Numerele întregi gaussiene ( numere gaussiene , numere întregi complexe ) sunt numere complexe , în care atât părțile reale, cât și cele imaginare sunt numere întregi [1] .
Exemple: .
Introdus pentru prima dată de Gauss în monografia „Theory of Biquadratic Residues” (1828-1832) [2] [3] . Setul de numere întregi gaussiene este de obicei notat cu , reflectând astfel faptul că este obținut din mulțimea de numere întregi prin adăugarea unei unități imaginare la acesta și combinând-o cu numere întregi. Proprietățile numerelor gaussiene sunt similare cu proprietățile numerelor întregi obișnuite, dar există diferențe semnificative.
Definiție formală:
.Mulțimea conține mulțimea numerelor întregi obișnuite și este extensia ei [4] . Suma, diferența și produsul numerelor gaussiene sunt numere gaussiene; pentru ele, ca și pentru numere întregi, se păstrează proprietățile de asociativitate , comutativitate și distributivitate - o astfel de structură algebrică se numește inel comutativ în algebra generală [5] . Este imposibil să se introducă o ordonare compatibilă cu ordinea numerelor reale în acest inel complex .
Conjugatul unui număr gaussian este, de asemenea, un număr gaussian .
Fiecare număr gaussian satisface ecuația pătratică:
Prin urmare, un număr gaussian este un număr întreg algebric .
Norma pentru un număr gaussian este definită ca pătratul modulului său [6] :
.Proprietăți standard [7] :
Norma, ca și modulul, are o proprietate multiplicativă importantă [7] :
De aici rezultă [8] că elementele inversabile ale inelului ( divizorii unității ) sunt acele elemente a căror normă este egală cu 1, adică .
Două numere gaussiene se numesc asociate dacă unul se obține de la celălalt prin înmulțirea cu un divizor al unității. Este ușor de observat că asocierea este o relație de echivalență [8] . Exemplu: numerele gaussiene și sunt asociate deoarece:
.Fiecare număr gaussian diferit de zero are trei asociate. Normele tuturor celor patru numere asociate sunt aceleași.
Împărțirea între numerele gaussiene este definită în modul obișnuit [7] :
Se spune că un număr gaussian este divizibil (întreg) cu un număr gaussian dacă există un al treilea număr gaussian astfel încât . Denumire: . |
Pronunție: una dintre cele trei opțiuni echivalente.
Se folosesc termeni tradiționali: divizibil sau multiplu ( ), divizor ( ) și coeficient ( ). Numărul de divizori gaussieni este întotdeauna finit, numărul multiplilor este infinit.
Exemplu: numărul 2 este divizibil egal cu , deoarece .
Toate numerele gaussiene sunt divizibile cu divizori de unități, deci orice număr gaussian, altul decât divizori de unități, are cel puțin 8 divizori: 4 divizori de unități și 4 din produsele lor după numărul însuși. Acești divizori se numesc triviali [9] .
Diviziunea integrală în proprietățile sale este similară cu împărțirea analogă a numerelor întregi. Câteva caracteristici specifice numerelor gaussiene [8] [7] :
Fiecare număr gaussian are 4 multipli cu aceeași normă (și, în consecință, același modul) - acesta este el însuși și cele 3 numere asociate acestuia, care sunt obținute prin înmulțire succesivă cu :
Dar înmulțirea prin intermediul planului complex a rotației vectorului rază a numărului cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic, iar modulul rezultatului va fi același. Astfel, toate cele 4 numere formează o cruce echilaterală (evidențiată cu roșu în figură), al cărei centru și vârfuri sunt multipli de . Deplasând secvențial această cruce în toate direcțiile cu una dintre cele 4 valori asociate cu , obținem o rețea pătrată pe întregul plan, ale cărei noduri (vârfurile pătratelor) sunt multipli de . În schimb, orice multiplu coincide cu unul dintre nodurile rețelei. Lățimea fiecărui pătrat de grilă este . În plus, pentru concizie, această rețea va fi numită „șarea multiplilor” (sau, dacă este necesară o clarificare, „ -laticea multiplilor ”).
Exemplu: în figură, unul dintre nodurile rețelei este un număr care este un multiplu al :
.Un număr prim gaussian este un număr diferit de zero care nu are divizori alții decât cei triviali. Un număr care nu este prim se numește compus . În același timp, divizorii unității, ca și unitatea naturală, nu sunt considerați nici numere prime, nici numere compuse [10] .
Câteva proprietăți ale numerelor gaussiene simple:
Un prim natural poate să nu fie un prim gaussian. De exemplu, numerele 2 și 5 din nu mai sunt prime:
Pentru o factorizare a numerelor gaussiene cu o normă între 2 și 100 în factori gaussieni simpli, consultați tabelul Factorizarea numerelor gaussiene .
Dacă un număr gaussian este un divizor a două numere gaussiene și , se numește divizor comun al acestora. Mulțimea divizorilor comuni a două numere conține întotdeauna 4 divizori ai unuia; dacă nu există alți divizori comuni, aceste numere se numesc coprime [11] .
Rețineți că dacă normele numerelor gaussiene sunt coprime ca numere întregi, atunci numerele în sine sunt coprime ca numere gaussiene. Reversul nu este adevărat: normele numerelor gaussiene coprime pot avea divizori comuni — de exemplu, și sunt coprime, dar normele lor sunt aceleași și, prin urmare, nu sunt coprime.
Să indicăm două proprietăți analoge cu proprietățile numerelor întregi.
Gauss a subliniat caracteristicile definitorii ale unui număr prim în [13] .
Un număr gaussian este prim dacă și numai dacă:
|
Exemple de numere gaussiene simple:
Pentru o mai mare claritate, unele surse împart a doua parte a criteriului în două [14] :
Gauss însuși nu a făcut o asemenea împărțire [15] .
Consecințe:
Există un analog al teoremei principale de aritmetică : fiecare număr gaussian care nu este zero sau un divizor al unității este descompus în factori primi, iar această descompunere este unică până la ordinea și asocierea factorilor [1] [18] .
Exemplu: . Factorii acestor două expansiuni, aparent diferite, sunt asociați perechi: astfel încât unicitatea să nu fie încălcată.
Pentru a factoriza practic un număr gaussian în factori primi, puteți folosi proprietatea de mai sus: toți divizorii unui număr gaussian sunt, de asemenea, divizori ai normei sale. Mai mult decât atât, norma conține și factori primi „extra” corespunzători conjugatului numărului.
Astfel, ar trebui să începem cu descompunerea normei unui număr în factori naturali simpli [19] .
De exemplu, pentru descompunerea în factori primi (norma este 225), se disting factori naturali simpli: . Conform celui precedent . Este divizibil doar cu și nu divizibil cu . Coeficientul de egali este deci rezultatul final:
.Conceptul de comparație modulo este definit în același mod ca și pentru numerele întregi [20] :
Să fie un număr gaussian. Se spune că două numere gaussiene sunt comparabile modulo dacă diferența este divizibilă (întreg) cu . Înregistrare: . |
Proprietățile comparațiilor în sunt practic aceleași cu cele ale numerelor întregi. Relația de comparabilitate este o relație de echivalență , prin urmare este împărțită în clase de reziduuri care nu se intersectează - fiecare astfel de clasă conține toate numerele gaussiene comparabile între ele (prin un modulo dat). Pentru clase, ca și în cazul numerelor întregi, adunarea și înmulțirea pot fi definite, astfel încât se obține un inel de reziduuri modulo Gaussian.
Exemplu. Să luăm ca modul de comparație . Apoi este împărțit în două clase de reziduuri: numerele cu aceeași paritate vor intra într-o clasă (conținând multipli pentru modul), iar numerele cu paritate diferită vor cădea într- o alta.
Comparația gaussiană are unele particularități. De exemplu, dacă pentru numerele întregi modulo 3 există 3 clase de reziduuri cu reprezentanți, atunci pentru numerele gaussiene modulo 3 numărul de clase este mult mai mare. Reprezentanții lor:
După cum a descoperit Gauss, inelul de reziduuri modulo conține elemente [20] . Acest fapt ne obligă să modificăm unele teoreme clasice. De exemplu, mica teoremă a lui Fermat pentru numere întregi afirmă că este divizibil cu pentru orice număr prim și natural . Pentru numerele gaussiene, acest lucru nu este adevărat, chiar dacă este limitat la valorile naturale ; de exemplu, pentru numerele întregi este întotdeauna divizibil cu 3, dar pentru numerele Gaussiene , această valoare nu este divizibilă nici cu 3. Un analog modificat al micii teoreme a lui Fermat este formulat după cum urmează [20] :
Pentru un număr Gaussian prim și orice număr Gaussian este divizibil cu .
|
În același exemplu cu rezultatul: - este divizibil cu 3.
Să numim clasa de resturi modulo care conțin un număr reversibil dacă comparația are o soluție în raport cu . Clasa este inversabilă dacă și numai dacă numerele gaussiene și sunt relativ prime [20] . În special, dacă modulul de congruențe este un prim gaussian, atunci fiecare clasă de reziduuri diferită de zero are un element invers, ceea ce înseamnă că clasele de reziduuri modulo un prim formează un câmp , precum și în .
Să introducem un analog al funcției Euler pentru numerele gaussiene. Definiția numerelor întregi nu este potrivită, fie și numai pentru că expresia „de la ” conținută în ea nu are sens pentru numerele complexe. Definiție nouă [20] :
Funcția Euler pentru un număr gaussian este definită ca numărul de clase de reziduuri reversibile modulo . |
Funcția astfel definită, ca și prototipul său pentru numere întregi, este multiplicativă , deci este suficient să cunoaștem valorile pentru numerele prime și puterile lor naturale. Dacă este un număr Gaussian prim, atunci [20] :
Exemplu: .
Acum putem generaliza mica teoremă a lui Fermat dată în secțiunea anterioară în cazul unui modul comparator arbitrar (nu neapărat simplu), adică putem da un analog al teoremei lui Euler [20] :
Dacă un număr gaussian este copprim cu modulo , atunci: |
Să considerăm comparația modulo ca exemplu . După cum s-a menționat în secțiunea privind reprezentarea geometrică a divizibilității, este posibilă împărțirea planului complex în pătrate, astfel încât nodurile acestei rețele (vârfurile pătratelor) să reprezinte toți multiplii complexi posibili ai lui . Atunci, prin definiție, numerele sunt comparabile modulo dacă diferența lor coincide cu unul dintre nodurile rețelei multiplilor.
Fiecare pătrat al rețelei este obținut din orice alt pătrat printr-o deplasare (transfer) cu un multiplu, prin urmare diferența oricărui punct al pătratului și rezultatul deplasării acestuia este, de asemenea, un multiplu de . De aici rezultă concluzia finală [20] :
Numerele gaussiene sunt comparabile modulo dacă și numai dacă ocupă aceeași poziție relativă în pătratele lor ale rețelei multiplilor. |
De exemplu, toate centrele pătratelor sunt comparabile sau toate punctele de mijloc ale laturilor respective etc.
Într-un inel , se poate defini împărțirea cu un rest (prin orice număr gaussian diferit de zero) cerând ca norma restului să fie mai mică decât norma divizorului [21] :
Orice număr gaussian poate fi împărțit cu un rest la orice număr gaussian diferit de zero , adică reprezentat ca: unde câtul și restul sunt numere gaussiene și . |
Este ușor de arătat că, ca coeficient de împărțire cu rest, se poate lua un număr gaussian cel mai apropiat de câtul de împărțire obișnuită a numerelor complexe [22] .
Trebuie remarcat că condiția „norma restului este mai mică decât norma divizorului” nu este suficientă pentru a garanta unicitatea restului din divizare, prin urmare, restul este ambiguu. De exemplu, poate fi împărțit în trei moduri:
Se poate garanta doar că toate resturile se încadrează în aceeași clasă de reziduuri modulo divizor. Cu toate acestea, o situație similară apare și pentru numerele întregi obișnuite - de exemplu, există două moduri de a împărți cu un rest de 8 la 3: sau (ambele resturi sunt modulo mai mici decât divizorul), prin urmare, se introduce o condiție suplimentară în aritmetica întregului. pentru a asigura unicitatea operației: restul trebuie să fie nenegativ .
Exemplu . Pentru împărțirea cu un rest de la , se găsește mai întâi câtul împărțirii complexe obișnuite:
Numărul gaussian cel mai apropiat de rezultat este atunci restul este . În cele din urmă:
Pentru numerele gaussiene, un analog al teoremei chineze a restului este valabil , deoarece este demonstrat folosind algoritmul lui Euclid .
Din definiția împărțirii cu un rest rezultă că , adică modulul restului este distanța dintre numerele complexe și . Cu alte cuvinte, există o distanță de la dividend la unul dintre noduri - rețeaua multiplilor. Cerința „norma restului este mai mică decât norma divizorului” este echivalentă cu condiția . Din aceasta rezultă:
Împărțirea cu un rest de are tot atâtea soluții cât este mai mic numărul de noduri ale rețelei de multipli decât din dividend . |
În împărțirea după exemplu de mai sus, multiplii divizorului cel mai apropiat de dividend sunt vârfurile pătratului reticulat care conține dividendul:
Toate sunt din dividende la o distanță mai mică de . Al patrulea vârf al pătratului este mai mult decât . Prin urmare, această problemă a împărțirii cu rest are trei soluții.
În cazul general, desenând din vârfurile unei rețele pătrate de mai multe arce cu o rază , obținem figura prezentată în figură. Dacă dividendul este în regiunea centrală (zona roșie), este mai puțin de 100% din toate vârfurile, iar împărțirea cu un rest se poate face în patru moduri. Dacă dividendul este într-una dintre „petale” (zona albastră), atunci unul dintre vârfuri dispare, iar numărul de soluții este de trei. Pentru zona albă, obținem două soluții. În cele din urmă, dacă dividendul coincide cu unul dintre vârfuri, atunci restul este zero, iar soluția este unică.
Inelul numerelor gaussiene este euclidian și este întotdeauna posibil să se determine cel mai mare divizor comun din el , care este determinat în mod unic până la divizorii unității [23] .
Cel mai mare divizor comun al mcd pentru numerele gaussiene și , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, este divizorul lor comun, care este divizibil cu orice alt divizor comun și . |
Definiție echivalentă: GCD este divizorul comun pentru care norma este maximă [24] .
Proprietăți GCD
Fie numere gaussiene și cel puțin unul dintre ele nu este zero. Apoi există numere gaussiene astfel încât următoarea relație este valabilă: GCD |
Pentru a determina mcd -ul este convenabil să folosiți algoritmul Euclid , care este destul de similar cu cel folosit pentru numere întregi. GCD se obține în această schemă ca ultimul rest diferit de zero [26] . Algoritmul lui Euclid poate fi folosit și pentru a găsi coeficienții în relația Bézout [20] .
Exemplul 1. Găsiți GCD pentru și .
Pasul 1: (împărțit cu restul primului număr la al doilea) Pasul 2: (împărțit cu restul divizorului anterior la restul pasului precedent) Pasul 3: (aceeași acțiune) Pasul 4: (aceeași acțiune, împărțirea completă)Rețineți că norma restului scade monoton la fiecare pas. Ultimul rest diferit de zero este , care este un divizor al unității, deci concluzionăm că numerele studiate sunt coprime.
Exemplul 2. Găsiți GCD pentru și .
Pasul 1: Pasul 2: Pasul 3: (diviziunea completă)Ultimul rest diferit de zero este , iar acesta este GCD-ul necesar. Înlocuind secvențial părțile din dreapta ale egalităților în loc de părțile din stânga (începând de la penultima egalitate, de jos în sus), obținem relația Bezout pentru GCD:
Gauss a folosit structura algebrică pe care o descoperise pentru a studia în profunzime reziduurile biquadratice. Este posibil să se indice alte domenii de aplicare cu succes a numerelor gaussiene [27] . Este de remarcat faptul că o parte semnificativă dintre ele se referă la teoria numerelor nu complexe, ci naturale.
Din criteriul Gauss rezultă că un număr natural prim de formă poate fi reprezentat ca suma pătratelor a două numere naturale, și într-un mod unic. Exemplu: .
Descompunerea numerelor naturale de alt fel nu este întotdeauna posibilă - de exemplu, alte numere de acest fel nu pot fi reprezentate ca sumă a pătratelor a două numere naturale. Numerele compuse pot avea, de asemenea, mai mult de o expansiune, de exemplu [27] : . Teoremă generală: un număr natural poate fi reprezentat ca o sumă a două pătrate dacă și numai dacă în expansiunea sa canonică toți factorii primi ai formei sunt în puteri pare [17] .
Exemplu: nu poate fi reprezentat ca o sumă de pătrate, deoarece numărul 3 (ca 7) este inclus în el cu un grad impar. Dar vă puteți imagina :
Numărul de reprezentări ale unui număr natural ca sumă de pătrate (sau, ceea ce este același, numărul de numere gaussiene cu norma ) poate fi determinat astfel [28] . Ne descompunem în factori naturali simpli:
Iată factori de formă a sunt factori de formă . Atunci sunt posibile 3 cazuri.
Triplul lui Pitagora este una dintre soluțiile întregi ale ecuației:
.Soluția generală a ecuației depinde de doi parametri întregi :
.Pentru a genera triple pitagorice, puteți folosi această tehnică. Fie un număr Gaussian arbitrar pentru care ambele componente sunt diferite de zero. Prin pătrarea acestui număr, se obține un alt număr gaussian . Atunci triplul va fi pitagoreic [27] .
Exemplu: pentru numărul inițial , se obține un triplu pitagoreic .
Rezolvarea multor ecuații diofantine poate fi găsită dacă folosim aparatul numerelor gaussiene. De exemplu, pentru o ecuație, transformările simple dau două tipuri de soluții întregi coprime [29] , în funcție de parametrii întregi :
În 1850, Victor Lebesgue, folosind numere gaussiene, a investigat ecuația și a dovedit insolubilitatea acesteia în numere naturale. Cu alte cuvinte, printre numerele naturale ale formei nu există un singur cub complet sau vreun alt grad mai mare decât al doilea [27] .
Un alt inel euclidian important din punct de vedere istoric, asemănător ca proprietăți cu numerele întregi, a fost „ întregii Eisenstein ”.
Numerele raționale gaussiene notate cu sunt numere complexe de forma , unde sunt numere raționale . Această mulțime este închisă sub toate cele 4 operații aritmetice, inclusiv diviziunea și, prin urmare, este un câmp care extinde inelul numerelor gaussiene.
În anii 1820, Carl Friedrich Gauss a investigat legea reciprocității biquadratice , rezultând monografia The Theory of Biquadratic Residues (1828–1832). În această lucrare, numerele întregi complexe și-au dovedit utilitatea pentru rezolvarea problemelor din teoria numerelor , deși formularea acestor probleme nu are nimic de-a face cu numerele complexe. Gauss a scris că „sursa naturală a unei teorii generale se găsește în extinderea câmpului aritmeticii” [3] .
În cartea lui Gauss, s-a arătat că proprietățile noilor numere amintesc în multe privințe de numerele întregi obișnuite. Autorul a descris cei patru divizori ai unității , a definit relația de asociere, conceptul de număr prim, a dat un criteriu de simplitate și a dovedit analogi ai teoremei fundamentale a aritmeticii , mica teoremă a lui Fermat . Gauss a continuat discutând în detaliu reziduurile modulo complexe, indici și rădăcini primitive . Principala realizare a teoriei construite a fost legea biquadratică a reciprocității, pe care Gauss a promis să o demonstreze în volumul următor; acest volum nu a fost niciodată publicat, dar o schiță detaliată a unei dovezi riguroase a fost găsită în manuscrisele lui Gauss [3] .
Gauss a folosit numerele introduse de el și în celelalte lucrări ale sale, de exemplu, pe ecuații algebrice [34] . Ideile lui Gauss au fost dezvoltate în scrierile lui Carl Gustav Jacobi și Ferdinand Gotthold Eisenstein . La mijlocul secolului al XIX-lea, Eisenstein, Dirichlet și Hermite au introdus și studiat conceptul generalizat de număr întreg algebric .
Inelul numerelor întregi gaussiene a fost unul dintre primele exemple de structură algebrică cu proprietăți neobișnuite. De-a lungul timpului, au fost descoperite un număr mare de structuri de acest tip, iar la sfârșitul secolului al XIX-lea a apărut algebra abstractă , care studiază proprietățile algebrice separat de obiectele care poartă aceste proprietăți.
![]() |
---|
Numerele algebrice | |
---|---|
Soiuri | |
Specific |