Întreg

Numerele întregi sunt o extensie a mulțimii numerelor naturale [1] obținute prin adăugarea de numere zero și negative [2] . Necesitatea de a lua în considerare numerele întregi este dictată de imposibilitatea în cazul general de a scădea un alt număr natural de la unul - nu poți scădea decât un număr mai mic dintr-un număr mai mare. Introducerea numerelor zero și negative face ca scăderea să fie aceeași operație cu drepturi depline ca și adunarea [3] .

Un număr real este un număr întreg dacă reprezentarea sa zecimală nu conține o parte fracțională (dar poate conține un semn). Exemple de numere reale:

Numerele 142857; 0; −273 sunt numere întregi. Numerele 5½; 9,75 nu sunt numere întregi.

Se notează mulțimea numerelor întregi (din germană Zahlen - „numere” [4] ). Studiul proprietăților numerelor întregi este ramura matematicii numită teoria numerelor . $\mathbb {Z}$

Numerele pozitive și negative

Conform construcției sale, mulțimea numerelor întregi este formată din trei părți:

Numere naturale (sau, echivalent, numere întregi pozitive). Ele apar în mod natural la numărarea (1, 2, 3, 4, 5…) [5] .
Zero este numărul notat cu . Proprietatea sa definitorie: pentru orice număr . $0$ $0+n=n+0=n$ $n$
Numere întregi negative .

La scrierea numerelor negative, acestea sunt marcate în față cu semnul minus : Pentru fiecare număr întreg, există și un număr unic opus acestuia, notat și având proprietatea că , dacă este pozitiv, atunci opusul său este negativ și invers. Zero este opus lui însuși [2] . $-1,-2,-3\dots$ $A$ $-A$ $a+(-a)=0.$ $A$

Valoarea absolută a unui număr întreg se numește acest număr cu un semn eliminat [6] . Desemnare: $A$ $\left|a\right|.$

Exemple:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Proprietăți algebrice

În mulțimea numerelor întregi, sunt definite trei operații aritmetice de bază: adunarea , inversul adunării, scăderii și înmulțirii . Există și o operație importantă specifică numerelor naturale și întregi: împărțirea cu rest . În cele din urmă, este definită o ordine pentru numerele întregi , care vă permite să comparați numerele între ele.

Adunarea și scăderea

Următorul tabel ilustrează proprietățile de bază ale adunării [7] pentru orice numere întregi : $a,b,c$

Proprietate	Notația algebrică
Comutativitate ( portabilitate )	$a+b=b+a$
Asociativitate ( Compatibilitate )	$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$
Proprietate zero	$a+0=a$
Proprietatea elementului opus	$a+\left(-a\right)=0$

La adăugarea și scăderea numerelor întregi, se respectă următoarele reguli de semne [7] [8] , care trebuie luate în considerare la deschiderea parantezelor:

-\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-ab;\ -\left(ab\right)=-a+b.

Reguli de adunare a numerelor întregi [9] .

Când adăugați numere întregi cu aceleași semne, trebuie să adăugați valorile lor absolute și să îi atribuiți semnul termenilor. Exemplu; . $-14+\left(-28\right)=-42$
Când adăugați numere întregi cu semne diferite, este necesar să le comparați valorile absolute, să le scădeți pe cea mai mică din cea mai mare și să atribuiți rezultatului semnul sumandului cu valoarea absolută mai mare. Exemple: . $-4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5$
Scăderea pentru numere întregi este întotdeauna posibilă și rezultatul poate fi găsit ca Exemplu: . $ab$ $a+\stânga(-b\dreapta).$ $26-51=26+\left(-51\right)=-25$
Din punct de vedere geometric, adăugarea poate fi vizualizată ca o deplasare a unui număr de-a lungul axei numerelor (vezi figura de la începutul articolului), iar adăugarea unui număr pozitiv determină o deplasare la dreapta și un număr negativ la stânga. De exemplu, pentru un număr, adăugarea acestuia înseamnă deplasarea lui la dreapta cu 4 unități; vezi clar ce se intampla . În mod similar , deplasându -ne la stânga cu 4 unități, obținem ca rezultat . $-3$ $patru$ $+1$ $-3+\stânga(-4\dreapta)$ $-3$ $-7$
Scăderea poate fi vizualizată într-un mod similar, dar în acest caz, dimpotrivă, scăderea unui număr pozitiv determină o deplasare la stânga, iar un număr negativ la dreapta. De exemplu, se deplasează cu 7 unități la numărul și îl deplasează la dreapta către numărul . $5-7$ $5$ $-2$ $5-\left(-7\right)$ $12$

Înmulțirea și exponentiația

Înmulțirea numerelor se notează în continuare sau (doar în cazul notațiilor cu litere) pur și simplu . Următorul tabel ilustrează proprietățile de bază ale înmulțirii [7] pentru orice numere întregi : $a,b$ $a\times b$ $ab$ $a,b,c$

Proprietate	Notația algebrică
Comutativitate ( portabilitate )	$a\times b=b\times a$
Asociativitate ( Compatibilitate )	$a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c$
proprietatea unitatii	$a\times 1=a$
Proprietate zero	$a\times 0=0$
Distributivitatea (distributivitatea) înmulțirii în raport cu adunarea	$a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

La înmulțirea numerelor întregi, se respectă regulile semnelor [7] [8] , care trebuie luate în considerare la deschiderea parantezelor:

\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\\left(-a\right)\left(-b\right)=ab

Consecință : produsul numerelor cu aceleași semne este pozitiv, cu semne diferite este negativ.

Ridicarea numerelor întregi la o putere naturală este definită în același mod ca și pentru numerele naturale:

a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n)

Proprietățile ridicării numerelor întregi la o putere sunt, de asemenea, aceleași cu cele ale numerelor naturale:

\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \ stânga(a^{m}\dreapta)^{n}=a^{mn}

În plus față de această definiție, se adoptă o convenție de zero grad: pentru orice număr întreg . $a^{0}=1$ $A.$ $a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},$ $a^{0}=1.$

Ordinea

$\mathbb {Z}$ este o mulțime ordonată liniar . Ordinea în ea este dată de relațiile:

\dots -2<-1<0<1<2<\dots

Un număr întreg este pozitiv dacă este mai mare decât zero, negativ dacă este mai mic decât zero. Numerele întregi pozitive sunt numere naturale și numai ele. Numerele negative sunt opusul numerelor pozitive. Zero nu este nici pozitiv, nici negativ. Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv [2] .

Pentru orice numere întregi sunt valabile următoarele relații [10] . $a,b,c,d$

Dacă , atunci pentru oricare va fi . $a<b$ $c$ $a+c<b+c$
Dacă și , atunci . $a<b$ $c<d$ $a+c<b+d$
Dacă și , atunci . $a<b$ $c>0$ $ac<bc$
Dacă și , atunci . $a<b$ $c<0$ $ac>bc$

Pentru a compara două numere negative, există o regulă: mai mult este numărul a cărui valoare absolută este mai mică [10] . De exemplu, . $-6<-5$

Divizibilitate

Împărțire cu rest

Operația de împărțire nu este, în general, definită pe mulțimea de numere întregi. De exemplu, nu puteți împărți cu - nu există un astfel de număr întreg care, înmulțit cu , să dea . Dar puteți defini așa-numita împărțire cu un rest [11] : $3$ $2$ $2$ $3$

Pentru orice numere întregi (unde ) există un set unic de numere întregi astfel încât , unde

a,b

b\neq 0

q,r

a = bq + r

0\leqslant r<\left|b\right|.

Aici a este dividendul , b este divizorul , q este câtul (incomplet), r este restul diviziunii (întotdeauna nenegativ). Dacă restul este zero, se spune că împărțirea este întreg [11] .

Exemple

Când împărțim cu restul unui număr pozitiv la , obținem un coeficient incomplet și un rest . Examinare: $a=78$ $b=33$ $q=2$ $r=12$ $78=33\times 2+12.$
Când împărțim cu restul unui număr negativ la , obținem un coeficient incomplet și un rest . Examinare: $a=-78$ $b=33$ $q=-3$ $r=21$ $-78=33\times (-3)+21.$
La împărțirea cu restul unui număr la, obținem câtul și restul , adică împărțirea se face întreg. Pentru a afla rapid dacă un anumit număr este divizibil cu un număr (mic) , există teste de divizibilitate . $a=78$ $b=26$ $q=3$ $r=0$ $A$ $b$

Teoria comparațiilor și algoritmul euclidian se bazează pe operația de împărțire cu rest .

Întreaga divizie. Divizori

După cum s-a definit mai sus, un număr este divizibil (întreg) cu un număr dacă există un număr întreg astfel încât . Notație simbolică: . Există mai multe formulări verbale echivalente ale acestei divizibilitati [12] : $A$ $b$ $q$ $a=bq$ $b|a$

$A$ este divizibil (întreg) cu . $b$
$b$ este un divizor (sau: divide ). $A$ $b$ $A$
$A$ multiple . $b$

Fiecare număr întreg nu este egal cu zero sau are 4 divizori banali : . Dacă nu există alți divizori, numărul se numește prim [13] . $n$ $\pm 1$ $1,-1,n,-n$

Conceptul de cel mai mare divizor comun a două numere întregi, descompunerea unui număr întreg în factori primi și teorema principală de aritmetică pentru numere întregi coincid practic (cu posibilă luare în considerare a semnelor) cu analogii acestor concepte pentru numerele naturale [14] .

Numere întregi și numere reale

Există probleme practice în care este necesară rotunjirea unei valori reale la un număr întreg, adică înlocuirea acesteia cu cel mai apropiat (într-o direcție sau alta) întreg. Deoarece rotunjirea se poate face în mai multe moduri, „ simbolurile Iverson ” [15] pot fi folosite pentru clarificare :

\lfloor x\rfloor

- cel mai apropiat de numărul întreg în jos (funcția „floor”, engleză floor sau „ toată parte ”). Notația gaussiană sau notația Legendre sunt de asemenea folosite în mod tradițional .

X

[X]

E\stanga(x\dreapta)

\lceil x\rceil

- cel mai apropiat de numărul întreg în direcția mai mare (funcția „tavan”, plafon englezesc ).

X

În funcție de specificul enunțului problemei, pot fi întâlnite și alte metode: rotunjirea la cel mai apropiat număr întreg sau tăierea părții fracționale (ultima opțiune pentru cele negative diferă de funcția „parte întreagă”). $X$

O altă clasă de probleme care leagă numerele întregi și numerele reale este aproximarea unui număr real printr-un raport de numere întregi, adică un număr rațional . Se dovedește că orice număr real poate fi aproximat rațional cu orice precizie dorită, cel mai bun instrument pentru o astfel de aproximare sunt fracțiile [16] .

Istorie

Dezvoltarea matematicii a început cu abilități practice de numărare (unu, doi, trei, patru ...), prin urmare, numerele naturale au apărut în perioada preistorică ca o idealizare a unui set finit de obiecte omogene, stabile și indivizibile (oameni, oi, zile etc.). Adunarea a apărut ca un model matematic al unor evenimente atât de importante precum unirea mai multor mulțimi (cirezi, saci etc.) într-una singură, iar scăderea reflecta, dimpotrivă, separarea unei părți a mulțimii. Înmulțirea pentru numere naturale a apărut ca, ca să spunem așa, adunarea în lot: 3 × 4 însemna suma „de 3 ori 4”, adică 4 + 4 + 4 . Proprietățile și interconectarea operațiunilor au fost descoperite treptat [17] [18] .

Pasul inițial spre extinderea numerelor naturale a fost apariția lui zero; primii care au folosit acest simbol, se pare, au fost matematicienii indieni . Inițial, zero a fost folosit nu ca număr, ci ca cifră în notația pozițională a numerelor, apoi a început treptat să fie recunoscut ca un număr cu drepturi depline, indicând absența a ceva (de exemplu, ruina completă a unui comerciant. ) [19] .

Numerele negative au fost folosite pentru prima dată în China antică și în India, unde erau considerate ca o imagine matematică a „datoriilor”. Egiptul Antic , Babilonul și Grecia Antică nu foloseau numere negative, iar dacă se obțineau rădăcini negative ale ecuațiilor (atunci când se scădeau), acestea erau respinse ca imposibile. Excepție a fost Diophantus , care în secolul al III-lea cunoștea deja „regula semnelor” și știa să înmulțească numerele negative. Totuși, le-a considerat doar ca pe o etapă intermediară, utilă pentru calcularea rezultatului final, pozitiv. Utilitatea și legalitatea numerelor negative au fost stabilite treptat. Matematicianul indian Brahmagupta (secolul al VII-lea) le considera deja la egalitate cu cele pozitive [20] .

În Europa, recunoașterea a venit o mie de ani mai târziu și chiar și atunci, pentru o lungă perioadă de timp, numerele negative au fost numite „false”, „imaginare” sau „absurde”. Prima descriere a acestora în literatura europeană a apărut în Cartea Abacului de Leonard de Pisa (1202), care a tratat și numerele negative ca datorie. Bombelli și Girard în scrierile lor au considerat numerele negative ca fiind destul de acceptabile și utile, în special pentru a indica lipsa a ceva. Numerele negative au fost folosite liber de Nicola Schücke (1484) și Michael Stiefel (1544) [20] .

În secolul al XVII-lea, odată cu apariția geometriei analitice , numerele negative au primit o reprezentare geometrică vizuală pe linia numerică . Din acest moment vine egalitatea lor totală. Legalizarea numerelor negative a condus la numeroase avantaje - de exemplu, transferul termenilor unei ecuații într-o altă parte a acesteia a devenit posibil indiferent de semnul acestui termen (anterior, să spunem, ecuațiile erau considerate fundamental diferite) [21] . $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b$

Cu toate acestea, teoria numerelor negative era la început de mult timp. Pascal , de exemplu, credea că din moment ce „nimic nu poate fi mai puțin decât nimic” [22] . O proporție ciudată a fost discutată în mod viu - în ea primul termen din stânga este mai mare decât al doilea, iar din dreapta - invers și se dovedește că cel mai mare este egal cu cel mai mic (" paradoxul lui Arno "). Wallis credea că numerele negative sunt mai mici decât zero, dar în același timp mai mult decât infinit [23] . De asemenea, nu era clar ce semnificație are înmulțirea numerelor negative și de ce produsul numerelor negative este pozitiv; au avut loc discuții aprinse pe această temă. Un ecou al acelor vremuri este faptul că în aritmetica modernă operația de scădere și semnul numerelor negative sunt notate cu același simbol ( minus ), deși algebric acestea sunt concepte complet diferite. Gauss în 1831 a considerat necesar să clarifice că numerele negative au în esență aceleași drepturi ca și cele pozitive, iar faptul că nu se aplică tuturor lucrurilor nu înseamnă nimic, deoarece fracțiile nu se aplică nici la toate lucrurile (de exemplu, ele nu sunt aplicabile la numărarea persoanelor) [24] . $0-4=0$ $1:\left(-1\right)=\left(-1\right):1$

O teorie completă și destul de riguroasă a numerelor negative a fost creată abia în secolul al XIX-lea ( William Hamilton și Hermann Günter Grassmann ) [25] .

Aplicație

În științe aplicate

Numerele întregi sunt utilizate pe scară largă în studiul obiectelor care sunt indivizibile prin natura lor sau prin particularitățile enunțului problemei (de exemplu, oameni, nave, clădiri, uneori zile etc.). Numerele negative pot fi folosite și în astfel de modele - de exemplu, atunci când planificați tranzacții de vânzare, puteți indica vânzările cu numere pozitive și achizițiile cu numere negative. Un exemplu din fizică sunt numerele cuantice , care joacă un rol fundamental în microcosmos; toate sunt numere întregi cu semn (sau jumătăți întregi ) [26] .

Pentru rezolvarea problemelor apărute în acest caz s-au dezvoltat metode matematice speciale care țin cont de specificul problemelor. În special, soluția în numere întregi a ecuațiilor algebrice (de grade diferite) este considerată de teoria „ ecuațiilor diofante ” [27] . Problemele de optimizare a numărului întreg sunt investigate prin programarea întregilor [28] .

În informatică

Tipul întreg este adesea unul dintre principalele tipuri de date în limbajele de programare . Tipurile de date întregi sunt de obicei implementate ca un set fix de biți , dintre care unul codifică semnul unui număr, în timp ce ceilalți codifică cifre binare. Calculatoarele moderne au un set bogat de instrucțiuni pentru aritmetica numerelor întregi [29] .

Locul în algebra generală

Din punctul de vedere al algebrei generale , în ceea ce privește adunarea și înmulțirea este un inel comutativ infinit cu unitate, fără divizori zero ( domeniul de integritate ). Inelul numerelor întregi este euclidian (și astfel factorial ) și noetherian , dar nu artinian . Dacă extindeți acest inel adăugând tot felul de fracții la el (vezi câmpul de câte ), obțineți câmpul numerelor raționale ( ); orice împărțire este deja fezabilă în ea, cu excepția împărțirii cu zero [30] [31] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

În ceea ce privește operația de adunare, este un grup abelian și, prin urmare, de asemenea, un grup ciclic , deoarece fiecare element diferit de zero poate fi scris ca o sumă finită 1 + 1 + ... + 1 sau (−1) + (−1) ) + ... + (−1 ) . De fapt, este singurul grup ciclic infinit prin adunare, deoarece orice grup ciclic infinit este izomorf cu grupul . În ceea ce privește înmulțirea , aceasta nu formează un grup, deoarece în mulțimea numerelor întregi împărțirea, în general, este imposibilă [30] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb{Z},+)$ $\mathbb {Z}$

Mulțimea numerelor întregi cu ordinea obișnuită este un inel ordonat , dar nu este bine ordonat , deoarece, de exemplu, nu există cel mai mic dintre numerele negative. Totuși, poate fi făcută destul de ordonată prin definirea unei relații non-standard „mai mică sau egală cu” [32] , pe care o notăm și o definim astfel: $\preccurlyeq$

a\precurlyeq b,

dacă fie sau sau și

a=b,

|a|<|b|,

|a|=|b|

a<0<b.

Atunci ordinea numerelor întregi va fi: În special, va fi cel mai mic număr negativ. cu noua ordine, va fi un set bine ordonat, dar nu va mai fi un inel ordonat, deoarece această ordine nu este în concordanță cu operațiunile inelului: de exemplu, de la , adăugând 1 la stânga și la dreapta, obținem inegalitatea greșită $0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\dots$ $-unu$ $\mathbb {Z}$ $1\preccurlyeq -2$ $2\preccurlyeq -1.$

Orice inel ordonat cu identitate și fără divizori zero conține unul și doar un subinel izomorf [33] . $\mathbb {Z}$

Fundamente logice

Extinderea numerelor naturale la numere întregi, ca orice altă extensie a structurii algebrice, ridică multe întrebări, dintre care principalele sunt cum se definesc operații pe un nou tip de numere (de exemplu, cum se definește înmulțirea numerelor negative), ce proprietăți vor avea atunci și (întrebarea principală) dacă o astfel de expansiune este admisibilă, dacă nu va duce la contradicții de neînlăturat. Pentru a analiza astfel de întrebări, este necesar să se formeze un set de axiome pentru numere întregi.

Axiomatica numerelor întregi

Cel mai simplu mod de a determina axiomatica mulțimii de numere întregi este să te bazezi pe mulțimea deja construită de numere naturale (care se presupune că este consecventă și proprietățile sale sunt cunoscute). Și anume, definim ca inelul minim care conține mulțimea numerelor naturale. Mai strict, axiomele numerelor întregi sunt după cum urmează [34] [35] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Z1 : Pentru orice numere întregi , suma lor este definită .

a,b

a+b

Z2 : Adunarea este comutativă : . Pentru concizie, clauza „pentru toată lumea ” este de obicei omisă în continuare.

a+b=b+a

a,b\dots

Z3 : Adunarea este asociativă :

\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).

Z4 : Există un element 0 (zero) astfel încât .

a+0=a

Z5 : Pentru fiecare număr întreg există un element opus astfel încât

A

-A

a+\left(-a\right)=0.

Z6 : Pentru orice numere întregi produsul lor este definit .

a,b

ab

Z7 : Înmulțirea este asociativă :

\left(ab\right)c=a\left(bc\right).

Z8 : Înmulțirea este legată de adunare prin legi distributive (distributive):

\left(a+b\right)c=ac+bc;\c\left(a+b\right)=ca+cb.

Z9 : Mulțimea numerelor întregi conține o submulțime izomorfă cu mulțimea numerelor naturale . Pentru simplitate, acest subset este notat cu aceeași literă de mai jos .

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

\mathbb {N}

Z10 ( axioma minimalității ): Fie o submulțime de , inclusiv și astfel încât operația de scădere să nu conducă dincolo de . Apoi se potrivește cu totul .

M

\mathbb {Z}

\mathbb {N}

M

M

\mathbb {Z}

Toate celelalte proprietăți ale numerelor întregi urmează ca corolare din aceste axiome, inclusiv comutativitatea înmulțirii, ordinea, regulile de împărțire cu întreg și împărțirea cu rest [36] . Să arătăm, de exemplu, cum este introdusă ordinea numerelor întregi . Vom spune că dacă există un număr natural. Axiomele ordinii sunt ușor de verificat. Din definiție rezultă imediat că toate numerele naturale sunt mai mari decât zero ( pozitive ), iar toate contrariile lor sunt mai mici decât zero ( negative ). Pentru numerele naturale, noua ordine coincide cu vechea [37] . $a<b$ $ba$

Axiomatica dată a numerelor întregi este categorică , adică oricare dintre modelele sale sunt izomorfe ca inele [38] .

Consecvență

Modul standard de a demonstra consistența unei noi structuri este de a modela ( interpreta ) axiomele acesteia folosind obiecte ale unei alte structuri, a căror consistență este dincolo de orice îndoială. În cazul nostru, trebuie să implementăm aceste axiome pe baza perechilor de numere naturale [39] .

Luați în considerare toate perechile ordonate posibile de numere naturale . Pentru a clarifica semnificația următoarelor definiții, explicăm imediat că intenționăm să considerăm în continuare fiecare astfel de pereche ca un număr întreg , de exemplu, perechi sau vor reprezenta o unitate și perechile sau vor reprezenta $\stanga(a,b\dreapta)$ $ab,$ $\left(3,2\right)$ $\left(6,5\right)$ $\stanga(1,4\dreapta)$ $\left(8,11\right)$ $-3.$

Apoi, definiți [40] :

Perechi și sunt considerate egale dacă . Acest lucru se datorează faptului că, așa cum se arată în exemple, orice număr întreg poate fi reprezentat printr-un număr infinit de perechi. $\stanga(a,b\dreapta)$ $\stanga(c,d\dreapta)$ $a+d=b+c$
Adunare : suma de perechi și este definită ca o pereche . $\stanga(a,b\dreapta)$ $\stanga(c,d\dreapta)$ $\stanga(a+c,b+d\dreapta)$
Înmulțirea : produsul perechilor și este definit ca o pereche . $\stanga(a,b\dreapta)$ $\stanga(c,d\dreapta)$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$

Este ușor de verificat că rezultatele adunării și înmulțirii nu se schimbă dacă înlocuim orice pereche cu una egală, adică noua pereche de rezultat va fi egală cu cea anterioară (în sensul egalității indicat de Definiția 1) . De asemenea, este ușor de verificat că structura de perechi descrisă satisface întreaga listă de axiome ale numerelor întregi. Numerele pozitive sunt modelate prin perechi , unde , zero reprezintă perechi de forma , iar perechile cu corespund numerelor negative [40] . $\stanga(a,b\dreapta)$ $a>b$ $\left(a,a\right)$ $\stanga(a,b\dreapta)$ $a<b$

Acest model face posibilă clarificarea modului în care axiomele numerelor întregi implică în mod unic proprietățile lor; să arătăm asta pentru „regula semnelor”. De exemplu, prin înmulțirea a două „numere negative” și , pentru care , prin definiție obținem o pereche . Diferența este , acest număr este pozitiv, deci produsul-pereche reprezintă un număr întreg pozitiv, prin urmare, produsul numerelor negative este pozitiv. Orice altă regulă (să zicem, „produsul numerelor negative este negativ”) ar face teoria numerelor întregi inconsistentă. $\stanga(a,b\dreapta)$ $\stanga(c,d\dreapta)$ $a<b,\c<d$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$ $ac+bd-\left(ad+bc\right)$ $\stanga(ba\dreapta)\stanga(dc\dreapta)$

Modelul descris demonstrează că axiomatica dată a numerelor întregi este consecventă. Pentru că dacă ar exista o contradicție în el, atunci aceasta ar însemna o contradicție în aritmetica de bază a numerelor naturale pentru acest model, pe care am presupus-o în prealabil a fi consecventă [39] .

Cardinalitatea setului

Mulțimea numerelor întregi este infinită. Deși numerele naturale sunt doar o submulțime a mulțimii de numere întregi, există tot atâtea numere întregi câte numere naturale există, în sensul că cardinalitatea mulțimii de numere întregi este aceeași cu cea a mulțimilor de numere naturale — ambele. sunt numărabile [41] .

Variații și generalizări

Unele structuri algebrice sunt similare ca proprietăți cu inelul de numere întregi . Printre ei: $\mathbb {Z}$

numere întregi gaussiene . Acestea sunt numere complexe , unde sunt numere întregi. Pentru numerele gaussiene, ca și pentru numerele întregi obișnuite, pot fi definite conceptele de divizori , număr prim și modulo . Un analog al teoremei principale de aritmetică este valabil [42] . $a+bi$ $a,b$
numere întregi Eisenstein [43] .

Note

↑ Aceasta se referă la cea mai veche înțelegere a numerelor naturale cu primul element: $1,2,3,4,5\dots$
↑ 1 2 3 Manual de matematică elementară, 1978 , p. 111-113.
↑ Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 37.
↑ Paul Pollack. Primele utilizări ale simbolurilor teoriei numerelor (link inaccesibil) . Consultat la 22 octombrie 2017. Arhivat din original la 31 ianuarie 2010. (nedefinit)
↑ Matematică elementară, 1976 , p. optsprezece.
↑ Manual de matematică elementară, 1978 , p. 114.
↑ 1 2 3 4 Matematică elementară, 1976 , p. 24-28.
↑ 1 2 Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 39.
↑ Manual de matematică elementară, 1978 , p. 114-115.
↑ 1 2 Manual de matematică elementară, 1978 , p. 172-173.
↑ 1 2 Division // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1979. - T. 2.
↑ Sushkevich A. K. Teoria numerelor. Curs elementar. - Kh .: Editura Universității din Harkov, 1954. - P. 5.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. douăzeci.
↑ Conceptul de divizibilitate // Elemente ale teoriei divizibilității: Recomandări metodologice pentru studenții facultății de pedagogie și psihologie a copilăriei / comp. S. V. Pomortseva, O. V. Ivanova. - Omsk: Statul Omsk. ped. universitate, 2008. - 37 p.
↑ Knut D. The Art of Computer Programming. T. 1. Algoritmi de bază. - M .: Mir , 1976. - S. 68. - 735 p.
↑ Khinchin A. Ya. Fracțiuni continuate . — M .: GIFML, 1960.
↑ Mach E. Cunoașterea și amăgirea // Albert Einstein și teoria gravitației. - M . : Mir, 1979. - S. 74 (nota de subsol). — 592 p. : „Înainte de a apărea conceptul de număr, trebuie să existe o experiență conform căreia, într-un anumit sens , obiectele de valoare egală există multiple și invariabile .”
↑ Kline M. Matematică. Pierderea certitudinii . - M . : Mir, 1984. - S. 109 -112. — 446 p.
↑ Lamberto Garcia del Cid. Numere speciale ale altor culturi // Numere remarcabile. Zero, 666 și alte fiare. - DeAgostini, 2014. - T. 21. - S. 115. - 159 p. — (Lumea matematicii). - ISBN 978-5-9774-0716-8 .
↑ 1 2 Glazer G. I. Istoria matematicii la școală. - M . : Educaţie, 1964. - S. 132-135. — 376 p.
↑ Manual de matematică elementară, 1978 , p. 113-114.
↑ Sukhotin A. K. Vicisitudinile ideilor științifice. M.: Mol. paznic. 1991, pagina 34.
↑ Panov V.F. Numere negative // Matematică antică și tânără. - Ed. al 2-lea, corectat. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 399. - 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Alexandrova N.V. Termeni matematici.(Carte de referință). Moscova: Școala superioară, 1978, p. 164.
↑ Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III. - S. 48-49.
↑ Sivukhin D. V. § 38. Patru numere cuantice ale electronului și structura fină a termenilor spectrale // Curs general de fizică. - M. , 2005. - T. V. Fizică atomică și nucleară. - S. 226.
↑ Gelfond A. O. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi . - M . : Nauka, 1978. - ( Prelegeri populare de matematică ).
↑ Karmanov V. G. Programare matematică. — M .: Nauka , 1986. — 288 p.
↑ M. Ben-Ari. Capitolul 4. Tipuri de date elementare // Limbaje de programare. Benchmarking practic = Înțelegerea limbajului de programare. - M . : Mir, 2000. - S. 53 -74. — 366 p. — ISBN 5-03-003314-9 .
↑ 1 2 Vinberg E. B. Curs de algebră. a 2-a ed. - M. : Editura MTSNMO, 2013. - S. 15-16, 113-114. — 590 p. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
↑ Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - M . : Mir, 1972. - S. 94. - 160 p.
↑ Donald Knuth . Arta programarii, Volumul I. Algoritmi de baza. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 p.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 100.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 95-96.
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 160-162.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 96-98.
↑ Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 170-171.
↑ Sisteme numerice, 1975 , p. 98.
↑ 1 2 Sisteme numerice, 1975 , p. 100-102.
↑ 1 2 Enciclopedia de matematică elementară, 1951 , p. 162-168.
↑ N. Ya. Vilenkin . Setați povești . - Ed. a 3-a. - M. : MTSNMO , 2005. - S. 65-66. — 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ Okunev L. Ya. Numere întregi complexe. - M .: Stat. uch.-ped. Editura Comisariatului Poporului pentru Învăţământ al RSFSR, 1941. - 56 p.
↑ Eric W. Weisstein. Eisenstein Integer . Preluat: 19 august 2017. (nedefinit)

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . — M .: Nauka, 1978.
- Reeditare: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 pagini.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior. - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetică. Algebră. Analiză. — 432 p.
Nechaev V. I. Sisteme numerice. - M . : Educaţie, 1975. - 199 p.
Enciclopedia de matematică elementară (în 5 volume). - M. : Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 p.

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Dicționare și enciclopedii	mare danez mare danez Mare catalană Mare catalană Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4134668-3 NDL : 00570428 NKC : ph135364