Un patrulater Saccheri este un patrulater cu două laturi egale perpendiculare pe bază. Numit după Girolamo Saccheri , care l-a folosit în lucrarea sa Euclid Cleansed of All Stains ( Euclides ab omni naevo vindicatus , publicat pentru prima dată în 1733). Saccheri în această lucrare a încercat să demonstreze al cincilea postulat folosind metoda „ prin contradicție ”.
Mai devreme, la sfârșitul secolului XI, patrulaterul Sakkeri a fost considerat și de Omar Khayyam [1] .
Într-un patrulater Saccheri , laturile și sunt egale ca lungime și perpendiculare pe bază . Unghiurile de la și sunt numite unghiuri superioare , celelalte două unghiuri sunt numite inferioare .
O proprietate utilă a patrulaterului Saccheri este că tipul de plan care îl conține este determinat în mod unic de răspunsul la o singură întrebare:
Colțurile de sus sunt drepte, obtuze sau acute?Se dovedește că atunci când unghiurile superioare sunt drepte, al cincilea postulat este satisfăcut pe plan , când sunt ascuțite, planul este hiperbolic , iar când sunt obtuze, planul este eliptic (sub rezerva unor modificări suplimentare ale postulatelor [ 2] ).
Saccheri a sperat că cazurile de unghiuri obtuze și acute au condus la o contradicție cu axiomele lui Euclid. El a arătat acest lucru în cazul unghiurilor obtuze și, după cum i s-a părut, și în cazul celor ascuțite (ceea ce era evident greșit) [3] .
Patrulaterul Sakkeri a fost considerat pentru prima dată de Omar Khayyam la sfârșitul secolului al XI-lea [1] . Spre deosebire de mulți înainte și după el, Khayyam nu a încercat să demonstreze al cincilea postulat ca atare, el s-a bazat pe postulatul echivalent din „principiile filosofului” ( Aristotel ):
Două drepte convergente se intersectează și nu este posibil ca două drepte convergente să diverge în direcția în care convergeau anterior [4] .Khayyam a luat în considerare toate cele trei posibilități pentru colțurile superioare ale patrulaterului Saccheri și a demonstrat o serie de teoreme. El a infirmat (în mod corect) cazurile obtuze și acute pe baza postulatului său și a dedus din aceasta postulatul clasic al lui Euclid.
600 de ani mai târziu, Giordano Vitale a folosit patrulaterul Saccheri pentru a demonstra că, dacă trei puncte sunt echidistante de la bază și de vârf , atunci sunt la aceeași distanță peste tot.
Saccheri însuși , în lunga sa demonstrație a postulatului, a sugerat că unghiurile superioare sunt acute, după care, fără să bănuiască, a dedus din aceasta multe teoreme ale geometriei lui Lobaciovski . La sfârșitul cărții, a greșit și a ajuns la o contradicție imaginară, din care a tras concluzia că a putut demonstra postulatul al cincilea.
Fie un patrulater Saccheri cu baza . Următoarele proprietăți sunt adevărate în orice geometrie hiperbolică [5] :
Într-un plan hiperbolic de curbură constantă , partea superioară a unui patrulater Saccheri poate fi exprimată în termeni de latură și bază folosind formula
[6]Planul hiperbolic admite țiglarea unor patrulatere Saccheri:
Simetrie *3322 |
Simetrie *∞∞22 |
Poligoane | |||||
---|---|---|---|---|---|
După numărul de laturi |
| ||||
Corect |
| ||||
triunghiuri | |||||
Cadrilatere | |||||
Vezi si |