Ecuația de continuitate

Ecuațiile de continuitate sunt o formă locală (puternică) a legilor de conservare . Următoarele sunt exemple de ecuații de continuitate care exprimă aceeași idee despre o schimbare continuă a unei cantități.

Forma diferențială

Forma diferențială a ecuației generale de continuitate este:

${\frac {\partial \rho {\partial t)}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma,$

Unde

\nabla \cdot

- divergenta ,

\rho

- cantitatea cantității pe unitate de volum (densitatea cantității ),

q

q

t

- timp,

j

este densitatea fluxului cantității (vezi mai jos),

q

\sigma

- adăugare pe unitate de volum pe unitate de timp. Membrii care adaugă ( ) sau elimină ( ) se numesc „surse” și, respectiv, „chivoare”.

q

\sigma >0

\sigma <0

q

Această ecuație generală poate fi utilizată pentru a deriva orice ecuație de continuitate, de la ecuația simplă de continuitate până la ecuația Navier-Stokes.

Dacă este o cantitate conservată care nu poate fi creată sau distrusă (de exemplu, energia ), atunci , iar ecuația de continuitate ia forma $q$ $\sigma =0$

{\frac {\partial \rho }{\partial t)}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0.

Electromagnetism

În electrodinamică , ecuația de continuitate este derivată din ecuațiile lui Maxwell . Se afirmă că divergența densității de curent este egală cu modificarea densității de sarcină cu semnul minus,

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0.

Concluzie

Legea lui Ampère spune:

\operatorname {putrezire} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t)).

Luând divergența din ambele părți ale expresiei, obținem

\operatorname {div} \operatorname {putrezire} \mathbf {H} =\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t)}\operatorname {div} \mathbf {D} ,

dar divergența rotorului este zero, deci

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {D} =0.

După teorema lui Gauss ,

\operatorname {div} \mathbf {D} =\rho .

Înlocuind această expresie în ecuația anterioară, obținem ecuația de continuitate necesară.

Interpretare

Densitatea curentului este mișcarea sarcinilor. Ecuația de continuitate afirmă că dacă sarcina părăsește volumul diferențial (adică divergența densității curentului este pozitivă), atunci cantitatea de sarcină din interiorul volumului scade. În acest caz, creșterea densității de sarcină este negativă.

Teoria undelor

În teoria undelor, ecuația de continuitate exprimă legea conservării energiei într-un volum elementar în care se propagă unde de orice natură. Forma sa diferentiala

\operatorname {div} \mathbf {j} + {\frac {\partial w}{\partial t)}=0,

unde este vectorul densității fluxului de energie în punctul cu coordonatele în momentul de timp , este densitatea de energie. ${\mathbf {j}}={\mathbf {j}}(x,y,z,t)$ $\left(x,y,z\dreapta)$ $t$ $w=w(x,y,z,t)$

Concluzie

Prin definiție, vectorul densității fluxului de energie este un vector al cărui modul este egal cu energia transferată printr-o unitate de suprafață perpendiculară pe direcția transferului de energie pe unitatea de timp, adică , și direcția acestuia coincide cu direcția transferului de energie. Apoi, energia care curge pe unitatea de timp dintr-un volum macroscopic V, $j={\frac {dW}{dtdS_{{\bot ))))$

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} ={\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}.

Conform legii conservării energiei, , unde este energia conținută în volumul V . Prin definiție, densitatea de energie este energia unei unități de volum, atunci energia totală conținută într-un anumit volum este egală cu ${\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}=-{\frac {dW_{\text{in}}}{dt}}$ $W_{\text{in)}$

W_{\text{in}}=\int \limits _{V}w\,dV.

Apoi expresia fluxului de energie ia forma

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w\,dV=- \int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t))\,dV.

Aplicând formula Gauss-Ostrogradsky în partea stângă a expresiei, obținem

\int \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {j} \,dV=-\int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t)}\, dV.

Datorită arbitrarului volumului ales, concluzionăm că integranții sunt egali, din care obținem forma diferențială a ecuației de continuitate.

Hidrodinamica și mecanica unui solid deformabil

Variații de nume

În literatura hidrodinamică , de exemplu, în lucrările lui Jukovsky [1] , Chaplygin [2] , Kochin [3] , Loitsyansky [4] , ecuația care exprimă legea conservării masei se numește ecuația de continuitate ( condiția de continuitate ) , în timp ce în literatura fizică, de exemplu, în cursul lui Landau și Lifshitz [5] , Zel'dovich și Raiser [6] , traducerea rusă a cursului lui Feynman [7] , se folosește termenul ecuație de continuitate . În literatura veche exista și denumirea ecuației de continuitate [8] . Toate cele trei nume sunt traduceri diferite ale numelui ecuației introduse de Euler [9] în limbile vest-europene ( ecuația de continuitate engleză , ecuația de continuitate franceză și altele asemenea).

Diverse forme de scriere

Ecuația exprimă legea conservării masei într-un volum elementar, adică relația dintre modificarea spațială a debitului masic al unui lichid sau gaz și viteza de modificare a densității în timp. Forma sa diferentiala

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho \mathbf {v} = {\frac {\partial \rho }{\partial t)}+\rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,

unde este densitatea lichidului (sau gazului), este vectorul vitezei lichidului (sau gazului) în punctul cu coordonatele în timp . $\rho =\rho (x,y,z,t)$ $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z,t)$ $(x,y,z)$ $t$

Vectorul se numește densitatea curgerii fluidului . Direcția sa coincide cu direcția curgerii fluidului, iar valoarea absolută determină cantitatea de materie care curge pe unitatea de timp printr-o unitate de suprafață situată perpendicular pe vectorul viteză. $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v}$

Pentru fluide omogene incompresibile . Prin urmare, ecuația devine $\rho ={\text{const)}$

\operatorname {div} \mathbf {v} =0,

din care urmează solenoidalitatea câmpului de viteză.

Pentru fluxurile în canale (curgeri în conducte, vase de sânge etc.), ecuația de continuitate poate fi scrisă în termeni de valori medii pe secțiunea transversală a canalului. De exemplu, pentru un flux într-un canal cu o dependență cunoscută a ariei secțiunii transversale de coordonatele de -a lungul canalului, , ecuația de continuitate (aproximativă) are forma $S$ $X$ $S=S(x)$

S{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x)}(\rho vS)=0,

unde și sunt valorile medii ale densității și proiecției axiale a vitezei pe secțiunea transversală. Aici se presupune că aria secțiunii transversale a canalului se modifică destul de lent (așa-numita aproximare hidraulică ), ceea ce permite, la derivarea ecuației, înlocuirea valorii medii din produs cu produsul din medii. În cazul particular al unui flux staționar, se obține ecuația de continuitate sub formă $\rho =\rho (x,t)$ $v=v(x,t)$

\rho vS={\text{const}),

care are sensul fizic evident al constanței debitului de masă, iar în cazul unui mediu cu densitate constantă, ecuația

vS={\text{const}),

exprimând constanța debitului volumic.

O structură similară are ecuația de continuitate pentru debitele în canale cu suprafață liberă, care este utilizată pe scară largă în hidraulică pentru a descrie debitele de canal (debite în râuri, canale etc., mișcarea curgerii de noroi, avalanșe etc.), pentru a descrie debitele. în filme etc. În cel mai simplu caz de curgere a fluidului cu densitate constantă într-un canal cu secțiune transversală dreptunghiulară, ecuația exactă a continuității (uneori numită ecuația Saint-Venant ) are forma

{\frac {\partial h}{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x)}(vh)=0,

unde este adâncimea lichidului, este viteza medie a lichidului pe secțiunea transversală. $h=h(x,t)$ $v=v(x,t)$

În mecanica unui corp solid deformabil , este adesea convenabil să scrieți ecuația de continuitate sub forma unei conexiuni între densitățile inițiale și finale ale unei particule de material [10] . De exemplu, în cazul deformațiilor mici, ecuația de continuitate are forma

\rho =\rho _{0}(1-\operatorname {div} \mathbf {w} ),

unde , sunt densitățile inițiale și, respectiv, finale ale particulei de material și este vectorul deplasării (în cazul deplasărilor și deformațiilor mici, divergența poate fi luată cu același grad de precizie atât în variabilele Euler, cât și în variabilele Lagrangiane). $\rho _{0}$ $\rho$ $\mathbf {w}$

Ecuația de continuitate are un caracter universal și este valabilă pentru orice mediu continuu (indiferent de reologia acestuia ). Există generalizări ale ecuației de continuitate pentru mișcările mediilor continue multifazice [11] și multicomponente [10] .

Context istoric

În cazuri speciale, de exemplu, pentru curgerile axisimetrice ale unui fluid incompresibil, ecuația de continuitate (sub forma unei ecuații cu diferență parțială ) a fost obținută pentru prima dată de d'Alembert , într-o formă generală de Euler în anii 1750. Sub forma unei relații algebrice care exprimă (pentru cazul unui fluid incompresibil) constanța debitului volumic de-a lungul tubului fluxului , ecuația de continuitate a fost publicată pentru prima dată de Castelli în prima jumătate a secolului al XVII-lea [12] .

Mecanica cuantică

În mecanica cuantică non-relatistă , conservarea probabilității conduce și la o ecuație de continuitate . Fie densitatea de probabilitate , atunci ecuația va fi scrisă sub forma $P(x,t)$

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))P(x,t)=0,

unde este curentul de probabilitate . $j$

Note

↑ Jukovski N. E. Mecanica teoretică. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 691. - 812 p.
↑ Chaplygin S. A. Lucrări alese de mecanică și matematică. - M. : GITTL, 1954. - S. 11. - 568 p.
↑ Kochin N. E., Kibel I. A., Rose N. V. Hidromecanica teoretică / Ed. I. A. Kibelya. - M. : GITTL, 1955. - T. 1. - S. 23, 24. - 560 p.
↑ Loitsyansky L. G. Mecanica lichidului și gazului. - M. : Nauka, 1970. - S. 79. - 904 p.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Hydrodynamics / Theoretical Physics. În 10 vol. - M . : Nauka, 1986. - T. 6. - S. 15. - 736 p.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fizica undelor de șoc și a fenomenelor hidrodinamice la temperatură înaltă. - M. : Nauka, 1966. - S. 14. - 688 p.
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics / Per. din engleza. ed. Da. A. Smorodinsky. - M .: Mir, 1966. - T. 7. Fizica mediilor continue. - S. 236. - 292 p.
↑ „Folosim aici, după A. A. Fridman , termenul „ecuație de continuitate”. În literatura rusă, termenul „ecuație de continuitate” este, de asemenea, comun” ( Frank F., Mises R. Ecuații diferențiale și integrale ale fizicii matematice / Tradus din germană sub redacția lui L. E. Gurevich. - L.-M .: ONTI. Glavn ed., literatura tehnică generală, 1937. - T. 2. - S. 348 (nota ed.) - 1000 p. ).
↑ „Ecuația rezultată reprezintă condiția invariabilității volumului. Euler a numit-o condiția de continuitate a fluidului ” (Zhukovsky, p. 691).
↑ 1 2 Sedov L.I. Mecanica continuumului. - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 p.
↑ Nigmatulin R.I. Fundamentele mecanicii mediilor eterogene. — M .: Nauka, 1978. — 336 p.
↑ Câteva lucrări de revizuire și surse primare despre istoria ecuațiilor mecanicii fluidelor Arhivate la 3 decembrie 2013 la Wayback Machine .

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare