Ecuația de undă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 5 iunie 2021; verificările necesită 20 de modificări .

Ecuația de undă din fizică este o ecuație diferențială parțială hiperbolică liniară care specifică mici vibrații transversale ale unei membrane subțiri sau ale unei corzi , precum și alte procese oscilatorii în medii continue ( acustica , în mare parte liniară: sunet în gaze, lichide și solide) și electromagnetism ( electrodinamica ). De asemenea, își găsește aplicație în alte domenii ale fizicii teoretice, de exemplu, în descrierea undelor gravitaționale. Este una dintre ecuațiile de bază ale fizicii matematice .

Tip de ecuație

În cazul multidimensional, ecuația de undă omogenă se scrie ca

\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

unde este operatorul Laplace , este o funcție necunoscută, este timpul, este o variabilă spațială, este viteza de fază . $\Delta$ $u=u(x,t)$ $t\in \mathbb {R}$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $v$

Concluzie pentru cazul tridimensional.

Calculele de mai sus, desigur, pot fi generalizate și la cazuri multidimensionale. Asa de.

Să fie dată ecuația undelor plane:

A({\vec {r)),t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\ dreapta),

Unde

$A(x,t)$ este magnitudinea perturbației într-un punct dat în spațiu și timp ; $X$ $t$
$A_{0}$ este amplitudinea undei ;
$\omega$ - frecventa circulara ;
${\vec {k}}$ este vectorul de undă egal cu $k{\vec {n}}$

Unde

$k$ este numărul de undă ;
${\vec {n}}$ este vectorul normal unitar trasat pe frontul de undă

${\vec {r}}\left(x,y,z\right)$ este vectorul rază al punctului cu coordonatele și ; $X y$ $z$
$({\vec {k)],{\vec {r)))$ este produsul scalar al vectorilor și . Aici și mai jos, produsul scalar va fi notat în acest fel; $\vec{k}$ ${\vec {r))$
$\varphi_{0}$ este faza inițială a oscilațiilor .

O diferențiem în ceea ce privește , în ceea ce privește , în raport cu și în raport cu . Obținem patru ecuații: $X$ $y$ $z$ $t$

\left\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2))}=-\omega ^{2 }A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A( {\vec {r)),t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{ 2))}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0} \right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\ vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}}, {\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(3\right)\ \{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2))}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\ stânga(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r }},t)\qquad \left(4\right)\end{matrice}}\right.

Adăugați și $\stanga(2\dreapta),\stanga(3\dreapta)$ $\stanga(4\dreapta):$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k }}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)

Din ecuația obținută și înlocuind ecuația , obținem că $\left(1\dreapta),$ ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }={\cfrac {1}{v^{2))}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2)) }\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r)),t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial t^{2}}}

În cazul unidimensional, ecuația se mai numește și ecuația vibrației șirului sau ecuația vibrației longitudinale a tijei și se scrie ca

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {1}{v^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{ \partial t^{2}}}

Această ecuație poate fi interpretată după cum urmează. Derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul, forța (a doua lege a lui Newton), este proporțională cu curbura șirului (derivata a doua față de coordonată). Cu alte cuvinte, cu cât curbura „cocoașelor” de pe coardă este mai mare, cu atât forța care acționează asupra acestei secțiuni a coardei este mai mare.

operator D'Alembert

Diferența se numește operator d'Alembert și se notează ca (surse diferite folosesc semne diferite). Astfel, folosind operatorul d'Alembert (dalambertian), ecuația de undă omogenă se scrie ca $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ $\pătrat$

\square u=0

Ecuație neomogenă

De asemenea, este posibil să se ia în considerare ecuația de undă neomogenă

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f

unde este o funcție dată a unei acțiuni externe (forța externă). $f=f(x,t)$

Versiunea staționară a ecuației de undă este ecuația Laplace ( ecuația lui Poisson în cazul neomogen).

Problema găsirii oscilațiilor normale ale unui sistem descris printr-o ecuație de undă duce la o problemă de valori proprii pentru ecuația Laplace , adică la găsirea de soluții la ecuația Helmholtz , obținută prin înlocuirea

$u(x,t)=v(x)e^{{i\omega t}}\$ sau . $u(x,t)=v(x)\,{\mathop {{\rm {cos))))\,(\omega t)\$

Rezolvarea ecuației de undă

Există o soluție analitică a unei ecuații diferențiale parțiale hiperbolice. Într-un spațiu euclidian de dimensiune arbitrară, se numește formula Kirchhoff. Cazuri particulare: pentru vibrația corzilor ( ) — formula lui d'Alembert , pentru vibrația membranei ( ) — formula lui Poisson . ${\mathbb {R}}^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}$

Formula lui D'Alembert

Rezolvarea ecuației de undă unidimensională (aici , viteza de fază) $v=a$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)\quad

(funcția corespunde forței externe de antrenare)

f(x,t)

cu conditiile initiale

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

are forma

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a))\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{{xa(t-\tau )}}^{{x+a(t-\tau )}}f(s,\tau )dsd\tau

Este interesant de observat că soluția problemei omogene

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

având următoarea formă:

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }

poate fi prezentat sub formă

u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)

Unde

f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{0}}^{{x}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{x}}^{{0}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

În acest caz, spunem că soluția este reprezentată ca o sumă a undelor care se deplasează, iar funcțiile și sunt profilele undelor care se deplasează, respectiv, spre stânga și, respectiv, spre dreapta. În cazul în cauză, profilele undelor nu se modifică în timp. $f_1(x)$ $f_{2}(x)$

În cazul multidimensional, soluția problemei Cauchy poate fi descompusă și în unde care se deplasează, dar nu într-o sumă, ci într-o integrală, întrucât există infinit de direcții. Acest lucru se face în mod elementar folosind transformata Fourier

Problemă pe semilinie

Luați în considerare ecuația omogenă a oscilațiilor pe semilinie $[0;+\infty )$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

cu capăt fix:

u(0,t)=0

si conditiile initiale

u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)

Pentru ca problema să aibă o soluție, condițiile inițiale și condiția la limită trebuie să fie consistente și anume:

\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0

Problema de pe semilinie poate fi ușor redusă la problema de pe linie după ce continuăm condițiile inițiale în mod antisimetric:

\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )

Datorită faptului că condițiile inițiale sunt funcții impare, este logic să ne așteptăm ca soluția să fie și o funcție impară. Acest lucru poate fi verificat direct luând în considerare soluția sub forma formulei d'Alembert. Prin urmare, soluția rezultată u(x, t) va satisface condițiile inițiale și condiția la limită (cea din urmă decurge din ciudatenia funcției). $\varphi(x),\psi(x)$ $u(x, t)$ $u(0,t)=0$

Tehnica prezentată este utilizată pe scară largă (nu numai pentru ecuația de undă) și se numește metoda reflexiei . De exemplu, se poate considera ecuația de undă pe o semi-linie, dar cu o condiție la limită de al doilea fel la sfârșit : $x=0$

u_{x}(0,t)=0

Din punct de vedere fizic, condiția înseamnă că capătul stâng al tijei (dacă considerăm sistemul ca vibrații longitudinale ale tijei) este liber, adică nu acționează nicio forță asupra acesteia.

Metode de rezolvare într-un domeniu unidimensional limitat

Metoda reflexiei

Luați în considerare o ecuație de undă omogenă unidimensională pe segment $[0,a]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

cu condiții la limită omogene de primul fel (adică cu capete fixe)

u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0

si conditiile initiale

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]

Folosind metoda reflexiei, problema poate fi din nou redusă la o problemă pe linie dreaptă. În acest caz, va fi necesar un număr infinit de reflexii, ca urmare, condițiile inițiale continue vor fi determinate după cum urmează:

\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

Când luăm în considerare ecuația de undă neomogenă:

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)

sunt folosite exact aceleași considerații, iar funcția continuă în același mod. $f(x,t)$

Metoda Fourier

Luați în considerare din nou ecuația de undă omogenă unidimensională pe interval $[0,l]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

cu condiţii la limită omogene de primul fel

u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0

si conditiile initiale

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]

Metoda Fourier se bazează pe reprezentarea soluției ca o combinație liniară (infinită) de soluții simple la problema formei

X(x)T(t)

, unde ambele funcții depind de o singură variabilă.

Prin urmare, celălalt nume al metodei este metoda de separare a variabilelor.

Este ușor de arătat că pentru ca funcția să fie o soluție a ecuației de oscilație și să satisfacă condițiile la limită, este necesar ca condițiile $u(x,t)=X(x)T(t)$

X(0)=0\qquad X(l)=0

a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)

T''(t)=-\lambda T(t)

Rezolvarea problemei Sturm-Liouville nu duce la răspunsul: $X(x)$

X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l)}\right)\qquad n\in \mathbf {N}

și propriile valori $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Funcțiile lor corespunzătoare arată ca $T$

T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).

Astfel, combinația lor liniară (presupunând că seria converge) este o soluție la problema mixtă

u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+ \infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n }t)\dreapta)\sin {\frac {\pi nx}{l)).

Prin extinderea funcțiilor într- o serie Fourier , se pot obține coeficienții pentru care soluția va avea astfel de condiții inițiale. $\varphi(x),\psi(x)$ $\alpha _{n},\beta _{n}$

Metoda de contabilizare a valului

Luați în considerare din nou ecuația de undă omogenă unidimensională pe interval $[0,a]$

u_{{tt}}=u_{{xx}},

totusi, de data aceasta am stabilit conditii initiale omogene

u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]

și graniță neomogenă. De exemplu, vom presupune că este dată dependența de timp a poziției capetelor tijei (condiția de limită de primul fel)

u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)

Soluția este scrisă ca

u(x,t)=\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\mu (tx-2ka)-\mu (t+x-(2k+2) a){\biggr ]}+\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (tx -(2k+1)a){\biggr ]}

Faptul că satisface ecuația și condițiile la limită inițială poate fi verificat direct. O interpretare interesantă este că fiecare termen din soluție corespunde unei anumite reflectări a uneia dintre undele limită. De exemplu, condiția de limită stângă generează o undă de formă

\mu (tx),

care, ajungând la capătul drept în timp a , se reflectă și dă o contribuție

\mu (t+x-2a),

după un timp a se reflectă din nou și contribuie

\mu (tx-2a),

Acest proces continuă la nesfârșit, însumând contribuțiile tuturor undelor și obținem soluția indicată. Dacă ne interesează o soluție pe intervalul , atunci ne putem restrânge doar la primii termeni. $[0,T]$ $\lceil T/a\rceil$

Ecuația undelor electromagnetice plane

Scriem ecuațiile lui Maxwell sub formă diferențială:

$\operatorname {putrezire} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\operatorname {putrecerea} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {div} \mathbf {D} =\rho$

$\mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H}$

$\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {E}$ este vectorul intensității câmpului electric

$\mathbf {H}$ este vectorul intensității câmpului magnetic

$\mathbf {B}$ este vectorul de inducție magnetică

$\mathbf {D}$ este vectorul de inducție electrică

$\mu$ - permeabilitatea magnetică

$\mu_{0}$ - constantă magnetică

$\varepsilon$ — permeabilitatea electrică

$\varepsilon_{0}$ - constanta electrica

$\mathbf {j}$ este densitatea de curent

$\rho$ - densitatea de încărcare

$\operatorname{rot}$ — rotor , operator diferenţial, $\operatorname {putrecerea} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla} \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} și\mathbf {j} și\mathbf {k } \\{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\E_{x} &E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}} \right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right) \mathbf {k}$

$\operatorname {div}$ - divergenta , diferential, $\operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{ y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

$\Delta$ - operator Laplace, , [1] $\Delta \mathbf {E} =\Delta E_ {x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k}$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Pentru o undă electromagnetică , deci: $\mathbf {j} =0$ $\rho =0$

$\operatorname {putrezire} \mathbf {H} = {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatorname {div} \mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

Conform proprietății câmpului vectorial curl . Înlocuind aici și , obținem: $\operatorname {putrecerea} \operatorname {putrecerea} \mathbf {E} =\mathbf {\operatorname {grad} } (\operatorname {div} \mathbf {E} )-\Delta E$ $\operatorname {putrezire} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {putrezire} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} {\partial t))\right)=-\Delta \mathbf {E}$

$\Delta \mathbf {E} =\operatorname {putrezire} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} = {\frac {\partial }{\partial t)}\operatorname {putrezire} \mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {putrece} \mathbf {H}$ înlocuim aici din ecuațiile lui Maxwell , obținem: $\operatorname {putrezire} \mathbf {H} = {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\dreapta)$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [2]

$c=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0)))$

$\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{c^{2 ))}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

Vectorul oscileaza intr-un plan perpendicular pe axa , deci . $\mathbf {E}$ $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\Delta E_{y}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{ 2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

Unda se propagă de-a lungul axei și, prin urmare , nu depinde de coordonate și : $X$ $\mathbf {E}$ $y$ $z$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$

O expresie similară poate fi obținută pentru : $\mathbf {H}$

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}( {\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2)))\\{\frac {\partial ^{2}H_{z)){\partial x^{2))}= {\frac {1}{c^{2}}}({\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}})\end{cases}}$ (unu)

Cea mai simplă soluție a acestor ecuații vor fi funcțiile [3] :

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$k$ - numărul valului . Să o găsim înlocuind ecuația (2) în prima ecuație (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

De aici aflăm că $k={\frac {\omega {c)}$

Raportul amplitudinilor componentelor electrice și magnetice ale unei unde electromagnetice

$\operatorname {putrezire} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \ mathbf {H} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =-\mu \mu _ {0}{\frac {\partial }{\partial t))(H_{x}\mathbf {i} +H_{y}\mathbf {j} +H_{z}\mathbf {k} )$

Unda se mișcă de-a lungul axei , astfel încât derivatele față de și sunt egale cu zero. $X$ $\partial x$ $\partial z$

$\mathbf {E}$ se propagă perpendicular în plan, deci $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\mathbf {H}$ se propagă perpendicular în plan, deci $XZ$ $X$ $H_{x}=H_{y}=0$

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

$\operatorname {putrezire} \mathbf {H} = {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t)}=\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf { E} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =\varepsilon \varepsilon _{ 0}{\frac {\partial }{\partial t))(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Există două ecuații:

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Înlocuiți soluția în ele:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

Primim:

$E_{m}k\sin(\omega t-kx)=\mu \mu _{0}H_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$H_{m}k\sin(\omega t-kx)=\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega$

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k$

Să înmulțim unul cu altul:

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega$

${\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=={\sqrt { \frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7} )}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi 9\cdot 10^{16}10^{-7})))={\sqrt {(4\pi ) (4\pi 900)}}=120\pi \aprox 377$ [3]

Vezi și

Note

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Dicționar matematic al școlii superioare”. Editura MPI 1984. Articolul „Operator Laplace” și „Rotor de câmp vectorial”.
↑ I.V. Savelyev „Curs de fizică generală” Volumul II paragraful „Ecuația undelor” p. 398 formula (109.8)
↑ 1 2 I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” volumul II paragraful „Unda electromagnetică plană”

Link -uri

Ecuația undelor // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuații de fizică matematică: manual .. - ed. a 6-a, Rev. și suplimentare .. - M . : Editura Universității de Stat din Moscova, 1999. - 798 p. — ISBN 5-211-04138-0 .
I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” Volumul II
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich „Dicționar matematic al învățământului superior”. Editura MPI 1984

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare