Număr prim

Un număr prim este un număr natural care are exact doi divizori naturali diferiți . Cu alte cuvinte, un număr natural este prim dacă este diferit de și divizibil fără rest numai prin și prin el însuși [1] . $p$ $1$ $1$ $p$

Exemplu: numărul este prim (divizibil cu și cu ), dar nu este prim, deoarece, pe lângă și , este divizibil cu - are trei divizori naturali. $2$ $1$ $2$ $4$ $1$ $4$ $2$

Studiul proprietăților numerelor prime este implicat în teoria numerelor , iar teorema principală a aritmeticii stabilește rolul lor central în ea: orice depășire a numărului întreg este fie prim, fie poate fi exprimat ca produs al numerelor prime și o astfel de reprezentare. este unică până la ordinea factorilor [1] . Unitatea nu este denumită numere prime, deoarece în caz contrar expansiunea specificată devine ambiguă [2] : . $1$ $x=1\cdot x=1\cdot 1\cdot x=1\cdot 1\cdot ...\cdot 1\cdot x$

Numerele naturale pot fi împărțite în trei clase: unul (are un divizor natural), număr prim (are doi divizori naturali), număr compus (are mai mult de doi divizori naturali) [1] . Există infinit de numere prime și compuse.

Secvența numerelor prime începe astfel:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 61 , 67 , 71 , 8 , 7 , 8 , 9 , 7 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Există diferiți algoritmi pentru a verifica dacă un număr este prim. De exemplu, binecunoscuta metodă de enumerare a divizorilor este primitivă și lentă în comparație cu altele.

Numerele prime sunt utilizate pe scară largă în matematică și științe conexe. Mulți algoritmi de tehnologie a informației , cum ar fi criptosistemele asimetrice , folosesc proprietățile de factorizare ale numerelor întregi [4] .

Multe probleme referitoare la numerele prime rămân deschise .

Există generalizări ale conceptului de număr prim pentru inele arbitrare și alte structuri algebrice .

Istorie

Неизвестно, когда было определено понятие простого числа, однако первые свидетельства относят к верхнему палеолиту, что подтверждается костью Ишанго [5] .

В сохранившихся записях древнеегипетских математиков есть намёки на то, что у них были некоторые представления о простых числах: например, папирус Райнда , относящийся ко второму тысячелетию до нашей эры, содержит таблицу соотношений числа 2 к , представленных суммой трёх или четырёх египетских дробей с единицей в числителе и различных знаменателях. Разложения дробей, знаменатели которых имеют общий делитель, похожи, поэтому египтяне по крайней мере знали разницу между простым и составным числами [6] . $n$

Самые ранние дошедшие до нас исследования простых чисел принадлежат математикам Древней Гирней Гирнец Они изобрели решето Эратосфена — алгоритм последовательного нахождения всех простых чостых чостых чосфена . Опубликованные в приблизительно трёхсотом году до нашей эры « Начала » Евклида содержат важные теоремы о простых числах, включая бесконечность их множества, лемму Евклида и основную теорему арифметики [7] . $n$

Вплоть до XVII века существенных новых работ в области простых чисел не было [8] . В 1640 году Пьер де Ферма сформулировал малую теорему Ферма , затем доказанную Лейбницем и Эйлером , и теорему о сумме двух квадратов , а также высказал предположение: все числа вида являются простыми, и даже доказал это до . Но уже для следующего числа Ферма Эйлер доказал делимость на . Новые простые числа в последовательности Ферма не найдены до сих пор. В то же время французский монах Марен Мерсенн обнаружил, что последовательность , где — простое, даёт также простое число [9] ( числа Мерсенна ). $2^{{2^{n}}}+1$ $n=4$ $2^{2^{5}}+1$ $641$ $2^{p}-1$ $p$

Работа Эйлера в теории чисел вместила немало сведений о простых. Он показал, что бесконечный числовой ряд — расходящийся. В 1747 году он доказал, что чётные совершенные числа являются значениями последовательности , где сомножитель является числом Мерсенна. В его переписке с Гольдбахом последний изложил свою знаменитую гипотезу о представлении любого чётного числа, начиная с четырёх, суммой двух простых [10] . Доказательство гипотезы пока не найдено. $1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...$ $2^{p-1}(2^{p}-1)$

С начала XIX века внимание многих математиков занимала проблема асимптотического распрического распреского распреского распреского распресы проблема Лежандр и Гаусс независимо друг от друга высказали предположение: плотность простых чисел в среднем близка к величине, обратно пропорциональной натуральному логарифму [11] .

Долгое время простые числа считались малоприменимыми за пределами чистой математики . Ситуация изменилась в 1970-е годы, после появления концепций криптографии с открытым ключом , в которых простые числа составили основу первых алгоритмов шифрования, таких как RSA [12] .

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением насложением на произведения . На настоящий момент не известны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и звестны и слстова и незтова На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируетии базируето слительной сложности задачи факторизации базируетии базируето слительной сложности На предполагаемой большой вычислительной сложности Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компром компрам ю поретически

De exemplu:

$23244$	$=2\cdot 2\cdot 3\cdot 13\cdot 149$
	$=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 149$ . $2^{2}$ $2$

Descompunere:

n = p1 · p2 · ... · pt

числа n на (конечное число) простых множителей p 1 , p 2 , … , p t называется разложением на множителей прожителей p . Основная теорема арифметики может быть перефразирована таким образом: любое разложение на простые числа будет тождественным с точностью до порядка делителей . На практике для большинства чисел есть много простых алгоритмов разложения на мнотожения на мнотож и в сод 1 мноть .

Большинство древних греков даже не считало числом , поэтому они не могли считать е ] го п155 . К Средним векам и эпохе Возрождения многие математики включали в качестве первостве первого го прочого про16то прочестве математики . В середине XVIII века Христиан Гольдбах внёс в список в качестве первого простого чистиан Гольдбах внёс в список в качестве первого простого чистиан Гольдбах внёс в список в качестве первого простого чистиан Гольдбах ; однако сам Эйлер не считал простым числом [17] . В XIX веке многие математики по-прежнему считали число простым числом. Например, список простых чисел Деррика Нормана Лемера до числа, переизданный в 1956 горрика Нормана Лемера до числа, переизданный в 1956 госвапя,стон гочпя. Говорят, что Анри Лебег является последним математиком, который назвал простым [18] . К началу XX века математики стали приходить к консенсусу о том, что не является простым числом, а скорее формирует свою специальную категорию — «единицу» [16] . $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $10006721$ $1$ $1$ $1$

Если считать простым числом, то основная теорема Евклида об арифметике (упомянутая выше) не будет выполняться, как было указано в начале статьи. Например, число может быть разложено как 3 · 5 и 1 · 3 · 5 . Если бы являлась простым числом, эти два варианта считались бы разными факторизация ; следовательно, утверждение этой теоремы пришлось бы изменить [16] . Точно так же решето Эратосфена работало бы неправильно, если бы считалась простым: модифицированная версия решета, которая предполагает, что является простым числом, исключает все множители, кратные (то есть все остальные числа), и даёт на выходе только одно число — . Кроме того, простые числа имеют несколько свойств, которых нет у числа , такие как отношение числа к его соответствующему значению функции тождества Эйлера или суммы функции делителей [2] . $1$ $15$ $1$ $15$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$

Algoritmi pentru căutarea și recunoașterea numerelor primare

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают решето Эратосфена , решето Сундарама и решето Аткина [19] .

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется пролучения списка простых чисел зачастую требуется пролучения списка простых чисел зачастую требуется проверения простых Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты . Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина ) и используются для нужд криптографии [20] . В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность , что затрудняет его практическое применение [21] .

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простотны (сжместотны).

Test de simplitate

Тестом простоты (или проверкой простоты) называется алгоритм , который, приняв на входе число, позволяет либо не подтвердить предположение о составности числа, либо точно утверждать его простоту. Во втором случае он называется истинным тестом простоты. Задача теста простоты относится к классу сложности P , то есть время работы алгоритмов её решения зависит от размера входных данных полиномиально, что было доказано в 2002 году [22] . Появление полиномиального алгоритма предсказывалось существованием полиномиальных сертификатов простоты и, как следствие, тем, что задача проверки числа на простоту принадлежала классам NP и co-NP одновременно.

Существующие алгоритмы проверки числа на простоту могут быть разделены на две категории: истинные тесты простоты и вероятностные тесты простоты. Результатом вычислений истинных тестов всегда является факт простоты либо составности чистов. Вероятностный тест показывает, является ли число простым с некоторой вероятностью. Числа, удовлетворяющие вероятностному тесту простоты, но являющиеся составными, назтавными, назтностному тесту простоты, но являющиеся составными, назтавными, назтностному тесту простоты .

Одним из примеров истинных тестов простоты является тест Люка-Лемера для чисел Мерсенна . Очевидный недостаток этого теста заключается в его применимости только к числам опредого оприменимости только к числам опредого.

Testul lui Pepin pentru numerele Fermat
Teorema prot pentru numerele prot
Тест Агравала — Каяла — Саксены , первый универсальный, полиномиальный, детерминировантный Сустрова
Testul Luc-Lehmer-Riesel

Precum și:

ме…
teorema lui Wilson
Критерий поклинXтона
Miller Test
Testul Adleman-Pomerans-Rumeli , îmbunătățit [26] de Cohen și Lenstroy
Test Primaly folosind curbe eliptice .

К вероятностным тестам простоты относят:

Уже в течение многих столетий поиск «больших» простых чисел вызывает интерес математиков. В последние десятилетия эти исследования приобрели прикладное значение из-за применения таких чисел в ряде алгоритмов шифрования, таких как RSA [12] .

В семнадцатом столетии Марен Мерсенн предположил, что числа вида простые (при n ≤ 257) только для n равных 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 [11] . Только в XX веке было обнаружено, что гипотеза была ложной и, вероятно, сделана «слепо», поскольку Мерсенн не учел три случая (для n = 61, 89 и 107); $2^{n}-1$

В 1876 году Эдуард Люка доказал, что число M 127 (39-значное число) — простое, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1951 года, когда были найдены ${\frac {2^{148}+1}{17}}$ (44 цифры) и, немного позднее, $180*(2^{127}-1)^{2}+1$ (из 79 цифр) — последнее простое число, которое было найдено с помощью электронного калькулятора. С тех пор все последующие большие простые числа были обнаружены с помощью компьютера: с 1952 года (когда SWAC показал, что M 521 является простым), по 1996 год они были найдены суперкомпьютером, и все были простыми Мерсенна (найденные с использованием теста Люка-Лемера, специфического алгоритма для таких чисел), за исключением числа $391581*2^{216193}-1$ , которое было рекордом между 1989 и 1992 годами[27].

Некоторые задачи математики с использованием факторизации требуют ряд очень больших простых чисел, выбранных случайным образом. Алгоритм их получения, основанный на постулате Бертрана (Для любого натурального n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале n < p < 2n.)[28]:

Algoritmul:

Ввод: натуральное число $N$
Soluție (căutați un număr prim alatoriu P)
1. $P\gets$ Функция генерации произвольного натурального числа на отрезке $[N,2N]$
2. Если составное, то $P$
  1. $P\leftarrow \,P+1$
  2. Dacă atunci $P=2N$
    1. $P\leftarrow \,N$
3. Возврат « $P$ — случайное простое»

Время решения задачи этим алгоритмом не определено, но есть большая вероятность, что оно всегда является полиномиальным, пока имеется достаточно простых чисел, и они распределены более-менее равномерно. Для простых случайных чисел эти условия выполняются[21].

Наиболее эффективным средством построения простых чисел является несколько модифицированная малая теорема Ферма[26].

Пусть N, S — нечётные натуральные числа, N-1 = S*R, причем для каждого простого делительные числа q чсилета q чсилета q чсилета q ч силета $a$

$a^{N-1}=1{\pmod {N}}$ , $\gcd(a^{{\frac {N-1}{q}}-1},n)=1$

Atunci fiecare divizor principal p al lui n satisface congruența

$p=1{\pmod {2S}}$

Consecinţă. $R\leqslant 4S+2$

испытаея некоторое количество раз с помощщ а а аориmer O рабина. $S$ $N$ $R$ $R\leqslant 4S+2$ $N=SR+1$ $N$ $N$ $N$ $R$ $N$

Это утверждение упоминается как теорема Евклида в честь древнегреческого математика Евклида , поскольку первое известное доказательство этого утверждения приписывается ему. Известно ещё много доказательств бесконечности простых чисел, в том числе аналитическое доказательство Эйлера , доказательство Гольдбаха на основе чисел Ферма [29] , доказательство Фурстенберга с использованием общей топологии и элегантное доказательство Куммера .

Cea mai mare cunoscută Prime

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа [30] . Один из рекордов поставил в своё время Эйлер , найдя простое число 2 31 − 1 = 2 147 483 647 .

Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2019 года является число Мерсенна M82 589 933 = 282 589 933 − 1. Оно содержит 24 862 048 десятичных цифр; в книге с записью этого числа было бы около девяти тысяч страниц. Его нашли 7 декабря 2018 года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS. Предыдущее самое большое известное простое число, открытое в декабре 2017 года, было на 1 612 623 знака меньше[31].

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила [32] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США [33] .

Существcursет ря чисел, простота которых может ыыы уаановлена эээээективно с исолззованиеяеорир/

Числа Мерсенна — числа вида $M_{n}=2^{n}-1$ , где n — натуральное число[34]. При этом число Мерсенна может быть простым, только если n — простое число. Как уже было отмечено выше, эффективным тестом простоты является тест Люка — Лемера [35].
Эффективным тестом простоты является тест Пепина . $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $F_{32}$
Числа вдала - числа вида [39] . Эээфеективныы тестом пoростоты яляется тест юка - лемера - ризеля [40] . $W_{n}=n\cdot 2^{n}-1$
Числа каллена - числа вида [41] [42] . $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$
Числа Прота — числа вида , причём k нечётно и [43] . $P=k\cdot 2^{n}+1$ $2^{n}>k$ $n=2^{m}$
Числа Миллса — числа вида $P_{n}=[A^{3^{n}}],$ где $A$ — константа Миллса [46].

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределённых вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Unele proprietăți

Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида[7][47]. Она используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
Колцц ычетов ялnяется полеporta тогда и только тогда, когда - пoростое [48] . $\mathbb {Z} _{n}$ $n$
Характеристика каждого поля — это ноль или простое число [48] .
Если — простое, а — натуральное, то делится на ( малая теорема Ферма ) [49] . $p$ $a$ $a^{p}-a$ $p$
Если $G$ — конечная группа, порядок которой $|G|$ делится на $p$ , то $G$ содержит элемент порядка $p$ (теорема Коши)[50].
Если $G$ — конечная группа, и $p^{n}$ — максимальная степень $p$ , которая делит $|G|$ , то $G$ имеет подгруппу порядка $p^{n}$ , называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно $pk+1$ для некоторого целого $k$ (теоремы Силова)[51].
Натуральное $p>1$ является простым тогда и только тогда, когда $(p-1)!+1$ делится на $p$ (теорема Вильсона)[52].
Если — натуральное, то существует простое , такое, что ( постулат Бертрана ) [53] . $n>1$ $p$ $n<p<2n$
Ряд чисел, обратных к простым , расходится [10] . Более того, при $x\to \infty$ $\sum _{p<x}{\frac {1}{p}}\ \sim \ \ln \ln x.$
Любая арифметическая прогрессия вида $a,a+q,a+2q,a+3q,...$ , где $a,q>1$ — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии)[54].
Всякое простое число, большее 3, представимо в виде $6k+1$ или $6k-1$ , где $k$ — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
Если $p>3$ — простое, то $p^{2}-1$ кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3)[55].
Теорема Грина-Тао .
Никакое простое число не может иметь вид , где n >2, k >1. $n^{k}-1$ $2^{k}-1$
Никакое простое число не может иметь вид , где n >1, k >0. $n^{{2k+1}}+1$
Каждое простое число (кроме чисел вида $8n-1$ ) можно представить в виде суммы трех квадратов[58].

Aplicații

Простые числа являются фундаментальными компонентами во многих областях математики.

Арифметические функции, а именно функции, определённые на множестве натуральных чисел и принимающих значения во множестве комплексных чисел, играют решающую роль в теории чисел. В частности, среди них наиболее важными являются мультипликативные функции, то есть функции $f$ , обладающие следующим свойством: если пара $(a,b)$ состоит из взаимно простых чисел, то имеет место равенство[59]

$f(ab)=f(a)f(b)$

Значение этих функций от степени простого числа: $\phi$ $n$

Функция $\phi$ Эйлера:

$\phi (p^{m})=p^{m}-p^{m-1}$

Функция делителя:

$\sigma (p^{m})=m+1$

На самом деле из разложения натурального числа n на множители

$n=p_{1}^{q_{1}}\cdot ...\cdot p_{a}^{q_{a}}$

мы имеем, что

$f(n)=f(p_{1}^{q_{1}})\cdot ...\cdot f(p_{a}^{q_{a}})$

и следовательно, возвращаясь к задаче вычисления $f(n)$ получается что вычислить $f$ от каждой степени простого делителя обычно проще, чем вычислить $f$ по общей формуле[61].

Например, чтобы узнать значение функции Эйлера $\phi$ от n = 450 = 2 × 3 2 × 5 2, достаточно вычислить

$\phi (450)=\phi (2)\cdot \phi (3^{2})\cdot \phi (5^{2})=(2-1)\cdot (9-3)\cdot (25-5)=120$

Aritmetică modulară

В модульной арифметике простые числа играют очень важную роль: кольцо вычетов $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ является полем тогда и только тогда, когда n является простым[48]. Также существование первообразного корня кольца $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ привязано к простым числам: оно существует, только если n — простое число, 1, 2, 4 или число в форме $p^{n}\circ 2p^{n}$ , где p нечётно.

Одной из важнейших теорем модульной арифметики является малая теорема Ферма[52]. Эта теорема утверждает, что для любого простого числа р и любого натурального числа a имеем:

$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}$

или для любого простого р и любого натурального а не делящегося на р, справедливо:

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$

На самом деле, если n таково, что:

$a^{n}\not \equiv a{\pmod {n}}$

для некоторого натурального а , то n не может быть простым [52] .

Teoria grupului

Простые числа также играют основополагающую роль в алгебре. В теории групп группа, в которой каждый элемент является степенью простого числа р, называется р-группой [63]. P-группа является конечной тогда и только тогда, когда порядок группы (число её элементов) является степенью р. Примером бесконечной р-группы является p-группа Прюфера [64]. Известно, что p-группы имеют нетривиальный центр и, следовательно, не могут быть простыми (кроме группы с p элементами); если группа конечна, более того, все нормальные подгруппы пересекают центр нетривиальным образом.

Примером таких групп является циклическая группа умножения по модулю простого числа[65].

Все группы порядка p являются циклическими и поэтому абелевыми; также абелева каждая группа порядка p 2. Кроме того, любая конечная абелева группа изоморфна прямому произведению конечного числа циклических р-групп.

В теореме Коши утверждается, что если порядок конечной группы G делится на простое число p, то G содержит элементы порядка p. Эта теорема обобщается теоремами Силова[50].

Некоторые алгоритмы криптографии с открытым ключом, такие как RSA и обмен ключами Диффи-Хеллмана, основаны на больших простых числах (обычно 1024—2048 бит). RSA полагается на предположение, что намного проще (то есть более эффективно) выполнять умножение двух (больших) чисел x и y, чем вычислять взаимно простые x и y, если известно только их произведение $x\cdot y$ . Обмен ключами Диффи-Хеллмана основан на том, что существуют эффективные алгоритмы возведения в степень по модулю, а обратная операция — дискретного логарифмирования считается сложной[66][67].

Трудность факторизации больших чисел привела к разработке первого эффективного метода криптографии с открытым ключом — RSA [68]. В этой криптографической системе, человек, который должен получить зашифрованное сообщение, генерирует ключ: выбираются два различных случайных простых числа $p$ и $q$ заданного размера (обычно используются, 1024- или 2048-битные числа). Далее вычисляется их произведение $n=p*q$ , называемое модулем. Вычисляется значение функции Эйлера от числа $n$ : $\phi (n)=(p-1)(q-1)$ . Выбирается целое число $e$ ( $1<e<\phi (n)$ ), взаимно простое со значением функции $\phi(n)$ . Обычно в качестве $e$ берут небольшие простые числа (например, простые числа Ферма). Число $e$ называется открытой экспонентой (англ. public exponent). Вычисляется число $d$ , называемое секретной экспонентой, мультипликативно обратное к числу e по модулю $\phi(n)$ . Пара $\{e,n\}$ публикуется в качестве открытого ключа RSA (англ. RSA public key). Пара $\{d,\phi (n)\}$ играет роль закрытого ключа RSA (англ. RSA private key) и держится в секрете[12].

Теоретически можно получить закрытый ключ из общедоступной информации: в настоящее время для этого требуется факторизация числа $n$ , что делает передачу защищенного сообщения безопасной, если простые числа удовлетворяют определённым условиям и являются «достаточно большими». Пока не известно, существуют ли эффективные методы для расшифровки сообщения, не связанные с прямой атакой на факторизацию $n$ , но было показано, что плохой выбор открытого ключа может сделать систему более уязвимой для таких атак[69].

В 1991 году RSA Security опубликовала список полупростых чисел, предлагая денежные призы за разложение некоторых из них на множители, с целью подтверждения безопасности метода и поощрения исследования в этой области: инициатива называлась Challenge RSA Factoring[70]. На протяжении многих лет некоторые из этих чисел были разложены, а для других проблема факторизации все ещё остается открытой; однако конкурс был завершен в 2007 году[70].

Л. П. $\textstyle n^{2}-n+41,$

Тем не менее, существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен

{\begin{aligned}{\bigl (}k+2{\bigr )}{\bigl \{}1&-{\bigl [}wz+h+j-q{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}2n+p+q+z-e{\bigr ]}^{2}\\&-{\bigl [}16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}{\bigr ]}^{2}\\&-{\bigl [}16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}n+l+v-y{\bigr ]}^{2}\\&-{\bigl [}(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}ai+k+1-l-i{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m{\bigr ]}^{2}\\&-{\bigl [}q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x{\bigr ]}^{2}-{\bigl [}z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\end{aligned}}

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 1,6·1045[71][72]. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Интересно, что приведённый выше многочлен, который порождает простые числа, сам разлагается на множители. Заметим, что второй множитель этого многочлена (в фигурных скобках) имеет форму: единица минус сумма квадратов. Таким образом, многочлен может принимать положительные значения (при положительных $k$ ) только если, каждый из этих квадратов (то есть каждый многочлен в квадратных скобках) равен нулю. В этом случае выражение в фигурных скобках будет равно 1[73].

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау в 1912 году на Пятом Международном математическом конгрессе [74]:

Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау): верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел?
Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» — пар простых чисел, разность между которыми равна 2[54]? В 2013 году математик Чжан Итан из университета Нью-Гэмпшира[75][76] доказал, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Позже Джеймс Мэйнард улучшил результат до 600. В 2014 году проект Polymath под руководством Теренса Тао несколько улучшили последний метод, заменив оценку расстояния на 246.
Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау): верно ли, что для всякого натурального числа $n$ между $n^{2}$ и $(n+1)^2$ всегда найдётся простое число[77]?
Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида $n^{2}+1$ , где $n$ — натуральное число[54]?

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Мерсенна [54], числа Фибоначчи, числа Ферма и др.

Variații și generalizări

В начале статьи было дано определение простого числа: натуральное число называется простым, если у него ровно два делителя — единица и само число. Аналогичное понятие можно ввести и в других алгебраических структурах; чаще всего рассматривается коммутативные кольца без делителей нуля (области целостности)[78][79]. У таких колец, однако, могут быть делители единицы, образующие мультипликативную группу. Например, в кольце целых чисел существуют два делителя единицы: $+1$ и $-1.$ Поэтому все целые числа, кроме делителей единицы, имеют не два, а по меньшей мере четыре делителя; например, у числа 7 делителями являются $1;7;-1;-7.$ Это означает, что обобщение понятия простого числа должно опираться на иные его свойства.

Аналогом простого числа для области целостности является неприводимый элемент. который определяется следующим образом[80].

Ненулевой элемент $p$ области целостности называется неприводимым (иногда неразложимым), если он не является делителем единицы и из равенства $p=ab$ следует, что $a$ или $b$ является делителем единицы.

Для целых чисел это определение означает, что неприводимыми элементами являются простые натуральные числа, а также противоположные им.

Из определения следует, что множество делителей неприводимого элемента $p$ состоит из двух частей: все делители единицы и произведения $p$ на все делители единицы (эти произведения называются ассоциированными с $p$ злементами). То есть количество делителей неприводимого $p,$ если оно конечно, вдвое больше количества делителей единицы в кольце.

Важное значение имеет аналог основной теоремы арифметики, который в обобщённом виде формулируется следующим образом[81]:

Кольцо называется факториальным, если в нём каждый ненулевой элемент, не являющийся делителем единицы, может быть представлен в виде произведения неприводимых элементов, причём это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей и их ассоциированности (умножения на делители единицы).

Не всякая область целостности факториальна, см. контрпример. Евклидово кольцо всегда факториально[82].

Существует другое, более узкое обобщение понятия простого числа, называемое простым элементом [80].

Ненулевой элемент $p$ области целостности называется простым, если он не является делителем единицы и произведение $ab$ может делиться на $p$ лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов $a$ или $b$ делится на $p$ .

■ $p$ $p=ab,$ $a,$ $p,$ $a=pq.$ $p=ab=pqb$ $p$ $1=qb,$ $b$

Обратное, вообще говоря, неверно, неприводимый элемент может не быть простым, если кольцо не является факториальным. Пример[83]: рассмотрим кольцо чисел вида $a+b{\sqrt {5}}i,$ где $a,b$ — целые числа. Число 3 в нём неприводимо, так как у него только 4 делителя: $3,1,-3,-1$ . Однако оно не является простым элементом, в чём убеждает равенство:

\left(2+{\sqrt {5}}i\right)\left(2-{\sqrt {5}}i\right)=9

Число 3 делит правую часть равенства, но не делит ни одного из сомножителей. Можно из этого факта сделать вывод, что рассмотренное кольцо не факториально; и в самом деле, равенство $6=2\cdot 3=(1-i{\sqrt {5}})(1+i{\sqrt {5}})$ показывает, что разложение на неприводимые множители в этом кольце не однозначно.

Exemple

Кольцо целых чисел факториально. В нём, как уже упоминалось выше, два делителя единицы.

См. $a+bi,$ $a,b$ $1;-1;i;-i.$ $1+i$

Пример разложения для числа 2, которое в кольце гауссовых чисел не является простым: $2=(1+i)(1-i)=i(1-i)(1-i)$ — неединственность разложения здесь кажущаяся, поскольку $1-i$ ассоциирована с $1+i$ , согласно равенству: $1-i=(-i)(1+i).$

Кольцо целых чисел Эйзенштейна $\mathbb {Z} [\omega ]$ состоит из комплексных чисел следующего вида[84]:

z=a+b\omega ,

где

a,b

— целые числа,

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

(кубический корень из единицы),

В этом кольце шесть делителей единицы: (±1, ±ω, ±ω2), оно евклидово и поэтому факториально. Неприводимые элементы (они же простые элементы) кольца называются простыми числами Эйзенштейна.

Критерий простоты: целое число Эйзенштейна $z=a+b\omega$ является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

$z$ ассоциировано с натуральным простым числом вида $3n-1.$
$|z|^{2}=a^{2}-ab+b^{2}$ (норма $z$ ) является натуральным простым вида $3n$ или $3n+1$ .

Отсюда следует, что норма любого целого числа Эйзенштейна является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа[84].

Числа, ассоциированные или комплексно-сопряжённые с простыми числами Эйзенштейна, также являются простыми числами Эйзенштейна.

Большое значение в алгебре имеет кольцо многочленов $K[x]$ , образованное многочленами с коэффициентами из некоторого поля $K.$ Делителями единицы являются здесь ненулевые константы (как многочлены нулевой степени). Кольцо многочленов евклидово и поэтому факториально. Если в качестве $K$ взять поле вещественных чисел, то неприводимыми будут все многочлены 1-й степени и те многочлены 2-й степени, у которых нет вещественных корней (то есть их дискриминант отрицателен)[85].

Vezi și

Note

— М. 4.
↑ 1 2 "«Arguments for and against the primality of 1 Архивная копия от 24 февраля 2021 на Wayback Machine». (англ.)
См.
din engleza. — 10.000 de exemplare.
↑ (фр.) Préhistoire de la géométrie : le problème des sources (PDF) (недоступная ссылка). Site de l’IREM de La Réunion. Voir aussi « Les fables d’Ishango, ou l’irrésistible tentation de la mathématique-fiction» Архивная копия от 22 декабря 2017 на Wayback Machine, analyse par O. Keller sur Bibnum
↑ Egyptian Unit Fractions // Mathpages. Архивировано 1 апреля 2016 года.
— С. (рус.)
↑ John J. O'Connor, Edmund F. Robertson. Prime numbers (англ.). MacTutor.
Excelent Internet Mersenne Prime Search . (неопр.)
↑ 1 2 3 Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory. — New York: Springer-Verlag, 1976. — xii, 338 pages с. — ISBN 0387901639. Архивная копия от 28 апреля 2020 на Wayback Machine
Cu.
↑ 1 2 3 Menezes, AJ (Alfred J.), 1965-. Manual de criptografie aplicată .
Т. 190 .
↑ Dudley, Underwood (1978), Elementary number theory (2nd ed.), W. H. Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-0076-0 , Section 2, Theorem 2 (англ.)
↑ См, например, David E. Joyce’s комментарий на Начала (Евклид), Книга VII, определения 1 и 2 Архивная копия от 5 августа 2011 на Wayback Machine.
↑ 1 2 3 Why is the number one not prime? (from the Prime Pages' list of frequently asked questions) by Chris K. Caldwell. Архивная копия от 19 апреля 2015 на Wayback Machine (англ.)
↑ See for instance: L. Euler. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 160—188. Variae observationes circa series infinitas, Theorema 19, p.187. Архивная копия от 5 октября 2013 на Wayback Machine (англ.)
↑ Derbyshire, John (2003), The Prime Number Theorem, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, D.C.: Joseph Henry Press, с. 33, ISBN 978-0-309-08549-6, OCLC 249210614 (англ.)
↑ David Gries, Jayadev Misra. A Linear Sieve Algorithm for Finding Prime Numbers. — 1978.
↑ Knuth, Donald Ervin, 1938-. The art of computer programming. — Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co, ©1973-©1981. — 4 volumes с. — ISBN 0201896842. Архивная копия от 15 июня 2020 на Wayback Machine
↑ 1 2 Vasilenko, O. N. (Oleg Nikolaevich). Teoretiko-chislovye algoritmy v kriptografii. — Moskva: MT︠S︡NMO. Moskovskiĭ t︠s︡entr nepreryvnogo matematicheskogo obrazovanii︠a︡, 2006. — 333 pages с. — ISBN 5940571034.
↑ Б. — С.
— М.
↑ Crandall R., Pomerance C. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer, 2005.
— Ed. a II-a.
В.
↑ Chris Caldwell. The Largest Known Prime by Year: A Brief History (англ.). The Prime Pages. Дата обращения: 8 марта 2010. Архивировано 19 августа 2013 года.
4 .
↑ Letter Архивная копия от 11 июня 2015 на Wayback Machine in Латынь from Goldbach to Euler, July 1730.
↑ Рекорды простых чисел по годам (неопр.). Дата обращения: 8 марта 2010. Архивировано 19 августа 2013 года.
↑ Starr, Michelle. The Largest Prime Number to Date Has Been Discovered And It's Hurting Our Brains (англ.), ScienceAlert. Архивировано 6 января 2018 года. Дата обращения 6 января 2018.
↑ EFF Cooperative Computing Awards Архивная копия от 9 ноября 2008 на Wayback Machine (англ.)
↑ Юлия Рудый. Профессор из США определил самое большое простое число (неопр.). Вести.Ru (7 февраля 2013). Дата обращения: 25 февраля 2018. Архивировано 26 февраля 2018 года.
↑ 1 2 Последовательность A001348 в OEIS
↑ Последовательность A000668 в OEIS: простые числа Мерсенна
↑ Последовательность A000215 в OEIS
↑ Keller, Wilfrid (February 15, 2015), Prime Factors of Fermat Numbers, <http://www.prothsearch.net/fermat.html#Summary>. Проверено 1 марта 2016. Архивная копия от 10 февраля 2016 на Wayback Machine
— М.
↑ Последовательность A003261 в OEIS
↑ Последовательность A050918 в OEIS: простые числа Вудала
↑ Последовательность A002064 în OEIS
↑ Последовательность A050920 в OEIS: простые числа Каллена
↑ Последовательность A080075 в OEIS
Noi criterii de primalitate și factorizări ale 2^m ± 1 (англ.) // Matematica calculului : jurnal.
↑ Последовательность A080076 в OEIS: простые числа Прота
↑ Caldwell, Chris K. și Cheng, Yuanyou (2005), Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem , Journal of Integer Sequences Т.
↑ Dudley, Underwood (1978), Teoria numerelor elementare (ed. a doua), WH Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-0076-0 , Secțiunea 2, Lema 5 (англ.)
А. — М.
43.
Г.
↑ А. И. Введение в алгебру, III часть.
М. — Л.
↑ Chris Caldwell, postulatul lui Bertrand Архивная копия от 22 декабря 2017 на Wayback Machine at Prime Pages glosar.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Энциклопедический словарь юного математика, 1985 .
Нечётное число p , не кратное 3, равно 1 или 2 по модулю 3 и равно 1, 3, 5 или 7 по модулю 8. При возведении в квадрат это даёт 1 по модулю 3 и 1 по модулю 8. Вычитая 1, получаем 0 по модулю 3 и 0 по модулю 8. Следовательно, кратно 3 и кратно 8; следовательно, оно кратно 24 $p^{2}-1$
↑ Weisstein, Eric W. Teorema Green-Tao (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
↑ Эти 2 свойства непосредственно следуют из формул разложения суммы и разности степеней
332.
Cu.
— Washington, DC: Mathematical Association of America, 2007. — xix, 391 pagini с.
Există infinit de multe numere Carmichael // Analele matematicii. 3 . - doi : 10.2307/2118576 . Arhivat din original pe 26 februarie 2019.
↑ Charles C. Sims. — 1965-01-01. — Vol. s3-15 , iss. 1 . - P. 151-166 . — ISSN 1460-244X . - doi : 10.1112/plms/s3-15.1.151 . Arhivat din original pe 23 decembrie 2017.
- Mineola, NY: Dover Publications, 2009. - 2 volume p.
↑ Sagalovici Yu.L. - 2011. - 302 p. Arhivat pe 25 decembrie 2017 la Wayback Machine
↑ Ferguson, Niels. criptografie practică . — ISBN 0471223573 .
Noi direcții în criptografie // IEEE Transactions on Information Theory. 6 . - S. 644-654 . — ISSN 0018-9448 .
↑ Bakhtiari, Maarof, 2012 , p. 175.
↑ Boneh D. Twenty Years of attacks on the RSA Cryptosystem // Notices Amer . Matematică. soc. / F. Morgan - AMS , 1999. - Vol. 46, Iss. 2. - P. 203-213.
. Publicat 18 mai 2007.
↑ Jones JP, Sato D., Wada H., Wiens D. Reprezentarea diofantică a mulțimii numerelor prime // Amer . Matematică. Lun. : jurnal. - 1976. - Vol. 83 , nr. 6 . - P. 449-464 .
↑ Yuri Matiyasevich, Ecuații diofantine în secolul XX (недоступная ссылка)
↑ Polinomul lui Matijasevic Arhivat 6 august 2010 la Wayback Machine . Glosarul principal.
^ Weisstein , Eric W. Landau's Problems pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Matematician necunoscut face o descoperire în teoria primelor gemene . (неопр.)
↑ Decalaje limitate între prime . (неопр.)
^ Weisstein , Eric W. Legendre's Hypothesis (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Generalizare la semigrupuri arbitrare , vezi cartea lui Kurosh.
↑ Van der Waerden, 2004 , p. 75.
↑ 1 2 Kurosh, 1973 , p. 82-83.
↑ Leng, 1967 , p. 89.
↑ Van der Waerden, 2004 , p. 77-78.
250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9
Preluat la 23 decembrie 2017. Arhivat din original la 15 decembrie 2020. (неопр.)
↑ Vinberg E. B. Algebra polinoamelor. - M . : Educaţie, 1980. - S. 122-124.

Literatură

Van der Waerden . Algebră. - Sankt Petersburg.
Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии . — М. : МЦНМО , 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4 . Архивная копия от 27 января 2007 на Wayback Machine
Винберг Э. Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Матем. просв. — М. : Изд-во МЦНМО , 2008. — Т. 12. — С. 43—53.
- Nr. 4 . - S. 9-14,38 .
Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight. — М. : «Вильямс», 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4 .
Karpushina N. Palindromuri și „schimbătoare” între numere prime // Știință și viață . - 2010. - Nr 5 . (рус.)
Kordemsky B. A. Ingeniozitate matematică . - M. : GIFML, 1958. - 576 p.
Kormen T., Leiser C. Capitolul 33.8. Verificarea numerelor pentru simplitate // Algoritmi. Construcție și analiză . - M. : MTSNMO, 2002. - S. 765-772.
Крэндалл Р. , Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты = numere prime: o perspectivă computațională. — М. : УРСС , Либроком, 2011. — 664 с. — ISBN 978-5-397-02060-2 .
Prelegeri despre algebră generală.
Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1967.
Матиясевич Ю. . Формулы для простых чисел // Квант . — 1975. — № 5 . — С. 5—13 .
Nesterenko Yu. V. Probleme algoritmice ale teoriei numerelor // Introducere în criptografie / Editat de V. V. Yashchenko. - Petru, 2001. - 288 p. - ISBN 5-318-00443-1 .
Zager D. Primele 50 de milioane de numere prime // Advances in Mathematical Sciences . - Academia Rusă de Științe , 1984. - T. 39 , Nr. 6 (240) . (рус.)
Cheryomushkin A. V. Prelegeri despre algoritmi aritmetici în criptografie . - M. : MTSNMO , 2002. - 104 p. - 2000 de exemplare. — ISBN 5-94057-060-7 . Arhivat din original pe 31 mai 2013. .
Număr prim // Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie , 1985. - S. 262 -263. — 352 p.
Enrique Gracien. Numere simple. Drum lung spre infinit.
Bakhtiari M. , Maarof M. A. Slăbiciune serioasă de securitate în Cryptosystem RSA (engleză) // IJCSI - 2012. - Vol. 9, Iss. 1, Nr 3. - P. 175-178. — ISSN 1694-0814 ; 1694-0784
Crandall R., Pomerance C. Capitolul 3. Recunoașterea primelor și compozitelor. Capitolul 4. „Demonstrarea primalității” // Numerele prime: o perspectivă computațională . - Springer, 2005. - S. 117-224. — ISBN 0-387-25282-7 .

Link -uri

Кноп К. В погоне за простотой .
Paginile Prime (англ.) — база данных наибольших известных простых чисел (англ.) .
Geometria numerelor prime și perfecte (în spaniolă) .
Script de vizualizare
Форум искателей простых чисел (англ.) .

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 11932592t GND : 4047263-2 J9U : 987007538747905171 LCCN : sh85093218 LNB : 000232578 NDL : 00571462 NKC : ph139050

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Целые ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Рациональные ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Алгебраические ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Комплексные ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Седенионы ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Альтернионы Dual Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные ireal
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	numere cardinale Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
Vezi si	Двойные числа Numere irationale Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион

Числа по характеристикам делимости
Informatii generale	Факторизация целых чисел Divizibilitate Унитарный делитель Функция делителей număr prim Основная теорема арифметики Арифметическое число
Факторизационные формы	număr prim Numar compus Полупростое число Прямоугольное число Сфеническое число Бесквадратное число Полнократное число Совершенная степень Ахиллесово число Гладкое число Регулярное число Грубое число Необычное число
С ограниченными делителями	Совершенное число Слегка недостаточные числа Слегка избыточные числа Мультисовершенное число Гемисовершенные числа Гиперсовершенное число Суперсовершенное число Унитарное простое Полусовершенное число Параритмическое число Число Эрдёша-Николя
Числа с многими делителями	Избыточные числа Примитивные избыточные числа Высокоизбыточные числа Суперизбыточные числа Колоссально избыточные числа Сверхсоставное число Весьма суперсоставное число Странное число
Связанные с аликвотными последовательностями	Неприкосновенное число Дружественные числа Общественные числа Квазидружественные числа
Alte	Недостаточные числа Приятельские числа Сублимированные числа Числа Оре Скромное число Равноцифровые числа Экстравагантное число