Cebyshev, Pafnuty Lvovici

Pafnuty Lvovich Cebyshev

Numele la naștere

Pafnuty Lvovich Cebyshev

Data nașterii

4 mai (16), 1821 [1]

Locul nașterii

Akatovo , Borovsky Uyezd , Guvernoratul Kaluga , Imperiul Rus

Data mortii

26 noiembrie ( 8 decembrie ) 1894 [1] (în vârstă de 73 de ani)

Un loc al morții

Sankt Petersburg , Imperiul Rus

Țară

imperiul rus

Sfera științifică

matematică , mecanică

Loc de munca

Universitatea din Sankt Petersburg

Alma Mater

Universitatea din Moscova (1841)

Grad academic

Doctor în Matematică și Astronomie (1849)

Titlu academic

academician al Academiei de Științe din Sankt Petersburg (1859)

consilier științific

N. D. Brashman

Elevi

E. I. Zolotarev , A. N. Korkin , A. M. Lyapunov , A. A. Markov , P. O. Somov , Yu. V. Sokhotsky

Cunoscut ca

unul dintre fondatorii teoriei moderne a aproximării

Premii și premii

Autograf

Lucrează la Wikisource

Fișiere media la Wikimedia Commons

Pafnuty Lvovich Cebyshev ( Cebișev greșit ; 4 mai [16], 1821 , Okatovo , provincia Kaluga , Imperiul Rus - 26 noiembrie [ 8 decembrie ] 1894 , Sankt Petersburg , Imperiul Rus ) - matematician și mecanic rus , fondator al Sankt Petersburgului școală de matematică, academician Academia de Științe din Petersburg ( adjunct din 1853, academician extraordinar din 1859) [2] și alte 24 de academii ale lumii [3] .

Cebişev este „cel mai mare, alături de N. I. Lobaciovski , matematician rus al secolului al XIX-lea” [4] . A obținut rezultate fundamentale în teoria numerelor ( distribuția numerelor prime ) și teoria probabilității ( teorema limitei centrale , legea numerelor mari ), a construit teoria generală a polinoamelor ortogonale , teoria aproximărilor uniforme și multe altele. El a fondat teoria matematică a sintezei mecanismelor și a dezvoltat o serie de concepte practic importante ale mecanismelor.

Pronunția și ortografia prenumelui

Numele omului de știință - după propriile instrucțiuni - ar trebui să fie pronunțat „Cebyshov” [5] ; în secolul al XIX-lea, o astfel de pronunție a acestei vechi familii nobiliare (scrisă atunci - în condițiile tradiționalului indistinctiv al e/e în scris - ca „Cebișev”) era foarte comună [6] (se presupune că acest nume de familie în originea sa este un adjectiv posesiv scurt format din antroponimul Chebysh cu accent pe terminația în cazuri oblice și pe ultima silabă a tulpinii în cazul nominativ [7] ).

În secolul al XX-lea, din cauza tendinței de a separa numele de familie în -ov / -ev de adjectivele posesive originale [6] și a nediferențirii încă larg răspândite în litera e / e , pronunția eronată „Cebișev” (cu accent pe primul silabă) a devenit destul de răspândită – în ciuda recomandărilor clare din surse autorizate [8] [9] . Ediția a 4-a a dicționarului academic „Russian Spelling Dictionary” (2013) [10] , dicționarul de stres „Proper Names in Russian” (2001) [11] și publicații academice de specialitate [12] [13] folosind în mod constant litera ё la transferul numelor și nume, fixează ortografia și pronunția lui Cebyshev ca normă ortografică și ortoepică [14] .

Biografie

Pafnuty Cebyshev s-a născut la 4 mai ( 16 ) 1821 în satul Okatovo, districtul Borovsky, provincia Kaluga (acum satul Akatovo , districtul Jukovski, regiunea Kaluga) în familia unui proprietar bogat, un reprezentant al vechiului rus rus. familia nobilă a Cebișevilor , Lev Pavlovich Cebyshev, participant la Războiul Patriotic din 1812 și la capturarea Parisului în 1814 [15] [16] .

Data nașterii este dată în conformitate cu înscrierea descoperită de V. E. Prudnikov în cartea metrică a Bisericii Schimbarea la Față a Domnului din satul Spas-Prognanye, provincia Kaluga [17] [18] (multe surse dau [19] ] [2] data de 14 (26) mai , indicată de K. A. Posse în articolul „Cebyshev, Pafnuty Lvovich” din dicționarul enciclopedic al lui Brockhaus și Efron [20] ). Cebyshev avea patru frați și patru surori. Frații săi mai mici au devenit faimoși ca artilerişti: unul dintre ei era șeful artileriei cetății Kronstadt , celălalt era un om de știință, fondatorul armelor în Rusia, un profesor onorat al Academiei de Artilerie [21] .

A primit educația și educația inițială acasă: mama sa Agrafena Ivanovna l-a învățat alfabetizare, aritmetică și franceză - verișoara sa Avdotya Kvintilianovna Sukhareva. În plus, încă din copilărie, Pafnutiy a studiat muzica [22] . Unul dintre hobby-urile copilăriei viitorului om de știință a fost studiul mecanismelor jucăriilor și automatelor, iar el însuși le-a inventat și realizat. Acest interes pentru mecanisme a rămas la Cebyshev în anii săi de maturitate [23] .

În 1832, familia sa mutat la Moscova pentru a continua educația copiilor în creștere. La Moscova, împreună cu Paphnutius, P. N. Pogorelsky , unul dintre cei mai buni profesori din Moscova, a studiat matematica și fizica, cu care a studiat și la internatul Weidenhammer , și I. S. Turgheniev [19] [24] . Pafnuty Cebyshev a fost predat la acea vreme de un student la medicină, iar în viitor, medicul șef al Spitalului Sheremetev A. T. Tarasenkov , cu care sora lui Pafnuty, Elizaveta Cebysheva, s-a căsătorit mai târziu [25] [26] .

În vara anului 1837, Cebyshev a început să studieze matematica la Universitatea din Moscova, în cadrul celui de-al doilea departament de fizică și matematică a Facultății de Filosofie. O influență semnificativă asupra formării gamei de interese științifice ale tânărului Cebyshev a fost exercitată de profesorul său, profesor de matematică aplicată și mecanică la Universitatea din Moscova, Nikolai Dmitrievich Brashman ; datorită lui, în special, Cebyshev a făcut cunoștință cu lucrările inginerului francez Jean-Victor Poncelet [19] (cunoscut, în special, pentru lucrările sale „Curs de mecanică aplicată la mașini” (1826) și „Introducere în industria, mecanică fizică sau experimentală” ( 1829)).

În anul universitar 1840/1841, participând la un concurs studențesc, Cebyshev a primit o medalie de argint pentru munca sa privind găsirea rădăcinilor unei ecuații de gradul al n -lea (lucrarea în sine a fost scrisă de el în 1838 și realizată pe baza algoritmul lui Newton ) [27] [28] .

În 1841, Pafnuty Cebyshev a absolvit Universitatea Imperială din Moscova. În acest moment, treburile părinților săi, din cauza foametei care a cuprins o parte semnificativă a Rusiei în 1840, au căzut în dezordine, iar familia nu și-a mai putut întreține financiar fiul. Totuși, un absolvent de universitate, în ciuda situației sale financiare extrem de înghesuite, a continuat cu încăpățânare să se angajeze în știință [29] [30] . În 1846 și-a susținut cu succes lucrarea de master „O încercare de analiză elementară a teoriei probabilităților” [31] .

În 1847, Cebyshev a fost aprobat ca profesor adjunct la Universitatea din Sankt Petersburg . Pentru a obține dreptul de a ține prelegeri la universitate, a susținut o altă dizertație - pe tema „Despre integrarea folosind logaritmi”, după care a ținut prelegeri despre algebră superioară , teoria numerelor , geometrie , teoria funcțiilor eliptice și mecanică practică [32] [ 33] . De mai multe ori a predat și un curs de teoria probabilităților , eliminând formulările vagi și declarațiile ilegale din acesta și transformându-l într-o disciplină matematică riguroasă [34] .

În 1849, Cebyshev și-a susținut teza de doctorat „ Teoria comparațiilor ” la Universitatea din Sankt Petersburg, după care în 1850 a devenit profesor la Universitatea din Sankt Petersburg; a deținut această funcție până în 1882 [5] . În timp ce lucra la Universitatea din Sankt Petersburg, Cebyshev a devenit prieten apropiat cu profesorul de matematică aplicată O. I. Somov , care a fost și student al lui N. D. Brashman , iar aceste relații au devenit o prietenie profundă. Din punct de vedere familial, Cebyshev era singuratic, iar această împrejurare a contribuit și la apropierea lui de marea familie Somov [35] .

În 1852, Cebyshev a făcut o călătorie științifică în Marea Britanie, Franța și Belgia, în timpul căreia s-a familiarizat cu practica ingineriei mecanice străine, cu colecțiile muzeale de mașini și mecanisme, cu lucrările plantelor și fabricilor și, de asemenea, s-a întâlnit cu mari matematicieni și mecanici: O. Cauchy , J. Liouville , J.-A. Serret , L. Foucault , C. Hermite , J. Sylvester , A. Cayley , T. Gregory. După aceea, o vreme a predat mecanică practică la Universitatea din Sankt Petersburg și la Liceul Alexandru [36] [37] .

În 1853, academicienii P. N. Fuss , V. Ya. Struve , B. S. Yakobi , V. Ya. Bunyakovsky l- au prezentat pe Cebyshev pentru alegerea profesorului asociat al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, subliniind importanța muncii sale în domeniul mecanicii practice . În același an a fost ales adjunct, iar în 1856 a devenit un academician extraordinar. În 1858, în legătură cu lucrarea sa despre teoria paralelogramelor articulate și teoria aproximării funcțiilor, academicienii V. Ya . Bunyakovskii , M. .Kh E.,V. Ostrogradskii au semnat o depunere pentru alegerea lui Cebișev ca academician obișnuit, ceea ce s-a întâmplat în anul următor [38] . Membru de onoare al Universității din Moscova (1858) [39] . Din 22 februarie 1860 - profesor ordinar; din 10 iulie 1863 - membru în Comitetul științific al Ministerului Învățământului Public ; din 30 august 1863 - consilier de stat real [40] .

În 1863, o „Comisie Cebyshev” specială a participat activ din partea Consiliului Universității din Sankt Petersburg la elaborarea Cartei universitare . Carta universitară, semnată de Alexandru al II-lea la 18 iunie 1863, a acordat autonomie universității ca corporație de profesori. Această carte a existat până în epoca contrareformelor guvernului lui Alexandru al III-lea și a fost considerată de istorici drept cele mai liberale și de succes reglementări universitare din Rusia în secolul al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea [41] .

P. L. Cebyshev a murit la 26 noiembrie ( 8 decembrie ) 1894 la biroul său [42] . A fost înmormântat în moșia natală, în satul Spas-Prognanye (acum districtul Jukovski din regiunea Kaluga) în subsolul Bisericii Schimbarea la Față a Domnului, lângă mormintele părinților săi [43] [44 ]. ] .

Activitate științifică

Matematică

Principalele studii matematice ale lui P. L. Chebyshev se referă la teoria numerelor , teoria probabilității , teoria aproximării funcțiilor , analiza matematică , geometria , matematica aplicată [2] .

Metoda creativă a lui Cebyshev s-a remarcat prin dorința de a lega problemele matematicii cu întrebările științelor naturale și tehnologiei și de a combina teoria abstractă cu practica [45] . Omul de știință a subliniat: „Convergența teoriei cu practica dă cele mai benefice rezultate și nu numai practica beneficiază de asta: științele înseși se dezvoltă sub influența ei: deschide noi subiecte pentru cercetare sau noi aspecte în subiecte de mult cunoscute... . Dacă teoria beneficiază mult de noile aplicații ale vechii metode sau de noile dezvoltări ale acesteia, atunci ea dobândește și mai mult prin descoperirea unor noi metode, iar în acest caz științele își găsesc adevăratul ghid în practică” [46] .

Teoria numerelor

Dintre numeroasele descoperiri ale lui Cebyshev, în primul rând, trebuie menționate lucrările despre teoria numerelor . Au început cu teza de doctorat a lui Cebyshev „Teoria comparațiilor”, publicată în 1849; a devenit prima monografie națională despre teoria numerelor. Această lucrare a fost retipărită de mai multe ori, a fost tradusă în germană și italiană [47] .

În 1851, a apărut celebrul său memoriu „On the determination of the Number of Prime Numbers Not Exceeding a Given Value” [48] . Până în acest moment, era cunoscută conjectura Legendre nedovedită , conform căreia funcția de distribuție a numerelor prime este aproximativ egală cu $\pi(x)$

\pi (x)\aprox {\frac {x}{\ln x-1{,}08366)).

Cebyshev a descoperit o aproximare mult mai bună - logaritmul integral (această presupunere a fost făcută pentru prima dată de Gauss într-o scrisoare către Encke (1849), dar nu a putut-o justifica):

\pi (x)\approx \operatorname {li} x\equiv \int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t)).

Cebyshev a arătat că limita raportului , dacă există, nu poate fi diferită de 1 și a dat o estimare a posibilelor abateri de la logaritmul integral. El a mai arătat că dacă limita relației există, atunci aceasta este egală cu 1. Totuși, nu a putut dovedi existența acestor limite. Mai târziu (în 1896) existența ambelor limite a fost dovedită – independent una de alta – de J. Hadamard și Ch. J. de Vallée-Poussin [49] [50] . $\pi (x)/\operatorname {li} x$ $\pi(x)$ $\pi (x)/(x/\ln x)$

Acest memoriu i-a adus lui Chebyshev, în vârstă de 30 de ani, faima europeană. În anul următor, 1852, Cebyshev a publicat un nou articol, „Despre numerele prime”. În el, a efectuat o analiză profundă a convergenței seriilor în funcție de numere prime, a găsit un criteriu pentru convergența acestora. Ca o aplicare a acestor rezultate, el a demonstrat mai întâi „ postulatul lui Bertrand ” ( conjectura propusă de J. L. Bertrand că între numere naturale și există cel puțin un număr prim) și a dat o nouă estimare, foarte precisă pentru : $n>3$ $n$ $2n-2$ $\pi(x)$

0{,}92129<{\frac {\pi (x)}{x/\ln x))<1{,}10555.

(această inegalitate a fost mai târziu întărită oarecum de J. Sylvester și I. Shur ) [23] [47] [49] .

Cebyshev a lucrat mult la teoria formelor pătratice și problemele conexe de divizibilitate a numerelor naturale și descompunerea lor în factori primi . În articolul său din 1866 „On a Arithmetic Question”, el, folosind aparatul fracțiilor continuate , a investigat aproximările diofante ale numerelor întregi [51] . În teoria analitică a numerelor, el a fost unul dintre primii care a folosit funcția gamma [52] .

Teoria probabilității

Cebyshev a devenit primul matematician rus de clasă mondială și în teoria probabilităților . Din 1860, l-a înlocuit pe V. Ya. Bunyakovsky la Departamentul de Teoria Probabilității a Universității din Sankt Petersburg și și-a început ciclul de prelegeri. A publicat doar patru lucrări pe această temă, dar de natură fundamentală. În articolul „On Averages” (1866), „ inegalitatea Chebyshev ” a fost demonstrată pentru prima dată, ulterior întărită de Markov :

\mathbb {P} {\big (}{\big |}xM[x]{\big |}\geqslant k\sigma {\big )}\leqslant {\frac {1}{k^{2 }}}.

Această formulă înseamnă că probabilitatea de abatere a oricărei variabile aleatoare de la valoarea sa medie ( aşteptări matematice ) cu mai mult decât abaterile standard ( ) nu depăşeşte . De exemplu, o abatere mai mare de 1 are o probabilitate de cel mult 1/25, adică 4%. $X$ $M[x]$ $k$ $\sigma$ $1/k^{2}$ $5\sigma$

Deși această inegalitate a fost publicată pentru prima dată (fără dovezi) de I.-J. Bienheim în 1853, i s-a atribuit numele „inegalitatea lui Cebyshev” - în mare parte pentru că P. L. Cebyshev nu numai că a dat derivarea acestei inegalități, ci și a aplicat-o cu succes pentru a rezolva o problemă importantă - justificarea legii numerelor mari [53] .

Și anume, ca o consecință a acestei inegalități, Cebișev a obținut o formulare extrem de generală a legii numerelor mari : dacă așteptările matematice ale unei serii de variabile aleatoare și așteptările matematice ale pătratelor lor sunt limitate în agregat, atunci media aritmetică a aceste cantități converg odată cu creșterea către media aritmetică pentru așteptările lor matematice. Din această teoremă se obține drept corolare ale teoremelor Bernoulli și Poisson ; Cebyshev a fost primul care a evaluat riguros acuratețea acestor teoreme și a altor aproximări [54] . $n$ $n$

În același articol, P. L. Chebyshev a fundamentat în mod clar pentru prima dată punctul de vedere general acceptat astăzi asupra conceptului de variabilă aleatorie ca unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților [55] .

În 1887, a apărut un articol de Cebyshev „Despre două teoreme privind probabilitățile”. În această lucrare, el a stabilit că în anumite condiții (mai degrabă generale), teorema limită centrală este adevărată : suma unui număr mare de variabile aleatoare independente cu așteptări matematice zero (de exemplu, erori de măsurare) este distribuită aproximativ conform normalului. legea, și cu cât mai exact, cu atât mai mulți termeni în suma . În generalitatea sa, acest rezultat depășește cu mult teorema Moivre-Laplace și toți analogii ei [56] . În cursul căutării unei dovezi a teoremei, Cebyshev a dezvoltat - pentru cazul convergenței către o distribuție normală - o metodă cunoscută acum sub numele de metoda momentelor , adică o metodă de determinare a distribuției probabilității pe momentele sale [57]. ] [58] .

În demonstrarea versiunii sale a teoremei limitei centrale, Cebyshev a făcut un decalaj logic: s-a dovedit că, pe lângă condițiile indicate de Cebyshev pentru aplicabilitatea teoremei, ar trebui, de asemenea, să ceară ca media aritmetică a variațiilor așa cum tinde să infinitul are o limită. Acest neajuns a fost corectat curând de A. A. Markov [57] . $n$

Ambele teoreme ale lui Cebyshev ocupă un loc central în teoria probabilității. Deosebit de important este faptul că Cebyshev nu numai că a indicat distribuția limitativă, dar în ambele cazuri a analizat în detaliu limitele posibilelor abateri de la această limită [59] . Cercetările lui P. L. Cebyshev au fost continuate de studenții săi, în primul rând A. A. Markov și A. M. Lyapunov [57] .

Teoria aproximării funcțiilor

Deși teoria aproximării funcțiilor are o preistorie destul de bogată, istoria actuală a acestei ramuri a matematicii este de obicei calculată din 1854, când a fost publicat articolul lui P. L. Cebyshev „Theory of Mechanisms Known as Parallelograms”. A devenit prima dintr-o serie de lucrări ale omului de știință despre „funcțiile care se abat cel puțin de la zero” (Cebyshev a dedicat patruzeci de ani cercetării în acest domeniu) [60] [61] .

În articolul menționat, Cebyshev a ajuns la concluzia că pentru aproximarea unei funcții analitice pe un anumit interval printr -un polinom algebric de un grad dat , formula Taylor nu este suficient de eficientă și a pus problema generală a găsirii celei mai bune uniforme uniforme. aproximare pentru o funcție continuă dată a unui polinom [62] . Pentru măsurarea abaterii funcției de la zero, a luat valoarea $f$ $[a,b]$ $f$

\max _{x\in [a,b]}|f(x)|;

acum se numește fie (după Cebyshev) abatere de la zero [63] , fie norma Cebyshev a unei funcții [64] . De fapt, vorbim despre o metrică uniformă în spațiul funcțiilor continue pe intervalul ; în această metrică, valoarea este luată ca măsură a diferenței dintre funcții și $f$ $C[a,b]$ $X\equiv [a,b]$ $f$ $g$

d(f,g)=\max \limits _{X}|f(x)-g(x)|.

În conformitate cu aceasta, dintre polinoamele de grad care nu depășesc , polinomul celei mai bune aproximări uniforme pentru o funcție este un astfel de polinom pentru care norma Cebyshev a diferenței este minimă [64] [65] . $n$ $f$ $U$ $fU$

Cebyshev a stabilit proprietatea caracteristică a unui astfel de polinom: polinomul va fi un polinom cu cea mai bună aproximare uniformă dacă și numai dacă există astfel de puncte pe segment încât diferența dintre ele să ia alternativ valorile maxime și minime egale în absolut. valoarea ( punctele alternantei Chebyshev ). Mai târziu, în 1905, E. Borel a dovedit existența și unicitatea polinomului celei mai bune aproximări uniforme [64] [66] . De la mijlocul secolului al XX-lea, cele mai bune polinoame de aproximare au fost folosite destul de des în programele de calculator standard pentru calcularea funcțiilor elementare și speciale [67] . $U$ $[a,b]$ $n+2$ $X_{i}$ $fU$

Cebyshev a obținut un rezultat similar pentru cea mai bună aproximare uniformă a unei funcții continue prin fracții raționale cu puteri fixe ale numărătorului și numitorului [66] .

P. L. Cebyshev a pus și a rezolvat problema găsirii polinoamelor care se abate cel puțin de la zero : pe un segment , acestea sunt astfel de polinoame de grad cu un coeficient de 1 la termenul cel mai mare pentru care abaterea de la zero pe un segment dat este minimă. S-a dovedit că soluția acestei probleme este polinoamele cu norma Chebyshev egală cu (se deosebesc doar printr-un factor numeric de polinoamele Chebyshev de primul fel). Polinoamele care se abate cel puțin de la zero pe un interval arbitrar se obțin din cele considerate printr-o modificare liniară a variabilei independente [68] [69] . $[-1,1]$ $n$ ${\overline {T}}_{n}(x)=T_{n}(x)/2^{n-1}$ $1/2^{n-1}$ $[a,b]$

Polinoamele introduse de P. L. Chebyshev, care se abate cel mai puțin de la zero, au fost folosite, în special, în algebra liniară computațională . Și anume, din anii 1950, la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare de formă cu o matrice definită pozitivă simetrică , metoda iterativă Chebyshev a devenit larg răspândită . Aceasta este o modificare a metodei iterațiilor simple , în forma sa cea mai simplă, având forma $ax = b$ $A$

x^{k+1}=x^{k}-\tau _{k}\,(Ax^{k}-b),\quad k=0,1,\dots

( este următoarea aproximare a soluției exacte a sistemului), iar parametrii sunt selectați din condiția ca rata de eroare a soluției aproximative să scadă cât mai repede posibil în următorul ciclu de iterații ( dați în avans). S-a dovedit că, dacă și sunt limitele inferioare și superioare pentru valorile proprii ale matricei , atunci în fiecare ciclu după este necesar să se ia numere reciproce cu valorile rădăcinilor polinomului care se abate cel puțin de la zero pe segmentul (în acest caz, pentru a asigura stabilitatea computațională, rădăcinile nu sunt luate pe rând, ci reordonate într-un mod special) [70] [71] . Această metodă a găsit cele mai importante aplicații în soluționarea numerică a problemelor cu valori la limită eliptice [72] . $x^{k}$ $\tau_{k}$ $N$ $N$ $m$ $M$ $A$ $\tau_{k}$ $[m,M]$

Aceasta și lucrările ulterioare ale lui Cebyshev au fost foarte originale, atât în ceea ce privește formularea problemelor, cât și metodele propuse pentru rezolvarea acestora. Formularea problemei de aproximare a unei funcții propusă de Cebișev diferă semnificativ de o altă abordare binecunoscută, când, pentru a estima diferența dintre două funcții și , este adesea folosită o caracteristică medie a diferenței acestor funcții - de exemplu, Metrica Lebesgue [73] : $f$ $g$ $L_{2}$

d(f,g)={\sqrt {\int \limits _{X}(f(x)-g(x))^{2}\,\mu (dx)))

(problema celei mai bune aproximări rădăcină-pătrată medie ) [74] [75] .

Abordarea lui Chebyshev diferă prin aceea că este luată ca criteriu pentru apropierea a două funcții, nu media, ci diferența maximă a acestora (norma Chebyshev a diferenței de funcții). Această abordare este de preferat în multe situații practice – de exemplu, atunci când un mecanism funcționează, chiar și o abatere semnificativă pe termen scurt a parametrilor actuali de la cei standard poate duce la o scădere a performanței sau chiar la distrugerea acestuia [76] . Cerințe similare sunt impuse de cartografie (distorsiunea maximă a scării pe hartă ar trebui să fie mică), mecanica mecanică precisă a unui ceas etc. [77] .

Pentru cartografie, Cebyshev a formulat în 1856 o teoremă: „cea mai avantajoasă proiecție conformă pentru reprezentarea unei părți a suprafeței pământului pe o hartă este aceea în care scara păstrează aceeași valoare la marginea imaginii”. 38 de ani mai târziu, studentul lui Cebyshev D. A. Grave a reușit să demonstreze acest lucru ; acum această teoremă se numește teorema Chebyshev-Grave , iar proiecțiile conforme care satisfac condițiile sale sunt numite proiecții Chebyshev [78] [79] .

La începutul secolului al XX-lea, teoria celei mai bune aproximări a funcțiilor dezvoltată în lucrările lui Cebyshev și școala sa a devenit teoria constructivă a funcțiilor . În același timp, odată cu apariția lucrărilor lui D. Jackson (1911) și S. N. Bernshtein (1912), accentul s-a mutat de la problemele de aproximare individuală a funcțiilor către studiul comportamentului erorilor de aproximare prin polinoame. pe măsură ce se apropie de infinit [80] [81] . $n$

P. L. Chebyshev a fost, de asemenea, angajat în metoda clasică de aproximare a funcțiilor - interpolare . În 1859, în lucrarea sa „Întrebări despre cele mai mici valori asociate cu reprezentarea aproximativă a funcțiilor”, el a arătat că eroarea de interpolare pentru o funcție dată pe interval este minimă dacă sunt folosite rădăcinile polinoamelor Chebyshev de primul fel. ca noduri de interpolare [82] . $[-1,1]$ $T_{n}(x)$

Analiză matematică și geometrie

Cebyshev și-a dedicat memoriile din 1860 [83] problemelor de calcul integral , în care, pentru un polinom dat cu coeficienți raționali, este dat un algoritm pentru determinarea unui astfel de număr încât expresia să fie integrată în logaritmi și calculul integralei corespunzătoare . $x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta$ $A$ ${\frac {x+A}{\sqrt {x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta ))}$

Lucrările din ultima perioadă a activității lui Cebyshev includ cercetarea „Despre valorile limită ale integralelor” („Sur les valeurs limites des intégrales”, 1873). Întrebări complet noi puse aici de om de știință au fost apoi dezvoltate de studenții săi. Ultimul memoriu al lui Cebyshev din 1895 aparține aceleiași zone.

Cebyshev deține o teoremă privind condițiile de integrabilitate a unui binom diferențial , publicată în memoria din 1853 „Despre integrarea diferențialelor iraționale”. Teorema afirmă că integrala

\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\,{\rm {d}}x\;

unde , , sunt numere raționale, se exprimă în funcții elementare doar în trei cazuri (cunoscute încă din secolul al XVIII-lea) [84] [85] : $m$ $n$ $p$

$p$ este un număr întreg;
${\frac {m+1}{n))$ este un număr întreg;
${\frac {m+1}{n}}\,+\,p$ este un număr întreg.

În 1882, P. L. Chebyshev a demonstrat că pentru funcțiile monotone date pe un interval și cu valori nenegative, este valabilă următoarea inegalitate: $[a,b]$ $f$ $g$

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\,\int \limits _{a}^{b}g(x)\,{\rm { d}}x\,\;\leqslant \;\,(ba)\,\int \limits _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,{\rm {d}} X\;

și o inegalitate similară

\sum _{k=1}^{n}\,a_{k}\,\sum _{k=1}^{n}\,b_{k}\;\leqslant \;n\,\sum _ {k=1}^{n}\,a_{k}\,b_{k}

valabil şi pentru secvenţe monotone finite de numere nenegative. Acum ambele aceste inegalități sunt numite inegalități ale lui Cebyshev [86] .

Un număr de rezultate importante obținute de P. L. Chebyshev se referă la o altă secțiune a analizei matematice - teoria polinoamelor ortogonale ; au fost obţinute în strânsă legătură cu investigaţiile în teoria aproximării funcţiilor. În 1854, în Teoria mecanismelor cunoscute sub numele de paralelograme, Cebyshev a introdus polinoamele Chebyshev de primul și al doilea fel și a început să studieze proprietățile lor (acestea au fost primele sisteme de polinoame ortogonale clasice care le-au urmat pe cele introduse de A. M. Legendre în trecut ). 1785 prin polinoamele Legendre ) [87] [88] . $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

În 1859, în articolul „Despre extinderea funcțiilor unei variabile”, Cebyshev a introdus două noi sisteme de polinoame ortogonale clasice. Acum sunt cunoscute ca polinoame Chebyshev-Hermite (sau polinoame Hermite ) și polinoame Chebyshev-Laguerre (sau polinoame Laguerre ) [80] ; Denumirile sunt legate de faptul că ulterior aceste polinoame au fost studiate respectiv de C. Hermite (1864) [89] și E. Laguerre (1878) [90] . Toate sistemele de polinoame ortogonale de mai sus joacă un rol important în matematică, având aplicații diverse. În același timp, Cebyshev, pe baza aparatului fracțiilor continue , a dezvoltat o teorie generală a extinderii unei funcții arbitrare într-o serie în termeni de polinoame ortogonale [91] .

Geometria diferențială a suprafețelor a făcut obiectul unui articol de Cebyshev cu un titlu neobișnuit „Despre tăierea hainelor” (1878); în ea, omul de știință a introdus o nouă clasă de grile de coordonate, numite „ rețele Chebyshev ” [92] .

Matematică aplicată

Timp de patruzeci de ani, Cebyshev a participat activ la activitatea departamentului de artilerie militară (din 1855 - membru cu drepturi depline al Departamentului de artilerie al Comitetului științific militar , din 1859 - membru cu drepturi depline al Comitetului de artilerie provizoriu) și a lucrat pentru a îmbunătăți raza de acțiune și precizia focului de artilerie, folosind rezultatele metodelor experimentale de tragere ale teoriei probabilităților. În cursurile de balistică, formula lui Cebyshev a fost păstrată până în prezent pentru a calcula raza de zbor a unui proiectil în funcție de unghiul său de aruncare, viteza inițială și rezistența aerului la o viteză inițială dată. Cu lucrările sale, Cebyshev a avut o mare influență asupra dezvoltării științei artileriei rusești, asupra introducerii artilerilor în matematică [93] [94] .

În strânsă legătură cu munca lui Cebyshev în Comitetul de artilerie provizoriu au fost studiile sale asupra formulelor de cuadratura . În cursul acestor studii, în 1873 a propus un nou tip de formule de cuadratura (formulele de cuadratura ale lui Cebyshev ). Aceste formule satisfac cerința suplimentară de egalitate a greutăților și fac posibilă simplificarea calculelor și reducerea volumului acestora, având următoarea proprietate importantă: oferă o variație minimă a valorii aproximative a integralei calculate din ele (cu condiția ca erorile la nodurile sunt independente și au aceeași varianță și așteptare matematică egală cu zero) [2] [95] . Cebyshev a găsit o formă explicită a acestor formule pentru numărul de noduri ; Mai târziu S. N. Bernshtein le -a adăugat formula c și a demonstrat că astfel de formule nu există pentru și [96] . $n=2,\dots ,7$ $n=9$ $n=8$ $n\geqslant 10$

Mecanica

În domeniul mecanicii , P. L. Chebyshev a fost interesat de problemele mecanicii aplicate și, în special, de teoria mecanismelor ; aproximativ 15 lucrări ale omului de știință [97] [98] sunt consacrate acestuia din urmă . Nu a publicat o singură lucrare despre probleme generale ale mecanicii teoretice , totuși, într-o serie de lucrări ale studenților săi ( P. I. Somov , A. M. Lyapunov , D. A. Grave ), legate de domeniul mecanicii teoretice, idei sugerate de profesorul lor. De fapt, P. L. Cebyshev a condus după moartea lui M. V. Ostrogradsky filiala din Sankt Petersburg a școlii ruse originale de mecanică [36] .

În ceea ce privește teoria mecanismelor, istoricii științei evidențiază trei școli științifice din acest domeniu care s-au dezvoltat în Rusia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea: P. L. Cebyshev la Sankt Petersburg (format mai devreme decât celelalte două), V. N. Ligin la Odesa , și N. E. Jukovsky la Moscova. Sub influența conversațiilor cu Cebyshev, matematicienii englezi J. Sylvester și A. Cayley [99] au devenit interesați de problemele cinematicii mecanismelor .

Sinteza mecanismelor

În anii 1850, Cebyshev a devenit interesat de mecanismele cu pârghii articulate care servesc la aproximarea transformării mișcării circulare în mișcare rectilinie și invers. Printre astfel de mecanisme se numără paralelogramul lui Watt , proiectat de inventatorul motorului universal cu abur J. Watt tocmai pentru a transforma mișcarea alternativă rectilinie a tijei (conectată rigid la pistonul motorului cu abur) în mișcarea de balansare a capătului balansierului. . Până la mijlocul secolului al XIX-lea, puține astfel de mecanisme erau cunoscute, parametrii legăturilor lor au fost selectați empiric, în timp ce inexactitățile inevitabile ale cursei înainte au condus la o creștere a pierderilor prin frecare și la uzura rapidă a legăturilor [100] [101] .

Cebyshev a stabilit sarcina de a găsi în mod intenționat parametrii mecanismului dorit, astfel încât, pe un anumit segment dat, abaterea maximă a traiectoriei punctului de lucru al mecanismului de la tangenta acestuia la punctul de mijloc să se abate cel mai puțin de la zero în comparație cu alte similare. traiectorii. Rezolvând această problemă, omul de știință a ajuns la crearea unei noi secțiuni a teoriei aproximării funcțiilor - teoria funcțiilor care se abat cel mai puțin de la zero . Cebyshev a conturat rezultatele obținute în lucrarea sa The Theory of Mechanisms Known as Parallelograms (1854), devenind fondatorul teoriei matematice a sintezei mecanismelor [101] [76] .

Metodele teoriei funcțiilor care se abate cel mai puțin de la zero au fost folosite și de P. L. Cebyshev în lucrările sale despre regulatorul centrifugal (unde era necesar să se asigure izocronismul mișcării mecanismului) și pe roțile dințate (pentru construirea unui profil de dinte). folosind arce de cerc, ceea ce face posibilă atingerea raportului dintre vitezele unghiulare ale roților și valoarea dorită) [98] .

Structura mecanismului

Cebyshev a pus bazele teoriei structurii mecanismelor plate . În lucrarea sa „On Parallelograms” (1869), pentru mecanismele pârghiei cu perechi cinematice de rotație și un grad de libertate, el a derivat o formulă structurală (cunoscută acum sub numele de „formula Chebyshev” [102] ) - o identitate pe care fiecare astfel de mecanism trebuie să satisface:

3m-2(n+v)=1,

unde este numărul de legături mobile și sunt numărul de balamale mobile și, respectiv, fixe. După 14 ani, această formulă a fost redescoperită de mecanicul german M. Grübler [76] [103] . În 1887, P. O. Somov , un student al lui Cebyshev, a obținut o formulă structurală similară pentru mecanismele spațiale [104] . $m$ $n$ $v$

Proiectare mecanism

Cebyshev a creat peste 40 de mecanisme diferite și aproximativ 80 de modificări ale acestora. Printre acestea se numără mecanisme cu opritoare, mecanisme de redresoare și acceleratoare și mecanisme similare, dintre care multe sunt folosite în fabricarea modernă de mașini, motociclete și instrumente [103] [105] .

În proiectele unui număr de mecanisme propuse de P. L. Chebyshev, metodele de sinteză a mecanismelor dezvoltate de el și-au găsit implementarea. Aici, în primul rând, merită menționate două mecanisme Chebyshev de ghidare aproximativă , aparținând clasei de legături articulate cu patru bare și cunoscute sub numele de lambda și cruce . În aceste mecanisme, traiectoria unui punct dat situat pe biela (pentru un mecanism în formă de lambda - la capătul bielei, pentru unul în cruce - la mijloc), diferă foarte puțin într-o anumită zonă de un segment de linie dreaptă. În același timp, numărul minim de legături pentru un mecanism cu perechi cinematice de rotație, care asigură o mișcare rectilinie precisă pentru unul dintre punctele sale, este 6 [106] [107] . $P$

La Expoziția Mondială de la Philadelphia din 1876, a fost expusă o mașină cu abur proiectată de Cebyshev , care avea o serie de avantaje de design [108] .

Printre mecanismele create de Cebyshev se numără o „ mașină de mers cu piciorul ” [109] , care imita mișcarea unui animal în timpul mersului [110] . Această mașină a fost prezentată cu succes la Expoziția Mondială de la Paris din 1878 și este în prezent depozitată în Muzeul Politehnic din Moscova [111] [112] .

Un model de scaun cu rotile - un scaun scuter construit de P. L. Chebyshev, a fost prezentat la Expoziția Mondială de la Chicago în 1893 [113] , și o mașină de adăugare automată [110] , inventată de el și care a devenit prima mașină de adăugare continuă [34] ] , este depozitat în Muzeul de Arte și Meserii din Paris [105] . Pe lângă scaunul scuterului, expoziția de la Chicago a demonstrat și mașina de sortat inventată de P. L. Chebyshev (un mecanism de sortare a cerealelor în funcție de greutate) și șapte mecanisme pentru transformarea rotației în alte tipuri de mișcare [114] .

Activitate pedagogică

Ca membru al Comitetului Academic al Ministerului Educației Publice (1856-1873), P. L. Chebyshev a revizuit manuale, a compilat programe și instrucțiuni pentru școlile primare și gimnaziale [23] [115] .

În a doua jumătate a secolului al XIX-lea, nevoia acută de personal tehnic calificat, cauzată de dezvoltarea rapidă a ingineriei mecanice, a ridicat problema creșterii semnificative a numărului de ingineri mecanici pregătiți înainte de școala superioară rusă. Profesorul Universității din Kiev I. I. Rakhmaninov a propus să formeze astfel de ingineri la departamentele de fizică și matematică ale universităților. P. L. Chebyshev s-a opus acestei propuneri, considerând că este mai oportună concentrarea formării inginerilor în instituțiile de învățământ tehnic superior și pregătirea specialiștilor în științe fundamentale la universități . Pe această cale - calea creării unui număr semnificativ de universități tehnice de diferite profiluri - a mers școala superioară rusă [116] .

Elevii lui Cebyshev

Pentru Cebyshev, sarcina de a dezvolta școala de matematică rusă a fost întotdeauna nu mai puțin importantă decât rezultatele științifice concrete. După cum au menționat B. V. Gnedenko și O. B. Sheinin , „P. L. Cebyshev a fost nu numai un bun lector, ci și un minunat consilier științific, care avea o capacitate rară de a alege cu succes și de a pune cu precizie noi întrebări tinerilor cercetători, a căror considerare promitea să conducă la descoperiri valoroase” [117] . Cebyshev a devenit unul dintre cei mai influenți membri ai Societății de Matematică din Moscova (înființată în 1864, a publicat primul jurnal de matematică din Rusia - „ Colecția Matematică ”) și a oferit societății o asistență semnificativă [118] .

Numeroși studenți ai lui P. L. Chebyshev au avut o contribuție semnificativă la știință. Printre ei se numără matematicieni, mecanici și fizicieni renumiti ca [51] [119] :

Cebyshev și studenții săi au format nucleul acelei echipe științifice de matematicieni, care în cele din urmă a devenit cunoscută sub numele de Școala de Matematică din Sankt Petersburg. În 1890, membrii acestei echipe au organizat Societatea de Matematică din Sankt Petersburg . În 1893, P. L. Chebyshev a fost ales membru de onoare al acestei societăți.

Note și memorie

Meritele lui Cebyshev au fost apreciate de lumea științifică într-un mod demn. Caracteristicile meritelor sale științifice sunt foarte bine exprimate în nota academicienilor A. A. Markov și I. Ya. Sonin, citită la prima întâlnire a Academiei după moartea lui Cebyshev. Această notă spune [120] :

Lucrările lui Cebyshev poartă amprenta geniului. A inventat noi metode de rezolvare a multor întrebări dificile care au fost puse de mult timp și au rămas nerezolvate. În același timp, a ridicat o serie de întrebări noi, la dezvoltarea cărora a lucrat până la sfârșitul zilelor sale.

O viziune similară asupra contribuției științifice a lui P. L. Chebyshev a fost deținută și de alți matematicieni cunoscuți ai secolului al XIX-lea. Astfel, Charles Hermite a susținut că Cebyshev „este mândria științei ruse și unul dintre cei mai mari matematicieni ai Europei”, iar Gustav Mittag-Leffler a scris că Cebyshev este un matematician de geniu și unul dintre cei mai mari analisti ai tuturor timpurilor [121] .

Mai târziu, academicianul V. A. Steklov a remarcat că geniul lui Cebyshev este un exemplu excepțional de combinare a practicii cu puterea creatoare, generalizantă a gândirii entuziaste [122] .

A fost ales ca membru:

Academia de Științe din Petersburg (1853),
Academia de Științe din Berlin (1871) [110] ,
Academia de Științe din Bologna (1873) [110] ,
Academia de Științe din Paris (1874; membru corespondent din 1860 [110] ; Cebyshev a împărțit această onoare doar cu un singur om de știință rus, faimosul Baer , care a fost ales în 1876 și a murit în același an) [123] ,
Societatea Regală din Londra (1877) [110] ,
Academia Suedeză de Științe (1893) [110]

și altele - un total de 25 de academii și societăți științifice diferite [121] . Cebyshev a fost și membru de onoare al tuturor universităților rusești; portretul său este înfățișat pe clădirea Facultății de Matematică și Mecanică a Universității de Stat din Sankt Petersburg .

P. L. Cebyshev a primit ordinele Sf. Alexandru Nevski , gradul Sf. Vladimir II, gradul Sf. Ana I, gradul Sf. Stanislav I. În 1890 i s-a conferit și Legiunea de Onoare Franceză [124] .

Numit după P. L. Chebyshev:

premiul „Pentru cea mai bună cercetare în domeniul matematicii și teoria mecanismelor și mașinilor”, înființat de Academia de Științe a URSS în 1944 (din 1997 este numit „ Medalia de aur P. L. Chebyshev ”);
un crater pe Lună ;
asteroid (2010) Chebyshev ;
jurnalul de matematică „Colecția Cebyshevsky” [125] ;
un supercalculator la Centrul de Cercetare de Calcul al Universității de Stat din Moscova [126] ;
multe obiecte în matematica modernă;
laboratorul de cercetare al Universității de Stat din Sankt Petersburg [127] ;
strada Chebyshevskaya din Peterhof ( Sankt Petersburg ), precum și străzile din Volgograd , Voronezh , Ekaterinburg , Kaluga , Penza , Tver ;
lanț muntos pe insula Svalbard [128] ;
o școală cuprinzătoare în satul Mashkovo, districtul Jukovski, regiunea Kaluga - un sat învecinat cu moșia familiei lui Cebyshev în satul Spass-Proganye și locul său de naștere în satul Akatovo [129] .
Premiul Guvernului din Sankt Petersburg pentru rezultate științifice remarcabile în domeniul științei și tehnologiei: în nominalizarea matematicii și mecanicii - premiul pentru ei. P. L. Cebyshev [130] .
Școala generală de bază municipală Spas-Prognanskaya din districtul Jukovski din regiunea Kaluga. Școala a organizat un muzeu al lui P. L. Cebyshev.

Pe fațada Casei Academicienilor din Sankt Petersburg , situată la adresa: linia 7 a insulei Vasilevsky , 2/1, lit. Și a fost instalată o placă memorială cu textul: „Academicianul Panfuty Lvovich Cebyshev a locuit aici între 1821-1894. Renumit matematician, fondator al școlii ruse de teoria numerelor, teoria probabilității, teoria mecanismelor și teoria funcțiilor, care a făcut principalele descoperiri în aceste științe” [131] .

Publicații

Cărți

Cebyshev P. L. . Componența completă a scrierilor. - M. , 1944-1951.
- Vol. 1: Teoria numerelor . - 1944. - 342 p.
- Vol. 2: Analiză matematică . - 1947. - 520 p.
- Vol. 3: Analiza matematică . - 1948. - 412 p.
- Vol. 4: Teoria mecanismelor . - 1948. - 255 p.
- Vol. 5: Alte lucrări. Materiale biografice . - 1951. - 474 p.
Cebyshev P. L. . Teoria comparațiilor . - Sankt Petersburg. , 1849. - XIII + 281 p.
Cebyshev P. L. . Lucrări de matematică alese / Ed.-sost. A. O. Gelfond . - M. - L .: OGIZ Gostekhizdat, 1946. - ( Clasici ale științelor naturii ).
Cebyshev P. L. . Lucrări alese / Ed.-sost. A. O. Gelfond . - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1955. - ( Clasici ale Științei ).

Articole

Cebyshev P.L. Despre fracțiunile continuate // Uchenye zapiski Academia imperială de științe pe primul și al treilea departament. - Sankt Petersburg. , 1855. - T. 3 . - S. 636-664 .
Chebyshev P. L. Întrebări despre cele mai mici cantități legate de reprezentarea aproximativă a
funcțiilor Mémoires. 10. Sur le questions de minime qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions; par M. Cebiciov. (Extrait.) (Lu le 9 octobre 1857.) // Bulletin de la Classe Physico-Mathématique de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Petersbourg , XVI (1858), coloanele 145-149.
Deplin col. soch., vol. 2, M.-L., 1947, p. 146-150;
Chebyshev P. L. Întrebări despre cele mai mici cantități legate de reprezentarea aproximativă a funcțiilor
Sur le questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions ; par P. Cebiciov. Lu le 23 octobre 1857. // Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de Saint-Petersbourg , VI série, t. 7 (1859), 199 - 291
Complet. col. soch., vol. 2, M.-L., 1947, p. 151-235
Chebyshev PL Extindere în serie folosind fracții continue // Colecție matematică. - M. , 1866. - S. 291-296 .
Chebyshev, P.L., Despre sume compuse din valorile celor mai simple monomii înmulțite cu o funcție care rămâne pozitivă, Zap. Imp. Acad. Științe. - Sankt Petersburg. , 1891. - T. 64 , nr 7 .
Chebyshev P. L. Despre funcțiile care se abat ușor de la zero pentru unele valori ale variabilei // Zap. Imp. Acad. Științe. - Sankt Petersburg. , 1881. - T. 40 , nr 3 .
Chebyshev, P.L., Despre raportul a două integrale extinse la aceleași valori ale unei variabile, Zap. Imp. Acad. Științe. - Sankt Petersburg. , 1883. - T. 44 , nr 2 .
Cebyshev P. L. Despre expresii aproximative pentru rădăcina pătrată a unei variabile în termeni de fracții simple // Zap. Imp. Acad. Științe. - Sankt Petersburg. , 1889. - T. 61 , nr. 1 .

Vezi și

Binom diferențial
mecanism Cebyshev
Polinoamele Cebyshev
Inegalitatea lui Cebyshev (teoria probabilității)
Inegalitatea lui Cebyshev pentru sume
postulatul lui Bertrand
Rețeaua Cebyshev
filtru Chebyshev
Funcţiile Cebyshev şi $\psi$ $\theta$
Sistemul de funcții Chebyshev
alternanta Cebyshev
Cebyshev set

Note

↑ 1 2 Arhiva MacTutor Istoria Matematicii
↑ 1 2 3 4 Bogolyubov, 1983 , p. 517.
↑ Glaser, 1982 , p. 166-169.
↑ Matematica secolului al XIX-lea. T. I, 1978 , p. 216.
↑ 1 2 Ribnikov, 1974 , p. 417.
↑ 1 2 Unbegaun B. O. . Prenume rusești / Per. din engleza. L. V. Kurkina, V. P. Neroznak, E. R. Squires; ed. N. N. Popov. - M .: Progres , 1989. - S. 349 . - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Lopatin N. V. . Despre originea numelui de familie „Cebișev” // Cronica Societății Istorice și Genealogice din Moscova. - M. , 1997. - S. 160-164.
↑ Gnedenko, 1978 . În titlul articolului: " Cebyshev (pronunțat Cebyshev ) Pafnuty Lvovich ..."
↑ Kalitkin N. N. . Metode numerice. — Ed. a II-a, corectată. - Sankt Petersburg. : BHV-Petersburg, 2011. - P. 33 [ Sistemul de funcții Cebyshev ], 465 [ Chebyshev set of steps ], 552 [ Cebyshev criterion ], 574 [ Cebyshev polinoame ] . — (Literatura educațională pentru universități). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Cebyshev [ Polinoame Cebyshev , formula Cebyshev ]; Cebyshevsky // Dicționar de ortografie rusă / Academia Rusă de Științe. Institutul Limbii Ruse. V. V. Vinogradova; ed. V. V. Lopatina , O. E. Ivanova. - Ed. a 4-a, rev. si suplimentare - M . : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Dicționare fundamentale ale limbii ruse). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko F. L. . Cebyshev Pafnyuty // Nume proprii în rusă . - M. : Editura NTs ENAS, 2001. - S. 349 . — ISBN 5-93196-107-0 .
^ Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. - M . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1982. - T. 22, Nr. 1. - P. 142 [ Centrul Chebyshev al setului ].
↑ Culegere matematică. - M .: Nauka , 2004. - T. 195. - P. 29 [ alternanta Cebyshev ] , 56-57 [ metoda Cebyshev ].
↑ V. V. Lopatin. Utilizarea literei Yo // Manual de ortografie și punctuație rusă . Institutul Limbii Ruse al Academiei Ruse de Științe. Preluat: 3 aprilie 2019. (nedefinit)
↑ Prudnikov, 1976 , p. 13-14, 19.
↑ Glaser, 1982 , p. 166-167.
↑ Informații scurte despre familia și clanul lui P. L. Chebyshev // Chebyshev P. L. Lucrări complete. T. 5. Alte lucrări. Materiale biografice . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1951. - 474 p. - S. 189-192.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 19.
↑ 1 2 3 Markov, Sonin, 1944 , p. 5.
↑ Posse K. A. Chebyshev, Pafnuty Lvovich // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ Despre oamenii de la Universitatea din Moscova, 2019 , p. 39.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 29-30.
↑ 1 2 3 Glaser, 1982 , p. 169.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 29-31.
↑ Kolyagin Yu. M., Savvina O. A. Din istoria educației din capitala: matematică și matematică în gimnaziul III din Moscova // Buletinul Universității de Stat Yelets. - Yelets: YSU im. I. A. Bunina. Problema. 28: Seria „Pedagogie” (Istoria și teoria educației matematice), 2011. - ISBN 978-5-94809-510-3 . Arhivat din original pe 22 decembrie 2014. - S. 18-30.
↑ Melnikov A. N., Melnikov R. A. Pafnuty Lvovich Chebyshev and the Yelets land (la aniversarea a 190 de ani de la nașterea unui om de știință remarcabil) // Buletinul Universității de Stat Yelets. - Yelets: YSU im. I. A. Bunina. Problema. 28: Seria „Pedagogie” (Istoria și teoria educației matematice), 2011. - ISBN 978-5-94809-510-3 . Arhivat din original pe 22 decembrie 2014. - S. 35-39.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 37.
↑ P. L. Cebyshev la Universitatea din Moscova // Cebyshev P. L. Complete Works. T. 5. Alte lucrări. Materiale biografice . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1951. - 474 p. - S. 193-197.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 43.
↑ Markov, Sonin, 1944 , p. 6.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 63.
↑ Glaser, 1982 , p. 167.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 197-198.
↑ 1 2 Stroyk, 1984 , p. 255.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 210.
↑ 1 2 Moiseev, 1961 , p. 355.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 199-200.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 198-199.
↑ Cronica Universității din Moscova
↑ Lista persoanelor care slujesc în cadrul departamentului Ministerului Învățământului Public pentru 1868 - p. 32.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 99-102.
↑ Markov, Sonin, 1944 , p. 9.
↑ Glaser, 1982 , p. 170.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 267-268.
↑ Glaser, 1982 , p. 167-178.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 7.
↑ 1 2 Matematica secolului al XIX-lea. T. I, 1978 , p. 160-165.
↑ Tchebychef P.L. Mémoire sur les nombres premiers // Œuvres de P. L. Tchebychef: [ fr. ] . — 1850.
↑ 1 2 Ribnikov, 1974 , p. 420.
↑ Stroyk, 1984 , p. 254.
↑ 1 2 Ribnikov, 1974 , p. 421.
↑ Matematica secolului al XIX-lea. T. I, 1978 , p. 128-129, 157.
↑ Prohorov A. V. . Inegalitatea Cebyshev // Enciclopedia matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Enciclopedia , 1984. - T. 5. - Stb. 842-843. - 1248 stb.
↑ Maystrov, 1967 , p. 225-238.
↑ Iu. V. Prohorov . Variabilă aleatorie // Enciclopedie matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Enciclopedia , 1984. - T. 5. - Stb. 9-10. - 1248 stb.
↑ Cebyshev P. L. . Componența completă a scrierilor. - Editura Academiei de Științe a URSS, 1948. - T. III. - S. 404.
↑ 1 2 3 Ribnikov, 1974 , p. 422.
↑ Prohorov A. V. . Metoda momentului // Enciclopedia de matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Enciclopedia , 1982. - T. 3. - Stb. 792-793. - 1184 stb.
↑ Kolmogorov A. N. Rolul științei ruse în dezvoltarea teoriei probabilităților // Note științifice ale Universității de Stat din Moscova. - M., 1947. - T. I , nr. 91, carte. 1 . - S. 53-64 .
↑ Tihomirov, 1987 , p. 106-108.
↑ Ribnikov, 1974 , p. 424-425.
↑ Tihomirov, 1987 , p. 107-108, 126.
↑ Amosov A. A., Dubinsky Yu. A., Kopchenova N. V. Computational methods. - Ed. a 3-a. - M . : Editura. Casa MPEI, 2008. - S. 363. - 672 p. — ISBN 978-5-383-00302-2 .
↑ 1 2 3 Verzhbitsky V. M. Fundamentele metodelor numerice. - M . : Şcoala superioară , 2002. - S. 393-395. — 840 p. — ISBN 5-06-004020-8 .
↑ Tihomirov, 1987 , p. 118, 126-127.
↑ 1 2 Tihomirov, 1987 , p. 127-128.
↑ Popov B. A., Tesler G. S. Calculation of functions on a computer: A Handbook. - Kiev: Naukova Dumka , 1984. - S. 22-23. — 599 p.
↑ Bakhvalov N. S. Metode numerice (analiza, algebră, ecuații diferențiale ordinare). - Ed. a II-a. — M .: Nauka , 1975. — S. 58. — 632 p.
↑ Tihomirov, 1987 , p. 122-123.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Algebră liniară. - Ed. a 3-a. - M . : Science , 1984. - S. 175-179. — 294 p.
↑ Metoda iterativă Lebedev V.I. Chebyshev // Enciclopedia matematică / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Enciclopedia , 1984. - T. 5. - Stb. 848-850. - 1248 stb.
↑ Fedorenko R. P. Introducere în fizica computațională . - M . : Editura Institutului de Fizică și Tehnologie din Moscova, 1994. - S. 154 -159. — 528 p. - ISBN 5-7417-0002-0 .
↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - Ed. a 3-a. - M . : Nauka , 1972. - S. 356-358. — 496 p.
↑ Korneichuk N. P. Aproximarea funcțiilor // Mathematical Encyclopedia / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Enciclopedia , 1984. - T. 4. - Stb. 603-609. - 1216 stb.
↑ Tihomirov, 1987 , p. 117-118.
↑ 1 2 3 Tyulina, 1979 , p. 197.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 200, 203.
↑ Goncharov V. L. Despre construcția hărților geografice // Cebyshev P. L. Lucrări complete. - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1951. - T. 5. Alte lucrări. Materiale biografice. - 179-183 p.
↑ Meshcheryakov G. A. Cartography of Mathematical problems // Mathematical Encyclopedia / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. Enciclopedia , 1979. - T. 2. - Stb. 740-746. - 1104 stb.
↑ 1 2 Stroyk, 1984 , p. 256.
↑ Tihomirov, 1987 , p. 139-140.
↑ Pirumov U. G. Metode numerice. a 2-a ed. - M . : Drofa, 2003. - S. 133. - 224 p. — ISBN 5-7107-6074-9 .
↑ Tchebychef P.L. Sur l'integration de la différentielle ${\frac {x+A}{\sqrt {x^{4}+\alpha x^{3}+\beta x^{2}+\gamma x+\delta ))}dx$ // Œuvres de P. L. Tchebychef. — 1860.
↑ Glazer G. I. . Istoria matematicii la scoala. clasa IX-X. - M . : Educaţie , 1983. - 351 p. - S. 128.
↑ Ribnikov, 1974 , p. 426.
↑ Bityutskov V.I. Inegalitatea Chebyshev // Enciclopedia matematică. T. 5 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. enciclopedie , 1984. - 1248 stb. - Stb. 850.
↑ Suetin P.K. Polinoame Cebyshev // Enciclopedie matematică. T. 5 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. enciclopedie , 1984. - 1248 stb. - Stb. 840-841.
↑ Tihomirov, 1987 , p. 122-125.
↑ Suetin P.K. Polinoame Hermite // Enciclopedie matematică. T. 5 / Ch. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. enciclopedie , 1984. - 1248 stb. - Stb. 1016.
↑ Suetin P.K. Polinoame Laguerre // Enciclopedie matematică. Vol. 3 / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Sov. enciclopedia , 1982. - 1184 stb. - Stb. 167-168.
↑ Ribnikov, 1974 , p. 422, 424-425.
↑ Matematica secolului al XIX-lea. T. II, 1981 , p. 31.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 192.
↑ P. L. Cebyshev în Comitetul de artilerie // Cebyshev P. L. Complete Works. T. 5. Alte lucrări. Materiale biografice . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1951. - 474 p. - S. 408-412.
↑ Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. . Metode numerice. a 3-a ed. — M. : BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2003. - 632 p. — ISBN 5-94774-060-5 . - S. 98.
↑ Tihomirov, 1987 , p. 201.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 197-199.
↑ 1 2 Veselovski I. N. . Eseuri despre istoria mecanicii teoretice. - M . : Şcoala superioară , 1974. - 287 p. - S. 227.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 8, 200.
↑ Tyulina, 1979 , p. 196-197.
↑ 1 2 Moiseev, 1961 , p. 356.
↑ Teoria mecanismelor și mașinilor / ed. K. V. Frolova . - M . : Şcoala superioară , 1987. - S. 33. - 496 p.
↑ 1 2 Moiseev, 1961 , p. 357.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 203.
↑ 12 Vucinich , Alexandru. . Știința în cultura rusă; 1861-1917 . - Stanford : Stanford University Press , 1970. - 575 p. - ISBN 0-8047-0738-3 . — P. 167.
↑ Artobolevsky I.I. Teoria mecanismelor. — M .: Nauka , 1965. — 776 p. - S. 26-27.
↑ Levitsky N. I. . Teoria mecanismelor și mașinilor. — M .: Nauka , 1979. — 576 p. - S. 388-392.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 201.
↑ P. L. Mașina plantigradă a lui Cebyshev .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Gnedenko, 1978 .
↑ Albert, John. Pafnuty Cebyshev. Motoare cu abur și polinoame . O.U. Mathfest . Departamentul de Matematică al Universității din Oklahoma (ianuarie 2009). Preluat: 13 noiembrie 2013. (nedefinit)
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 201-202.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 146.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 242.
↑ P. L. Cebyshev în Comitetul științific al Ministerului Educației Publice // Cebyshev P. L. Complete Works. T. 5. Alte lucrări. Materiale biografice . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1951. - 474 p. - S. 312-317.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 228.
↑ Gnedenko B.V. , Sheinin O.B. Teoria probabilității // Matematica secolului al XIX-lea. T. I / Ed. A. N. Kolmogorov, A. P. Iuşkevici. — M .: Nauka , 1978. — 256 p. - S. 218.
↑ Ribnikov, 1974 , p. 432-433.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 198, 206-207.
↑ Posse, 1903 .
↑ 1 2 Glaser, 1982 , p. 168.
↑ Istoria mecanicii în Rusia, 1987 , p. 197.
↑ Despre oamenii de la Universitatea din Moscova, 2019 , p. 44: „Cebişevski era mândru de acest titlu, observând că lui Newton i s-a acordat acest titlu la vârsta de 57 de ani, iar la 53 de ani i-a fost acordat”.
↑ Prudnikov, 1976 , p. 253, 257, 267-268.
↑ Colecția Cebyshevsky .
↑ Supercalculatorul SKIF MSU „Chebyshev” . Laboratorul de Tehnologii Informaționale Paralele al Institutului de Cercetare Științifică al Centrului de Calcul al Universității de Stat din Moscova. Preluat: 8 iulie 2015. (nedefinit)
↑ Laboratorul de cercetare interdisciplinară P. L. Cebyshev . Facultatea de Matematică și Mecanică, Universitatea de Stat din Sankt Petersburg . Preluat: 8 iulie 2015. (nedefinit)
↑ Elchaninov A.I. Denumiri geografice rusești pe harta Svalbardului . Preluat: 20 mai 2018. (nedefinit)
↑ Instituția de învățământ municipal „Școala generală de bază numită după. P. L. Cebyshev.
↑ Premiile Guvernului din Sankt Petersburg „Pentru rezultate științifice remarcabile în domeniul științei și tehnologiei” . Data accesului: 26 decembrie 2020. (nedefinit)
↑ Casa Academicienilor, 2016 .

Literatură

Bogatova T. V. CHEBYSHEV Pafnuty Lvovich // Universitatea Imperială din Moscova: 1755-1917: dicționar enciclopedic / compilatori A. Yu. Andreev , D. A. Tsygankov . - M .: Enciclopedia Politică Rusă (ROSSPEN), 2010. - S. 814-815. — 894 p. - 2000 de exemplare. — ISBN 978-5-8243-1429-8 .
Bogolyubov A. N. . Matematică. Mecanica. Ghid biografic. - Kiev: Naukova Dumka , 1983. - 639 p.
Glazer G. I. . Istoria matematicii in scoala . - M . : Educaţie , 1964. - 376 p.
Glazer G. I. . Istoria matematicii la scoala. Clasele VII - VIII. - M . : Educaţie , 1982. - 240 p.
Gnedenko B. V. . Eseuri despre istoria matematicii în Rusia. a 2-a ed. - M . : KomKniga, 2005. - ISBN 5-484-00123-4 . - S. 112-125.
Golovinsky I. A. Despre justificarea metodei celor mai mici pătrate de P. L. Cebyshev // Cercetări istorice și matematice. - M . : Nauka , 1986. - Numărul. XXX . - S. 224-247 .
Demyanov V. P. . Cavaler al cunoașterii exacte (P. L. Cebyshev). - M . : Cunoașterea , 1991. - 192 p. - ( Creatori de știință și tehnologie ). - ISBN 5-07-000060-8 .
Jukov K.S. Secțiunile I, II, III // Casa Academicienilor. Istorie și destine . - Sankt Petersburg. : Cultură conservată, 2016. - P. 10-129. — 380 s. — ISBN 78-5-9908957-9-9.
Istoria mecanicii în Rusia / Ed. A. N. Bogolyubova , I. Z. Shtokalo . - Kiev: Naukova Dumka , 1987. - 392 p.
Maystrov L. E. . Teoria probabilității. - M .: Nauka , 1967. - 321 p.
Markov A. A. , Sonin N. Ya . Pafnuty Lvovich Cebyshev. Scurtă schiță biografică // Chebyshev P.L. Complete Works. T. 1. Teoria numerelor . - M. - L .: Editura Academiei de Științe a URSS, 1944. - 342 p. - P. 5-9.
Matematica secolului al XIX-lea: în 3 volume / Ed. A. N. Kolmogorov , A. P. Iuşkevici . - M . : Science , 1978 (vol. I), 1981 (vol. II), 1987 (vol. III).

Vol. I: Logica matematică. Algebră. Teoria numerelor. Teoria probabilității
T. II: Geometrie. Teoria funcţiilor analitice
Vol. III: Direcția Cebyshev în teoria funcțiilor. Ecuații diferențiale obișnuite. Calcul variațional. Teoria diferențelor finite

Moiseev N. D. . Eseuri despre dezvoltarea mecanicii. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova, 1961. - 478 p.
Posse K. A. Cebyshev, Pafnuty Lvovich // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron . - Sankt Petersburg. , 1903. - T. XXXVIII (75): Comitetul de Cenzură - Man. - S. 452-453.
Prudnikov V. E. P. L. Cebyshev și Universitatea din Moscova în anii 40 ai secolului XIX // Cercetări istorice și matematice. Lucrările seminarului Universității de Stat din Moscova despre istoria matematicii. T. 1. - M. - L. : OGIZ, 1948. - S. 184-214.
Prudnikov V. E. . Pafnuty Lvovich Cebyshev, 1821-1894 . - L .: Nauka , 1976.
Pyrkov V.E. La aniversarea a 200 de ani de la P.L. Cebyshev // Matematică. - 2021. - Emisiune. 5(824) . — p. 35–38 .
Rybnikov K. A. . Istoria matematicii. a 2-a ed. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova, 1974. - 456 p.
Sadovnichiy V. A. Pafnuty Lvovich Cebyshev (1821-1894) // Despre oamenii de la Universitatea din Moscova. — Ed. a III-a, completată. - M. : Editura Universității din Moscova, 2019. - P. 39-44. — 356 p. - 3000 de exemplare. — ISBN 978-5-19-011397-6 .
Stroyk D. Ya. Scurtă schiță a istoriei matematicii. a 3-a ed . — M .: Nauka , 1984. — 285 p.
Tihomirov V. M. . Teoria aproximării // Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. T. 14. - M. : VINITI AN SSSR, 1987. - 241 p. - (Rezultatele științei și tehnologiei). - S. 103-260.
Trifonov VV Contribuția fraților Cebyshev la dezvoltarea științei și tehnologiei militare. // Revista de istorie militară . - 1987. - Nr 5. - S.88-91.
Tyulina I. A. . Istoria și metodologia mecanicii. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova, 1979. - 282 p.
Cebyshev Pafnuty Lvovich / B. V. Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1978. - ( Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / redactor-șef A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 29).

Link -uri

Mecanisme Chebyshev . // Tcheb.ru. Preluat la 26 februarie 2014. Arhivat din original la 23 august 2011. (nedefinit)
Mașina plantigradă a lui P. L. Cebyshev (desen animat care explică principiul de funcționare). // Studii matematice . Preluat: 26 februarie 2014. (nedefinit)
Fond 505. Cebyshev Pafnuty Lvovich . // ESTE ARAN . Preluat: 26 februarie 2014. (nedefinit)
Cebişev Pafnuty Lvovich . // Mathinfinity. — Scurtă biografie și lucrări principale. Preluat: 26 februarie 2014. (nedefinit)
Cebişev Pafnuty Lvovich . // Moștenirea științifică a Rusiei. — Biografie și publicații. Preluat: 26 februarie 2014. (nedefinit)
Colecția Cebyshev . // TSPU numit după L. N. Tolstoi . Preluat: 26 februarie 2014. (nedefinit)
Shiryaev A.N. Cu ocazia împlinirii a 200 de ani de la nașterea marelui matematician rus P.L. Cebyshev // Teoria Probab. și aplicațiile sale, 66:4 (2021), 625–635

Site-uri tematice

Dicționare și enciclopedii

Genealogie și necropole

WikiTree

În cataloagele bibliografice