Saccheri Cadrilateral

Un patrulater Saccheri este un patrulater cu două laturi egale perpendiculare pe bază. Numit după Girolamo Saccheri , care l-a folosit în lucrarea sa Euclid Cleansed of All Stains ( Euclides ab omni naevo vindicatus , publicat pentru prima dată în 1733). Saccheri în această lucrare a încercat să demonstreze al cincilea postulat folosind metoda „ prin contradicție ”.

Mai devreme, la sfârșitul secolului XI, patrulaterul Sakkeri a fost considerat și de Omar Khayyam [1] .

Într-un patrulater Saccheri , laturile și sunt egale ca lungime și perpendiculare pe bază . Unghiurile de la și sunt numite unghiuri superioare , celelalte două unghiuri sunt numite inferioare .

O proprietate utilă a patrulaterului Saccheri este că tipul de plan care îl conține este determinat în mod unic de răspunsul la o singură întrebare:

Colțurile de sus sunt drepte, obtuze sau acute?

Se dovedește că atunci când unghiurile superioare sunt drepte, al cincilea postulat este satisfăcut pe plan , când sunt ascuțite, planul este hiperbolic , iar când sunt obtuze, planul este eliptic (sub rezerva unor modificări suplimentare ale postulatelor [ 2] ).

Saccheri a sperat că cazurile de unghiuri obtuze și acute au condus la o contradicție cu axiomele lui Euclid. El a arătat acest lucru în cazul unghiurilor obtuze și, după cum i s-a părut, și în cazul celor ascuțite (ceea ce era evident greșit) [3] .

Istorie

Patrulaterul Sakkeri a fost considerat pentru prima dată de Omar Khayyam la sfârșitul secolului al XI-lea [1] . Spre deosebire de mulți înainte și după el, Khayyam nu a încercat să demonstreze al cincilea postulat ca atare, el s-a bazat pe postulatul echivalent din „principiile filosofului” ( Aristotel ):

Două drepte convergente se intersectează și nu este posibil ca două drepte convergente să diverge în direcția în care convergeau anterior [4] .

Khayyam a luat în considerare toate cele trei posibilități pentru colțurile superioare ale patrulaterului Saccheri și a demonstrat o serie de teoreme. El a infirmat (în mod corect) cazurile obtuze și acute pe baza postulatului său și a dedus din aceasta postulatul clasic al lui Euclid.

600 de ani mai târziu, Giordano Vitale a folosit patrulaterul Saccheri pentru a demonstra că, dacă trei puncte sunt echidistante de la bază și de vârf , atunci sunt la aceeași distanță peste tot.

Saccheri însuși , în lunga sa demonstrație a postulatului, a sugerat că unghiurile superioare sunt acute, după care, fără să bănuiască, a dedus din aceasta multe teoreme ale geometriei lui Lobaciovski . La sfârșitul cărții, a greșit și a ajuns la o contradicție imaginară, din care a tras concluzia că a putut demonstra postulatul al cincilea.

Proprietăți

Fie un patrulater Saccheri cu baza . Următoarele proprietăți sunt adevărate în orice geometrie hiperbolică [5] :

Formula

Într-un plan hiperbolic de curbură constantă , partea superioară a unui patrulater Saccheri poate fi exprimată în termeni de latură și bază folosind formula

[6]

Exemple

Planul hiperbolic admite țiglarea unor patrulatere Saccheri:


Simetrie *3322
Simetrie *∞∞22

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Boris Abramovici Rozenfeld. O istorie a geometriei non-euclidiene: evoluția conceptului de spațiu geometric  . — traducere Abe Shenitzer. - Springer, 1988. - P. 65. - ISBN 0-387-96458-4 .
  2. ↑ Coxeter, 1998 , p. unsprezece.
  3. ↑ Faber, 1983 , p. 145.
  4. ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometrie, p. 467 în Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Enciclopedia istoriei științei arabe , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
  5. ↑ Faber, 1983 , pp. 146-147.
  6. ↑ P. Buser și H. Karcher.

Literatură