Ecuația Fokker-Planck

Ecuația Fokker-Planck este una dintre ecuațiile diferențiale parțiale care descrie evoluția în timp a funcției de densitate de probabilitate a coordonatelor și impulsului particulelor în procesele în care natura stocastică a fenomenului este importantă . Numit după fizicienii olandezi și germani Adrian Fokker și Max Planck , cunoscut și sub numele de ecuația directă a lui Kolmogorov . Poate fi generalizat la alți parametri măsurabili: mărime (în teoria coalescenței ), masă etc.

Definiție

Pentru prima dată, ecuația a fost folosită pentru a descrie statistic mișcarea browniană a particulelor din apă. Deși mișcarea browniană este descrisă de ecuațiile Langevin , care pot fi rezolvate numeric prin Monte Carlo sau metode de dinamică moleculară , problema din această formulare este adesea dificil de rezolvat analitic. Și, în loc de scheme numerice complexe, se poate introduce o funcție de densitate de probabilitate , care descrie probabilitatea ca o particulă să aibă o viteză în intervalul , dacă la momentul 0 a avut o viteză inițială , și scrie-o pentru ecuația Fokker-Planck . $W({\mathbf {v)),\;t)$ $({\mathbf {v)),\;{\mathbf {v}}+d{\mathbf {v}})$ ${\mathbf {v}}_{0}$ $W({\mathbf {v)),\;t)$

Forma generală a ecuației Fokker-Planck pentru variabile: $N$

{\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\sum _{{i=1}}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_ {i}^{1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})+\sum _{{i=1}}^{N}\sum _{{j=1}} ^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}D_{{ij}}^{2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})\right]W,

unde este vectorul de deriva și este tensorul de difuzie , iar difuzia este cauzată de acțiunea forțelor de natură stocastică. $D^{1}$ $D^{2}$

Legătura cu ecuațiile diferențiale stocastice

Ecuația Fokker-Planck poate fi utilizată pentru a calcula densitatea de probabilitate în ecuațiile diferențiale stocastice . Luați în considerare următoarea ecuație diferențială stocastică

d{\mathbf {X}}_{t}={\boldsymbol {\mu }}({\mathbf {X}}_{t},\;t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}( {\mathbf {X}}_{t},\;t)\,d{\mathbf {B}}_{t},

unde este funcția de stare a sistemului și este mișcarea browniană dimensională standard . Dacă distribuția inițială este dată ca , atunci densitatea de probabilitate a stării sistemului este soluția ecuației Fokker-Planck cu următoarele expresii pentru deriva și , respectiv , difuzie : ${\mathbf {X}}_{t}\in \mathbb{R} ^{N}$ ${\mathbf {B}}_{t}\in \mathbb{R} ^{M}$ $N$ ${\mathbf {X}}_{0}\sim W({\mathbf {x}}),\;0)$ $W({\mathbf {x)),\;t)$ ${\mathbf {X}}_{t}$

D_{i}^{1}({\mathbf {x)),\;t)=\mu _{i}({\mathbf {x)),\;t),

D_{{ij}}^{2}({\mathbf {x}},\;t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{{ik}}({ \mathbf {x}},\;t)\sigma _{{jk}}({\mathbf {x}}),\;t).

Exemplu

Ecuația standard de mișcare browniană scalară este generată de următoarea ecuație diferențială stocastică:

{\mathrm {d}}X_{t}={\mathrm {d}}B_{t}.\

Aici rata de derive este zero și coeficientul de difuzie este 1/2, prin urmare ecuația Fokker-Planck corespunzătoare arată astfel:

{\frac {\partial W(x,\;t)}{\partial t))={\frac {1}{2)){\frac {\partial ^{2}W(x,\;t) }{\partial x^{2}}},

este cea mai simplă formă a ecuației de difuzie unidimensională ( transfer de căldură ).

Ecuația Fokker-Planck în cazul unidimensional

În cazul unidimensional, FPP ia forma:

{\frac {\partial f}{\partial t))=-{\frac {\partial }{\partial x))(A(x,\;t)f(x,\;t)) +{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {B(x,\;t)}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x ,\;t)\dreapta).

FFP este valabil pentru densitatea de probabilitate condiționată:

f(x,\;t)=p(x,\;t|x_{0},\;t_{0}),

(adică valoarea funcției este probabil să cadă în planul format de axa spațiului și axa timpului , în intervale și respectiv) pentru orice valoare inițială și și condiția inițială , unde este funcția Dirac.

f(x,\;t)

X\

t\

x-x_{0}\

t-t_{0}\

x_{0}\

t_{0}\

p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})

\delta (x-x_{0})\

Această condiție spune că, în același timp, funcția suferă un salt. Dacă coordonatele spațiale sunt egale, atunci funcția tinde spre infinit. Prin urmare, din cauza mărginirii funcției, este necesar să se utilizeze definiția unei densități de probabilitate unică . Apoi, FPP este valabilă pentru o probabilitate cu o condiție inițială , care este mai puțin singulară decât . Un proces stocastic descris de o probabilitate condiționată care satisface FPP este echivalent cu Ito SDE $t_{0}\$ $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_{0},\;t_{0})\,dx_{0}=\int p(x,\;t| x_{0},\;t_{0})p(x_{0},t_{0})\,dx_{0}.$ $p(x,\;t)$ $p(x,\;t)|_{{t=t_{0}}}=p(x,\;t_{0})$ $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$

dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+{\sqrt {B(x(t),\;t)}}\,dW(t)

și că cele două descrieri trebuie privite ca fiind complementare una cu cealaltă.

Concluzie

Prima derivație consistentă a ecuației Fokker-Planck pe baza dinamicii microscopice exacte pentru sistemele clasice și cuantice a fost realizată [1] de N. N. Bogolyubov și N. M. Krylov [2] (retipărit în [3] ).

Vezi și

Note

↑ Bogolyubov N. N. (Jr.) , Sankovich D. P. (1993). Nikolai Nikolaevici Bogolyubov. Schița activității științifice Copie de arhivă din 4 martie 2016 la Wayback Machine // Fizica particulelor elementare și a nucleului atomic 24 (5): 1224-1293.
↑ Bogolyubov N. N. , Krylov N. M. (1939). Despre ecuațiile Fokker-Planck, care sunt derivate în teoria perturbațiilor printr-o metodă bazată pe proprietățile spectrale ale hamiltonianului perturbat // Note ale Departamentului de Fizică Matematică al Institutului de Mecanică Neliniară al Academiei de Științe a SSR Ucrainei. 4 : 5-80 (ucraineană) .
↑ Bogolyubov N. N. Culegere de lucrări științifice în 12 volume. - Volumul 5: Mecanica statistică de neechilibru, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. — ISBN 5-02-034142-8 .

Literatură

Risken H. Ecuația Fokker - Planck: Metode de soluții și aplicații. — Ed. a II-a. - Springer, 1984. - 452 p. — ISBN 3-540-61530-X .
Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Cinetica fizică. — M .: Nauka , 1979 . — 528 p. — („Fizica teoretică”, volumul X). — 50.000 de exemplare.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Rusă mare

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare