Distribuția chi-pătrat

distributie . Distribuția Pearson $\chi ^{2}$
Probabilitate densitate
funcția de distribuție
Desemnare	$\chi ^{2}(k)$ sau $\chi _{k}^{2)$
Opțiuni	$k>0$ este numărul de grade de libertate
Purtător	$x\in [0;+\infty )$
Probabilitate densitate	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$
funcția de distribuție	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$
Valorea estimata	$k$
Median	despre $k-2/3$
Modă	0 pentru dacă $k<2,$ $k-2,$ $k\geq 2$
Dispersia	$2\,k$
Coeficient de asimetrie	${\sqrt {8/k)}$
Coeficientul de kurtoză	$12/k$
Entropia diferenţială	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$ $\psi (x)=\Gamma '(x)/\Gamma (x).$
Funcția generatoare a momentelor	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , dacă $2\,t<1$
functie caracteristica	$(1-2\,i\,t)^{-k/2)$

Distribuție (chi-pătrat) cu grade de libertate $\chi ^{2}$ $k$ - distribuția sumei pătratelor variabilelor aleatoare normale standard independente . $k$

Definiție

Fie variabile aleatoare normale standard independente împreună, adică: . Apoi variabila aleatoare $z_{1},\ldots ,z_{k}$ $z_{i}\simN(0,1)$

x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2)

are o distribuție chi-pătrat cu grade de libertate, adică , sau, scris diferit: $k$ $x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)$

x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)

Distribuția chi-pătrat este un caz special al distribuției gamma , iar densitatea acesteia este:

f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2}, {2}\right)={\frac {(1/2) ^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}

unde este distribuția gamma și este funcția gamma . $\Gamma \!\left({k/2},2\right)$ $\Gamma \!\stanga({k/2}\dreapta)$

Funcția de distribuție are următoarea formă:

F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \peste 2}\dreapta)}}

unde și notează funcțiile gamma complete și , respectiv, incomplete . $\Gamma$ $\gamma$

Proprietăți ale distribuției chi-pătrat

Distribuția chi-pătrat este stabilă în raport cu însumarea . Dacă sunt independente, și , și , atunci . $Y_{1},Y_{2}$ $Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ $Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$

Din definiție, este ușor de obținut momentele distribuției chi-pătrat. Dacă , atunci $Y\sim\chi ^{2}(k)$

\mathbb {E} [Y]=k

\mathrm {D} [Y]=2k

În virtutea teoremei limitei centrale , cu un număr mare de grade de libertate, distribuția unei variabile aleatoare poate fi aproximată ca normală . Mai precis $Y\sim\chi ^{2}(k)$ $Y\aproximativ N(k,2k)$

{\frac {Yk}{\sqrt {2k}}}\la N(0,1)

prin distributie la .

k\to\infty

Relația cu alte distribuții

Dacă variabilele aleatoare normale independente, adică: este cunoscută, atunci variabila aleatoare $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $X_{i}\sim N(\mu,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots,k;\;\mu$

Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}

are o distributie . $\chi ^{2}(k)$

Dacă , atunci distribuția chi pătrat este aceeași cu distribuția exponențială : $k=2$

\chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)

Dacă , atunci este distribuția Erlang . $X\sim \chi ^{2}(2k)$ $X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)$
Dacă și , atunci variabila aleatoare $Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$

F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}

are o distribuție Fisher cu grade de libertate . $(k_{1},k_{2})$

$\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$ ( distribuție chi-pătrat non-centrală cu parametru de non-centralitate ) $\lambda =0$
Dacă și , atunci . ( distribuție gamma ) $X\sim \chi ^{2}(\nu )\,$ $c>0\,$ $cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$
Dacă atunci ( distribuția chi ) $X\sim \chi _{k}^{2)$ ${\sqrt {X}}\sim \chi _{k}$
Dacă ( distribuția Rayleigh ), atunci $X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,$ $X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,$
Dacă ( distribuția Maxwell ), atunci $X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,$ $X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,$
Dacă și sunt independente, atunci - ( distribuție beta ) $X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,$ $Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,$ ${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}}, {\tfrac {\nu _{2}} {2)))\,$
Dacă - ( distribuție uniformă ), atunci $X\sim \operatorname {U} (0,1)\,$ $-2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,$
$\chi ^{2}(6)\,$ este transformarea distribuției Laplace
Dacă atunci $X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu,\beta)\,$ $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,$
distribuția chi-pătrat - transformarea distribuției Pareto
distribuție t - transformarea distribuției chi pătrat
Distribuția t poate fi derivată din distribuțiile chi pătrat și normal
Dacă și sunt independente, atunci . Dacă și nu sunt independente, atunci nu este distribuit conform legii chi-pătrat. $X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ $X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$ $X_{1}$ $X_{2}$ $X_{1}+X_{2}$

Variații și generalizări

O altă generalizare a distribuției chi-pătrat este așa-numita distribuție chi-pătrat non-centrală care apare în unele probleme statistice.

Quantiles

O cuantilă este un număr (argument) pe care funcția de distribuție este egală cu o probabilitate dată, cerută. În linii mari, o cuantilă este rezultatul inversării unei funcții de distribuție, dar există subtilități cu funcțiile de distribuție discontinue.

Istorie

Criteriul $\chi ^{2}$ a fost propus de Karl Pearson în 1900 [1] . Lucrarea sa este privită ca fundamentul statisticii matematice moderne. Predecesorii lui Pearson au reprezentat pur și simplu rezultatele experimentale și au susținut că sunt corecte. În articolul său, Pearson a oferit câteva exemple interesante de utilizare greșită a statisticilor. De asemenea, a dovedit că unele dintre observațiile asupra roții ruletei (pe care a experimentat două săptămâni la Monte Carlo în 1892) erau atât de departe de frecvențele așteptate încât șansele de a le obține din nou, presupunând că roata ruletei este aranjată conștiincios, sunt egale cu unu.din 10 29 .

O discuție generală a criteriului și o bibliografie extinsă pot fi găsite în lucrarea de revizuire a lui William J. Cochran [2] . $\chi ^{2}$

Aplicații

Distribuția chi-pătrat are numeroase aplicații în inferența statistică, cum ar fi utilizarea testului chi-pătrat și estimarea variațiilor. Este utilizat în problema estimării mediei unei populații distribuite normal și în problema estimării pantei unei drepte de regresie datorită rolului său în distribuția t a lui Student . Este folosit în analiza varianței .

Următoarele sunt exemple de situații în care o distribuție chi-pătrat apare dintr-un eșantion normal:

dacă sunt variabile aleatoare independente și distribuite egal , atunci , unde $X_{1},...,X_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X)))^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^ {2}$ ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$
Tabelul prezintă câteva statistici bazate pe variabile aleatoare independente ale căror distribuții sunt legate de o distribuție chi-pătrat: $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}), i=1,...,k$

Nume	Statistici
distribuția chi-pătrat	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
distribuție chi-pătrat non-centrală	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
distribuția chi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)}{\sigma _{i)}\right) ^{2}}}$
distribuția chi non-centrală	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Tabelul χ 2 și p - valorile

Pentru orice număr p între 0 și 1, se definește o valoare p - probabilitatea de a obține pentru un model probabilistic dat de distribuție a valorilor unei variabile aleatoare aceeași valoare sau mai extremă a statisticilor (media aritmetică, mediană, etc.), comparativ cu cel observat, cu condiția ca ipoteza nulă să fie adevărată . În acest caz, este distribuția . Deoarece valoarea funcției de distribuție într-un punct pentru gradele de libertate corespunzătoare dă probabilitatea obținerii unei valori statistice mai puțin extreme decât acest punct, valoarea p poate fi obținută prin scăderea valorii funcției de distribuție din unitate. O valoare p mică – sub nivelul de semnificație selectat – înseamnă semnificație statistică . Acest lucru va fi suficient pentru a respinge ipoteza nulă. Pentru a distinge între rezultatele semnificative și nesemnificative, se folosește în mod obișnuit un nivel de 0,05. $\chi ^{2}$

Tabelul oferă valorile p pentru valorile corespunzătoare pentru primele zece grade de libertate. $\chi ^{2}$

Grade de libertate ( df )	Valoare [3] $\chi ^{2}$
unu	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1,64	2,71	3,84	6,63	10.83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1.39	2.41	3.22	4,61	5,99	9.21	13.82
3	0,35	0,58	1.01	1.42	2.37	3,66	4,64	6.25	7,81	11.34	16.27
patru	0,71	1.06	1,65	2.20	3.36	4,88	5,99	7,78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1,61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1,63	2.20	3.07	3,83	5.35	7.23	8,56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2,83	3,82	4,67	6.35	8.38	9,80	12.02	14.07	18.48	24.32
opt	2,73	3.49	4,59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
zece	3,94	4,87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
valoarea p	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Aceste valori pot fi calculate în termenii cuantilei (funcția de distribuție inversă) a distribuției chi-pătrat [4] . De exemplu, cuantila pentru p = 0,05 și df = 7 dă = 14,06714 ≈ 14,07 , ca în tabelul de mai sus. Aceasta înseamnă că pentru observarea experimentală a șapte variabile aleatoare independente , cu validitatea ipotezei nule „fiecare variabilă este descrisă printr-o distribuție standard normală cu o mediană de 0 și o abatere standard de 1”, valoarea poate fi obținută numai în 5% din implementări. Obținerea unei valori mai mari poate fi considerată de obicei un motiv suficient pentru a respinge această ipoteză nulă. $\chi ^{2}$ $\chi ^{2}$ $x_{1},...,x_{7)$ $x_{1}^{2}+...+x_{7}^{2}>14{,}07$

Tabelul dă rotunjire la sutimi; pentru tabele mai precise pentru mai multe grade de libertate vezi de exemplu aici [5] .

Vezi și

testul de bunăstare a potrivirii lui Pearson (criteriul ) $\chi ^{2}$

Note

↑ Pearson K. Pe criteriul că un sistem dat de abateri de la probabil în cazul unui sistem corelat de variabile este de așa natură încât se poate presupune în mod rezonabil că a apărut din eșantionarea aleatorie // Philosophical Magazine, Series 5 - Vol. 50 , nr. 302 . - P. 157-175 . - doi : 10.1080/14786440009463897 .
↑ Cochran WG The Test of Goodness of Fit $\chi ^{2}$ // Analele matematice. stat. - 1952. - Vol. 23 , nr. 3 . - P. 315-345 .
↑ Testul Chi-Squared Arhivat 18 noiembrie 2013 la Wayback Machine Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin la Universitatea de Stat din Pennsylvania. Această sursă citează la rândul său: RA Fisher și F. Yates , Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, ed. a 6-a, Tabelul IV. Au fost corectate două valori, 7,82 cu 7,81 și 4,60 cu 4,61.
↑ R Tutorial: Distribuția Chi-pătrat . Data accesului: 19 noiembrie 2019. Arhivat din original pe 16 februarie 2021. (nedefinit)
↑ StatSoft: Tabele de distribuție - Distribuția chi-pătrat . Preluat la 29 ianuarie 2020. Arhivat din original la 26 ianuarie 2020. (nedefinit)

Distribuții de probabilitate
Discret	Bernoulli Binom Geometric hipergeometrică Logaritmic Binom negativ Poisson Uniformă discretă Multinom
Absolut continuu	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenţială Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gauss) Logistică Nakagami Pareto Pearson semicircular uniformă continuă Orez Rayleigh Student Tracey - Vidoma Pescar Chi-pătrat Exponenţial Varianta-gama Normal multivariat copulă