Гипотеза римана

Ipoteza Riemann este o ipoteză matematică formulată de matematicianul german Bernhard Riemann în 1859 că funcția zeta Riemann ( introdusă de Euler în 1737 ) ia valori zero doar în numere pare negative : (unde aceste zerouri simple se numesc Funcțiile Zeros Zeta „ Triviale ”) și numere complexe cu o parte reală (zerouri „ non-banale ” ale funcției Riemann Zeta) . Conjectura Riemann se referă la locația acestor zerouri non-banale și afirmă că : $\displaystyle \zeta (s)$ $0 = \ zeta (-2) = \ zeta (-4) = \ zeta (-6) = \ puncte$ ${\ displaystyle {1 \ peste 2}}$

Все нетривиальные нули дзета -фуции itar имеюю вещественную часть, равную . ${\ displaystyle {1 \ peste 2}}$

Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули дзета-функции Римана (число которых бесконечно) лежат на критической прямой $\operatorname {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ , состоящей из комплексных чисел ${\ displaystyle {1 \ peste 2}+it}$ , где $t$ — действительное число, а $i$ — мнимая единица.

Этот воsteraliz и имеет значение как для чистой математики ( в терииster чисел ), так к прииррлл / ). Гипотеза стала основой для дальнейшего доказательства ада§раро deja в врр .. ⇨ . $X$ $\ pi (x)$

Также были выдвинуты гипотезы о возможной связи статистических свойств нетривиальных нулей дзета-функции Римана (а значит — и простых чисел) с явлениями квантовой физики, в частности — с квантовым хаосом.

Гипотеза римана часто рассpareтриваетс .

Существует множество математических проблем, доказанных в предположении верности гипотезы Римана, так что её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел[5][6].

În 2004, a fost confirmat prin metode numerice că mai mult de 10 13 (zece trilioane) primele zerouri non-banale ale funcției Riemann Zeta satisface această ipoteză, care este un argument bun în favoarea adevărului acestei ipoteze, dar nu garantează acesta .

Дзета -фуцция римана определена для всех комлексных ianuarie ianuată $\ zeta (s)$ $s \ neq 1$ ${\ displaystyle 0 = \ zeta (-2) = \ zeta (-4) = \ zeta (-6) \ dots}$

Из функционального уравнения $K -s)$ и явного выражения ${\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n^{s}}}$ при $\ operatoname {re} \, s> 1$ , где $\ mu (n)$ — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули (называемые «нетривиальными»), расположены в полосе $0 \ leqslant \ operatoname {re} \, s \ leqslant 1$ симметрично относительно так называемой «критической линии» ${1 \ peste 2}+it, \; t \ in {\ mathbb {r}}$ .

Гипоart _ _ _

« Все нетривиальные нули дзета-naфizieнции имеюю вещественн

{\ frac {1} {2))

то есть являются комплексныыи числа§ми, расiserntalоженныыи на пoряpi . ${\ displaystyle \ operatoname {re} s = {\ frac {1} {2}}}$

Обобщёная гипотеза римана -аналог гиотезы римана для обобщений дзета -фуцций, назызыаеportaых l -фуцццц д punct

Istorie

В 1859 годpreze бернхард риман оиубликовал работу «числе простых чисел, не превышающих данной веич» [9] . писал (для уобства рависиvan, в о к н ф ior м зависи ..

... Este foarte probabil ca toate [zerurile funcției xi] să fie valide. Desigur, ar fi de dorit să avem o dovadă riguroasă a acestui fapt, dar după mai multe încercări fără rod, am amânat căutarea unei astfel de dovadă, deoarece acest lucru nu este necesar în scopurile imediate ale cercetării mele.

Text original (germană)[ arataascunde] ... ES IST SEHR WAHRSCHEINLICH, DASS ALLE WURZELN REELL SIND. Hilevon Wäre Allerdings ein strenger beweis zu wünschen; ich habe indess die aufsuchung deselben nach einigen flüchtigen vergeblichen versuchen vorläufig bei seite gelassen, da er für den nächsten zweck meiner untersuchung entbehrlich schien.

Данное заявление римана к ки -фуции эквивалентно подо cord заявлению Pa

Доказательство Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году теоремы о распределении простых чисел (где они независимо показали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых $\ operatoname {re} \, s = 0$ и $\ operatoname {re} \, s = 1$ ) дало мощный импульс развитию аналитической теории чисел [11].

В 1900 году давид гильберт включил гипотезз римана в сисок 23 нерешённых пoроrme как часов в в в вster

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Unele zerouri non-banale sunt extrem de apropiate unul de celălalt. Această proprietate este cunoscută sub numele de „ fenomenul Lehmer ” [12] .

Титччарш и ворос в 1987 году показали, что дзета -фуцция может ыыи разаамамамамамамамама .

Риманом была изложена эквивалентная формулировка, гасящая, ччо все корни ксиая, ччо рие корни кси 16

В 1901 году хельге фон кох показал, что гипотеза рияckана эквивалентна следующея эквивалентна следующея ээивалентна следующея ээивалентна слcar рчи :чер:

\ pi (x) = \ int \ limite _ {2}^{x} \! {\ frac {dt} {\ ln t))+o \ left ({\ sqrt x} \ ln x \ dreapta)

X \ dreapta \ infty.

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

Для всех ыыолняется неравенство $X \ geqslant 2657$ $\ stânga | \ pi (x)-\ int \ limite _ {2}^{x} \! {\ frac {dt} {\ ln t}} \ dreapta | <{\ frac {1} {8 \ pi} } {\ sqrt {x}} \, \ ln x,$

Для всех выполняется неравенство где ψ ( x ) — вторая функция Чебышёва , ${\ displaystyle x \ geqslant 73 {,} 2}$ $| \ psi (x) -x | <{\ frac {1} {8 \ pi}} {\ sqrt {x}} \, \ ln ^{2} (x),$

Для всех выполняется неравенство где — сумма делителей числа , а — постоянная Эйлера-Маскерони Маскеро . Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях (всего 27 исключений), но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, и что последовательность исключений из условия теоремы Робина бесконечно много, если гипотеза Римана неверна. Известно также, что наименьшее из таких чисел-исключений n ≥ 5041 должно быСми быбть свисел - исключений n . $N> 5040$ $\ sigma (n) <e^{\ gamma} n \ log \ log n,$ $\ sigma (n)$ $n$ $\gamma$

Для всех выполняется неравенство где — -е гармоническое число [14] . $n> 1$ $\ sigma (n) <h_ {n}+e^{{h_ {n}}} \ ln h_ {n},$ $H_N$ $n$

Для любого положительного выполняется неравенство , где — функция Мертенса , см. также обозначение O большое . Более сильная гипотеза была опровергнута в 1985 году [15] . $\varepsilon$ ${\ displaystyle m (n) = o (n^{1/2+\ Varepsilon})}$ $M (n)$ ${\ displaystyle | m (n) | <{\ sqrt {n))}$

Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: . $\ int \ limite _ {{0}}^{{\ infty}} {\ frac {(1-12t^{2})} {(1+4t^{2})^{3}}} \ int \ limite _ {{1/2}}^{{\ infty}} \ log | \ zeta (\ sigma +it) | \, d \ sigma \, dt = {\ frac {\ pi (3- \ gamma)} {32}}$

Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

\ int _ {{0}}^{\ infty} {\ frac {z^{{ -\ sigma -1}} \ phi (z) \, dz} {{e^{{x/z}}}+ 1}} = 0

не имеет нетривиальных решений для . $\ Phi$ $1/2 <\ sigma <1$

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал [16] , что функция имеет бесконечно мноного велино мнощнех втель. $\ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}+it {\ bigr)}$

Пусть есть количество вещественных нулей, а количество нулей нечётного порядка фуна ви функц . $N (t)$ $N_ {0} (t)$ $\ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}+it {\ bigr)}$ $(0, t]$

Две гипотезы Харди и Литлвуда [17] (о расстоянии между вещественными нулями и о плотности нулей на интервалах при достаточно большом , и как можно меньшем значении , где сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана : $\ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}+it {\ bigr)}$ $\ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}+it {\ bigr)}$ $(T, T+H]$ $T> 0$ $H = t^{{a+\ Varepsilon}}$ $a> 0$ $\ Varepsilon> 0$

Для любого существует , такое что при и интервал содержит нуль нечётного пориядка функц . $\ Varepsilon> 0$ $T_ {0} = t_ {0} (\ Varepsilon)> 0$ $T \ geqslant t_ {0}$ $H = t^{{0 {,} 25+ \ Varepsilon}}$ $(T, T+H]$ $\ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}+it {\ bigr)}$
Для любого существуют такие и , что при и справедливо неравенство . $\ Varepsilon> 0$ $T_ {0} = t_ {0} (\ Varepsilon)> 0$ $c=c(\varepsilon )>0$ $T \ geqslant t_ {0}$ $H = t^{{0 {,} 5+ \ Varepsilon}}$ $N_ {0} (t+h) -n_ {0} (t) \ geqslant ch$

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого $\ Varepsilon> 0$ существуют $T_ {0} = t_ {0} (\ Varepsilon)> 0$ и $c=c(\varepsilon )>0$ , такие, что для $T \ geqslant t_ {0}$ и $H = t^{{0 {,} 5+ \ Varepsilon}}$ справедливо неравенство $N (t+h) -n (t) \ geqslant ch \ log t t$ .

Сельберг высказал гипотезу [18] , что можно уменьшить показатель степени для величи . $a = 0 {,} 5$ $H = t^{{0 {,} 5+ \ Varepsilon}}$

В 1984 году А. А. Карацуба доказал [19] [20] [21] , что при фиксированном с условием , достаточно большом и , промежуток содержит не менее вещественных нулей дзета-функции Римана . Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга. $\varepsilon$ $0 <\ Varepsilon <0 {,} 001$ $T$ $H = t^{{a+\ Varepsilon}}$ $a = {\ tfrac {27} {82}} = {\ tfrac {1} {3}}-{\ tfrac {1} {246}}$ $(T, T+H)$ $ch \ ln t$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$

Оценки Сельберга и Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при . $T \ to +\ infty$

În 1992, Karatsuba a dovedit [22] că un analog al conjecturii Selberg este valabil pentru „aproape toate” intervale , unde este un număr pozitiv fix arbitrar mic. Metoda dezvoltată de Karatsuba face posibilă investigarea zerourilor funcției Riemann Zeta pe intervale „ultra-scurte” ale liniei critice, adică la intervale , a căror lungime crește mai lent decât oricare, chiar și arbitrar mic, grad . În special, el a demonstrat că pentru orice numere date , cu condiția, aproape toate intervalele la conțin cel puțin zerouri ale funcției . Această estimare este foarte apropiată de cea care decurge din ipoteza Riemann. $(T, T+H]$ $H = t^{{\ Varepsilon}}$ $\varepsilon$ $(T, T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\ Varepsilon_ {1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T, T+H]$ $H \ geqslant \ exp {\ {(\ ln t)^{{\ varepsilon}} \}}$ $H (\ ln t)^{{1- \ Varepsilon _ {{1}}}}$ $\ zeta {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}+it {\ bigr)}$

Приблизительно в начале XX века венгерский математик Дьёрдь Пойа (в 1912—1914 годах), и, предположительно (но не достоверно), Давид Гильберт [23] , сформулировали гипотезу Гильберта — Пойи , указывающую на возможную связь между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и явлениями квантовой механики [24] [25] [26] [27] :

Нетривиальные нули дзета-функции Римана (их мнимые части) соответствуют собственным значениям некоторого эрмитового оператора ( неограниченного самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве ).

Пойа предположил, что одним из способов вывести гипотезу Римана является нахождение самосопряжённого оператора, из существования которого последует утверждение о вещественных частях нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Некоторую поддержку гипотеза Гильберта — Пойи находит в ряде аналогов дзета-функции Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над конечным полем соответствуют собственным значениям элемента Фробениуса на группе этальных когомологий, нули дзета-функции Сельберга являются собственными значениями оператора Лапласа римановой поверхности, а нули р-адической дзета-функции соответствуют собственным векторам действия Галуа на группах классов идеалов.

В 1973 году американский математик Хью Монтгомери (после общения в 1972 году с Фрименом Дайсоном ) сформулировал парную корреляционную гипотезу (не доказанную, но подтверждаемую ( Одлыжко , 1987 ) крупномасштабными численными расчётами), согласно которой корреляционные функции ( формфактор для парных корреляций) соответственно нормированных нулей дзета-функции Римана должны быть такими же, как и у собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицы [28] [29] .

Джон Дербишир обращает внимание на следующие подобия при сравнении поведения нулей дзета-функции Римана и собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицы [30] :

Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от идеально случайного разброса);
Нули дзета-функции и собственные значения эрмитовой матрицы ведут себя сходным образ;
Как для нулей дзета-функции, так и для собственных значений эрмитовой матрицы натля тетлфх.

După clarificarea situației cu unele inconsecvențe între rezultatele lui Odlyzhko și predicțiile modelului de ansamblu unitar gaussian (GUA) (Odlyzhko s-a dovedit a avea intervale puțin mai mici decât în modelul GUA), ipoteza de corelare a perechii a lui Montgomery a devenit (pentru primul time in an article by Nicholas Katz and Peter Sarnak, 1999 ) "the Montgomery-Odlyzhko law" [31] :

Распределение интервалов между последовательными нетривиальными нулями дзета-функции Римана (в правильной нормировке) статистически тождественно распределению собственных значений ГУА-оператора.

Смысл «нормировки» в «законе Монтгомери — Одлыжко» состоит во внесении поправки в виде растяжения верхней части выбранного интервала путём умножения каждого числа на его логарифм (что необходимо для выравнивания среднего расстояния между нулями дзета-функции Римана — из-за того, что нули по мере движения вверх по критической прямой делаются ближе друг к другу) [32] .

Ключевой вопрос , возникающий при подобного рода исследованиях, Дербишир формутлируе3 [3 ]

Нетривиальные нули дзета-функции Римана появились при исследовании распределения простх. Собственные значения случайных эрмитовых матриц появились при исследовании поведения систем субатомных частиц , подчиняющихся законам квантовой механики. Скажите, пожалуйста, что вообще может быть общего между простыми числами и поветьми и поветь между

В 1986 году (ещё до выхода работы Одлыжко 1987 года) английский специалист в области математической физики Майкл Берри в статье «Дзета-функция Римана: модель квантового хаоса ?» исследовал вопрос о существовании оператора Римана — оператора , собственные значения которого в точности совпадают с нетривиальными нулями дзета-функции Римана. Берри предположил, что подобный оператор Римана (риманов оператор) существует, и в рамках такого предположения задал следующий вопрос — какую динамическую систему такой риманов оператор может представлять? Его версия состояла в том, что такой риманов оператор может моделировать хаотическую си34те му .

Берри показал, что в случае своего существования риманов оператор должен моделировать оделировату з. н. квазиклассических хаотических систем (где под квазиклассической понимается такая система, в которой классическая хаотическая система связывается с подобными в квантовом мире через взятие предела в уравнениях квантовой механики, где квантовый множитель — постоянная Планка — стремится к нулю), где собственные значения такого риманова оператора — мнимые части нетривиальных нулей дзета-функции Римана — являются уровнями энергии этой квасозикции функции Римана Где примечательно то, что периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе соответствовали бы простым числам (их логарифмам ) [35] .

Согласно Берри, в такой квазиклассической хаотической системе отсутствовало бы свойство симметрии относительно обращения времени (что есть свойством хаотических систем, моделирующихся операторами типа операторов ГУА, в отличие от хаотических систем, допускающих обращение времени, и моделирующихся операторами типа операторов ГОА — гауссова ортогонального ансамбля ) [ 35] .

В 1988 году Берри [36] , и в 1999 году Берри и Джонатан Китинг [37] предсказали и детально описали отклонения от ГУА-статистики в корреляциях между сильно разнесёнными нулями (ранее замеченные Одлыжко в численной дисперсии положения нулей), где выяснилось , что отклонения точно соответствуют квантовой теории , за исключением осцилляций малого масштаба, которые впоследствии были объяснены (1999) Китингом и Богомольным Е. Б. [38] По мнению Берри, данное объяснение является «сильнейшим свидетельством в пользу гипотезы Римана», и, кроме того, «помещает неуловимый оператор в класс квантовых систем с классическим хаосом, а не в класс случайных матриц» [39] .

Французский математик Ален Конн вместо поиска (риманова) оператора, собственные значения которого совпадали бы с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, пошёл по пути построения такого оператора, для чего «образовал» адельное пространство в качестве площадки для риманова оператора. Особенностью адельного пространства является то, что действующие на нём оператранства является то, что действующие на нём оператранства является то. Такой подход позволил построить риманов оператор, собственные значения которого в точности являются нетривиальными нулями дзета-функции Римана, и где в адельное пространство, на котором такой оператор действует, простые числа встроены специальным математическим образом, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц [40] .

Для доказательства гипотезы Римана в рамках подхода Конна необходимо доказать определённую следовую формулу — формулу типа формулы Гутцвиллера (связывающей собственные значения риманова оператора, действующего в адельном пространстве, с периодическими орбитами в аналоговой классической системе) [41] .

Один из важнейших вопросов теории квантового хаоса — установление соответствия между распределением собственных значений оператора Гамильтона , задающего классическую динамику, и классическими неустойчивыми периодическими орбитами, где это соответствие даётся формулами следа Сельберга и Гутцвиллера [26] .

В 1999 году Берри и Китинг предположили, что существует некоторое неизвестное квантинг предположили, что существует некоторое неизвестное квантинг предположили, что существует некоторое неизвестное квантинг предположили $\ hat h$

{\ displaystyle \ zeta (1/2+i {\ hat {h))) = 0}

и ещё более сильно то, что римановы нули совпадают со спектром оператора . Это противоречит каноническому квантованию , которое приводит к принципу неопределённости Гейзенберга и натуральным числам как спектру квантового гармонического осциллятора . Важным моментом является то, что гамильтониан должен быть самосопряжённым оператором, чтобы квантование было реализацией гипотезы Гильберта — Пойи. В связи с этой проблемой квантовой механики Берри и Ален Конн предположили, что обратный потенциал гамильтониана связан с полупроизводной функции ${\ displaystyle 1/2+i {\ hat {h}}}$ ${\ displaystyle [x, p] = 1/2}$

{\ displaystyle n (s) = {\ frac {1} {\ pi}} \ operatorname {arg} \ xi (1/2+i {\ sqrt {s}})}

где тогда, в подходе Берри — Конна [42] ,

{\ displaystyle v^{-1} (x) = {\ sqrt {4 \ pi}} {\ frac {d^{1/2} n (x)} {dx^{1/2))))

Это даёт гамильтониан, собственные значения которого являются квадратом мнимой части римановых нулей, а также то, что функциональный определитель этого гамильтонова оператора является кси-функцией Римана . Фактически кси-функция Римана была бы пропорциональна функциональному определьному определьному определьному определителади

{\ displaystyle \ det (h+1/4+s (s-1))}

где, как доказано Конном и другими, в этом подходе

{\ displaystyle {\ frac {\ xi (s)} {\ xi (0)}} = {\ frac {\ det (h+s (s-1) +1/4)} {\ det (h+1 /patru)}}.}

В 2017 году Карл Бендер, Дорж Броди и Маркус Мюллер определили условия квантования гамильтониана Берри—Китинга [43] , но полученный гамильтониан не соответствует никакой физической системе очевидным образом [44] .

В обзорных работах ( Bombieri, 2000 , Conrey, 2003 , Sarnak, 2008 ) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Лдитон Л ).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями [45] ). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех дзета-функций , связанных с автоморфными отображениями, что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана [46] для дзета-функции Сельберга, в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса(аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейнане удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критичеснкой. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автониморфи автониморфи.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid . На 2004 год Янником Саутером и Патриком Демишелем численными методами было проверено, что более 10 13 (более десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности гипотезы, но не гарантирует её [47] [ 48] . Однако, вычислительная проверка сколь угодно большого числа нетривиальных нулей нулей нисод нулей нискобльшого числа нетривиальных нулей нисод. Например, долгое время гипотеза Мертенса также подавала большие надежды на истинность, проходя всевозможные вычислительные проверки, но позже она оказалась опровергнута. Это яркий пример математического доказательства, противоречащего большому количеству вычислительных доказательств в пользу гипотезы.

Fapte

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой он по какой-ли по по какой-ли по по какой-липрос Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики , в число которыма влорывех влорывех влотеза Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безотвенной безотренной безотреной безотрасно безопесно спользовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телегравкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телегравкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телегравкой в путешествие он отправлял одному Подробности по возвращении». Харди считал, что Бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему позволит ему повторения блуации считал

Vezi și

Открытые математические проблемы

Note

14-15.
↑ Стюарт, 2015 , Глава 9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана, с. 236, 252—253.
Ipoteza Riemann – descrierea oficială a problemei (engleză) . — 2000.
↑ Stewart, 2015 , Capitolul 9. Modele de numere prime. Ipoteza Riemann, p. 250.
349-350. Capitolul 22 423.
↑ Stewart, 2015 , Capitolul 2. Prime Number Territory. Problema lui Goldbach, p. 64-66. Capitolul 9 Ipoteza Riemann, p. 238-239.
↑ Дербишир, 2010 , Вступление, с. 15. Глава 5. Дзета-функция Римана, с. 105.
236.
Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (germană) // Monatsberichte der Berliner Akademie.
↑ Stewart, 2015 , Capitolul 9. Modele de numere prime. Ipoteza Riemann, p. 235-236.
↑ Stewart, 2015 , Capitolul 9. Modele de numere prime. Ipoteza Riemann, p. 237-238.
↑ Weisstein, Fenomenul lui Eric W. Lehmer (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128
6 .
↑ Andrew Odlyzko, Herman te Riele. Infirmarea conjecturei lui Mertens (neopr.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1985. - T. 357 . - S. 138-160 . (link indisponibil)
Rupe. :revistă. $\ zeta (s)$
↑ Hardy, GH & Littlewood, JE (1921), Zerourile funcției zeta a lui Riemann pe linia critică , Math. Z. Т. 10 (3–4): 283–317 , DOI 10.1007/BF01211614
↑ Selberg, A. Despre zerourile funcției zeta a lui Riemann (nedefinită) // Shr. Oslo.
↑ Karatsuba, A. A. Pe zerourile funcției ζ(s) pe intervale scurte ale liniei critice // Izvestiya RAN. Serii matematice. : revista. - 1984. - Nr. 48:3 . - S. 569-584 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Distribuția zerourilor funcției ζ(1/2 + it) // Izvestiya RAN. Serii matematice. . - 1984. - Nr. 48:6 . - S. 1214-1224 . (Rusă)
↑ Karatsuba, A. A. Despre zerourile funcției zeta Riemann pe linia critică (neopr.) // Trudy MIAN.
Serii matematice. : revista. - 1992. - Nr. 56: 2 . - S. 372-397 . (Rusă)
334-337.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 17. Un pic de algebră, p. 335.
↑ Stewart, 2015 , Capitolul 9. Modele de numere prime. Ipoteza Riemann, p. 250-251.
↑ 1 2 Трушечкин А. С. , Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine // Краткое изложение заявки.
↑ Трушечкин А. С. , Видеодоклад (2013) по темам: аксиомы квантовой механики, чудо квантовой интерференции, квантовая вероятность, группа Гейзенберга-Вейля, интегралы Фейнмана по путям, квантовая телепортация, квантовый хаос и дзета-функция Римана.
↑ Дербишир, 2010 , Глава 18. Теория чисел встречается с квантовой механикой, с. 345—350.
↑ Stewart, 2015 , Capitolul 9. Modele de numere prime. Ipoteza Riemann, p. 251.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 18. Teoria numerelor se întâlnește cu mecanica cuantică, p. 349.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 18. Teoria numerelor se întâlnește cu mecanica cuantică, p. 352.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 18. Teoria numerelor se întâlnește cu mecanica cuantică, p. 353.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 18. Teoria numerelor se întâlnește cu mecanica cuantică, p. 355.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 20. Operatorul riemannian și alte abordări, p. 371-372.
↑ 1 2 Derbyshire, 2010 , Capitolul 20. Operatorul riemannian și alte abordări, p. 376.
↑ Berry MV , Formula semiclasică pentru variația numărului zerourilor Riemann. Nonlinearity Vol. 1. 1988. P. 399—407.
Vol.
↑ Bogomolny E. В. , Keating JP Asimptotica corelației perechilor zerourilor Riemann. 1999.
↑ Дербишир, 2010 , Примечания и дополнения автора, сделанные в середине 2003 года, с. 447.
↑ Derbyshire, 2010 , capitolul 20. Operatorul riemannian și alte abordări, p. 377-382.
↑ Дербишир, 2010 , Глава 20. Риманов оператор и другие подходы, с. 382.
↑ Connes, Alain (1999), «Formula urmelor în geometria necommutativă și zerourile funcției zeta Riemann», Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29-106, arXiv: math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895
↑ Carl M. Bender, Dorje C. Brody, Markus P. Müller. Hamiltonian pentru zerourile funcției Zeta Riemann // Scrisori de revizuire fizică. — 30.03.2017. - T. 118 , nr. 13 . - S. 130201 .
↑ Mecanica cuantică a sugerat o posibilă dovadă a ipotezei Riemann . Preluat la 28 ianuarie 2021. Arhivat din original la 25 septembrie 2020. (Rusă)
I (nedefinit) // Publications Mathématiques de l'IHÉS. - S. 273-307 .
- 1998. - Vol. 71 , nr. 1 .
↑ Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» Архивная копия от 18 февраля 2019 на Wayback Machine (англ.)
245-246.
↑ С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Literatură

/ Per. din engleza. - 5000 de exemplare.
/ Per. din engleza. — M. : Alpina non-fiction, 2015. — 460 p. - 5000 de exemplare. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М. : Физматлит , 1994.
Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis - official problem description , Clay Mathematics Institute , < https://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf > .
Conrey, Brian (2003), Ipoteza Riemann , Notices of the American Mathematical Society : 341–353 , < http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf >
Sarnak, Peter (2008), Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis , în Borwein, Peter; Choi, Stephen & Rooney, Brendan et al., The Riemann Hypothesis , CMS Books in Mathematics, New York: Springer, с. 107–115, ISBN 978-0387721255 , < https://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf >

Link -uri

35 .
Dr. Matthew Watkins. (dez)demonstrări propuse ale Ipotezei Riemann . Preluat: 28 februarie 2016.

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX5261101 , XX5259559 BNF : 144123556 GND : 4704537-1 J9U : 987007540081805171 LCCN : sh2005000907 NDL : 01184334 NKC : ph406501 SUDOC : 077058488