Ecuații Navier-Stokes

Ecuațiile Navier-Stokes sunt un sistem de ecuații diferențiale parțiale care descriu mișcarea unui fluid newtonian vâscos . Ecuațiile Navier-Stokes sunt printre cele mai importante în hidrodinamică și sunt utilizate în modelarea matematică a multor fenomene naturale și probleme tehnice. Numit după fizicianul francez Henri Navier și matematicianul britanic George Stokes .

În cazul unui fluid incompresibil , sistemul este format din două ecuații:

În hidrodinamică , ecuația Navier-Stokes este de obicei numită o singură ecuație vectorială a mișcării [1] [2] [3] [4] [5] [6] . Ecuația Navier-Stokes a fost obținută pentru prima dată de Navier (1822, fluid incompresibil [7] ) și Poisson (1829, fluid compresibil [8] ), care au pornit de la conceptele model ale forțelor moleculare. Mai târziu, derivarea fenomenologică a ecuației a fost dată de Saint-Venant [9] și Stokes [10] .

În formă vectorială pentru un lichid, acestea sunt scrise după cum urmează:

{\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))=-({\vec {v)}\cdot \nabla ){\vec {v)}+\nu \Delta {\vec {v}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {f)),

unde este operatorul nabla , este operatorul vectorial Laplace , este timpul, este coeficientul de vâscozitate cinematică , este densitatea , este presiunea , este câmpul vector al vitezei, este câmpul vectorial al forțelor corpului . Necunoscutele și sunt funcții de timp și coordonate , unde , este o zonă plată sau tridimensională în care fluidul se mișcă. $\nabla$ $\Delta$ $t$ $\nu$ $\rho$ $p$ ${\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})$ ${\vec {f}}$ $p$ $\vec{v}$ $t$ $x\in \Omega$ $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $n=2,\;3$

Pentru un fluid incompresibil, ecuațiile Navier-Stokes ar trebui completate cu ecuația de incompresibilitate :

\nabla \cdot {\vec {v}}=0.

De obicei, condițiile de limită și inițiale sunt adăugate sistemului de ecuații Navier-Stokes, de exemplu:

{\vec {v}}|_{\partial \Omega }=0,

{\vec {v}}|_{t=0}={\vec {v}}_{0}.

Uneori, sistemul de ecuații Navier-Stokes include în plus ecuația de căldură și ecuația de stare.

Când se ia în considerare compresibilitatea, ecuațiile Navier-Stokes iau următoarea formă:

\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}} \right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i))}+{\frac {\partial }{\partial x_{k))}\left\{\eta \left({\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}} \delta _{ik}{\frac {\partial v_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right\}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}} \left(\zeta {\frac {\partial v_{l)){\partial x_{l))}\delta _{ik}\right),

unde este coeficientul de vâscozitate dinamică ( vâscozitatea de forfecare ), este „a doua vâscozitate ”, sau vâscozitatea în vrac , este delta Kronecker . Această ecuație, în condițiile vâscozităților constante , se reduce la ecuația vectorială $\eta$ $\zeta$ $\delta_{ik}$ $\eta$ $\zeta$

\rho \left({\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))+({\vec {v)}\cdot \nabla ){\vec {v)}\ dreapta)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\left(\zeta +{\frac {\eta }{3))\right)\nabla \operatorname {div} {\vec { v}}.

Ecuația de continuitate pentru un fluid compresibil ia forma

{\frac {\partial \rho {\partial t)}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v)})=0.

Analiza si rezolvarea ecuatiilor

Analiza soluțiilor ecuațiilor este esența uneia dintre cele șapte „ probleme ale mileniului ”, pentru care Institutul de Matematică Clay a acordat un premiu de 1 milion USD. Este necesar să se demonstreze sau să infirme existența unei soluții globale netede a problemei Cauchy pentru ecuațiile tridimensionale Navier-Stokes. Găsirea unei soluții analitice generale a sistemului Navier-Stokes pentru un flux tridimensional sau plan este complicată de faptul că este neliniară și depinde puternic de condițiile inițiale și la limită.

Cateva solutii exacte:

Cursuri staționare în canale simple ( flux Poiseuille , flux Couette-Taylor , flux Couette etc.).
Solitoni și unde neliniare . Un soliton obișnuit poate să fie o soluție pentru sistem în condiții la limită foarte complexe. A fost observat pentru prima dată experimental într-un canal de către inginerul Scott Russell.
O soluție care există pentru un timp finit (așa-numitele „regimuri de explozie”). Această ipoteză a fost înaintată de Jean Leray în 1933 . El a sugerat că turbulența ( haosul ) într-un lichid se formează din cauza formării de puncte sau a unui filament de vortex, pe care o anumită componentă a vitezei devine infinită.
Vibrații sonore . Pentru amplitudini mici ale undelor, acestea devin și o soluție . Termenii neliniari ai ecuației pot fi eliminați deoarece nu afectează soluția. Soluția sunt funcțiile armonice ale sinusului sau cosinusului, adică vibrațiile sonore.

Proprietățile de bază ale sistemului Navier-Stokes

Când numărul Reynolds depășește o anumită valoare critică, soluția exactă analitică pentru un flux spațial sau plat dă un model de curgere haotic (așa-numita turbulență ). Într-un caz particular, este asociat cu teoria Feigenbaum sau cu alte scenarii ale tranziției către haos. Pe măsură ce numărul Reynolds scade sub valoarea critică, soluția dă din nou o formă nonhaotică de curgere.
Sensibilitate excepțională la modificările coeficienților ecuației în condiții de turbulență: atunci când numărul Re se modifică cu 0,05%, soluțiile sunt complet diferite unele de altele.

Aplicație

Fiind completat de ecuațiile de transfer de căldură și de transfer de masă , precum și de forțele corespunzătoare ale corpului, sistemul de ecuații Navier-Stokes poate descrie convecția , difuzia termică în lichide, comportamentul amestecurilor multicomponente de diferite lichide etc.

Dacă, totuși, forța Lorentz este introdusă în ecuație ca forță corporală și sistemul este suplimentat cu ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul într-un mediu continuu, atunci modelul permite descrierea fenomenelor de electro- și magnetohidrodinamică . În special, astfel de modele sunt utilizate cu succes în modelarea comportamentului plasmei , gazului interstelar .

Sistemul de ecuații Navier-Stokes stă la baza hidrodinamicii geofizice , inclusiv fiind folosit pentru a descrie fluxurile din mantaua Pământului (" problema dinamului ").

De asemenea, variațiile ecuației Navier-Stokes sunt folosite în meteorologia dinamică pentru a descrie mișcarea maselor de aer atmosferic, în special, atunci când se formează o prognoză meteo. Pentru a descrie fluxurile reale în diverse dispozitive tehnice, o precizie acceptabilă a soluției numerice poate fi obținută numai cu o astfel de grilă de calcul, ale cărei celule sunt mai mici decât cel mai mic vortex. Acest lucru necesită o cheltuială foarte mare de timp estimat pe computerele moderne. Prin urmare, au fost create diverse modele de turbulență pentru a simplifica calculul debitelor reale.

Vezi și

probleme matematice deschise
Ecuația lui Euler (pentru fluid inviscid)
Metoda ecuațiilor Boltzmann latice
Ecuații pentru apă puțin adâncă

Note

↑ Sedov L.I. Continuum Mechanics . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 p. Arhivat pe 28 noiembrie 2014 la Wayback Machine
↑ Landau, Lifshitz, p. 73.
↑ L. Prandtl [libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 Fluid Aeromechanics]. - M.-Izhevsk: NIC „Dinamica regulată și haotică”, 2000. - P. 147. - 576 p. — ISBN 5-93972-015-2 . (link indisponibil)
↑ Kochin N. E. , Kibel I. A. , Rose N. V. Hidromecanica teoretică . - M. : Fizmatlit, 1963. - T. 2. - S. 387. - 728 p. Arhivat pe 26 august 2014 la Wayback Machine
↑ Batchelor J. Introducere în dinamica fluidelor / Per. din engleza. ed. G. Yu. Stepanova . - M . : Mir, 1973. - S. 194. - 760 p. Arhivat pe 26 august 2014 la Wayback Machine
↑ Ecuații Navier-Stokes - articol din Marea Enciclopedie Sovietică . Targ S. M. .
↑ Navier. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides (franceză) // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. - 1822. - Vol. 6 . Arhivat din original pe 7 decembrie 2013.
↑ Poisson. Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides (franceză) // Journal de l'École Polytechnique. - 1831. - Vol. 13 . Arhivat din original pe 7 decembrie 2013.
↑ Saint-Venant. Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 avril 1834 (franceză) // Comptes rendus. - 1843. - Vol. 17 , nr 22. _ _ Arhivat din original pe 7 decembrie 2013.
↑ Stokes. Despre teoriile frecării interne a fluidelor în mișcare și ale echilibrului și mișcării solidelor elastice (engleză) // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1845. - Vol. 8 . Arhivat din original pe 7 decembrie 2013.

Literatură

Temam R. Ecuații Navier-Stokes. Teorie și analiză numerică. - Ed. a II-a. — M .: Mir, 1981. — 408 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Hidrodinamică. - Ediția a IV-a, stereotip. — M .: Nauka , 1988. — 736 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul VI).
Kutepov A. M., Sterman L. S., Styushin N. G. Hidrodinamică și transfer de căldură în timpul vaporizării. - Ed. a 3-a, Rev. - M . : Şcoala superioară, 1986. - 448 p.
Kutepov A. M., Polyanin A. D., Zapryanov Z. D., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Hidrodinamică chimică. - M. : Quantum, 1996. - 336 p. - 1500 de exemplare.
Durmagambetov A. A. Ecuații Navier-Stokes—Probleme ale premiului mileniului // Asset A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova Natural Science. Cercetare științifică un editor academic. - 2015. - T. 7 , Nr. 2 . - S. 88-99 . - doi : 10.4236/ns.2015.72010 .

Link -uri

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare