Probleme deschise în teoria numerelor

Teoria numerelor este o ramură a matematicii care se ocupă în primul rând cu studiul numerelor naturale și întregi și al proprietăților acestora, folosind adesea metodele calculului și alte ramuri ale matematicii. Teoria numerelor conține multe probleme, încercări de rezolvare care au fost făcute de matematicieni de zeci, și uneori chiar de sute de ani, dar care rămân încă deschise. Următoarele sunt unele dintre cele mai notorii probleme nerezolvate.

Ipoteze despre numere prime

Problema Goldbach puternică . Fiecare număr par mai mare de 2 poate fi reprezentat ca suma a două numere prime.
Problema lui Riesel : Găsirea celui mai mic număr impar , astfel încât numărul să fie compus pentru toate numerele naturale . $k<509203$ $k\cdot 2^{n}-1$ $n$
Problema lui Sierpinski : Găsirea celui mai mic impar natural astfel încât numărul să fie compus din toate naturalele . $k<78557$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Problema simplă a lui Sierpinski : Găsirea celui mai mic natural prim impar, astfel încât numărul să fie compus din toate elementele naturale . $k<271129$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Problema dublă a lui Sierpinski : găsirea celui mai mic impar natural astfel încât numărul să fie compus din toate naturii . O întrebare legată despre testul de primalitate: dacă există un algoritm care vă permite să aflați rapid (în timp polinomial) dacă un număr este prim (strict, adică nu pseudoprim), atunci există un algoritm de test de primalitate dual cu acesta pentru numere de forma ? Răspunsul la ultima întrebare ne-ar permite să știm dacă cele cinci mari, posibil simple, din sarcina „Cinci sau eșuează” sunt simple sau compuse. $k$ $2^{n}\pm k$ $n$ $k\cdot 2^{n}\pm 1$ $2^{n}\pm k$
Conjectura lui Artin că există infinit de numere prime modulo cărora un întreg dat este o rădăcină primitivă .
Ipoteza lui Legendre . Pentru orice număr natural între și există cel puțin un număr prim. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$
Ipoteza lui Oppermann . Pentru orice număr natural între și există cel puțin un număr prim, iar între și există cel puțin un (alt) număr prim. $n$ $n^{2}$ $n(n+1)$ $n(n+1)$ $(n+1)^2$
Ipoteza Andricai . Funcția (unde este --lea număr prim) ia valori mai mici decât 1 pentru orice n. $f(n)={\sqrt {p_{n+1)}}-{\sqrt {p_{n}))$ $p_n$ $n$
Ipoteza lui Brocard . Pentru orice număr natural între și (unde este al -lea număr prim) există cel puțin patru numere prime. $n$ $p_{n}^{2}$ $p_{{n+1}}^{2}$ $p_n$ $n$
Ipoteza lui Firuzbekht . Secvența este strict descrescătoare (aici este --lea număr prim). $(p_{n})^{1/n}$ $p_n$ $n$
Ipoteza lui Polignac . Pentru orice număr par, există infinit de perechi de numere prime vecine, a căror diferență este egală cu . $n$ $n$
Ipoteza Ago-Jugi : este adevărat că dacă $\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$ , atunci p este prim?
Este adevărat că pentru orice număr irațional pozitiv și orice număr pozitiv există un număr infinit de perechi de numere prime pentru care inegalitatea este valabilă ? [unu] $\theta$ $\epsilon$ $(p, q),$ $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{{-2+\epsilon }}$
Serialul converge ? [2] Dar dacă converge, atunci cu siguranță există multe numere prime gemene . Aceasta rezultă din teorema privind distribuția numerelor prime și din testul Leibniz $\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$ .
Ipoteza Gilbraith . Pentru orice număr natural , succesiunea diferențelor absolute de ordinul al treilea pentru o secvență de numere prime începe de la 1. Diferențele absolute de ordinul 1 sunt mărimile absolute ale diferențelor dintre numerele prime adiacente: diferențele de ordinul 2 sunt mărimile absolute ale diferențe între elementele adiacente în succesiunea diferențelor absolute de ordinul I: etc. Ipoteza se verifică pentru toate n < 3,4×10 11 [3] $n$ $n$ $1,2,2,4,2,\puncte ,$ $1,0,2,2,2,\puncte$
Conjectura lui Bunyakovskii Dacă este un polinom ireductibil cu valori integrale și d este cel mai mare divizor comun al tuturor valorilor sale, atunci polinomul cu valori integrale ia infinit de valori prime. A patra problemă a lui Landau este un caz particular al acestei conjecturi pentru . $f(x)$ $f(x)/d$ $f(x)=x^{2}+1$
Conjectura lui Dixon Dacă este un număr finit de progresii aritmetice, atunci există infinit de numere naturale n astfel încât pentru fiecare astfel de n toate numerele r sunt prime în același timp. Mai mult, cazul trivial este exclus din considerare atunci când există un astfel de prim p încât pentru orice n cel puțin un număr este un multiplu al lui p . ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ $a_{j}n+b_{j)$
Conjectura Elliot-Halberstam și generalizarea ei în teoria numerelor prime în module.
Sunt toate numerele Fermat compuse pentru n > 4?
Sunt toate numerele Mersenne cu indici primi fără pătrat ?
Există numere Mersenne duble cu indici n > 60?
Numărul M M 127 și următorii termeni ai șirului Catalan-Mersenne sunt simpli?
Există numere prime Wolstenholme , altele decât 16843 și 2124679 ?
O întrebare deschisă este infinitatea numărului de numere prime din fiecare dintre următoarele secvențe [4] :

Urmare	Nume
$2^{n}-1$	numerele Mersenne
$n^{2}+1$	A 4- a problemă Landau
$n^{2^{k}}+1$ , $k>0$	generalizarea problemei Landau [5] .
$n\cdot 2^{n}+1$	numerele Cullen
$n\cdot 2^{n}-1$	Numerele Woodall
$2^{{2^{n}}}+1$	Numerele Fermat
$F_{n}$	numere Fibonacci
cupluri $(n,\;n+2)$	gemeni simpli
cupluri $(n,\;2n+1)$	Sophie Germain numere prime
$n!\pm 1$	numere factoriale
$n\#\pm 1$	numerele primare
$k\cdot 2^{n}+1$ , este ciudat, $k$ $2^{n}>k$	Numerele prot

Există un polinom , altul decât unul liniar, printre ale cărui valori există infinit de numere prime? [6] $f(x)$
De ce numerele prime sunt aranjate în lanțuri de-a lungul diagonalelor feței de masă Ulam ? [6]
Este adevărat că doar trei numere prime, și anume 5, 13 și 97, pot fi reprezentate sub forma unui număr natural ? $2^{k}+3^{k}$ $k$

Ipoteze despre numerele perfecte

Nu există numere perfecte impare . [7]
Numărul numerelor perfecte este infinit.

Conjecturi despre numere prietenoase

Nu există numere prietenoase coprime .
Orice pereche de numere prietenoase are aceeași paritate.
Există infinit de multe numere prietenoase.

numere gaussiene

Aflați numărul de numere gaussiene a căror normă este mai mică decât o constantă naturală dată . Într-o formulare echivalentă, acest subiect este cunoscut sub numele de „ problema cercului gaussian ” în geometria numerelor [8] . Vezi secvența A000328 în OEIS . $R$
Găsiți drepte în plan complex care conțin infinit de numere prime gaussiene. Două astfel de linii sunt evidente - acestea sunt axele de coordonate; nu se știe dacă există altele [9] .
Întrebarea cunoscută sub numele de „ șanțul Gaussian ”: este posibil să mergem la infinit trecând de la un număr Gaussian simplu la altul în salturi de o lungime predeterminată? Problema a fost pusă în 1962 și nu a fost încă rezolvată [10] .

Ecuații diofantine

Fiecare set enumerabil are o singură reprezentare diofantină ? [unsprezece]
Poate unirea a două mulțimi, fiecare dintre ele având o singură reprezentare diofantină, să nu aibă o singură reprezentare diofantină?
Fiecare mulțime enumerabilă are o reprezentare diofantină ca o ecuație de gradul 3 în toate variabilele (parametri și necunoscute)?
Fiecare mulțime enumerabilă are o reprezentare diofantină ca o ecuație de gradul 3 în necunoscute?
Care este cel mai mic număr de variabile pe care îl poate avea o ecuație diofantină universală ? Care este cel mai mic grad pe care îl poate avea cu atâtea variabile? Cel mai mic rezultat cunoscut este de 9 variabile. Cea mai mică putere cunoscută a ecuației în 9 variabile depășește [12] $10^{{45}}.$
Care este cel mai mic număr de variabile pe care îl poate avea o ecuație diofantină universală de gradul 4? Cel mai mic scor cunoscut este 58.
Există o ecuație diofantină universală de gradul 3? Dacă da, care este cel mai mic număr de variabile pe care îl poate avea?
Care este cel mai mic număr de operații (adunări, scăderi și înmulțiri) pe care îl poate avea o ecuație diofantină universală? Cel mai mic rezultat cunoscut este 100.
Mulțimea soluțiilor unei ecuații diofantine este infinită ? [unsprezece] $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$
Existența unui cuboid cu trei muchii întregi și diagonale întregi .
Existența unui set de cinci numere întregi pozitive , produsul dintre oricare două dintre ele este cu unul mai mic decât un pătrat exact.

Multe probleme nerezolvate (de exemplu, problema Goldbach sau ipoteza Riemann ) pot fi reformulate ca întrebări despre solubilitatea ecuațiilor diofantiene de gradul 4 a unei forme speciale, dar o astfel de reformulare de obicei nu ușurează problema din cauza lipsei. a unei metode generale de rezolvare a ecuaţiilor diofantine [13] [11] .

Teoria analitică a numerelor

Ipoteza lui Riemann (formularea teoretică a numărului). Este corectă următoarea formulă asimptotică pentru distribuția primelor: $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\left({\sqrt x}\ln x\right)?$
Se știe că numărul de puncte cu coordonate întregi pozitive într-o regiune delimitată de o hiperbolă și semiaxele pozitive este exprimat prin formula asimptotică $xy=N$ $\Phi (N)=\sum _{{k=1}}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

unde este numărul de divizori ai numărului k , este constanta Euler-Mascheroni și poate fi aleasă egală.Totuși , nu se știe la ce valoare minimă va rămâne adevărată această formulă ( se știe că nu este mai mică decât Este exact la fel ? Calculele directe conduc la această presupunere, deoarece se dovedește a fi o distribuție aproape normală cu varianță 1 pentru x până la 10 16 .

\tau(k)

\gamma

\theta

{\frac {131}{416}}.

\theta

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

\theta

x^{\theta}/x^{1/4)

Ipoteza lui Cramer despre goluri între numere prime : . $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$
Conjectura Mertens relaxată : demonstrați că funcția Mertens evaluează la . Conjectura relaxată a lui Mertens este echivalentă cu ipoteza Riemann. $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$
Prima conjectura Hardy-Littlewood este conjectura despre densitatea de distribuție a tuplurilor numerelor prime de forma , afirmând, în special, că numărul acestor tupluri este infinit, cu excepția cazurilor triviale. Această presupunere este o rafinare a conjecturii gemene simple și este, de asemenea, un caz special al conjecturii lui Dixon. $(p,p+a_{2}...,p+a_{k})$
A doua conjectură Hardy-Littlewood este conjectura despre proprietatea logaritmică a funcției numărului de numere prime : . Se dovedește că ambele ipoteze Hardy-Littlewood nu pot fi adevărate în același timp și cel mult una este adevărată [17] . $\pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)$
Ipoteza lui Singmaster . Notați prin numărul de ori în care un număr natural mai mare decât unu apare în triunghiul lui Pascal . Singmaster a arătat că , care a fost îmbunătățit în continuare la . Este adevărată afirmația mai puternică ? $N / A)$ $A$ $N(a)=O(\ln a)$ $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{{-3}}\ln a)$ $N(a)=O(1)$
Ipoteza lui Zaremba . Pentru orice număr natural q , există un număr p astfel încât, în expansiunea într-o fracție continuă , toți coeficientii incompleti nu depășesc cinci. În 2011, Jean Bourgain și Alex Kontorovich au demonstrat că pentru fracțiile cu coeficienti incompleti limitați la 50, conjectura este adevărată pe un set de densitate 1 [18] . ${\frac pq}$

Teoria Ramsey

Valorile numerelor Ramsey [19] . Doar primele câteva numere sunt cunoscute cu certitudine. De exemplu, nu se știe la ce minim N în orice grup de N oameni vor fi 5 persoane care se cunosc în perechi sau 5 persoane care nu se cunosc în perechi - acest număr se notează , se știe doar că . $R(r,\;s)$ $R(5,\;5)$ $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$

$r,\;s$	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece
unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu	unu
2	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece
3	unu	3	6	9	paisprezece	optsprezece	23	28	36	[40, 42]
patru	unu	patru	9	optsprezece	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	unu	5	paisprezece	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	unu	6	optsprezece	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	unu	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
opt	unu	opt	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	unu	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
zece	unu	zece	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

Semnificațiile numerelor van der Waerden . În momentul de față, sunt cunoscute valorile a doar 6 primele numere [20] : , 178 și 1132.35,9,3,1 , unde expresia pentru limita superioară folosește tetrarea ) [ 21] . $\{1, 2, \dots, N\}$ $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$

Alte probleme

Fie un număr pozitiv astfel încât și sunt numere întregi. Nu poate fi un număr întreg? $X$ $2^{x}$ $3^{x}$ $X$
Existența unor numere ușor redundante .
Existența unui ciclu de trei numere însoțitoare .
Există numere naturale distincte în perechi astfel încât ? [22] $a,\;b,\;c,\;d$ $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$
Există două triple pitagorice diferite care au același produs? [23]
Ipoteza lui Beal . Dacă unde sunt numerele naturale și , atunci ele au un divizor prim comun. $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Ipoteza lui Erdő . Dacă suma reciprocelor pentru o anumită mulțime de numere naturale diverge, atunci în această mulțime se poate găsi o progresie aritmetică arbitrar lungă .
Cât de mare poate fi suma reciprocelor unei șiruri de numere naturale în care niciun element nu este egal cu suma mai multor alte elemente distincte? (Erdos) [24]
Conjectura Collatz (ipoteza 3n+1).
Ipoteza jonglerului . Orice secvență de jongler ajunge la 1 [25] . Secvența jonglerului este descrisă de formula recursivă: $a_{{k+1}}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{{{1/2}}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{este par));\\\\\left\lfloor a_{k}^{{{3/2))\right\rfloor ,&{\text{if))\ a_{k}\ {\ text{este ciudat}}.\end{cazuri}}$
Problema lui Brokar . Ecuația are soluții în numere naturale, cu excepția (4, 5), (5, 11) și (7, 71)? [26] $n!+1=m^{2}$
Ipoteza lui Tomaszewski . Numai numerele 1, 6 și 120 sunt atât triunghiulare , cât și factoriale [27] . Într-o formulare alternativă, se reduce la rezolvarea ecuației în numere naturale. $8\cdot n!+1=m^{2}$
Mulțimea soluțiilor ecuației este finită? În prezent se cunosc doar 5 soluții [28] . [29] [30] $2^{n}\equiv 3{\pmod n}?$
Este adevărat că pătratul oricărui număr rațional poate fi reprezentat ca suma puterilor a patra a patru numere raționale?
Problema lui Waring și generalizările sale:
- Există o mulțime finită de numere naturale care nu pot fi reprezentate ca sumă a 6 cuburi de numere întregi nenegative? [31] O întrebare similară se ridică pentru sumele a 5 și 4 cuburi, precum și pentru multe numere de termeni cu puteri mai mari de 4.
- Cum poate fi reprezentat un număr natural ca sumă a pătratelor a două numere întregi?
Problema 196 . Există numere naturale care, ca urmare a repetării operațiunii „întoarce și adăuga”, nu se vor transforma niciodată într-un palindrom ?
Este posibil să se reprezinte orice număr întreg ca sumă (algebrică) a patru cuburi? [32]
- nu se cunoaște nicio dovadă a acestei afirmații;
- nu există un exemplu cunoscut de număr care să nu poată fi reprezentat în acest fel.
Trei dintre cele patru conjecturi ale lui Pollock despre numerele ondulate .

Vezi și

Probleme matematice deschise - probleme din alte ramuri ale matematicii

Note

↑ Evoluții matematice care decurg din problemele Hilbert , p. 39
^ Weisstein, Eric W. Prime Sums pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Conjectura lui Eric W. Gilbraith la Wolfram MathWorld .
^ Weisstein , Eric W. Integer Sequence Primes pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Stuart, 2015 , p. 68.
↑ 1 2 Matiyasevich, Yu. V. Formule pentru numere prime // Kvant. - 1975. - T. 1. - Nr. 5. - P. 8.
↑ Stuart, 2015 , p. 404.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
↑ Ribenboim, Paulo. Noua carte a înregistrărilor numerelor prime, Cap.III.4.D Cap. 6.II, Cap. 6.IV. — Ed. a 3-a. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Probleme nerezolvate în teoria numerelor. — Ed. a 3-a. - New York: Springer, 2004. - P. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ 1 2 3 Iu. V. Matiyasevici . Exercițiul 2.10 // A zecea problemă a lui Hilbert . - M. : Nauka, 1993. - 223 p. — (Logica matematică și fundamentele matematicii; Numărul nr. 26). — ISBN 502014326X .
↑ Jones JP Ecuații diofantine indecidabile // Bull . amer. Matematică. soc. : jurnal. - 1980. - Vol. 3 . - P. 859-862 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
↑ Yuri Matiyasevich, A zecea problemă a lui Hilbert: Ce sa făcut și ce trebuie făcut
↑ A. A. Bukhshtab. Teoria numerelor . - M . : Educație, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Teoria analitică a numerelor // Enciclopedie matematică. - Enciclopedia Sovietică . - M. , 1977-1985. (Rusă)
^ Weisstein , Eric W. Dirichlet Divisor Problem (în engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ calcule cu 447 de tuple . Preluat la 12 august 2008. Arhivat din original la 28 decembrie 2012. (nedefinit)
↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. Despre Conjectura lui Zaremba .
↑ Stanisław Radziszowski. Numerele Ramsey mici (engleză) // Jurnalul electronic de combinatorie. - 2017. - 3 martie. — ISSN 1077-8926 . (reviziunea 15)
↑ Secvența OEIS A005346 _
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden numără pe Wolfram MathWorld .
↑ Problema nerezolvată 18: Există numere întregi pozitive distincte, a, b, c și, d astfel încât a^5+b^5=c^5+d^5? Problema nerezolvată a săptămânii . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean triple pe site- ul Wolfram MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. A -Sequence pe site-ul web Wolfram MathWorld .
↑ Secvențele A007320 , A094716 în OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Brokard's Problem at Wolfram MathWorld .
↑ Secvențele A000142 , A000217 în OEIS
^ Weisstein , Eric W. Numărul 2 pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ 2^n mod n - OeisWiki
↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
^ Weisstein , Eric W. Cubic Number pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Dmitri Maksimov. Despre sumele pătratelor și cuburilor // Știința și viața . - 2020. - Nr. 9 . - S. 85 . (Rusă)

Literatură

Ian Stewart . Cele mai mari probleme de matematică. — M. : Alpina non-fiction, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Shanks, Daniel . Probleme rezolvate și nerezolvate în teoria numerelor. - Ed. a 5-a - New York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .

Link -uri

Deschideți Grădina cu probleme
Întrebări deschise: Matematică
Proiectul Probleme deschise
Deschide Probleme de matematică în Google Directory
Clipuri video despre probleme matematice nerezolvate
http://unsolvedproblems.org/