Geometrie euclidiană

Geometria euclidiană (sau geometria elementară ) este o teorie geometrică bazată pe un sistem de axiome , expuse pentru prima dată în Elementele lui Euclid ( secolul al III-lea î.Hr. ).

Informații de bază

Geometria elementară  este o geometrie definită în principal printr-un grup de deplasare ( izometrie ) și un grup de similaritate . Cu toate acestea, conținutul geometriei elementare nu este epuizat de transformările indicate. Geometria elementară include, de asemenea, transformarea inversă , probleme de geometrie sferică , elemente de construcții geometrice , teoria măsurării mărimilor geometrice și alte aspecte.

Geometria elementară este adesea numită geometrie euclidiană , deoarece prezentarea sa originală și sistematică, deși nu suficient de riguroasă, a fost în Elementele lui Euclid . Prima axiomatică riguroasă a geometriei elementare a fost dată de Hilbert . Geometria elementară se studiază în liceu.

Axiomatică

Sarcina de axiomatizare a geometriei elementare constă în construirea unui sistem de axiome astfel încât toate afirmațiile geometriei euclidiene să decurgă din aceste axiome printr-o deducție pur logică fără vizualizarea desenelor.

În „Elementele” lui Euclid , a fost dat un sistem de axiome , pe care se bazează toată geometria euclidiană:

1. O linie dreaptă poate fi trasă din orice punct în orice punct.
2. O linie mărginită poate fi extinsă continuu de-a lungul unei linii drepte.
3. Un cerc poate fi descris din orice centru cu orice rază.
4. Toate unghiurile drepte sunt egale între ele.
5. Dacă o linie care intersectează două linii formează unghiuri interioare unilaterale mai mici de două unghiuri drepte, atunci, extinse la infinit, aceste două linii se vor întâlni pe latura în care unghiurile sunt mai mici de două unghiuri drepte.

Acest sistem a fost suficient pentru ca un matematician să-l înțeleagă pe altul, dar în demonstrații au fost folosite implicit și alte afirmații intuitive evidente, în special așa-numita teoremă a lui Pasch , care nu poate fi dedusă din postulatele lui Euclid.

În 1899, Hilbert a propus prima axiomatică suficient de riguroasă a geometriei euclidiene . Înainte de Gilbert, încercările de a îmbunătăți axiomatica euclidiană au fost făcute de Pasch , Schur , Peano , Veronese , dar abordarea lui Hilbert, cu tot conservatorismul său în alegerea conceptelor, s-a dovedit a fi mai reușită.

Există și alte axiomatice moderne, cele mai cunoscute sunt:

• axiomatica lui Alexandrov ;
• Axiomatica lui Birkhoff , care conține doar 4 axiome, dar folosind numerele reale ca concept gata făcut;
• Axiomatica lui Tarski .

Sisteme de notație

Există mai multe sisteme de notație concurente.

• Punctele sunt de obicei notate cu litere mari latine .
• Liniile drepte sunt de obicei notate cu litere latine mici .
• Distanța dintre puncte și este de obicei notată cu sau .
• Segmentul dintre punctele și este de obicei notat cu sau .
• O rază dintr-un punct printr-un punct este de obicei notată cu sau .
• Linia care trece prin puncte și este de obicei notată cu sau .
• Un triunghi cu vârfuri și este de obicei notat cu sau .
• Aria unei figuri este de obicei notată cu sau .
• Unghiul format de raze și este de obicei notat cu .
• Mărimea unghiului este de obicei indicată .
  • În acest caz, pentru concizie, mărimea unghiului este adesea indicată cu o literă greacă mică

Vezi și

• Sisteme de axiome
  • axiomatica lui Alexandrov
  • Axiomele lui Birkhoff
  • axiomatica lui Hilbert
• Geometria lui Lobaciovski
• Geometria Riemann
• Geometrie non-euclidiană
• Geometrie analitică

Note

Literatură

• D. Hilbert Fundamentele geometriei. Traducere din germană, editată de A. V. Vasiliev. - L . : „Semănător”, 1923. - 152 p.
• Hadamard J. Geometrie elementară. - Partea 1. - M . : Uchpedgiz, 1948; Partea 2. - M . : Uchpedgiz, 1951.
• Dicţionar enciclopedic matematic . - M. : " Enciclopedia Sovietică ", 1988.
• Obukhova AI Istoria geometriei elementare .
• Geometrie euclidiană // Marea enciclopedie sovietică  : [în 30 de volume]  / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M .  : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.