Grupul Lee

Un grup Lie peste un câmp ( sau ) este un grup echipat cu structura unei varietăți diferențiabile (netede) peste , cu hărți și definite după cum urmează: $K$ $K=\mathbb{R}$ $\mathbb {C}$ $G$ $K$ $\operatorname {mul}$ $\operatorname {inv}$

\operatorname {mul}\colon G\times G\rightarrow G;\ \operatorname {mul}\,(x,y)=xy

\operatorname {inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname {inv}\,x=x^{{-1}}

sunt netede (în cazul unui câmp, necesită ca mapările introduse să fie holomorfe ). $\mathbb {C}$

Cu alte cuvinte, un grup topologic se numește grup Lie dacă este parametric și dacă funcția care definește legea înmulțirii este real-analitică [1] .

Orice grup Lie dimensional complex este un grup Lie real de dimensiune . Orice grup Lie complex este, prin definiție, o varietate analitică, dar în cazul real, pe orice grup Lie, există un atlas analitic în care mapările și sunt scrise de funcții analitice . $n$ $2n$ $\operatorname {mul}$ $\operatorname {inv}$

Studiul grupurilor de minciună a fost început independent de Wilhelm Killing și Sophus Lie .

Grupurile de minciuni apar în mod natural atunci când se iau în considerare simetriile continue . De exemplu, mișcările plane formează un grup Lie. Grupurile Lie sunt, în sensul bogăției structurii, cele mai bune dintre varietăți și, ca atare, sunt foarte importante în geometria și topologia diferențială . Ele joacă, de asemenea, un rol important în geometrie, fizică și teoria ecuațiilor diferențiale .

Tipuri de grupuri de minciuni

Grupurile de minciuni sunt clasificate în funcție de proprietățile lor algebrice ( simplitate , semisimplitate , decidabilitate , nilpotenta , abelianitate ) precum și în funcție de proprietățile lor topologice ( conexiune , pur și simplu conexiune și compactitate ).

Subgrupuri de minciuni

Un subgrup al unui grup Lie se numește subgrupul său Lie dacă este o subvarietate din soiul , adică există , astfel încât este specificat în vecinătatea fiecăruia dintre punctele sale de un sistem de funcții cu rang . Nu orice subgrup este un subgrup Lie: de exemplu, un subgrup de perechi de formă într-un tor nu este un subgrup Lie (oferă o înfășurare densă peste tot a torusului). Un subgrup Lie este întotdeauna închis. În cazul real, este adevărat și invers: un subgrup închis este un subgrup Lie. În cazul complex, acesta nu este cazul: există subgrupuri Lie reale ale unui grup Lie complex care au o dimensiune impară, cum ar fi matricele unitare din grupul de matrici complexe inversabile . $H$ $G$ $G$ $m>0$ $H$ $p$ $k$ $p$ $m$ $(e^{{ix}},e^{{i\pi x}})$ $\{(e^{{ix}},e^{{iy}})\mid x,y\in \mathbb{R} \}$ $2\ ori 2$

Fie un subgrup Lie al grupului Lie . Setul de clase (fie stânga sau dreapta) poate fi dotat în mod unic cu structura unei varietăți diferențiabile în așa fel încât proiecția canonică să fie o mapare diferențiabilă. În acest caz, se obține un pachet trivial la nivel local, iar dacă este un subgrup normal de , atunci grupul de coeficient este un grup Lie. $H$ $G$ $G/H$ $H$

Omomorfisme și izomorfisme

Lăsați și fiți grupuri Lie pe același câmp. Un homomorfism de grupuri Lie este o mapare care este un homomorfism de grupuri și, în același timp, o mapare analitică a varietăților (se poate demonstra că continuitatea este suficientă pentru ca această din urmă condiție să fie satisfăcută ). Compoziția homomorfismelor grupurilor Lie este din nou un homomorfism al grupurilor Lie. Clasele tuturor grupurilor de Lie reale și complexe împreună cu homomorfismele corespunzătoare formează categoriile și . Un homomorfism de grup Lie se numește izomorfism dacă există o inversă. Două grupuri Lie între care există un izomorfism, ca de obicei în algebra abstractă, se spune că sunt izomorfe. Ca de obicei, grupurile Lie se disting doar până la izomorfism. De exemplu, grupul Lie de rotații plane cu operația de compunere și grupul Lie de numere complexe modulo unu cu operația de înmulțire sunt izomorfe. $G$ $H$ $f\coloană G\la H$ $f$ $\operatorname {Minciuna}_{\mathbb{R} }$ $\operatorname {Minciuna} _{\mathbb {C} }$ $SO(2)$ $U(1)$

Un exemplu de înfășurare irațională a unui tor arată că imaginea unui grup Lie sub un homomorfism nu este întotdeauna un subgrup Lie. Cu toate acestea, imaginea inversă a unui subgrup Lie sub un homomorfism este întotdeauna un subgrup Lie.

Un homomorfism al unui grup Lie peste un câmp într-un grup de transformări liniare nedegenerate ale unui spațiu vectorial peste un câmp se numește reprezentare a grupului în spațiu . $G$ $K$ $GL(V)$ $V$ $K$ $G$ $V$

Acțiuni ale grupurilor Lie

Grupurile de Lie acționează adesea ca simetrii ale unei structuri pe o anumită varietate și, prin urmare, este firesc ca studiul acțiunilor grupurilor Lie asupra diferitelor varietăți să fie o parte importantă a teoriei. Se spune că un grup de Lie G acţionează asupra unei varietăţi netede M dacă este dat un homomorfism de grup a : G → Diff M , unde Diff M este grupul difereomorfism al lui M . Astfel, fiecărui element g al grupului G trebuie să corespundă unei transformări difeomorfe a g a varietății M , iar produsul elementelor și luând elementul invers corespund, respectiv, compoziției difeomorfismelor și difeomorfismului invers. Dacă din context reiese clar despre ce acțiune vorbim, atunci imaginea a g ( m ) a punctului m sub difeomorfismul definit de elementul g se notează simplu cu gm .

Grupul Lie acționează în mod natural asupra lui însuși prin schimbări la stânga și la dreapta, precum și prin conjugări. Aceste acțiuni sunt în mod tradițional notate cu l , r și a :

l_{g}(h)=gh

r_{g}(h)=hg

a_{g}(h)=ghg^{-1)

Un alt exemplu de acțiune este acțiunea unui grup Lie pe setul de clase ale acestui grup în raport cu un subgrup Lie : $G$ $N\leq G$

g(hN)=(gh)N

O acțiune a unui grup de Lie pe o varietate diferențiabilă M se spune că este tranzitivă dacă orice punct poate fi dus la oricare altul prin acțiunea unui element . O varietate pe care este dată o acțiune tranzitivă a unui grup Lie se numește spațiu omogen al acestui grup. Spațiile omogene joacă un rol important în multe ramuri ale geometriei. Spațiul omogen al grupului este difeomorf , unde este stabilizatorul unui punct arbitrar. $G$ $M$ $G$ $G$ $G/{\mathop {\rm {st)} }(x)$ ${\mathop {\rm {st)} }(x)$

Algebra Lie a grupului Lie

Algebra Lie determină complet structura locală a grupului său Lie.

Se spune că un câmp vectorial dintr-un grup Lie este lăsat invariant dacă comută cu deplasări la stânga, de exemplu. $G$

X(l_{g}^{*}(f))=l_{g}^{*}(X(f))

pentru toate , și orice funcție diferențiabilă .

g

G

f

Echivalent,

dl_{g}X_{p}=(l_{g})_{*}X_{p}=X_{gp)

pentru toti , de la .

p

g

G

Evident, orice câmp vectorial invariant stânga pe un grup Lie este complet determinat de valoarea sa la unitate. Dimpotrivă, stabilind un vector arbitrar în spațiul tangent la unitate, se poate răspândi prin deplasări la stânga pe întregul grup. Se obține o corespondență unu-la-unu între spațiul tangent la grupul de la identitate și spațiul câmpurilor vectoriale stânga invariante. $X$ $X_{e)$ $X$ $T_{e}G$

Paranteza Lie a câmpurilor vectoriale stânga invariante va fi un câmp vectorial stânga invariante. Prin urmare , este o algebră Lie . Această algebră se numește algebra Lie a grupului . (De obicei, algebra este indicată cu litera gotică mică corespunzătoare.) $[X,Y]$ $T_{e}G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Vezi și

Note

↑ Zhelobenko, 1970 , p. 27.

Literatură

Teoria grupului Lie // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Seminar privind grupurile Lie și grupurile algebrice. 1988, 1995
Rezultatele științei și tehnologiei. Probleme moderne de matematică. direcții fundamentale. T.20. Grupuri Lie și algebre Lie - 1. - M.: VINITI, 1988.
Adams JF Prelegeri despre grupurile de minciună. — M.: Nauka, 1979.
Bourbaki N. Grupuri de Lie și algebre. Capitolele I-III. — M.: Mir, 1976. — 496 p.
Bourbaki N. Grupuri de Lie și algebre. Capitolul IX. — M.: Mir, 1986. — 174 p.
Zhelobenko D. P. Grupurile Compact Lie și reprezentările lor. — M .: Nauka, 1970. — 664 p.
Postnikov M. M. Grupuri și algebre de Lie. — M .: Nauka, 1982. — 447 p. — (Prelegeri de geometrie. Semestrul V).

Resurse bibliotecii de fizică și matematică arhivată la 14 iulie 2007 pe Wayback Machine de pe site-ul web EqWorld World of Mathematical Equations Arhivată la 3 octombrie 2008 la Wayback Machine :

Seminar „Minciuna Sophus”. Teoria algebrelor Lie. Topologia grupurilor Lie. - M .: IL, 1962 (djvu) Copie de arhivă din 19 iunie 2018 la Wayback Machine
Serre J.-P. Algebre Lie și grupuri Lie. - M .: Mir, 1969 (djvu) Arhivat 8 decembrie 2015 la Wayback Machine

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier