Distribuția probabilității

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 martie 2021; verificările necesită 33 de modificări .

O distribuție de probabilitate este o lege care descrie intervalul de valori ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare de apariție a acestor valori.

Definiție

Să fie dat un spațiu de probabilitate și să fie definită o variabilă aleatoare pe acesta . În special, prin definiție, este o mapare măsurabilă a unui spațiu măsurabil într-un spațiu măsurabil , unde denotă sigma-algebra Borel pe . Apoi variabila aleatoare induce o măsură de probabilitate după cum urmează: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

Măsura se numește distribuția variabilei aleatoare . Cu alte cuvinte, , stabilește astfel probabilitatea ca variabila aleatoare să cadă în mulțime . $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\în B)$ $\mathbb {P} ^{X}(B)$ $X$ $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Clasificarea distribuțiilor

Funcția se numește funcție de distribuție (cumulativă) a variabilei aleatoare . Teorema rezultă din proprietățile probabilității : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $X$

Funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare satisface următoarele trei proprietăți: $F_{X}(x)$

$F_{X}$ este o funcție nedescrescătoare;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ continuu pe dreapta.

Din faptul că sigma-algebra Borel pe linia reală este generată de o familie de intervale de forma , rezultă următoarea teoremă : $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Orice funcție care satisface cele trei proprietăți enumerate mai sus este o funcție de distribuție pentru o anumită distribuție . $F(x)$ $\mathbb {P} ^{X}$

Pentru distribuțiile de probabilitate care au anumite proprietăți, există modalități mai convenabile de a le specifica. În același timp, distribuțiile (și variabilele aleatoare) sunt de obicei clasificate în funcție de natura funcțiilor de distribuție [1] .

Distribuții discrete

O variabilă aleatoare se numește simplă sau discretă dacă nu ia mai mult de un număr numărabil de valori. Adică unde este o partiție . $X$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\Omega$

Distribuția unei variabile aleatoare simple este atunci prin definiție dată de: . Prin introducerea notației , puteți defini funcția . Datorită proprietăților probabilității . Folosind aditivitatea numărabilă , este ușor să arăți că această funcție determină în mod unic distribuția . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $\mathbb {P}$ $X$

Un set de probabilități în care se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete . Setul de valori și probabilități se numește legea discretă a distribuției probabilităților [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $X$ $a_{i},i=1,2...\infty$ $p_{i},i\in {1,2...\infty )$

Pentru a ilustra cele de mai sus, luați în considerare următorul exemplu.

Fie ca funcția să fie definită în așa fel încât și . Această funcție definește distribuția unei variabile aleatoare , pentru care (a se vedea distribuția Bernoulli , unde variabila aleatoare ia valorile ). Variabila aleatorie este un model de aruncare echilibrată a monedelor. $p$ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ $p(1)={\frac {1}{2}}$ $X$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2))$ $0,1$ $X$

Alte exemple de variabile aleatoare discrete sunt distribuția Poisson , distribuția binomială , distribuția geometrică .

O distribuție discretă are următoarele proprietăți:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , dacă setul de valori este finit - din proprietățile probabilității,
Funcția de distribuție are un set finit sau numărabil de puncte de discontinuitate de primul fel, $F_{X}(x)$
Dacă este un punct de continuitate , atunci există . $x_{0}$ $F_{X}(x)$ ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Distribuții latice

O distribuție în rețea este o distribuție cu o funcție de distribuție discretă, iar punctele de discontinuitate ale funcției de distribuție formează o submulțime de puncte de forma , unde este real, , este un număr întreg [3] . $a+nh$ $A$ $h>0$ $n$

Teorema. Pentru ca funcția de distribuție să fie reticulat cu o treaptă , este necesar și suficient ca funcția sa caracteristică să satisfacă relația [3] . $F$ $h$ $f$ $|f(2\pi /h)|=1$

Distribuții absolut continue

Distribuția unei variabile aleatoare se spune că este absolut continuă dacă există o funcție nenegativă astfel încât . Funcția se numește apoi distribuția densității de probabilitate a variabilei aleatoare . Funcția unor astfel de distribuții este absolut continuă în sensul lui Lebesgue. $X$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $X$

Exemple de distribuții absolut continue sunt distribuția normală , distribuția uniformă , distribuția exponențială , distribuția Cauchy .

Exemplu. Lasă , când , și altfel. Atunci dacă . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x)=0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\subset [0,1]$

Pentru orice densitate de distribuție, următoarele proprietăți sunt adevărate: $f_{X}$

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Este adevărat și invers - dacă funcția este astfel încât: $f:\mathbb {R} \la \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

atunci există o distribuție care este densitatea acesteia. $\mathbb {P} ^{X}$ $f(x)$

Aplicarea formulei Newton-Leibniz conduce la următoarele relații între funcția și densitatea unei distribuții absolut continue:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Teorema. Dacă este o densitate de distribuție continuă și este funcția sa de distribuție, atunci $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

Atunci când se construiește o distribuție bazată pe date empirice (experimentale), erorile de rotunjire trebuie evitate .

Distribuții singulare

Pe lângă variabilele aleatoare discrete și continue, există variabile care nu sunt nici discrete, nici continue pe niciun interval. Astfel de variabile aleatoare includ, de exemplu, acelea ale căror funcții de distribuție sunt continue, dar cresc doar pe un set de măsură Lebesgue zero [4] .

Distribuțiile singulare sunt cele concentrate pe un set de măsură zero (de obicei măsuri Lebesgue ).

Tabelul distribuțiilor de bază

Distribuții discrete

Nume	Desemnare	Parametru	Purtător	Densitate (secvență de probabilități)	Mat. așteptare	Dispersia	functie caracteristica
Uniformă discretă	${\text{R}}\{1,\dots ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\dots ,N\}$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N}),k\in \{1,\dots, N\)$	${\frac {N+1}{2}}$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Berna}}(p)$	$p\in(0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Binom	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\dots ,n\}$	$\mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk)$	$n.p.$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
Poisson	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda>0$	$\mathbb {Z} _{+)$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	$e^{\lambda (e^{it}-1))$
Geometric	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\frac {1-p}{p^{2)}}$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Distribuții absolut continue

Nume	Desemnare	Parametru	Purtător	Probabilitate densitate $f(x)$	Funcția de distribuție F(x)	functie caracteristica	Valorea estimata	Median	Modă	Dispersia	Coeficient de asimetrie	Coeficientul de kurtoză	Entropia diferenţială	Funcția generatoare a momentelor
uniformă continuă	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , — factor de deplasare , — factor de scară $A$ $ba$	$[a,b]$	${\dfrac {1}{ba}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac {a+b}{2)}$	${\frac {a+b}{2}}$	orice număr din segment $[a,b]$	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(ba)$	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
Normal (Gauss)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — factor de deplasare , — factor de scară $\sigma >0$	${\mathbb R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi })))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)}{2 \sigma ^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2)}))\ corect corect)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	$e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2)))$
lognormal	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\dreapta]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	$e^{{\mu ))$	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Distribuție gamma	$\Gamma (\alpha,\beta)$	$\alpha >0,\beta >0$	$\mathbb {R} _{+)$	${\frac {\alpha ^{\beta}x^{\beta -1)} {\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x)$	${\frac {1}{\Gamma (\beta)}}\gamma (\beta,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ la $\beta \geq 1$	${\frac {\beta }{\alpha ^{2)}}$	${\frac {2}{\sqrt {\beta }}}$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aliniat}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta)\\&+(1-\beta)\psi (\beta)\end {aliniat)}$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ la $t<\alpha$
Exponenţial	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	$\mathbb {R} _{+)$	$\lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\)$	$1-e^{-\lambda x)$	${\frac {\lambda {\lambda -it}}$	${\frac {1}{\lambda ))$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0$ — factor de scară , — factor de deplasare $\beta\in\mathbb{R}$	${\mathbb R}$	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\frac {2}{\alpha ^{2)}}$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha })$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/\alpha$
Cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — factor de deplasare , — factor de scară $\gamma > 0$	${\mathbb R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	Nu	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	Nu	Nu	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	Nu
Distribuție beta	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alpha,\beta)$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\aprox {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ pentru $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2)}$ pentru $\alpha >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta {(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1)}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta )))}$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$		$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\dreapta){\frac {t^{k}}{k!)}}$
chi-pătrat	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ este numărul de grade de libertate	$\mathbb {R} _{+)$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	$(1-2\,i\,t)^{-k/2)$	$k$	despre $k-2/3$	$k-2$ dacă $k\geq 2$	$2\,k$	${\sqrt {8/k)}$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , dacă $2\,t<1$
Student	${\text{t}}(n)$	$n>0$ este numărul de grade de libertate	${\mathbb R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2))}}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))} }}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ pentru $n>0$	$0$ , dacă $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2))$ , dacă $n>2$	$0$ , dacă $n>3$	${\frac {6}{n-4)}$ , dacă $n>4$	${\begin{matrice}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2} })\right]\\[0,5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ dreapta]}\end{matrice}}$	Nu
Pescar	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\d_{2}>0$ - numărul de grade de libertate	$\mathbb {R} _{+)$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1 }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , dacă $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , dacă $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}},$ dacă $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ dacă $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\dreapta)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\dreapta)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\dreapta)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	$\mathbb {R} _{+)$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4))}$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2))}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{{3/2))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\right)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2)}}\left({\textrm {erf }}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Weibulla	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ - factor de scară , - factor de formă $k>0$	$\mathbb {R} _{+)$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda ))\dreapta)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k)}\right)$	$\lambda \ln(2)^{1/k)$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ pentru $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k)}\right) -4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+ {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\ mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\dreapta)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\k \ geq 1$
Logistică	$L(\mu,s)$	$\mu$ , $s>0$	${\mathbb R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ pentru $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ pentru $\|s\,t\|<1$
Wigner	$\rho (R)$	$R>0$ - raza	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ pentru $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-unu$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2)}$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto}}(k,x_{\text{m)})$	$x_{\text{m}}>0$ este factorul de scară , $k>0$	$[x_{\text{m)]);+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , dacă $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m)}$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ la $k>2$	${\frac {2(1+k)}{k-3)}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k)}}$ la $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ la $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m}}))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	Nu

unde este funcția gamma , este funcția gamma incompletă , este funcția digamma , este funcția beta , este funcția beta incompletă regularizată , , este funcția hipergeometrică , este funcția Bessel , este funcția Bessel modificată de primul fel , este funcția Bessel modificată a genului al doilea fel , este funcția Tricomi . $\Gamma$ $\gamma$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ $I_{x}$ $_{1}F_{1}$ $_{2}F_{1)$ $J_{\alpha }$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle K_{\nu ))$ $U(a,b,z)$

Distribuții multivariate

Nume	Desemnare	Parametru	Purtător	Densitate (secvență de probabilități)	Mat. așteptare	Dispersia	functie caracteristica
gaussian	$N(a,\Sigma )$	$a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n)$ - sim. și neon. def.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma ^{-1}(xa)}$	$A$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Note

↑ Matalitsky, Khatskevici. Teoria probabilităților, Statistică matematică și procese stocastice, 2012. - P.69
↑ Matalitsky, Khatskevici. Teoria probabilității, statistică matematică și procese aleatorii, 2012. - P.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , p. 38.
↑ Matalitsky, Khatskevici. Teoria probabilității, Statistică matematică și procese stocastice, 2012. — P.76

Literatură

Distribuția probabilității // Marea enciclopedie rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
Lagutin M.B. Statistici matematice vizuale. - M. : Binom, 2009. - 472 p.
Jukovski M.E. , Rodionov I.V. Fundamentele teoriei probabilității. - M. : MIPT, 2015. - 82 p.
Jukovski M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Introducere în statistica matematică. - M. : MIPT, 2017. - 109 p.
Ramachandran B. Teoria funcţiilor caracteristice. - M. : Nauka, 1975. - 224 p.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Manual de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.
Gubarev V.V. Modele probabilistice: un manual în 2 părți. - Novosibirsk.: Novosibirsk. Inginerie Electrică in-t, 1992. - 422 p.

Vezi și

distributie marginala

Dicționare și enciclopedii

Mare norvegian

În cataloagele bibliografice
BNF : 119780901 GND : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă