Grupul final

Un grup finit în algebra generală este un grup care conține un număr finit de elemente (acest număr se numește „ ordinea ”) [1] . În plus, se presupune că grupul este multiplicativ , adică operația din el este desemnată ca înmulțire; grupele de aditivi cu operația de adăugare sunt specificate separat. Unitatea unui grup multiplicativ va fi notat cu simbolul 1. Ordinea grupului este de obicei notata $G$ $|G|.$

Grupurile finite sunt utilizate pe scară largă atât în matematică, cât și în alte științe: criptografie , cristalografie , fizică atomică , teoria ornamentelor etc. Grupurile de transformare finite sunt strâns legate de simetria obiectelor studiate.

Exemple

Grup aditiv de clase de reziduuri modulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$
Un grup multiplicativ de rădăcinile -lea ale unității $n$ izomorfe cu grupul anterior.
Sistemul redus de reziduuri modulo : al cărui ordine este ( funcția Euler ). $m$ $\mathbb {Z} _{m}^{\times }=U(\mathbb {Z} _{m}),$ $\varphi(m)$
Grup necommutativ de 8 unități de cuaternion : vezi grup de quaternioni . $Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\};$
Grup simetric (grup de substituții sau permutări de elemente) . Ordinea sa este egală cu și pentru ea este necomutativă. $n$ $S_{n}$ $n!$ $n>2$
Grupul cvadruplu al lui Klein . $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}$
Grupul Galois al unei extensii finite a câmpului , iar ordinea grupului este egală cu gradul de extensie . De exemplu, pentru a extinde câmpul numerelor reale la câmpul tuturor numerelor complexe , grupul Galois conține 2 elemente: unitatea ( harta identității ) și conjugarea complexă .

Proprietăți și definiții aferente

Teorema lui Cayley: tabla înmulțirii elementelor unui grup finit formează un pătrat latin [2] .

Ordinea unui element g al unui grup finit G este definită ca număr natural minim m astfel încât . Ordinea este definită pentru fiecare element al unui grup finit. $g^{m}=1$

Teorema lui Lagrange : Ordinea oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinii grupului.

Corolarul 1: ordinea oricărui element al unui grup finit este un divizor al ordinii grupului.
Corolarul 2: orice element g al unui grup finit de ordin n satisface relația: În teoria numerelor, pentru un sistem redus de reziduuri , această formulă dă teorema lui Euler importantă . $g^{n}=1.$
Corolarul 3: un element g al unui grup finit satisface relatia: daca si numai daca numarul este multiplu al ordinului $g^{m}=1$ $m$ $g.$
Corolarul 4: Fie ordinea unui element g dintr-un grup finit Două puteri ale acestui element sunt egale: dacă și numai dacă exponenții sunt congruenți modulo $m.$ $g^{i}=g^{k)$ $m:$

i\equiv k{\pmod {m)}

Coeficientul de împărțire a ordinii unui grup la ordinea subgrupului său se numește indicele acestui subgrup și se notează cu . De exemplu, în grupul de unități de cuaternion de mai sus (de ordinul 8), există un subgrup de ordinul 2 și indicele 4, precum și un subgrup de ordinul 4 și indicele 2. $G$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Teorema lui Cauchy (1815): Orice grup a cărui ordin este divizibil cu un prim are un element de ordin . $p$ $p$

Dacă fiecărui divizor al ordinului unui grup îi corespunde un subgrup al ordinului , atunci grupul se numește Lagrangian . Nu orice grup este lagrangian - de exemplu, ordinul grupului de rotație al dodecaedrului este 60, dar nu are subgrupuri de ordinul 15 [3] . Condiții suficiente pentru existența unui subgrup de ordin dat (în cadrul unor ipoteze suplimentare) stabilesc teoremele lui Sylow . Un exemplu de grup lagrangian este grupul simetric . $k$ $k$ $S_4$

Coseturi și grupul de coeficient

Fie H un subgrup de ordin m într-un grup finit G de ordin n . Considerăm elemente echivalente față de subgrupul H dacă există astfel încât să se verifice ușor că aceasta este o relație de echivalență în grupul G . Împarte grupul în clase de echivalență care nu se suprapun, numite clase (stânga) , toate conținând m elemente, numărul de clase fiind egal cu indicele subgrupului. Fiecare element aparține setului format din toate produsele posibile ale lui g și elementele subgrupului H . $g,g'\în G$ $h\în H$ $g=g'h.$ $g\în G$ ${\bar {g}}=gH$

Dacă subgrupul H este un divizor normal , atunci se poate transfera operația de grup în mulțimea de clase prin definirea:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

Rezultatul unei astfel de operațiuni nu depinde de alegerea reprezentanților și transformă setul de clase într-un grup numit grup de factori . Este marcat . Ordinea unui grup de factori este egală cu indicele subgrupului corespunzător. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Clasificare

Numărul de grupuri distincte dintr-o ordine dată

Ordin	numărul de grupuri [4]	comutativ	necomutativ
0	0	0	0
unu	unu	unu	0
2	unu	unu	0
3	unu	unu	0
patru	2	2	0
5	unu	unu	0
6	2	unu	unu
7	unu	unu	0
opt	5	3	2
9	2	2	0
zece	2	unu	unu
unsprezece	unu	unu	0
12	5	2	3
13	unu	unu	0
paisprezece	2	unu	unu
cincisprezece	unu	unu	0
16	paisprezece	5	9
17	unu	unu	0
optsprezece	5	2	3
19	unu	unu	0
douăzeci	5	2	3
21	2	unu	unu
22	2	unu	unu
23	unu	unu	0
24	cincisprezece	3	12
25	2	2	0
26	2	unu	unu
27	5	3	2
28	patru	2	2
29	unu	unu	0
treizeci	patru	unu	3

Grupuri ciclice finite

Grupurile ciclice finite au cea mai simplă structură , toate elementele care pot fi reprezentate ca puteri succesive ale unui element fix. $A:$

1,a,a^{2},a^{3}\dots a^{{n-1}}\

( n este ordinea grupului).

Elementul a se numește generator (sau antiderivat ) pentru un grup dat, iar grupul în sine generat este notat $A,$ $\langle a\rangle .$

Ca element generator pentru un grup , nu numai un element poate acționa, ci și cele ale gradelor sale , al căror exponent este coprim cu ordinea grupului. Numărul de astfel de generatoare pentru un grup de ordin n este ( funcția Euler ). Exemplu: grup de rădăcini din unitate . $\langle a\rangle$ $A,$ $a^{k},$ $k$ $\varphi (n)$

Orice grup finit de ordin ciclic este izomorf cu grupul de clasă de reziduuri aditive . Această clasă de grupuri izomorfe este de obicei notă cu . De aici rezultă că, $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

până la izomorfism , există un singur grup ciclic finit de un ordin dat.
grupurile ciclice sunt întotdeauna comutative ( abeliene ) și lagrangiane.
un grup ciclic are subgrupuri netriviale dacă și numai dacă ordinea sa este un număr compus .
orice subgrup al unui grup ciclic este de asemenea ciclic. Orice grupare coeficient a grupării ciclice G/H va fi, de asemenea, ciclică . Numărul de subgrupuri distincte ale unui grup de ordine ciclică este egal cu numărul de divizori (pozitivi) ai numărului $n$ $n.$

Puterile oricărui element al unui grup finit arbitrar formează un subgrup ciclic generat (pentru o unitate, acesta va fi un subgrup trivial format doar din unitatea însăși). Acest subgrup este cuprins în orice alt subgrup care conține un element Ordinea este egală cu ordinea elementului generator Corolar: un grup de ordine este ciclic dacă și numai dacă conține un element de aceeași ordine $A$ $G$ $H$ $A$ $g,$ $A.$ $H$ $A.$ $n$ $n.$

Toate grupurile a căror ordine este mai mică de 4 sunt ciclice, deci nu există două grupuri neizomorfe de același ordin pentru ele. Grupul de ordinul 1 ( grupul trivial ) conține doar identitatea. Grupul de ordinul 2 este format din elemente (și ); în planimetrie, acesta este, de exemplu, grupul de transformări din unitate (transformare identică) și reflexie în oglindă față de o dreaptă fixă. Grupul de ordine 3 conține elemente $\{1,a\}$ $a^{2}=1$ $\{1,a,a^{2}\}.$

Nu orice grup finit comutativ este ciclic. Cel mai simplu contraexemplu: grupul cvadruplu Klein .

Grupuri cu ordine primă (grupuri p)

Fie ordinea grupului un număr prim p , apoi sunt valabile următoarele proprietăți.

Grupul este ciclic .
Grupul este comutativ ( abelian ) și nilpotent .
Toate grupurile de același ordin p sunt izomorfe între ele.

Mai general și mai complicat este cazul când ordinea grupului este o putere a unui număr prim; astfel de grupuri sunt denumite în mod obișnuit grupuri p .

Grupuri simple

Un grup finit se numește simplu dacă toate subgrupurile sale normale sunt banale (adică coincid fie cu subgrupul identitar, fie cu întregul grup) [5] . Vezi clasificarea lor generală .

Grupuri comutative (abeliene)

Teorema principală ( Frobenius ): Fiecare grup finit comutativ poate fi reprezentat ca o sumă directă de p-grupuri . Aceasta este o consecință a teoremei generale asupra structurii grupurilor abeliene generate finit pentru cazul în care grupul nu are elemente de ordine infinită.

Istorie

Primele studii asupra grupurilor finite au apărut cu mult înainte de apariția acestui termen și au vizat reprezentanți specifici ai acestei structuri. Pentru prima dată, o astfel de nevoie a apărut în studiul ecuațiilor algebrice pentru solvabilitatea în radicali , pentru care Larrange , Ruffini și Abel au studiat profund grupurile de permutare ale rădăcinilor polinomiale . În 1771, Lagrange a descoperit o teoremă pentru grupurile de permutare ciclică , care poartă numele lui și are un caracter complet general. Abel a completat semnificativ realizările lui Lagrange și, din moment ce a clarificat rolul grupurilor de permutare comutativă în această problemă, astfel de grupuri au fost numite de atunci abeliene. Cauchy a demonstrat în 1815 că orice grup a cărui ordin este divizibil cu un număr prim p are un element de ordin p. Dovada a fost de natură generală, deși Cauchy s-a limitat și la grupul de permutare.

Al doilea obiect pentru teoria viitoare a fost grupările de reziduuri aditive . Cel mai simplu grup non-trivial de două elemente a fost considerat de Leibniz , iar o teorie semnificativă a acestei structuri pentru un modul arbitrar a fost dată de Euler și Gauss .

Termenul „grup” a apărut pentru prima dată în lucrările lui Galois , care a studiat și grupurile de permutare, dar definiția a fost dată într-o formă destul de generală. Galois a introdus, de asemenea, conceptele fundamentale ale unui subgrup normal , un grup de coeficient și un grup rezolvabil .

În 1854 , Cayley a dat prima definiție abstractă a unui grup. Într-o lucrare din 1878, el a demonstrat o teoremă cheie privind reprezentarea unui grup finit arbitrar prin permutări. În 1872, matematicianul norvegian Sylow a obținut faimoasele sale rezultate privind subgrupurile p maxime, care rămân până astăzi fundamentul teoriei grupurilor finite.

O contribuție semnificativă la teoria grupurilor abstracte finite a fost adusă și de Frobenius , datorită căruia au fost descrise complet grupurile finite abeliene și a fost creată teoria reprezentărilor lor matriceale. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, grupurile finite erau aplicate cu succes atât în matematică, cât și în științele naturii (de exemplu, în cristalografie ). La începutul secolului al XX-lea, munca lui Emmy Noether și Artin a pus bazele teoriei moderne a grupurilor.

Vezi și

Literatură

Vechtomov E. M. Despre grupurile lagrangiene. §unu. Din istoria teoriei grupurilor // Probleme de cercetare istorică și științifică în matematică și educație matematică: Lucrările conferinței științifice internaționale. - Perm: Perm State. Universitatea Pedagogică, 2007. - S. 23-32 . .
Vinberg E. B. Curs de algebră. - Ed. a III-a - M . : Presa factorială, 2002. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Grupuri simple finite. Introducere în clasificarea lor. — M .: Mir, 1985.
Enciclopedie matematică (în 5 volume) . — M .: Enciclopedia sovietică , 1982.
Navarro, Joaquin. Prin oglindă. Simetria în matematică. — M .: De Agostini, 2014. — 160 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 17). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Hall M. Teoria grupurilor. M. : Editura de literatură străină, 1962.

Link -uri

Grup finit la Wolfram Math World. (Engleză)

Note

↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volumul 2. Grup finit.
↑ Malykh A. E. Despre problema Kirkman și dezvoltarea ei în a doua jumătate a secolului al XIX-lea - începutul secolelor XX // Probleme de cercetare istorică și științifică în matematică și educație matematică: Proceedings of the International Science Conference, Perm, septembrie 2007 .. - Perm : Perm State . Ped. Universitatea, 2007. - S. 84. .
↑ Stuart, ian. Concepte ale matematicii moderne. - Minsk: Şcoala superioară, 1980. - S. 133-134. — 384 p.
↑ Humphreys, John F. Un curs de teoria grupurilor . - Oxford University Press , 1996. - P. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volumul 4. Un grup simplu.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier