Analiza cuaterniilor

Analiza cuaternionilor este o ramură a matematicii care studiază funcțiile cuaternionilor regulate ale unei variabile cuaternioane. Datorită necomutativității algebrei cuaternionilor , există diverse abordări neechivalente pentru definirea funcțiilor cuaternionilor regulate. Acest articol va lua în considerare în principal abordarea lui Fueter [1] .

Definiția unei funcții obișnuite

Luați în considerare operatorul

{\bar \partial }={\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))+{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

O funcție a unei variabile de cuaternion se numește regulată dacă $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$

{\bar \partial }f=0

Funcții armonice

Să , atunci și . Este ușor de verificat dacă operatorul are formularul ${\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }$

\partial {\bar \partial }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _ {patru}

şi coincide cu operatorul Laplace în . Astfel, toate componentele unei funcții cuaternion obișnuite sunt funcții armonice în . În schimb, se poate demonstra că pentru orice funcție armonică există o funcție cuaternion obișnuită astfel încât . Multe proprietăți ale funcțiilor cuaternionului obișnuit decurg imediat din proprietățile funcțiilor armonice, în special principiul maxim . $\mathbb {R} ^{4)$ $\mathbb {R} ^{4)$ $\tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R}$ $f$ $\tau =\operatorname {Scal}\,f$

Unele aplicații

Cuaternionii sunt utilizați în mod activ pentru a calcula grafica tridimensională în jocurile pe calculator

Diferențierea mapărilor

Fie o funcție definită pe corpul cuaternionilor. Putem defini noțiunea de derivată stângă într-un punct ca un număr astfel încât $y=f(x)$ $y'_{l}$ $x=a$

f(x)-f(a)=y'_{l}(xa)+o(xa)

unde este un infinitezimal al lui , i.e. $Oh)$ $h$

\lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0

Setul de funcții care au o derivată stângă este limitat. De exemplu, funcții precum

y=axb

y=x^2

nu au o derivată stângă.

Să luăm în considerare cu mai multă atenție creșterea acestor funcții.

a(x+h)b-axb=ahb

(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}

Este ușor de verificat că expresiile

ahb

și

xh+hx

sunt funcții liniare ale cuaternionului . Această observație stă la baza următoarei definiții [2] . $h$

afișare continuă

f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

se numeste diferentiabil pe multime daca in fiecare punct modificarea maparii poate fi reprezentata ca $U\subset \mathbb {H}$ $x\în U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

Unde

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

o hartă liniară a algebrei cuaternioane și o hartă continuă astfel încât $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Afișaj liniar

{\frac {df(x)}{dx))

se numește derivata mapării . $f$

Derivata poate fi reprezentată ca [3]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

În consecință, diferenţialul de cartografiere are forma $f$

df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{ s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Aici se presupune însumarea după indice . Numărul de termeni depinde de alegerea funcției . Expresii $s$ $f$

{\frac {d_{s0}df(x)}{dx)),{\frac {d_{s1}f(x)}{dx))

se numesc componente ale derivatei.

Derivata satisface egalitățile

{\frac {d(f(x)+g(x))}{dx))={\frac {df(x)}{dx))+{\frac {dg(x)}{dx }}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg (x)}{dx}}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\g(x )+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)

{\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b

{\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b

Dacă , atunci derivata are forma $y=axb$

{\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b

{\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b

Dacă , atunci derivata are forma $y=x^2$

{\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\ ,dx+dx\,x

iar componentele derivatei au forma

{\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1

{\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x

Dacă , atunci derivata are forma $y=x^{-1}$

{\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx }}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}

iar componentele derivatei au forma

{\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}} =x^{-1}

Note

↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. - Numarul 1. - Birkhäuser Basel, 1936. - P. 371-378.
↑ Aleks Kleyn , eprint arXiv:1601.03259 Arhivat la 25 ianuarie 2018 la Wayback Machine Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
↑ Expresia nu este o fracție și ar trebui tratată ca un singur caracter. Această notație este propusă pentru compatibilitate cu notația derivată. Valoarea expresiei atunci când este dată este un cuaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $X$

Literatură

DB Sweetser , Doing Physics with Quaternions Arhivat 7 ianuarie 2009 la Wayback Machine
A. Sudbery , Analiza cuaternionă, Departamentul de Matematică, Universitatea din York, 1977.
V. I. Arnold , Geometry of spherical curves and quaternion algebra , Uspekhi Mat. Nauk, 1995, 50:1(301), 3-68

Vezi și

Analiză complexă

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”