Cerc circumscris

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 martie 2022; verificările necesită 10 modificări .

Cercul circumscris unui poligon este un cerc care conține toate vârfurile poligonului. Centrul este punctul (notat de obicei ) de intersecție a bisectoarelor perpendiculare pe laturile poligonului. $O$

Proprietăți

Centrul cercului circumscris unui n-gon convex se află în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare pe laturile sale. Ca o consecință: dacă un cerc este circumscris în apropierea unui n-gon, atunci toate bisectoarele perpendiculare pe laturile sale se intersectează într-un punct (centrul cercului).
În apropierea oricărui poligon regulat (toate unghiurile și laturile sunt egale) este posibil să descrii un cerc și, în plus, doar unul.
Există un singur cerc în jurul fiecărui triunghi.

Ecuații în cerc

Ecuația cercului circumscris poate fi exprimată în termenii coordonatelor carteziene ale vârfurilor triunghiului înscris în acesta. Să ne prefacem că

\mathbf {A} =(A_{x}, A_{y})

\mathbf {B} =(B_{x}, B_{y})

\mathbf {C} =(C_{x}, C_{y})

sunt coordonatele vârfurilor A , B și C . Atunci cercul este locul punctelor v = ( v x , v y ) din planul cartezian care satisface ecuațiile

|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2)

|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2)

|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2)

|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}=r^{2)

garantând că vârfurile A , B , C și v sunt la aceeași distanță r de centrul comun u al cercului. Folosind identitatea de polarizare , aceste ecuații pot fi reduse la condiția ca maparea liniară dată de matrice

{\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&- 2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} | ^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}

are un nucleu diferit de zero . Astfel, cercul circumscris poate fi descris ca mulțimea de zerouri a determinantului acestei matrice:

\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{ y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{ bmatrix}}=0.

Extinderea acestui determinant de-a lungul primului rând și introducerea notației

\quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf { B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1} {2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\ C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},

a=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end {bmatrix)} ,\quad b=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}

reducem ecuația cercului la forma a | v | 2 − 2 Sv − b = 0, sau, presupunând că punctele A , B , C nu se aflau pe aceeași dreaptă (altfel cercul degenerează într-o dreaptă, care poate fi considerată și ca un cerc generalizat cu centrul S la infinit), | v − S / a | 2 = b / a + | S | 2 / a 2 , exprimând centrul cercului ca S / a și raza acestuia ca √( b / a + | S | 2 / a 2 ). O abordare similară permite derivarea ecuației unei sfere circumscrise în jurul unui tetraedru .

Ecuație parametrică

Vectorul unitar perpendicular pe planul care conține cercul este dat ca

{\hat {n}}={\frac {\left(P_{2}-P_{1}\right)\times \left(P_{3}-P_{1}\right)}{\ stânga|\left(P_{2}-P_{1}\right)\times \left(P_{3}-P_{1}\right)\right|}}.

Așadar, având în vedere raza r centrată pe P c , punctul de pe cerc P 0 este unitatea normală la planul care conține cercul: , ecuația cu un parametru a unui cerc cu originea la P 0 și orientat în sens pozitiv ( adică, dând vectorii pentru regula din dreapta ) în acest sens arată astfel: $\scriptstyle {\pălărie {n)}$ $\scriptstyle {\pălărie {n)}$

\mathrm {R} \left(s\right)=\mathrm {P_{c)) +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right )\left(P_{0}-P_{c}\right)+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\hat { n}}\ori\stânga(P_{0}-P_{c}\dreapta)\dreapta].

Coordonatele cercului triliniar și baricentric

Ecuația cercului în coordonate triliniare x : y : z este [1] :p. 199 a / x + b / y + c / z = 0 . Ecuația cercului în coordonate baricentrice este x : y : z este a 2 / x + b 2 / y + c 2 / z = 0 . Conjugarea izogonală a unui cerc este o dreaptă la infinit, scrisă în coordonate triliniare ca ax + by + cz = 0 și în coordonate baricentrice ca x + y + z = 0 .

Coordonatele centrului cercului circumscris

Coordonatele carteziene ale centrului

Coordonatele carteziene ale centrului cercului circumscris sunt

U_{x}=\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2 }+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{ y})\dreapta]/D,

U_{y}=\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2 }+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{ x})\dreapta]/D

Unde

D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y} -B_{y})\dreapta].

Fără a pierde generalitatea, aceasta poate fi exprimată într-o formă simplificată după transferul vârfului A la originea sistemului de coordonate carteziene, adică atunci când A ′ = A − A = ( A ′ x , A ′ y ) = (0 ,0) . În acest caz, coordonatele vârfurilor B ′ = B − A și C ′ = C − A sunt vectori de la vârful A ′ la aceste vârfuri. Rețineți că această translație trivială este posibilă pentru toate triunghiurile și coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului A ′ B ′ C ′ în următoarea formă:

\left[C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2} +C_{y}^{'2})\dreapta]/D',

\left[B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2} +B_{y}^{'2})\dreapta]/D'

Unde

D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).

Coordonatele triliniare ale centrului

Centrul cercului circumscris are coordonate triliniare [1] :p.19

cos α : cos β : cos γ ,

unde α , β , γ sunt unghiurile interioare ale triunghiului. În ceea ce privește laturile triunghiului a, b, c, coordonatele triliniare ale centrului cercului circumscris au forma [2]

a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{ 2}+b^{2}-c^{2}).

Coordonatele baricentrice ale centrului

Coordonatele baricentrice ale centrului cercului circumscris sunt

a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):\;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^ {2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),

[3] ,

unde a , b , c sunt lungimile laturilor ( BC , CA , respectiv AB ) triunghiului. În ceea ce privește unghiurile unui triunghi, coordonatele baricentrice ale centrului cercului circumscris au forma [2] $\alpha ,\beta ,\gamma ,$

\sin 2\alpha:\sin 2\beta:\sin 2\gamma .

Vectorul centrului cercului circumscris

Deoarece coordonatele carteziene ale oricărui punct sunt media ponderată a acelor vârfuri, cu ponderile lor, coordonatele baricentrice ale punctului sunt normalizate în sumă cu unu, atunci vectorul centrului cercului circumscris poate fi scris ca

U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{ 2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+ c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+ b^{2}-c^{2})}}.

Aici U este vectorul central al cercului circumscris, A, B, C sunt vectori de vârf. Divizorul aici este 16 S 2 , unde S este aria triunghiului.

Pentru un triunghi

Un cerc poate fi circumscris unui triunghi și numai unul. Centrul său va fi punctul de intersecție al perpendicularelor mediale sau mediatris .

Unghiuri

Figura prezintă unghiuri egale pentru un triunghi înscris într-un cerc.

Unghiurile formate de cercul circumscris cu laturile triunghiului coincid cu unghiurile care formează laturile triunghiului, conectându-se între ele la vârfuri. Latura opusă unghiului α atinge cercul de două ori: o dată la fiecare capăt; în fiecare caz la același unghi α (vezi fig.) (în mod similar pentru celelalte două unghiuri). Aceasta este legată de teorema segmentului alternativ, care spune că unghiul dintre o tangentă și o coardă este egal cu unghiul înscris în cerc pe baza acestei coarde.

Centrele triunghiulare pe un cerc circumferitor al triunghiului ABC

În acest paragraf, vârfurile colțurilor sunt notate cu A , B , C și toate coordonatele sunt coordonate triliniare . Următoarele puncte de pe cercul circumferitor al triunghiului ABC:

Punct Steiner = bc / ( b 2 − c 2 ) : ca / ( c 2 − a 2 ) : ab / ( a 2 − b 2 ) = punct de intersecție non-apex al cercului circumscris cu elipsa Steiner. ( Elipsa Steiner centrată pe centroidul triunghiului ABC este elipsa cu cea mai mică zonă din toate cele care trec prin vârfurile A , B și C . Ecuația elipsei Steiner este: 1/( ax ) + 1/( by ) + 1/ ( cz ) = 0. )
Punct gudron = sec ( A + ω) : sec ( B + ω) : sec ( C + ω) = diametral opus punctului Steiner
Focalizarea parabolei Kiepert (parabola Kiepert) = csc ( B − C ) : csc ( C − A ) : csc ( A − B ). (vezi poza)

Perspectivele parabolelor înscrise în triunghi se află pe elipsa Steiner circumscrisă [4] . Focalizarea parabolei înscrise se află pe cercul circumscris, iar directricea trece prin ortocentru [5] . O parabolă înscrisă într-un triunghi care are drept directrice linia lui Euler se numește parabola Kiepert . Perspectiva sa este al patrulea punct de intersecție al cercului circumscris și al elipsei Steiner circumscrise , numită punct Steiner .

Teorema lui Lester [6] . În orice triunghi scalen, cele două puncte Torricelli , centrul celor nouă puncte și centrul cercului circumscris se află pe același cerc ( cercul lui Leicester ).

Proprietățile centrului cercului circumscris unui triunghi

Pentru un triunghi cu unghi ascuțit, centrul cercului circumscris se află în interior, pentru un triunghi obtuz se află în afara triunghiului, pentru un triunghi dreptunghic se află în mijlocul ipotenuzei .

unghiular acut
obtuz
Dreptunghiular

Notăm cu litera O punctul de intersecție al perpendicularelor mediane pe laturile sale și desenăm segmentele OA , OB și OS . Deoarece punctul O este echidistant de vârfurile triunghiului ABC , atunci OA \ u003d OB \ u003d OS . Prin urmare, un cerc cu centrul O de raza OA trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului și, prin urmare, este circumscris triunghiului ABC .

Centrul cercului circumscris este conjugat izogonal cu ortocentrul .
3 din cele 4 cercuri circumscrise în raport cu triunghiurile mediale (formate din liniile mediane ale triunghiului ) se intersectează într-un punct din interiorul triunghiului. Acest punct este centrul cercului circumscris triunghiului principal.
Centrul unui cerc circumscris unui triunghi servește ca ortocentru al unui triunghi cu vârfuri la mijlocul laturilor triunghiului dat (numit triunghi complementar ).
Distanța de la vârful triunghiului la ortocentru este de două ori distanța de la centrul cercului circumscris la partea opusă.
Matematic, ultima afirmație înseamnă că

distanța de la centrul cercului circumscris, de exemplu, până la latura triunghiului este: $A$

k_{a}=a/(2tgA);

distanța de la ortocentru , de exemplu, la vârful triunghiului este: $A$

d_{A}=a/(tgA).

Din ultimele trei afirmații rezultă că suma distanțelor de la ortocentrul unui triunghi unghiular ascuțit la cele trei vârfuri ale sale este de două ori mai mare decât suma distanțelor de la centrul cercului circumscris la cele trei laturi ale sale și este egal cu . Într-un triunghi obtuz, semnul „-” trebuie luat dacă perpendiculara de la centrul cercului circumscris la latură se află în întregime în afara triunghiului sau dacă segmentul trasat de la ortocentru la vârf se află în întregime în afara triunghiului. Restul termenilor sunt luați cu semnul „+”. $2(R+r)$
Matematic, ultima afirmație ( formula Carnot ) înseamnă că [7] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

unde sunt distanțele de la centrul cercului circumscris, respectiv, la laturile triunghiului; sunt distanțele de la ortocentru , respectiv, până la vârfurile triunghiului. $k_{a},k_{b},k_{c)$ $a,b,c$ $d_{A},d_{B},d_{C)$ $A,B,C$

Formula lui Carnot (o altă formulare). Fie D centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Apoi, suma distanțelor de la D la laturile triunghiului ABC , luate cu semnul „-”, atunci când înălțimea de la D la latura se află în întregime în afara triunghiului, va fi egală cu , unde r este raza cerc înscris, iar R este cercul circumferitor. În special , cu alegerea corectă a semnelor. $R+r$ $\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,$
Dacă linia ℓ a ortopolului trece prin centrul cercului circumscris triunghiului, atunci ortopolul însuși se află pe cercul Euler al acestui triunghi. [opt]

Raza

Formule pentru raza cercului circumscris

R={\frac {abc}{4S}}

R={\sqrt {\frac {S}{2\cdot \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}}.

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(buc)))))

, Unde:

a,b,c

- laturile unui triunghi

\alpha ,\beta ,\gamma

sunt unghiurile opuse laturilor , respectiv,

a,b,c

S

- aria unui triunghi.

p

este semiperimetrul triunghiului, adică .

p={\frac {a+b+c}{2)}

Poziția centrului cercului circumscris

== Fie raza-vectori ai vârfurilor triunghiului să fie raza-vector al centrului cercului circumscris. Apoi == ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{A}, {\mathbf {r} }_{B}, {\mathbf {r} }_{C))$ $\mathbf {r} _{O}$

\mathbf {r} _{O}=\alpha _{A}\mathbf {r} _{A}+\alpha _{B}\mathbf {r} _{B}+\alpha _{C }\mathbf {r} _{C}

Unde

\alpha _{A}={\frac {a^{2}}{8S^{2}}}({\mathbf {r}}_{A}-{\mathbf {r}}_{B}, {\mathbf {r}}_{A}-{\mathbf {r}}_{C}),\qquad \alpha _{B}={\frac {b^{2}}{8S^{2} ))({\mathbf {r}}_{B}-{\mathbf {r}}_{A},{\mathbf {r}}_{B}-{\mathbf {r}}_{C} ),\qquad \alpha _{C}={\frac {c^{2}}{8S^{2}}}({\mathbf {r}}_{C}-{\mathbf {r}}_ {A},{\mathbf {r}}_{C}-{\mathbf {r}}_{B})

În acest caz , lungimile laturilor triunghiului opuse vârfurilor . $a,b,c$ $A,B,C$

Ecuația cercului circumscris

Fie coordonatele vârfurilor triunghiului dintr-un sistem de coordonate carteziene pe plan coordonatele centrului cercului circumscris. Apoi ecuația cercului circumscris ${\mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{\mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}) ,{\mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})$ $\mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})$

{\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\\x_{ B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C }&1\end{vmatrix}}=0

Se pot calcula coordonatele centrului cercului circumscris

x_{O}={\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\\x_{B}^ {2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1\end{vmatrix}},\quad y_{O}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\\x_{B} ^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1\end{vmatrix}},

Unde

D=2{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

În formă explicită, coordonatele centrului cercului sunt determinate de formulele:

x_{O}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C} ^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A }^{2})+y_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{ x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}

y_{O}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^ {2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A} ^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_ {A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}

Teoreme legate de cercul circumscris

Teorema tridentului , sau teorema triunghiului , sau teorema lui Kleiner : Dacă este punctul de intersecție al bisectoarei unghiuluicu cercul circumscris triunghiului,și sunt centrele înscrisului și, respectiv, excercului atingând latura, atunci. $D$ $A$ $ABC$ $eu$ $J$ $î.Hr$ $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$
Teorema lui Mansion . Segmentul care leagă centrele cercurilor înscrise și ale cercurilor unui triunghi este tăiat în două de cercul circumscris.
Teorema lui Mansion (continuare). Punctul de mijloc al arculuial unui triunghicare nu conține un vârfeste echidistant de vârfuriși, centrul cercului înscris și centrul excercului . Punctul de mijloc al arculuial triunghiului, care conține vârful, este echidistant de vârfurileși, și de centreleși excercurile . $AC$ $ABC$ $B$ $A$ $C$ $eu$ $eu_{2}$ $AC$ $ABC$ $B$ $A$ $C$ $I_1$ $I_3$
Un triunghi circumferențial-cevian este un triunghi cu vârfuri în al doilea punct de intersecție a trei linii trasate prin vârfurile triunghiului subdermic și un punct dat , cu cercul circumscris. Teorema . Un triunghi cevian este similar cu unul subdermic (Dovada în: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130 Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine ). $P$
Teorema lui Simson : Bazele perpendicularelor căzute dintr-un punct al cercului circumscris unui triunghi la laturile sale sau prelungirile lor se află pe aceeași dreaptă. Această linie se numește linia lui Simson . $P$ $ABC$
Conform teoremei lui Leicester , centrul a nouă puncte se află pe un cerc (pe cercul lui Leicester) împreună cu alte trei puncte - două puncte Torricelli și centrul cercului circumscris [6] .
Linia lui Euler trece prin: 1) Centrul de centru al unui triunghi, 2) Ortocentrul unui triunghi, 3) Centrul cercului circumscris , 4) Centrul cercului de nouă puncte și alte puncte cunoscute (vezi linia lui Euler ).
Raza cercului circumscris, trasă de la vârful triunghiului la centrul său, este întotdeauna perpendiculară pe una dintre cele trei laturi ale ortotriunghiului , pe care o intersectează (Zetel, Corolarul 2, § 66, p. 81).

Legătura cercului circumscris cu cercul înscris, cu ortocentrul și alte puncte

Formula lui Euler : Dacă - distanța dintre centrele cercurilor înscrise și circumscrise ale unui triunghi, iar razele lor sunt egale și respectiv, atunci . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$

Sau prin laturile triunghiului:

d=OI=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b ^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}

unde este raza cercului circumscris (vezi cercul Furman ). $R$

Distanța de la centrul O până la ortocentrul H este [9] [10] :p. 449

OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}.

Pentru centroidul G și centrul a nouă puncte N avem:

IG<IO,

2IN<IO,

OI^{2}=2R\cdot IN.

Produsul razelor cercurilor circumscrise și înscrise ale triunghiului este raportat la laturile a , b și c sub forma [11] : p. 189, #298(d) :

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Raportul razelor cercurilor înscrise și circumscrise ale triunghiului [12] :

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

Dacă mediana m , înălțimea h și bisectoarea internă t ies din același vârf al triunghiului, în jurul căruia este circumscris un cerc cu raza R , atunci [13] :p.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Centrul cercului circumscris este conjugat izogonal cu ortocentrul .
Perpendicularele ridicate pe laturile triunghiului în punctele de contact ale cercurilor se intersectează într-un punct. Acest punct este simetric cu centrul cercului înscris în raport cu centrul cercului circumscris [14] .
Un triunghi are trei cercuri care ating două laturi ale triunghiului și cercul circumscris. Astfel de cercuri se numesc cercuri semi-înscrise sau Verrier . Segmentele de dreaptă care leagă vârfurile triunghiului și punctele de tangență corespunzătoare ale cercurilor Verrier cu cercul circumscris se intersectează într-un punct, numit punct Verrier . Acesta servește ca centru al homoteției , care traduce cercul circumscris într- unul înscris . Punctele de tangență ale cercurilor Verrier cu laturile se află pe o dreaptă care trece prin centrul cercului înscris .

Teorema lui Thebo 3 afirmă (vezi figura):

Fie un triunghi arbitrar , să fie un punct arbitrar pe latura , să fie centrul unui cerc tangent la segmente și circumscris cercului, să fie centrul cercului tangent la segmente și circumscris cercului. Apoi segmentul trece prin punctul - centrul cercului înscris în , și în același timp , unde . $ABC$ $D$ $î.Hr$ $I_1$ $AD,BD$ $\Delta ABC$ $eu_{2}$ $CD,AD$ $\Delta ABC$ $eu_{1}eu_{2}$ $eu$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg}^{2}{\frac {\phi }{2))$ $\phi =\unghi BDA$

Formula lui Carnot afirmă că în triunghiul ABC suma distanțelor de la centrul D al cercului circumscris la laturile triunghiului ABC , luate cu semnul „-”, atunci când înălțimea de la D la latură se află în întregime în afara triunghiului (altfel cu semnul „+”), va fi egal cu , unde r şi R sunt razele cercurilor înscrise şi circumscrise [13] :p.83 . $R+r$

De exemplu, pentru o cifră, formula Carnot va lua forma: . $DG+DH-DF=R+r$

Într-o altă formulare , formula lui Carnot afirmă că [7] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

unde sunt distanțele de la centrul cercului circumferitor, respectiv, la laturile triunghiului, sunt distanțele de la ortocentrul , respectiv, la vârfurile triunghiului. $k_{a},k_{b},k_{c)$ $a,b,c$ $d_{A},d_{B},d_{C)$ $A,B,C$

Distanța de la centrul cercului circumscris, de exemplu, până la latura triunghiului este: $A$

k_{a}=a/(2tgA);

distanța de la ortocentru , de exemplu, la vârful triunghiului este: $A$

d_{A}=2k_{a}=a/(tgA).

Definiții pentru ultima teoremă

Un triunghi cu vârfuri în proiecțiile unui punct dat pe laturi se numește triunghi subdermic sau pedalier al acestui punct.
Un triunghi circumcerc-cevian este un triunghi cu trei vârfuri în al doilea punct de intersecție cu cercul circumscris a trei drepte trasate prin vârfuri și punctul dat.

Variațiuni pe o temă

Teorema [15] . Dacă desenăm o diagonală într-un patrulater înscris într-un cerc și înscriem două cercuri în cele două triunghiuri rezultate, atunci facem același lucru desenând a doua diagonală, atunci centrele celor patru cercuri formate sunt vârfurile dreptunghiului (adică , se află pe același cerc). Această teoremă se numește teorema japoneză . (vezi fig.).

Pentru un patrulater

Un patrulater simplu (fără auto-intersecții) înscris este convex . Un cerc poate fi circumscris unui patrulater convex dacă și numai dacă suma unghiurilor sale opuse este de 180° ( radiani). Puteți descrie un cerc în jurul: $\pi$

orice antiparalelogram
orice dreptunghi (caz special pătrat )
orice trapez isoscel
orice patrulater cu două unghiuri opuse drepte
orice patrulater a cărui sumă a unghiurilor opuse este de 180 de grade
orice patrulater care are patru bisectoare perpendiculare ale laturilor sale (sau mediatrice ale laturilor sale, adică perpendiculare pe laturile care trec prin punctele lor medii) se intersectează într-un punct
Prima teoremă a lui Ptolemeu . Pentru un patrulater înscris într-un cerc, produsul lungimilor diagonalelor este egal cu suma produselor lungimilor perechilor de laturi opuse : [16] :

|AC|\cdot |BD|=|AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|.

A doua teoremă a lui Ptolemeu . Un patrulater convex este înscris dacă și numai dacă egalitatea este valabilă. [17] :

$\frac{|AC|}{|BD|} = \frac{|AB|\cdot |AD|+|BC|\cdot |CD|}{|AB|\cdot |BC|+|CD|\cdot| AD | }.$

Raza unui cerc circumscris unui patrulater:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Aria unui patrulater înscris într-un cerc poate fi calculată folosind formula lui Brahmagupta :

S={\sqrt {(pa)(pb)(buc)(pd)}}

Aceeași formulă Brahmagupta pentru aria unui patrulater înscris într-un cerc poate fi scrisă în termenii determinantului [18] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Puteți citi mai multe despre patrulaterele înscrise într-un cerc în articolul „ Patrulaterul înscris ”.

Pentru un patrulater înscris-circumscris

Un analog al teoremei lui Euler pentru un patrulater înscris-circumscris

Pentru razele R și , respectiv, r ale cercurilor circumscrise și înscrise ale unui patrulater înscris-circumscris dat și distanța d dintre centrele acestor cercuri, este valabilă următoarea relație:

{\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(Rd)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)))

Pentru un poligon

Dacă un poligon este format din segmente, atunci aria lui va fi maximă atunci când este înscris.

Dacă punctul este echidistant de vârfurile poligonului, atunci coincide cu centrul cercului descris în jurul acestui poligon.

Într-un triunghi sferic

Cercul circumscris pentru un triunghi sferic este cercul care conține toate vârfurile sale.

Dacă A , B , C sunt unghiurile unui triunghi sferic, P este jumătatea lor, atunci tangentea razei [19] cercului circumscris va fi egală cu [20] :78.83

\operatorname {tg} R={\sqrt {\frac {-\cos P}{\cos(PA)\cos(PB)\cos(PC))))

Cercul circumscris aparține sferei. O rază trasată din centrul sferei prin centrul cercului circumscris va intersecta sfera în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare (cercurile mari ale sferei perpendiculare pe laturile din mijlocul lor) cu laturile triunghiului sferic. [20] :21-22 .

Vezi și

Note

↑ 12 Whitworth , William Allen. Coordonate triliniare și alte metode de geometrie analitică modernă a două dimensiuni , Cărți uitate, 2012 (orig. Deighton, Bell și Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Arhivat 24 martie 2016 la Wayback Machine
↑ 1 2 Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Arhivat 19 aprilie 2012 la Wayback Machine
↑ Pagina Wolfram pe coordonate baricentrice . Preluat la 29 aprilie 2016. Arhivat din original la 20 iulie 2017. (nedefinit)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, Suplimentar - 2011. - P. 110.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi. - Ed. a II-a, Suplimentar - 2011. - S. 27-28.
↑ 12 Yiu , 2010 , p. 175–209.
↑ 1 2 Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. problema la p. 120-125. paragraful 57, p.73.
↑ The Orthopole (21 ianuarie 2017). Preluat la 22 iunie 2020. Arhivat din original la 22 iunie 2020. (nedefinit) (Engleză)
↑ Marie-Nicole Gras, „Distanțe între circumcentrul triunghiului extouch și centrele clasice”, Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Arhivat 28 aprilie 2021 la Wayback Machine
^ Smith, Geoff și Leversha, Gerry, „Euler and triangle geometry”, Mathematical Gazette 91, noiembrie 2007, 436-452.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover, 2007 (orig. 1929).
↑ Longuet-Higgins, Michael S., „On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle”, Mathematical Gazette 87, martie 2003, 119-120.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Myakishev A. G. Elemente de geometrie a unui triunghi. Seria: „Bibliotecă” Educație matematică „”. M.: MTSNMO, 2002. c. 11, punctul 5.
↑ În jurul problemei lui Arhimede. Ex. 8, fig. 13, p. 6 Arhivat 29 aprilie 2016 la Wayback Machine // geometry.ru
↑ Teorema lui Ptolemeu . Preluat la 15 martie 2009. Arhivat din original la 10 mai 2009. (nedefinit)
↑ Quadrilaterals Arhivat pe 16 septembrie 2015 la Wayback Machine . Patrulatere înscrise.
↑ Starikov V.N. Note despre geometrie // Căutare științifică: științe umanitare și socio-economice: o colecție de lucrări științifice. Numărul 1 / Ch. ed. Romanova I. V. Cheboksary: TsDIP „INet”, 2014. P. 37-39
↑ Aici se măsoară raza cercului de-a lungul sferei, adică este măsura gradului arcului de cerc mare care leagă punctul de intersecție al razei sferei, trasat din centrul sferei prin centrul sferei. cerc, cu sfera și vârful triunghiului.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

Literatură

Paul Yiu. Cercurile lui Lester, Evans, Parry și generalizările lor // Forum Geometricorum. - 2010. - or. 10 .
Zetel S.I. Noua geometrie a triunghiului. Un ghid pentru profesori. a 2-a editie. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 p.

Link -uri

Wikimedia Commons are conținut media legat de Cercul circumscris