Grupul Lorentz

Versiunea stabilă a fost verificată pe 24 iunie 2022 . Există modificări neverificate în șabloane sau .

Grupul Lorentz este un grup de transformări Lorentz ale spațiului Minkowski care păstrează originea coordonatelor (adică sunt operatori liniari ) [1] .

Grupul Lorentz constă din transformări liniare omogene ale coordonatelor spațiu-timp cu patru dimensiuni:

x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },

x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,

care lasă invariantă forma pătratică cu semnătură (1, 3), care este o expresie matematică pentru un interval de patru dimensiuni [2] . În special, grupul Lorentz include rotații spațiale în trei planuri , transformări Lorentz , reflexii ale axelor spațiale și toate produsele lor. ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ $xy,\yz,\zx$ $xt,\yt,\zt$ $x,y,z$ $x\la -x,\y\la -y,\z\la -z$

Grupul Lorentz este un caz special al grupului ortogonal nedefinit [3] , și de aceea este notat (fie , care corespunde unei forme pătratice cu semne opuse și coordonate permutate), fie , și de asemenea [2] . $O(1,3)$ $O(3,1)$ $O(1,3;\mathbb {R} )$ $\mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $\mathcal{L}$

Un grup Lorentz special sau un grup Lorentz propriu-zis este un subgrup de transformări al căror determinant de matrice este egal cu 1 (în cazul general este egal cu ±1). $SO(1,3)$

Grupul Lorentz ortocron (notat și , și poate fi identificat cu grupul ortogonal proiectiv (nedefinit) ), grupul Lorentz ortocronic special (sau propriu-zis) - asemănător, dar toate transformările păstrează direcția viitorului în timp ( semnul de coordonate ). Grupul , singurul dintre cele patru, este conectat și izomorf cu grupul Möbius . $O_{\uparrow }(1,3)$ $\mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )$ $\mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $SO_{\uparrow }(1,3)$ $x^0$ $SO_{\uparrow }(1,3)$

Uneori, afecțiunea ortocronică este inclusă în definiția grupului Lorentz, caz în care grupul care implică transformări care schimbă direcția timpului poate fi numit grup general Lorentz [4] [5] . Uneori, grupul Lorentz este înțeles și ca grupul Lorentz ortocron propriu [6] .

Reprezentări ale grupului Lorentz

Simetria în fizică
transformare	Invarianța corespunzătoare	Legea conservării corespunzătoare
↕ Ora de difuzare	Uniformitatea timpului	…energie
⊠ C , P , CP și T - simetrii	Izotropia timpului	... paritate
↔ Spațiu de difuzare	Omogenitatea spațiului	…impuls
↺ Rotația spațiului	Izotropia spațiului	… impuls
⇆ grup Lorentz (amplificare)	Covarianța relativității Lorentz	…mișcări ale centrului de masă
~ Transformarea gabaritului	Invarianța gabaritului	... taxa

Fie ca o mărime fizică (de exemplu, un vector energie-impuls cu patru dimensiuni sau un potențial de câmp electromagnetic) să fie descrisă printr-o funcție de coordonate multicomponentă . La trecerea de la un cadru inerțial de referință la altul, componentele unei mărimi fizice sunt transformate liniar unele prin altele: . În acest caz, matricea are un rang egal cu numărul de componente ale mărimii . Fiecare element al grupului Lorentz corespunde unei transformări liniare , elementului de identitate al grupului Lorentz (transformare identică) corespunde unei transformări unitare și produsului a două elemente ale grupului Lorentz și corespunde produsului a două transformări . Un sistem de matrice cu proprietățile enumerate se numește reprezentare liniară a grupului Lorentz. [7] $U_{\alpha }(x)$ $u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)$ $\lambda$ $\nu$ $u_{\alpha )$ $P$ $\Lambda (P)$ $\lambda=1$ $P_1$ $P_2$ $\Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})$

Reprezentările grupului Lorentz în spații liniare complexe sunt foarte importante pentru fizică, deoarece sunt asociate cu conceptul de spin . Toate reprezentările ireductibile ale grupului special de Lorentz ortocronic pot fi construite folosind spinori . $SO_{\uparrow }(1,3)$

Note

↑ Produsul semidirect al grupului Lorentz și al grupului de translații paralele ale spațiului Minkowski se numește grupul Poincaré din motive istorice . Pe de altă parte, grupul Lorentz conține ca subgrup grupul de rotații ale spațiului tridimensional.
↑ 1 2 S. I. Azakov, V. P. Pavlov. Lorentz group // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică (vol. 1-2); Marea Enciclopedie Rusă (vol. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Brian C. Hall. Grupuri de minciuni, algebre de minciuni și reprezentări: o introducere elementară. — Springer, 2003. — P. 7.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , p. 165-166.
↑ Shirkov, 1980 , p. 146.
↑ Naber, 2012 , p. 19.
↑ Shirkov, 1980 , p. 147.

Literatură

Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. Reprezentări ale grupului de rotație și ale grupului Lorentz. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 367 p.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometrie modernă: metode și aplicații. - M. : Nauka, 1986. - 760 p.
Lyubarsky G. Ya. Teoria grupurilor și aplicarea acesteia în fizică. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 355 p.
Naimark M. A. Reprezentări liniare ale grupului Lorentz. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 376 p.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teoria grupurilor și simetriilor. grupuri de sfârșit. Grupuri de minciuni și algebre. - M. : URSS, 2018. - 491 p.
Grupul Fedorov F.I. Lorentz. - M. : Nauka, 1979. - 384 p. (Sunt prezentate parametrizarea vectorială a grupului Lorentz și aplicarea acestuia)
Artin, Emily. Algebră geometrică . — New York: Wiley, 1957. . Vezi capitolul III pentru grupurile ortogonale O(p, q).
Carmeli, Moshe. Teoria grupurilor și relativitatea generală, reprezentări ale grupului Lorentz și aplicațiile lor la câmpul gravitațional . — McGraw-Hill, New York, 1977. . O referință canonică; vezi capitolele 1-6 pentru reprezentări ale grupului Lorentz.
Frankel, Theodore. Geometria fizicii (ed. a II-a) (engleză) . — Cambridge: Cambridge University Press , 2004. . O resursă excelentă pentru teoria minciunii, fasciculele de fibre, acoperirile spinoriale și multe alte subiecte.
Fulton, William; și Harris, Joe. Teoria reprezentării : un prim curs . — New York: Springer-Verlag , 1991. . Vezi Lectura 11 pentru reprezentările ireductibile ale SL(2, C ).
Hall, GS Symetries and Curvature Structure in General Relativity . - Singapore: World Scientific , 2004. . Vezi capitolul 6 pentru subalgebrele algebrei Lie ale grupului Lorentz.
Hatcher, Allen. Topologie algebrică . - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. . Vezi și versiunea online . Data accesului: 3 iulie 2005. Arhivat din original la 20 februarie 2012. (nedefinit) Consultați Secțiunea 1.3 pentru o discuție frumos ilustrată despre acoperirea spațiilor. Consultați Secțiunea 3D pentru topologia grupurilor de rotație.
Naber, Gregory. Geometria spațio - timpului Minkowski . — New York: Springer , 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7 . . O referință excelentă despre spațiu-timp Minkowski și grupul Lorentz.
Needham, Tristam. Analiza complexului vizual . — Oxford: Oxford University Press , 1997. . Vezi capitolul 3 pentru o discuție superb ilustrată despre transformările lui Möbius.
Shirkov DV Fizica microcosmosului. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1980. - 527 p.

Vezi și

Teoria grupurilor
Noțiuni de bază	Subgrup Subgrup normal Grup de factori Muncă direct semidirectă gratuit
Proprietăți algebrice	grup comutativ Grup ciclic grup ordonat Transformați grupul Grup solubil Lema lui Schreier teorema lui Lagrange teoremele lui Sylow Clasificarea grupurilor finite simple
grupuri finite	Grupa ciclică finită C n Grupul simetric S n Grupul diedric D n Grupa alternativă A n Grupul Cvadruplu Klein grupurile Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ grupuri Conway Co 1 Co2 _ Co3 _ grupuri Janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupuri de pescari F22 _ F 23 F24 _ Monstru (M)
Grupuri topologice	Grupuri de minciuni Grupul ortogonal O(n) Grup ortogonal special SO(n) Grupa unitară U(n) Grup unitar special SU(n) Grupa simplectică Sp(n) Simplu excepțional grupul Lorentz grupul Poincaré
Algoritmi pe grupuri	Schreier - Sims Todd - Coxeter transformata Fourier