Numere întregi gaussiene

Numerele întregi gaussiene ( numere gaussiene , numere întregi complexe ) sunt numere complexe , în care atât părțile reale, cât și cele imaginare sunt numere întregi [1] .

Exemple: . $1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i$

Introdus pentru prima dată de Gauss în monografia „Theory of Biquadratic Residues” (1828-1832) [2] [3] . Setul de numere întregi gaussiene este de obicei notat cu , reflectând astfel faptul că este obținut din mulțimea de numere întregi prin adăugarea unei unități imaginare la acesta și combinând-o cu numere întregi. Proprietățile numerelor gaussiene sunt similare cu proprietățile numerelor întregi obișnuite, dar există diferențe semnificative. ${\mathbb {Z}}[i],$ $\mathbb {Z}$ $i$

Proprietăți generale

Definiție și clasificare

Definiție formală:

{\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}

Mulțimea conține mulțimea numerelor întregi obișnuite și este extensia ei [4] . Suma, diferența și produsul numerelor gaussiene sunt numere gaussiene; pentru ele, ca și pentru numere întregi, se păstrează proprietățile de asociativitate , comutativitate și distributivitate - o astfel de structură algebrică se numește inel comutativ în algebra generală [5] . Este imposibil să se introducă o ordonare compatibilă cu ordinea numerelor reale în acest inel complex . ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Z}$

Conjugatul unui număr gaussian este, de asemenea, un număr gaussian . $a+bi$ $a-bi$

Fiecare număr gaussian satisface ecuația pătratică: $z=a+bi$

(za)^{2}+b^{2}=0

Prin urmare, un număr gaussian este un număr întreg algebric .

Norma

Norma pentru un număr gaussian este definită ca pătratul modulului său [6] : $a+bi$

N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}

Proprietăți standard [7] :

Norma este zero doar pentru zero. În caz contrar, norma este un număr întreg pozitiv.
Normele numerelor conjugate sunt aceleași.
Norma unui întreg obișnuit este egală cu pătratul său.
Dacă norma este impară, atunci are forma , adică atunci când se împarte la 4, restul este 1. Nici un număr gaussian nu poate avea o normă de forma . $4n+1$ $4n+3$

Norma, ca și modulul, are o proprietate multiplicativă importantă [7] :

N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)

De aici rezultă [8] că elementele inversabile ale inelului ( divizorii unității ) sunt acele elemente a căror normă este egală cu 1, adică . $\{1;-1;i;-i\}$

Două numere gaussiene se numesc asociate dacă unul se obține de la celălalt prin înmulțirea cu un divizor al unității. Este ușor de observat că asocierea este o relație de echivalență [8] . Exemplu: numerele gaussiene și sunt asociate deoarece: $1+i$ $1-i$

1+i=i(1-i)

Fiecare număr gaussian diferit de zero are trei asociate. Normele tuturor celor patru numere asociate sunt aceleași.

Teoria divizibilității

Diviziune integrală

Împărțirea între numerele gaussiene este definită în modul obișnuit [7] :

Se spune că un număr gaussian este divizibil (întreg) cu un număr gaussian dacă există un al treilea număr gaussian astfel încât . Denumire: . $u$ $v$ $q$ $u=vq$ $v\mid u$

Pronunție: una dintre cele trei opțiuni echivalente.

$u$ este împărțit la ; $v$
$v$ desparte ; $u$
$v$ - divizor . $u$

Se folosesc termeni tradiționali: divizibil sau multiplu ( ), divizor ( ) și coeficient ( ). Numărul de divizori gaussieni este întotdeauna finit, numărul multiplilor este infinit. $u$ $v$ $q$

Exemplu: numărul 2 este divizibil egal cu , deoarece . $1+i$ $2=(1+i)(1-i)$

Toate numerele gaussiene sunt divizibile cu divizori de unități, deci orice număr gaussian, altul decât divizori de unități, are cel puțin 8 divizori: 4 divizori de unități și 4 din produsele lor după numărul însuși. Acești divizori se numesc triviali [9] .

Diviziunea integrală în proprietățile sale este similară cu împărțirea analogă a numerelor întregi. Câteva caracteristici specifice numerelor gaussiene [8] [7] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Dacă un număr gaussian este divizibil egal cu un număr întreg obișnuit, atunci ambele părți reale și imaginare sunt divizibile cu acel număr întreg . $z$ $z$
Dacă și , atunci aceste numere sunt asociate. $u\mid v$ $v\mid u$
Dacă , atunci oricare dintre cele 3 numere asociate cu este divizibil cu oricare dintre cele 3 numere asociate cu . $u\mid v$ $v$ $u$
Dacă este divizibil cu , atunci conjugatul cu dividendul este divizibil cu conjugatul cu divizorul . $u$ $v\;(u=vq)$ $\overline u$ ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})$
Toți divizorii unui număr gaussian sunt, de asemenea, divizori ai normei sale . $z$ $N(z)=z\cdot {\overline {z)}$
Norma unui număr gaussian este chiar dacă și numai dacă acest număr este divizibil cu . $1+i$
Dacă , atunci norma dividendului, în virtutea multiplicativității, este divizibilă cu norma divizorului. în care: $v\mid u$

N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v))))

Reprezentarea geometrică a divizibilității

Fiecare număr gaussian are 4 multipli cu aceeași normă (și, în consecință, același modul) - acesta este el însuși și cele 3 numere asociate acestuia, care sunt obținute prin înmulțire succesivă cu : $z$ $z$ $z$ $i$

z;\iz;\-z;\-iz

Dar înmulțirea prin intermediul planului complex a rotației vectorului rază a numărului cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic, iar modulul rezultatului va fi același. Astfel, toate cele 4 numere formează o cruce echilaterală (evidențiată cu roșu în figură), al cărei centru și vârfuri sunt multipli de . Deplasând secvențial această cruce în toate direcțiile cu una dintre cele 4 valori asociate cu , obținem o rețea pătrată pe întregul plan, ale cărei noduri (vârfurile pătratelor) sunt multipli de . În schimb, orice multiplu coincide cu unul dintre nodurile rețelei. Lățimea fiecărui pătrat de grilă este . În plus, pentru concizie, această rețea va fi numită „șarea multiplilor” (sau, dacă este necesară o clarificare, „ -laticea multiplilor ”). $i$ $z$ $z$ $z$ $z$ $|z|$ $z$

Exemplu: în figură, unul dintre nodurile rețelei este un număr care este un multiplu al : $4-2i$ $1+2i$

4-2i=-2i(1+2i)

Numerele gaussiene simple

Un număr prim gaussian este un număr diferit de zero care nu are divizori alții decât cei triviali. Un număr care nu este prim se numește compus . În același timp, divizorii unității, ca și unitatea naturală, nu sunt considerați nici numere prime, nici numere compuse [10] .

Câteva proprietăți ale numerelor gaussiene simple:

Dacă este un număr Gaussian prim, atunci numerele Gauss opuse și conjugate sunt și ele prime. $a+bi$ $-a-bi$ $a-bi$
Dacă un număr prim gaussian este un divizor al unui produs al numerelor gaussiene, atunci este un divizor al cel puțin unuia dintre factori.
Norma oricărui număr gaussian simplu, cu excepția celor asociate cu , este întotdeauna impar și, prin urmare, are forma . $1+i$ $4n+1$

Un prim natural poate să nu fie un prim gaussian. De exemplu, numerele 2 și 5 din nu mai sunt prime: ${\mathbb {Z}}[i]$

2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)

Pentru o factorizare a numerelor gaussiene cu o normă între 2 și 100 în factori gaussieni simpli, consultați tabelul Factorizarea numerelor gaussiene .

Numerele coprime

Dacă un număr gaussian este un divizor a două numere gaussiene și , se numește divizor comun al acestora. Mulțimea divizorilor comuni a două numere conține întotdeauna 4 divizori ai unuia; dacă nu există alți divizori comuni, aceste numere se numesc coprime [11] . $w$ $u$ $v$

Rețineți că dacă normele numerelor gaussiene sunt coprime ca numere întregi, atunci numerele în sine sunt coprime ca numere gaussiene. Reversul nu este adevărat: normele numerelor gaussiene coprime pot avea divizori comuni — de exemplu, și sunt coprime, dar normele lor sunt aceleași și, prin urmare, nu sunt coprime. $u,v$ $u,v$ $5+2i$ $5-2i$

Să indicăm două proprietăți analoge cu proprietățile numerelor întregi.

Dacă fiecare dintre cele două numere gaussiene este coprime cu un număr gaussian , atunci produsul lor este și copprime [11] cu . $u,v$ $w,$ $UV$ $w$
Dacă și în același timp coprime cu , atunci [12] . $z|uv$ $z$ $u$ $z|v$

criteriul gaussian

Gauss a subliniat caracteristicile definitorii ale unui număr prim în [13] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Un număr gaussian este prim dacă și numai dacă: $a+bi$

fie unul dintre numere este zero, iar celălalt este un întreg prim de forma ; $a,b$ $\pm (4n+3)$
sau ambele nu sunt zero și norma este un simplu număr natural. $a,b$ $a^{2}+b^{2}$

Exemple de numere gaussiene simple:

la prima parte a criteriului: ; $\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i$
la a doua parte a criteriului: . $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i$

Pentru o mai mare claritate, unele surse împart a doua parte a criteriului în două [14] :

Numerele asociate cu . Norma lor este 2. $1+i$
Numere a căror normă este un simplu număr natural de forma . $4n+1$

Gauss însuși nu a făcut o asemenea împărțire [15] .

Consecințe:

Niciun număr natural prim de formă nu poate fi un număr prim gaussian. Numerele naturale simple de forma sunt, de asemenea, numere gaussiene simple. $4n+1$ $4n+3$
Norma unui număr gaussian simplu este fie un număr natural simplu, fie pătratul unui număr natural simplu [16] .
Un număr natural simplu al formei poate fi reprezentat ca un produs al unor numere gaussiene simple conjugate sau, ceea ce este același, ca o sumă de pătrate . Acest fapt este cunoscut sub numele de teorema Fermat-Euler . În studiul acestui subiect, precum și în teoria reziduurilor biquadratice, Gauss a aplicat cu succes numerele întregi complexe. În schimb, dacă un număr natural prim poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate naturale, atunci el este compus și se descompune în două numere prime gaussiene conjugate [17] . $4n+1$ $(a+bi)(a-bi)$ $a^{2}+b^{2}$ ${\mathbb {Z}}[i]$
Fiecare număr prim gaussian este un divizor al unui singur număr natural prim [17] . Aceasta înseamnă că prin descompunerea primelor naturale în factori gaussieni, se obțin toate primele gaussiene.

Factorizarea primelor

Există un analog al teoremei principale de aritmetică : fiecare număr gaussian care nu este zero sau un divizor al unității este descompus în factori primi, iar această descompunere este unică până la ordinea și asocierea factorilor [1] [18] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Exemplu: . Factorii acestor două expansiuni, aparent diferite, sunt asociați perechi: astfel încât unicitatea să nu fie încălcată. $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)$ $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$

Pentru a factoriza practic un număr gaussian în factori primi, puteți folosi proprietatea de mai sus: toți divizorii unui număr gaussian sunt, de asemenea, divizori ai normei sale. Mai mult decât atât, norma conține și factori primi „extra” corespunzători conjugatului numărului. $z$ $z$

Astfel, ar trebui să începem cu descompunerea normei unui număr în factori naturali simpli [19] . $z$

Factorul 2, dacă este prezent în descompunerea normei, se descompune ca . Este necesar să se includă în descompunerea rezultată pe cei din acești factori (în gradul corespunzător) prin care se împarte complet. $(1+i)(1-i)$ $z$
Cu excepția lui 2, restul factorilor de normă sunt impari. Factorul de vedere este un număr Gaussian simplu, deci împarte nu numai norma , ci și pe sine . Dar apoi acest factor împarte și numărul conjugat . De aici rezultă că factorul formei intră întotdeauna în extinderea normei într-un grad egal și în extinderea ei înșiși - la un grad pe jumătate mai mare. $4n+3$ $N(z)=~z\overline {z}$ $z$ $\overline{z}$ $4n+3$ $z$
Multiplicatorul formei poate fi descompus în produsul numerelor prime gaussiene conjugate (sau, ceea ce este același, în suma pătratelor numerelor naturale). Și aici este necesar să aflăm prin împărțire care dintre factori se referă la numărul original și care la conjugat. $4n+1$

De exemplu, pentru descompunerea în factori primi (norma este 225), se disting factori naturali simpli: . Conform celui precedent . Este divizibil doar cu și nu divizibil cu . Coeficientul de egali este deci rezultatul final: $9+12i$ $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ $5=(2-i)(2+i)$ $9+12i$ $2+i$ $2-i$ $9+12i$ $3(2+i)$ $2+i,$

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

Teoria comparației

Comparații gaussiene

Conceptul de comparație modulo este definit în același mod ca și pentru numerele întregi [20] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Să fie un număr gaussian. Se spune că două numere gaussiene sunt comparabile modulo dacă diferența este divizibilă (întreg) cu . Înregistrare: . $w$ $u,v$ $w$ $UV$ $w$ $u\equiv v{\pmod {w}}$

Proprietățile comparațiilor în sunt practic aceleași cu cele ale numerelor întregi. Relația de comparabilitate este o relație de echivalență , prin urmare este împărțită în clase de reziduuri care nu se intersectează - fiecare astfel de clasă conține toate numerele gaussiene comparabile între ele (prin un modulo dat). Pentru clase, ca și în cazul numerelor întregi, adunarea și înmulțirea pot fi definite, astfel încât se obține un inel de reziduuri modulo Gaussian. ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Exemplu. Să luăm ca modul de comparație . Apoi este împărțit în două clase de reziduuri: numerele cu aceeași paritate vor intra într-o clasă (conținând multipli pentru modul), iar numerele cu paritate diferită vor cădea într- o alta. $1+i$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $a+bi$ $a,b$ $a,b$

Comparația gaussiană are unele particularități. De exemplu, dacă pentru numerele întregi modulo 3 există 3 clase de reziduuri cu reprezentanți, atunci pentru numerele gaussiene modulo 3 numărul de clase este mult mai mare. Reprezentanții lor: $0;\ 1;\ 2,$

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i

După cum a descoperit Gauss, inelul de reziduuri modulo conține elemente [20] . Acest fapt ne obligă să modificăm unele teoreme clasice. De exemplu, mica teoremă a lui Fermat pentru numere întregi afirmă că este divizibil cu pentru orice număr prim și natural . Pentru numerele gaussiene, acest lucru nu este adevărat, chiar dacă este limitat la valorile naturale ; de exemplu, pentru numerele întregi este întotdeauna divizibil cu 3, dar pentru numerele Gaussiene , această valoare nu este divizibilă nici cu 3. Un analog modificat al micii teoreme a lui Fermat este formulat după cum urmează [20] : $a+bi$ $N(a+bi)=a^{2}+b^{2)$ $(a^{p}-a)$ $p$ $p$ $A$ $p$ $a^{3}-a$ $i^{3}-i=-2i$

Pentru un număr Gaussian prim și orice număr Gaussian este divizibil cu . $w=a+bi$ $u$
$(u^{{N(w)}}-u)=(u^{{a^{2}+b^{2}}}-u)$ $w$

În același exemplu cu rezultatul: - este divizibil cu 3. $w=3;u=i$ $(i^{9}-i)=0$

Să numim clasa de resturi modulo care conțin un număr reversibil dacă comparația are o soluție în raport cu . Clasa este inversabilă dacă și numai dacă numerele gaussiene și sunt relativ prime [20] . În special, dacă modulul de congruențe este un prim gaussian, atunci fiecare clasă de reziduuri diferită de zero are un element invers, ceea ce înseamnă că clasele de reziduuri modulo un prim formează un câmp , precum și în . $w,$ $tu,$ $ux\equiv 1{\pmod {w}}$ $X$ $u$ $w$ $w$ ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}),$

Funcția Euler pentru numere gaussiene

Să introducem un analog al funcției Euler pentru numerele gaussiene. Definiția numerelor întregi nu este potrivită, fie și numai pentru că expresia „de la ” conținută în ea nu are sens pentru numerele complexe. Definiție nouă [20] : $unu$ $n$

Funcția Euler pentru un număr gaussian este definită ca numărul de clase de reziduuri reversibile modulo . $\varphi (z)$ $z$ $z$

Funcția astfel definită, ca și prototipul său pentru numere întregi, este multiplicativă , deci este suficient să cunoaștem valorile pentru numerele prime și puterile lor naturale. Dacă este un număr Gaussian prim, atunci [20] : $z$

\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{{k-1}}(N(z)-1)

Exemplu: . $\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20$

Acum putem generaliza mica teoremă a lui Fermat dată în secțiunea anterioară în cazul unui modul comparator arbitrar (nu neapărat simplu), adică putem da un analog al teoremei lui Euler [20] :

Dacă un număr gaussian este copprim cu modulo , atunci: $z$ $w,$

z^{{\varphi (w)}}\equiv 1{\pmod w}

Reprezentarea geometrică a comparației modulo

Să considerăm comparația modulo ca exemplu . După cum s-a menționat în secțiunea privind reprezentarea geometrică a divizibilității, este posibilă împărțirea planului complex în pătrate, astfel încât nodurile acestei rețele (vârfurile pătratelor) să reprezinte toți multiplii complexi posibili ai lui . Atunci, prin definiție, numerele sunt comparabile modulo dacă diferența lor coincide cu unul dintre nodurile rețelei multiplilor. $w=1+2i$ $1+2i$ $w$

Fiecare pătrat al rețelei este obținut din orice alt pătrat printr-o deplasare (transfer) cu un multiplu, prin urmare diferența oricărui punct al pătratului și rezultatul deplasării acestuia este, de asemenea, un multiplu de . De aici rezultă concluzia finală [20] : $w,$ $w$

Numerele gaussiene sunt comparabile modulo dacă și numai dacă ocupă aceeași poziție relativă în pătratele lor ale rețelei multiplilor. $w$

De exemplu, toate centrele pătratelor sunt comparabile sau toate punctele de mijloc ale laturilor respective etc.

Împărțire cu rest

Definiție

Într-un inel , se poate defini împărțirea cu un rest (prin orice număr gaussian diferit de zero) cerând ca norma restului să fie mai mică decât norma divizorului [21] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Orice număr gaussian poate fi împărțit cu un rest la orice număr gaussian diferit de zero , adică reprezentat ca: $u$ $v$

u=vq+r

unde câtul și restul sunt numere gaussiene și . $q$ $r$ $N(r)<N(v)$

Este ușor de arătat că, ca coeficient de împărțire cu rest, se poate lua un număr gaussian cel mai apropiat de câtul de împărțire obișnuită a numerelor complexe [22] .

Trebuie remarcat că condiția „norma restului este mai mică decât norma divizorului” nu este suficientă pentru a garanta unicitatea restului din divizare, prin urmare, restul este ambiguu. De exemplu, poate fi împărțit în trei moduri: ${\mathbb {Z}}[i]$ $7+2i$ $3-i$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)

Se poate garanta doar că toate resturile se încadrează în aceeași clasă de reziduuri modulo divizor. Cu toate acestea, o situație similară apare și pentru numerele întregi obișnuite - de exemplu, există două moduri de a împărți cu un rest de 8 la 3: sau (ambele resturi sunt modulo mai mici decât divizorul), prin urmare, se introduce o condiție suplimentară în aritmetica întregului. pentru a asigura unicitatea operației: restul trebuie să fie nenegativ . $8=3\cdot 2+2$ $8=3\cdot 3-1$

Exemplu . Pentru împărțirea cu un rest de la , se găsește mai întâi câtul împărțirii complexe obișnuite: $11+10i$ $4+i$

{\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)))={\frac {54+ 29i}{17}}\aprox 3{,}17+1{,}7i

Numărul gaussian cel mai apropiat de rezultat este atunci restul este . În cele din urmă: $3+2i,$ $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i$

11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i

Pentru numerele gaussiene, un analog al teoremei chineze a restului este valabil , deoarece este demonstrat folosind algoritmul lui Euclid .

Reprezentare geometrică

Din definiția împărțirii cu un rest rezultă că , adică modulul restului este distanța dintre numerele complexe și . Cu alte cuvinte, există o distanță de la dividend la unul dintre noduri - rețeaua multiplilor. Cerința „norma restului este mai mică decât norma divizorului” este echivalentă cu condiția . Din aceasta rezultă: $u$ $v$ $|r|=|u-vq|$ $u$ $vq$ $|r|$ $v$ $|r|<|v|$

Împărțirea cu un rest de are tot atâtea soluții cât este mai mic numărul de noduri ale rețelei de multipli decât din dividend . $u$ $v$ $v$ $|v|$

În împărțirea după exemplu de mai sus, multiplii divizorului cel mai apropiat de dividend sunt vârfurile pătratului reticulat care conține dividendul: $7+2i$ $3-i$

7+i=(3-i)(2+i)

4+2i=(3-i)(1+i)

8+4i=(3-i)(2+2i)

Toate sunt din dividende la o distanță mai mică de . Al patrulea vârf al pătratului este mai mult decât . Prin urmare, această problemă a împărțirii cu rest are trei soluții. $|v|={\sqrt {10}}$ $5+5i$ ${\sqrt {10}}$

În cazul general, desenând din vârfurile unei rețele pătrate de mai multe arce cu o rază , obținem figura prezentată în figură. Dacă dividendul este în regiunea centrală (zona roșie), este mai puțin de 100% din toate vârfurile, iar împărțirea cu un rest se poate face în patru moduri. Dacă dividendul este într-una dintre „petale” (zona albastră), atunci unul dintre vârfuri dispare, iar numărul de soluții este de trei. Pentru zona albă, obținem două soluții. În cele din urmă, dacă dividendul coincide cu unul dintre vârfuri, atunci restul este zero, iar soluția este unică. $v$ $|v|,$ $|v|,$

Cel mai mare divizor comun

Inelul numerelor gaussiene este euclidian și este întotdeauna posibil să se determine cel mai mare divizor comun din el , care este determinat în mod unic până la divizorii unității [23] .

Cel mai mare divizor comun al mcd pentru numerele gaussiene și , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, este divizorul lor comun, care este divizibil cu orice alt divizor comun și . $(u,v)$ $u$ $v$ $u$ $v$

Definiție echivalentă: GCD este divizorul comun pentru care norma este maximă [24] . $(u,v)$ $u,v$

Proprietăți GCD

Dacă se cunoaște un mcd, atunci oricare dintre cele trei numere asociate cu acesta va fi, de asemenea, un mcd. În special. dacă unul dintre GCD-uri este un divizor de unitate, atunci vor fi și celelalte trei GCD-uri.
Numerele gaussiene sunt coprime dacă și numai dacă mcd-ul lor este un divizor unitar.
Există un analog al relației Bezout [25] :

Fie numere gaussiene și cel puțin unul dintre ele nu este zero. Apoi există numere gaussiene astfel încât următoarea relație este valabilă: $u,v$ $X y$

GCD

(u,v)=xu+yv

Cu alte cuvinte, cel mai mare divizor comun a două numere gaussiene poate fi întotdeauna reprezentat ca o combinație liniară a acelor numere cu coeficienți gaussieni.

Consecința relației Bezout [25] : dacă numerele gaussiene sunt coprime, atunci ecuația față de are o soluție în . În loc de 1 în ecuația de mai sus, orice alt divizor al unității poate rămâne, în timp ce teorema va rămâne adevărată. $u,v$ $xu+yv=1$ $X y$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Algoritmul lui Euclid și calculul practic al mcd

Pentru a determina mcd -ul este convenabil să folosiți algoritmul Euclid , care este destul de similar cu cel folosit pentru numere întregi. GCD se obține în această schemă ca ultimul rest diferit de zero [26] . Algoritmul lui Euclid poate fi folosit și pentru a găsi coeficienții în relația Bézout [20] . ${\mathbb {Z}}[i]$ $X y$

Exemplul 1. Găsiți GCD pentru și . $32+9i$ $4+11i$

Pasul 1: (împărțit cu restul primului număr la al doilea)

32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i

Pasul 2: (împărțit cu restul divizorului anterior la restul pasului precedent)

4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i

Pasul 3: (aceeași acțiune)

2-5i=(3-i)(1-i)-i

Pasul 4: (aceeași acțiune, împărțirea completă)

3-i=(-i)(1+3i)

Rețineți că norma restului scade monoton la fiecare pas. Ultimul rest diferit de zero este , care este un divizor al unității, deci concluzionăm că numerele studiate sunt coprime. $-i$

Exemplul 2. Găsiți GCD pentru și . $11+3i$ $1+8i$

Pasul 1:

11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i

Pasul 2:

1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)

Pasul 3: (diviziunea completă)

2-4i=(-1+2i)(-2)

Ultimul rest diferit de zero este , iar acesta este GCD-ul necesar. Înlocuind secvențial părțile din dreapta ale egalităților în loc de părțile din stânga (începând de la penultima egalitate, de jos în sus), obținem relația Bezout pentru GCD: $-1+2i$

-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)

Unele aplicații

Gauss a folosit structura algebrică pe care o descoperise pentru a studia în profunzime reziduurile biquadratice. Este posibil să se indice alte domenii de aplicare cu succes a numerelor gaussiene [27] . Este de remarcat faptul că o parte semnificativă dintre ele se referă la teoria numerelor nu complexe, ci naturale.

Descompunerea numerelor naturale în sume a două pătrate

Din criteriul Gauss rezultă că un număr natural prim de formă poate fi reprezentat ca suma pătratelor a două numere naturale, și într-un mod unic. Exemplu: . $4n+1$ $29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}$

Descompunerea numerelor naturale de alt fel nu este întotdeauna posibilă - de exemplu, alte numere de acest fel nu pot fi reprezentate ca sumă a pătratelor a două numere naturale. Numerele compuse pot avea, de asemenea, mai mult de o expansiune, de exemplu [27] : . Teoremă generală: un număr natural poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate dacă și numai dacă în expansiunea sa canonică toți factorii primi ai formei sunt în puteri pare [17] . $15;19;27;103$ $4n+3$ ${\displaystyle 65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2))$ $4n+3$

Exemplu: nu poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate, deoarece numărul 3 (ca 7) este inclus în el cu un grad impar. Dar vă puteți imagina : $21=3\cdot 7$ $245=5\cdot 7^{2)$ $245=7^{2}+14^{2}$

Numărarea numărului de reprezentări ca sumă a două pătrate

Numărul de reprezentări ale unui număr natural ca sumă de pătrate (sau, ceea ce este același, numărul de numere gaussiene cu norma ) poate fi determinat astfel [28] . Ne descompunem în factori naturali simpli: $\rho (m)$ $m$ $m$ $m$

m=2^{\lambda }p_{1}^{{\lambda _{1))}p_{2}^({\lambda _{2))}\dots p_{r}^{{\lambda _ {r}}}q_{1}^{{\mu _{1}}}q_{2}^{{\mu _{2}}}\dots q_{s}^{{\mu _{s} }}

Iată factori de formă a sunt factori de formă . Atunci sunt posibile 3 cazuri. $p_{i}$ $4n+1,$ $q_{j}$ $4n+3$

Dacă cel puțin un exponent este impar, numărul nu poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate. $\mu _{j}$ $m$
Lasă totul să fie egal. Formula finală depinde de paritate . Dacă toate sunt de asemenea pare, atunci formula are forma: $\mu _{j}$ $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+ unu]

Dacă nu toate sunt egale, atunci formula este ușor diferită: $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)

Teoria triplelor pitagoreene

Triplul lui Pitagora este una dintre soluțiile întregi ale ecuației:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

Soluția generală a ecuației depinde de doi parametri întregi : $m,n$

x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}

Pentru a genera triple pitagorice, puteți folosi această tehnică. Fie un număr Gaussian arbitrar pentru care ambele componente sunt diferite de zero. Prin pătrarea acestui număr, se obține un alt număr gaussian . Atunci triplul va fi pitagoreic [27] . $z=a+bi$ $a,b$ $c+di$ ${\displaystyle \{|c|;|d|;N(z)\))$

Exemplu: pentru numărul inițial , se obține un triplu pitagoreic . $z=17+12i$ $(145;408;433)$

Rezolvarea ecuațiilor diofantine

Rezolvarea multor ecuații diofantine poate fi găsită dacă folosim aparatul numerelor gaussiene. De exemplu, pentru o ecuație, transformările simple dau două tipuri de soluții întregi coprime [29] , în funcție de parametrii întregi : $x^{2}+y^{2}=2z^{2}$ $a,b$

$x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}$
$x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}$

În 1850, Victor Lebesgue, folosind numere gaussiene, a investigat ecuația și a dovedit insolubilitatea acesteia în numere naturale. Cu alte cuvinte, printre numerele naturale ale formei nu există un singur cub complet sau vreun alt grad mai mare decât al doilea [27] . $x^{2}+1=y^{n)$ $n^{2}+1$

Probleme nerezolvate

Aflați numărul de numere gaussiene a căror normă este mai mică decât o constantă naturală dată . Într-o formulare echivalentă, acest subiect este cunoscut sub numele de „ problema cercului gaussian ” în geometria numerelor [30] [31] . $R$
Găsiți drepte în plan complex care conțin infinit de numere prime gaussiene. Două astfel de linii sunt evidente - acestea sunt axele de coordonate; nu se știe dacă există altele [32] .
Întrebarea cunoscută sub numele de „ șanțul Gaussian ”: este posibil să mergem la infinit trecând de la un număr Gaussian simplu la altul în salturi de o lungime predeterminată? Problema a fost pusă în 1962 și nu a fost încă rezolvată [33] .

Variații și generalizări

Un alt inel euclidian important din punct de vedere istoric, asemănător ca proprietăți cu numerele întregi, a fost „ întregii Eisenstein ”.

Numerele raționale gaussiene notate cu sunt numere complexe de forma , unde sunt numere raționale . Această mulțime este închisă sub toate cele 4 operații aritmetice, inclusiv diviziunea și, prin urmare, este un câmp care extinde inelul numerelor gaussiene. ${\mathbb Q}(i)$ $a+bi$ $a,b$

Istorie

În anii 1820, Carl Friedrich Gauss a investigat legea reciprocității biquadratice , rezultând monografia The Theory of Biquadratic Residues (1828–1832). În această lucrare, numerele întregi complexe și-au dovedit utilitatea pentru rezolvarea problemelor din teoria numerelor , deși formularea acestor probleme nu are nimic de-a face cu numerele complexe. Gauss a scris că „sursa naturală a unei teorii generale se găsește în extinderea câmpului aritmeticii” [3] .

În cartea lui Gauss, s-a arătat că proprietățile noilor numere amintesc în multe privințe de numerele întregi obișnuite. Autorul a descris cei patru divizori ai unității , a definit relația de asociere, conceptul de număr prim, a dat un criteriu de simplitate și a dovedit analogi ai teoremei fundamentale a aritmeticii , mica teoremă a lui Fermat . Gauss a continuat discutând în detaliu reziduurile modulo complexe, indici și rădăcini primitive . Principala realizare a teoriei construite a fost legea biquadratică a reciprocității, pe care Gauss a promis să o demonstreze în volumul următor; acest volum nu a fost niciodată publicat, dar o schiță detaliată a unei dovezi riguroase a fost găsită în manuscrisele lui Gauss [3] .

Gauss a folosit numerele introduse de el și în celelalte lucrări ale sale, de exemplu, pe ecuații algebrice [34] . Ideile lui Gauss au fost dezvoltate în scrierile lui Carl Gustav Jacobi și Ferdinand Gotthold Eisenstein . La mijlocul secolului al XIX-lea, Eisenstein, Dirichlet și Hermite au introdus și studiat conceptul generalizat de număr întreg algebric .

Inelul numerelor întregi gaussiene a fost unul dintre primele exemple de structură algebrică cu proprietăți neobișnuite. De-a lungul timpului, au fost descoperite un număr mare de structuri de acest tip, iar la sfârșitul secolului al XIX-lea a apărut algebra abstractă , care studiază proprietățile algebrice separat de obiectele care poartă aceste proprietăți.

Note

↑ 1 2 Enciclopedia de matematică, 1977 .
↑ K.F. Gauss, 1959 , p. 655-754.
↑ 1 2 3 Matematica secolului al XIX-lea. Volumul I: Logica matematică, algebră, teoria numerelor, teoria probabilității, 1978 , p. 88-92.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 146.
↑ Irlanda K., Rosen M., 1987 , p. 23.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 27-28.
↑ 1 2 3 4 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 147-149.
↑ 1 2 3 Okunev L. Ya., 1941 , p. 29.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 32.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 150.
↑ 1 2 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 155.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 156.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 41, 44.
↑ O clasificare a primelor gaussiene , p. zece.
↑ K.F. Gauss, 1959 , p. 698.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 158.
↑ 1 2 3 Conrad, Keith , capitolul 9.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 33-34.
↑ Conrad, Keith , capitolul 6.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith , capitolul 7.
↑ Conrad, Keith , capitolul 3.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 30-31.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , p. 35-36.
↑ Conrad, Keith , capitolul 4.
↑ 1 2 Conrad, Keith , capitolul 5.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 153-155.
↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith , capitolul 8.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 164-166.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , p. 162-163.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
↑ Secvența OEIS A000328 _
↑ Ribenboim, Paulo. Noua carte a înregistrărilor numerelor prime, Cap.III.4.D Cap. 6.II, Cap. 6.IV. — Ed. a 3-a. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Probleme nerezolvate în teoria numerelor. — Ed. a 3-a. - New York: Springer, 2004. - P. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Hardy GH, Wright EM, 1968 , p. 189.

Literatură

Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. — M .: Mir, 1987. — 416 p.
Alfutova N. B., Ustinov A. V. Algebră și teoria numerelor. Culegere de sarcini pentru școlile de matematică. - Ed. a 3-a, Rev. si suplimentare - M. : MTSNMO, 2009. - 336 p. - ISBN 978-5-94057-550-4 .
Gauss KF Lucrează la teoria numerelor. - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1959. - S. 695-754.
Numărul gaussian // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1977. - T. 1.
Kaluzhnin L. A. Teorema principală a aritmeticii. — M .: Nauka, 1969. — 32 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ).
Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Logica matematica, algebra, teoria numerelor, teoria probabilitatii. - M . : Nauka, 1978. - T. I.
Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra și aritmetica numerelor complexe. Un ghid pentru profesori. - M . : Uchpedgiz, 1939. - 187 p.
Okunev L. Ya. Numere întregi complexe. - M .: Stat. uch.-ped. Editura Comisariatului Poporului pentru Învăţământ al RSFSR, 1941. - 56 p.
Senderov V., Spivak A. Sume de pătrate și numere întregi gaussiene // Kvant . - 1999. - Nr. 3 . - S. 14-22 .
Hardy GH, Wright EM O introducere în teoria numerelor . — ediția a IV-a. - Oxford.: Oxford University Press, 1968. - 421 p.

Link -uri

Numerele întregi Gaussiane complexe pentru „Grafica Gaussiană” (engleză) (link nu este disponibil) . Consultat la 11 septembrie 2013. Arhivat din original pe 14 iunie 2006.
Butler, Lee A. O clasificare a primelor gaussiene . Data accesului: 16 ianuarie 2017.
Conrad, Keith. Numerele întregi gaussiene (engleză) . Preluat: 11 septembrie 2013.

Dicționare și enciclopedii	Larussa Britannica (online)

Numerele algebrice
Soiuri	numere întregi algebrice noduri Chebyshev numere constructive întregul lui Eisenstein numere întregi gaussiene Inel Kummer numerele Perron Numerele Piso-Vijayaraghavan Iraționalitate pătratică ℚ Rădăcini din unitate Numerele Salem
Specific	Conway constantă 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2