30 (Dih 15 ), reprezentată de 15 linii de reflexie în oglindă. Dih 15 are 3 subgrupe diedrice: Dih 5 , Dih 3 și Dih 1 . Și în plus, există încă patru simetrii ciclice - Z 15 , Z 5 , Z 3 și Z 1 , unde Z n reprezintă simetria rotațională π / n .

Există 8 simetrii diferite într-un pentagon. John Conway a etichetat simetriile cu litere, cu ordinea simetriei după literă [3] . El a notat cu r30 simetria completă a reflexiilor Dih 15 , cu d (diagonală = diagonală) reflexii despre liniile care trec prin vârfuri, cu p reflexii despre liniile care trec prin punctele medii ale muchiilor (perpendiculară = perpendiculară) și pentru un pentagon cu un impar numărul de vârfuri a folosit litera i (pentru oglinzile prin vârf și mijlocul muchiei) și litera g pentru simetria ciclică. Simbolul a1 înseamnă lipsă de simetrie.

Aceste grade scăzute de simetrie determină gradele de libertate în definirea pentagoanelor neregulate. Numai subgrupul g15 nu are grade de libertate, dar poate fi considerat ca având margini direcționate .

Pentadecagrame

Există trei stele regulate : {15/2}, {15/4}, {15/7} pe aceleași 15 vârfuri ale unui pentagon obișnuit, dar conectate prin unul, trei sau șase vârfuri.

Există, de asemenea, trei forme de stea obișnuite : {15/3}, {15/5}, {15/6}, prima este formată din trei pentagoane , a doua este formată din cinci triunghiuri regulate și a treia este formată din trei pentagrame .

Figura compusă {15/3} poate fi considerată echivalentul bidimensional al unui compus tridimensional de cinci tetraedre .

imagine	{15/2}	{15/3} sau 3{5}	{15/4}	{15/5} sau 5{3}	{15/6} sau 3{5/2}	{15/7}
Colț interior	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Trunchieri mai adânci ale unui pentagon regulat și pentadecagrame pot da poligoane stele intermediare izogonale ( tranzitive la vârfuri ) formate din vârfuri egal distanțate și lungimi de două muchii [4] .

Funcții tranzitive de vârf pe un pentagon
Cvasi-regulat	Equangular	Cvasi-regulat
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}

poligoane Petrie

Un pentagon obișnuit este un poligon Petrie pentru un politop de dimensiuni mari, obținut prin proiecție ortogonală :

14-simple (14D)

Este, de asemenea, poligonul Petrie pentru marele 120 de celule și marele stelat de 120 de celule .

Note

↑ Dunham, 1991 , p. 65.
↑ Kepler, 1939 , p. 44.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , p. 275-278.
↑ Grünbaum, 1994 .

Literatură

William Dunham. Călătorie prin geniu - Marile teoreme ale matematicii . — Penguin, 1991. Universitatea din Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics
Johannes Kepler. WELT-HARMONIK / tradus și inițiat de MAX CASPAR 1939. - Google Books, 1939.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Capitolul 20, Simboluri Schaefli generalizate, Tipuri de simetrie a unui poligon // . - Simetriile lucrurilor, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Metamorfozele poligoanelor // Partea mai ușoară a matematicii: lucrări ale conferinței memoriale Eugène Strens despre matematica recreațională și istoria ei. — 1994.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Pentadecagon (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Miliogon
infinit

Corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama decagramă Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si