Analiză infinitezimală netedă

Analiza infinitezimală netedă este o reformulare riguroasă din punct de vedere matematic a analizei în termeni de infinitezimale . Bazat pe ideile lui William Lover și folosind metodele teoriei categoriilor , tratează toate funcțiile ca fiind continue și neexprimabile în termeni de elemente discrete. Ca teorie, este o ramură a geometriei diferențiale sintetice .

Infinisimile nilpotente sunt numere care satisfac condiția ; deși nu neapărat $\varepsilon$ $\varepsilon ^{2}=0$ $\varepsilon=0.$

Această abordare se îndepărtează de logica clasică folosită în matematica obișnuită, renunțând la legea mijlocului exclus , care afirmă că din urmează . În special, pentru unele infinitezimale , niciunul nu poate fi demonstrat . Că legea mijlocului exclus nu poate fi valabilă se poate observa din următoarea teoremă principală: $\neg (a\neq b)$ $a=b.$ $\varepsilon$ $\varepsilon = 0$ $\neg (\varepsilon=0)$

În analiza infinitezimală netedă, orice funcție al cărei domeniu este (numere reale mărite cu infinitezimale) este continuă și infinitezimală.

\mathbb {R}

În ciuda acestui fapt, se poate încerca să definească o funcție discontinuă, de exemplu, ca

f(x)={\begin{cases}1,&x=0,\\0,&x\neq 0.\end{cases}}

Dacă legea mijlocului exclus ar fi valabilă, aceasta ar fi o funcție complet definită, discontinuă. Cu toate acestea, există multe valori - infinitezimale - pentru care nici , nici , deci această funcție nu este definită pe toate . $X$ $x=0$ $x\neq 0$ $\mathbb {R}$

În modelele tipice de analiză infinitezimală netedă, infinitezimalele nu sunt reversibile și, prin urmare, aceste modele nu conțin numere infinite. Există însă și modele cu infinitezimale reversibile.

Există și alte sisteme care includ infinitezimale, cum ar fi analiza non-standard și numerele suprareale . Analiza infinitezimală netedă este similară cu analiza nestandard prin faptul că este concepută ca bază a analizei, iar infinitezimale nu au valori specifice (spre deosebire de numerele suprareale, unde un exemplu tipic de infinitezimal este , unde este von Ordinal Neumann ). Cu toate acestea, analiza infinitezimală netedă diferă de analiza non-standard prin faptul că folosește logica neclasică și prin faptul că principiul transferului este încălcat pentru aceasta . Unele teoreme ale analizei standard și non-standard sunt false în analiza infinitezimală netedă, exemple sunt teorema Bolzano-Cauchy și paradoxul Banach-Tarski (cel din urmă este demonstrabil în matematica clasică în cadrul ZFC, dar nedemonstrabil în ZF). Enunțurile în limbajul analizei non-standard pot fi traduse în declarații despre limite, dar același lucru nu este întotdeauna adevărat în analiza infinitezimală netedă. $1/\omega$ $\omega$

Analiza infinitezimală intuitivă netedă poate fi interpretată ca descriind o lume în care liniile sunt formate mai degrabă din segmente infinitezimale decât din puncte. Aceste segmente pot fi considerate suficient de lungi pentru a avea o anumită direcție, dar nu suficient de lungi pentru a se curba. Construcția funcțiilor discontinue eșuează deoarece funcția este identificată cu curba, iar curba nu poate fi construită punctual. Se poate imagina că teorema Bolzano-Cauchy nu este valabilă datorită capacității unui segment infinitezimal de a se „împrăștia” peste un gol. În mod similar, paradoxul Banach-Tarski eșuează deoarece regiunea nu poate fi împărțită în puncte.

Vezi și

Infinitezimal
Teoria categoriilor
Analiză non-clasică
Geometrie diferențială sintetică

Pentru citiri suplimentare

John Lane Bell, Invitație la analiza infinitezimală uniformă (fișier PDF)
Bell, John L., A Primer of Infinitesimal Analysis , Cambridge University Press, 1998. A doua ediție, 2008.
Ieke Moerdijk și Reyes, GE, Modele pentru analiza infinitezimală netedă , Springer-Verlag, 1991.

Link- uri externe

Michael O'Connor, O introducere în analiza infinitezimală netedă

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”