Distribuție beta

Distribuție beta
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Desemnare	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$
Opțiuni	$\alpha >0$ $\beta>0$
Purtător	$x\in [0,1]$
Probabilitate densitate	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))$
funcția de distribuție	$I_{x}(\alpha,\beta)$
Valorea estimata	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$
Modă	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2)}$ pentru $\alpha >1,\beta >1$
Dispersia	${\frac {\alpha \beta {(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$
Coeficient de asimetrie	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1)}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta )))}$
Coeficientul de kurtoză	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$
Funcția generatoare a momentelor	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\dreapta){\frac {t^{k}}{k!)}}$
functie caracteristica	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta;i\,t)$

Distribuția beta în teoria și statistica probabilităților este o familie cu doi parametri de distribuții absolut continue . Folosit pentru a descrie variabile aleatoare ale căror valori sunt limitate la un interval finit.

Definiție

Fie distribuția unei variabile aleatoare dată de densitatea de probabilitate având forma: $X$ $f_{X}$

f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )))\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1 }

Unde

$\alpha ,\beta >0$ parametri fixe arbitrari și
$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx$ este funcția beta .

Atunci variabila aleatoare are o distribuție beta. Scrie: . $X$ $X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$

Formular grafic

Forma graficului densității probabilității distribuției beta depinde de alegerea parametrilor și . $\alfa$ $\beta$

$\alpha<1,\ \beta<1$ — graficul este convex și merge la infinit la granițe (curbă roșie);
$\alpha <1,\ \beta \geq 1$ sau - graficul este strict descrescător (curba albastră) $\alpha =1,\ \beta >1$
- $\alpha =1,\ \beta >2$ - graficul este strict convex;
- $\alpha =1,\ \beta =2$ — graficul este o linie dreaptă;
- $\alpha =1,\ 1<\beta <2$ - graficul este strict concav ;
$\alpha =1,\ \beta =1$ graficul se potrivește cu graficul densității distribuției uniforme continue standard ;
$\alpha =1,\ \beta<1$ sau — grafic strict crescător (curbă verde); $\alpha >1,\ \beta \leq 1$
- $\alpha >2,\ \beta =1$ - graficul este strict convex;
- $\alpha =2,\ \beta =1$ — graficul este o linie dreaptă;
- $1<\alpha <2,\\beta =1$ — graficul este strict concav;
$\alpha >1,\ \beta >1$ — grafic unimodal (curbe magenta și negre)

În cazul în care , densitatea de probabilitate este simetrică față de (curbe roșii și magenta), adică. $\alpha=\beta$ $1/2$

f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]

Momente

Așteptările și varianța matematică a unei variabile aleatoare cu o distribuție beta sunt: $X$

\mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta ))

\mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))

Relația cu alte distribuții

Distribuția beta este o distribuție Pearson de tip I [1] .
Distribuția uniformă continuă standard este un caz special al distribuției beta: $\mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)$ .
Distribuția beta este utilizată pe scară largă în statistica bayesiană , deoarece este anteriorul conjugat al distribuțiilor Bernoulli , binomiale și geometrice .
Dacă sunt variabile aleatoare independente distribuite gamma , și , și , atunci $X Y$ $X\sim \mathrm {\Gamma} (\alpha ,1)$ $Y\sim \mathrm {\Gamma} (\beta ,1)$ ${\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ .

Note

↑ Korolyuk, 1985 , p. 133.

Literatură

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Manual de Teoria Probabilității și Statistică Matematică. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă