Rezolvarea triunghiurilor

Termenul istoric „soluție de triunghiuri” ( lat. solutio triangulorum ) denotă soluția următoarei probleme trigonometrice : găsiți laturile și/sau unghiurile rămase ale unui triunghi din cele deja cunoscute [1] . Există și generalizări ale acestei probleme în cazul în care sunt date alte elemente ale triunghiului (de exemplu, mediane , bisectoare , înălțimi , aria etc.), precum și în cazul în care triunghiul este situat nu pe planul euclidian . , dar pe o sferă ( triunghi sferic ) , peplan hiperbolic ( triunghi hiperbolic ), etc. Această problemă se găsește adesea în aplicații trigonometrice - de exemplu, în geodezie , astronomie , construcții , navigație .

Rezolvarea triunghiurilor plane

Un triunghi general are 6 elemente de bază: 3 liniare (lungimile laturilor ) și 3 unghiulare ( ). Partea opusă colțului din partea de sus este în mod tradițional indicată cu aceeași literă ca acest vârf, dar nu majuscule, ci litere mici (vezi figura). În problema clasică a trigonometriei plane sunt date 3 din aceste 6 caracteristici, iar celelalte 3 trebuie determinate. Evident, dacă se cunosc doar 2 sau 3 unghiuri, o soluție unică nu va funcționa, deoarece orice triunghi similar cu acesta va fi și el o soluție, deci mai departe se presupune că cel puțin una dintre mărimile cunoscute este liniară [2] . $a,b,c$ $\alpha ,\beta ,\gamma$

Algoritmul pentru rezolvarea problemei depinde de care caracteristici ale triunghiului sunt considerate cunoscute. Deoarece opțiunea „sunt date trei unghiuri” este exclusă din considerare, rămân 5 opțiuni diferite [3] :

trei laturi;
două laturi și unghiul dintre ele;
două laturi și un unghi opus uneia dintre ele;
o latură și două unghiuri adiacente;
lateral, colțul opus și unul dintre cele adiacente.

Teoreme de bază

Metoda standard de rezolvare a problemei este de a folosi mai multe relații fundamentale care sunt valabile pentru toate triunghiurile plate [4] :

Teorema cosinusului

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

Teorema sinusului

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Suma unghiurilor unui triunghi

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

Alte relații universale utile uneori în practică includ teorema tangentei , teorema cotangentei , teorema proiecției și formulele lui Molweide .

Note

Pentru a găsi un unghi necunoscut, este mai fiabil să folosiți teorema cosinusurilor, nu a sinusurilor, deoarece valoarea sinusului unghiului la vârful triunghiului nu determină în mod unic unghiul în sine, deoarece unghiurile adiacente au același sinus. [5] . De exemplu, dacă atunci unghiul poate fi atât , cât și , deoarece sinusurile acestor unghiuri sunt aceleași. O excepție este cazul când se știe dinainte că nu pot exista unghiuri obtuze într-un triunghi dat - de exemplu, dacă triunghiul este dreptunghic . Cu cosinusul , astfel de probleme nu apar: în intervalul de la până la , valoarea cosinusului determină în mod unic unghiul. $\sin \beta =0{,}5,$ $\beta$ $30^{\circ }$ $150^{\circ }$ $0^{\circ }$ $180^{\circ }$
Când construiți triunghiuri, este important să rețineți că reflectarea în oglindă a triunghiului construit va fi, de asemenea, o soluție la problemă. De exemplu, trei laturi definesc unic un triunghi până la reflectare.
Se presupune că toate triunghiurile sunt nedegenerate , adică lungimea laturii nu poate fi zero, iar valoarea unghiului este un număr pozitiv mai mic decât . $180^{\circ }$

Trei laturi

Să fie date lungimile tuturor celor trei laturi . Condiția pentru rezolvarea problemei este îndeplinirea inegalității triunghiului , adică fiecare lungime trebuie să fie mai mică decât suma celorlalte două lungimi: $a,b,c$

a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.

Pentru a găsi unghiurile , trebuie să utilizați teorema cosinusului [6] : $\alpha ,\beta$

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc)),\quad \beta =\arccos {\frac {a^{2 }+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.

Al treilea unghi se găsește imediat din regula că suma tuturor celor trei unghiuri trebuie să fie egală cu $180^{\circ }\colon$

\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta).

Nu se recomandă găsirea celui de-al doilea unghi folosind teorema sinusului , deoarece, așa cum este indicat în Observația 1 , există pericolul de a confunda un unghi obtuz cu unul acut. Acest pericol nu apare dacă determinăm mai întâi, prin teorema cosinusului, cel mai mare unghi (se află vizavi de cea mai mare dintre laturi) - celelalte două unghiuri sunt exact acute, iar aplicarea teoremei sinusului este sigură.

O altă metodă pentru calcularea unghiurilor din laturile cunoscute este folosirea teoremei cotangentei .

Două laturi și un unghi între ele

Să fie cunoscute, pentru certitudine, lungimile laturilor și unghiul dintre ele. Această versiune a problemei are întotdeauna o soluție unică. Pentru a determina lungimea laturii se foloseste teorema cosinusului [7] : $a,b$ $\gamma$ $c$

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma )).

De fapt, problema se reduce la cazul precedent . Apoi, teorema cosinusului este aplicată din nou pentru a găsi al doilea unghi:

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {ba\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.

Al treilea unghi se găsește din teorema despre suma unghiurilor unui triunghi: . $\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma$

Două laturi și un unghi opus uneia dintre ele

În acest caz, pot exista două soluții, una sau niciuna. Fie cunoscute două laturi și un unghi . Atunci ecuația unghiului se găsește din teorema sinusului [8] : $b,c$ $\beta$ $\gamma$

\sin \gamma ={\frac {c}{b)}\sin \beta .

Pentru concizie, notăm (partea dreaptă a ecuației). Acest număr este întotdeauna pozitiv. La rezolvarea ecuației sunt posibile 4 cazuri, în mare măsură în funcție de D [9] [10] . $D={\frac {c}{b}}\sin \beta$

Problema nu are soluție (latura „nu ajunge” la linie ) în două cazuri: dacă sau dacă unghiul și în același timp $b$ $î.Hr$ $D>1$ $\beta \geqslant 90^{\circ }$ $b\leqslant c.$
Dacă există o soluție unică și triunghiul este dreptunghic: $D=1,$ $\gamma =\arcsin D=90^{\circ }.$

Dacă da, există 2 opțiuni. $D<1,$
1. Dacă , atunci unghiul are două valori posibile: un unghi ascuțit și un unghi obtuz . În figura din dreapta, prima valoare corespunde punctului , laturii și unghiului , iar a doua valoare corespunde punctului , laturii și unghiului . $b<c$ $\gamma$ $\gamma =\arcsin D$ $\gamma '=180^{\circ }-\gamma$ $C$ $b$ $\gamma$ $C'$ $b'=b$ $\gamma '$
2. Dacă , atunci (latura mai mare a triunghiului corespunde unghiului opus mai mare). Deoarece un triunghi nu poate avea două unghiuri obtuze, un unghi obtuz pentru este exclus și soluția este unică. $b\geqslant c$ $\beta \geqslant \gamma$ $\gamma$ $\gamma =\arcsin D$

Al treilea unghi este determinat de formula . A treia latură poate fi găsită folosind teorema sinusului: $\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$

a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))

Latura și două colțuri

Să fie date o latură și două unghiuri. Această problemă are o soluție unică dacă suma celor două unghiuri este mai mică decât . Altfel, problema nu are soluție. $c$ $180^{\circ }$

În primul rând, se determină al treilea unghi. De exemplu, dacă sunt date unghiuri , atunci . În plus, ambele laturi necunoscute sunt găsite prin teorema sinusului [11] : $\alpha ,\beta$ $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$

a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma )),\quad b=c\ {\frac {\sin \beta} {\sin \gamma )).

Rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare

În acest caz, unul dintre unghiuri este cunoscut - este egal cu 90 °. Este necesar să se cunoască încă două elemente, dintre care cel puțin unul este o latură. Sunt posibile următoarele cazuri:

doua picioare;
picior și ipotenuză;
piciorul și unghiul acut adiacent;
picior și unghi ascuțit opus;
ipotenuza si unghiul ascutit.

Vârful unui unghi drept este în mod tradițional notat cu litera , iar ipotenuza cu . Picioarele sunt notate și , iar valorile unghiurilor opuse - și, respectiv. $C$ $c$ $A$ $b$ $\alfa$ $\beta$

Formulele de calcul sunt mult simplificate, deoarece în locul teoremelor sinus și cosinus, puteți utiliza relații mai simple - teorema lui Pitagora :

c^{2}=a^{2}+b^{2}

și definiții ale funcțiilor trigonometrice de bază :

\sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c)),\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c)),

\operatorname {tg} \alpha =\operatorname {ctg} \beta ={\frac {a}{b)),\quad \operatorname {ctg} \alpha =\operatorname {tg} \beta ={\ frac {b}{a}}.

De asemenea, este clar că unghiurile și sunt acute , deoarece suma lor este egală cu . Prin urmare, oricare dintre unghiurile necunoscute este determinat în mod unic de oricare dintre funcțiile sale trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă etc.) prin calcularea funcției trigonometrice inverse corespunzătoare . $\alfa$ $\beta$ $90^{\circ }$

Cu o formulare corectă a problemei (dacă sunt date ipotenuza și catetul, atunci catetul trebuie să fie mai mic decât ipotenuza; dacă este dat unul dintre cele două unghiuri nedrepte, atunci trebuie să fie acut), soluția există întotdeauna și este unic.

Două picioare

Ipotenuza se găsește folosind teorema lui Pitagora:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Unghiurile pot fi găsite folosind funcția arc tangentă :

\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b)),\quad \beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{a})

sau pe ipotenuza tocmai găsită:

\alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c)),\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos { \frac {a}{c}}.

Picior și ipotenuză

Fie cunoscute catetul și ipotenuza - atunci catetul se găsește din teorema lui Pitagora: $b$ $c$ $A$

a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.

După aceea, unghiurile sunt determinate în mod similar cu cazul precedent.

Piciorul și unghiul ascuțit adiacent

Fie cunoscute piciorul și unghiul adiacent acestuia . $b$ $\alfa$

Ipotenuza se găsește din relație $c$

c={\frac {b}{\cos \alpha }}.

Piciorul poate fi găsit fie prin teorema lui Pitagora, în mod similar cu cazul precedent, fie din relația $A$

a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .

Un unghi ascuțit poate fi găsit ca $\beta$

\beta =90^{\circ }-\alpha .

Picior și unghi ascuțit opus

Fie cunoscute piciorul și unghiul său opus . $b$ $\beta$

Ipotenuza se găsește din relație $c$

c={\frac {b}{\sin \beta }}).

Piciorul și al doilea unghi ascuțit pot fi găsite similar cu cazul precedent. $A$ $\alfa$

Hipotenuză și unghi ascuțit

Fie cunoscute ipotenuza și unghiul ascuțit . $c$ $\beta$

Un unghi ascuțit poate fi găsit ca $\alfa$

\alpha =90^{\circ }-\beta .

Picioarele sunt determinate din relații

a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,

b=c\sin \beta =c\cos \alpha .

Rezolvarea triunghiurilor sferice

Un triunghi sferic general este complet definit de trei dintre cele șase caracteristici ale sale (3 laturi și 3 unghiuri). Se obișnuiește să se măsoare laturile unui triunghi sferic nu în unități liniare, ci după valoarea unghiurilor centrale bazate pe acestea . $a,b,c$

Soluția triunghiurilor în geometria sferică are o serie de diferențe față de cazul plan . De exemplu, suma a trei unghiuri depinde de un triunghi; în plus, nu există triunghiuri similare inegale pe sferă și, prin urmare, problema construirii unui triunghi din trei unghiuri are o soluție unică. Dar relațiile principale: două teoreme ale cosinusului sferic și teorema sinusului sferic , utilizate pentru rezolvarea problemei, sunt similare cu cazul plan. $\alpha +\beta +\gamma$

Dintre celelalte relații, formulele de analogie ale lui Napier [12] și formula de jumătate de latură [13] pot fi utile .

Trei laturi

Dacă laturile sunt date (în unități unghiulare) , atunci unghiurile triunghiului sunt determinate din teorema cosinusului [14] : $a,b,c$

\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b))\right)

Două laturi și un unghi între ele

Să fie date laturile și unghiul dintre ele. Latura se găsește prin teorema cosinusului [14] : $a,b$ $\gamma$ $c$

c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)

Unghiurile pot fi găsite în același mod ca în cazul precedent , se pot folosi și formulele de analogie ale lui Napier : $\alpha ,\beta$

\alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma} {2)))\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma {2)))\sin(ba))),

\beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma {2)})\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(ab))).

Două laturi și niciun unghi între ele

Să fie date laturile și unghiul . Pentru ca o soluție să existe, trebuie îndeplinită următoarea condiție: $b,c$ $\beta$

b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta).

Unghiul se obține din teorema sinusului : $\gamma$

\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta {\sin b))\right).

Aici, similar cazului plan, la , se obțin două soluții: și . $b<c$ $\gamma$ $180^{\circ }-\gamma$

Cantitățile rămase pot fi găsite din formulele de analogie ale lui Napier [15] :

a=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(bc)\right){\frac {\sin \left({\frac {1 }{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)))\right\}

\alpha =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left( {\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(bc)\right)))\right\}

Latura și unghiuri adiacente

În această opțiune, sunt date latura și unghiurile . Unghiul este determinat de teorema cosinusului [16] : $c$ $\alpha ,\beta$ $\gamma$

\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta).

Cele două laturi necunoscute sunt obținute din formulele de analogie ale lui Napier:

a=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatorname {tg} (c/ 2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}

b=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\operatorname {tg} (c/ 2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}

sau, dacă se utilizează unghiul calculat , prin legea cosinusurilor: $\gamma$

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right).

Două colțuri și nicio parte între ele

Spre deosebire de analogul plat , această problemă poate avea mai multe soluții.

Să fie date latura și unghiurile . Latura este determinată de teorema sinusului [17] : $A$ $\alpha ,\beta$ $b$

b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Dacă unghiul pentru latură este ascuțit și , există o a doua soluție: $A$ $\alpha >\beta$

b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Cantitățile rămase sunt determinate din formulele de analogie ale lui Napier:

c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2))(ab)\right){\frac {\sin \left({\ frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)))\right\ }.

\gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2)}(\alpha -\beta)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(ab)\right)))\right\} .

Three Corners

Având în vedere trei unghiuri, laturile se găsesc folosind legea cosinusului:

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)

c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)

O altă opțiune este să folosiți formula semiunghiului [18] .

Rezolvarea triunghiurilor sferice dreptunghiulare

Algoritmii prezentați sunt foarte simplificați dacă se știe că unul dintre unghiurile triunghiului (de exemplu, unghiul ) este drept. Un triunghi sferic dreptunghic este complet determinat de două elemente, celelalte trei se găsesc folosind regula mnemonică Napier sau din următoarele relații [19] : $C$

\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,

\sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha ,

\cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta ,

\operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,

\operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha ,

\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c,

\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c.

Variații și generalizări

În multe sarcini practic importante, în loc de laturile unui triunghi, sunt stabilite celelalte caracteristici ale acestuia - de exemplu, lungimea medianei , înălțimea , bisectoarea , raza unui cerc înscris sau circumscris etc. În mod similar, în loc de unghiuri la vârfurile unui triunghi, alte unghiuri pot apărea în problemă. Algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme sunt cel mai adesea combinați din teoremele de trigonometrie discutate mai sus.

Exemple:

Sarcina lui Regiomontanus este de a construi un triunghi, dacă se cunosc una dintre laturile lui, lungimea înălțimii coborâte până la acesta și unghiul opus [20] .
Problema Snell-Potenot .
Problema lui Thomas Finke [21] : găsiți unghiurile unui triunghi dacă se cunosc suma a două unghiuri și raportul laturilor opuse . $\alpha +\beta$ $a:b$
Problema lui Newton : Rezolvați un triunghi dacă se cunosc o latură, unghiul opus și suma celorlalte două laturi.

Exemple de aplicații

Triunghiulare

Pentru a determina distanța de la coastă până la un punct inaccesibil - de exemplu, la o navă îndepărtată - trebuie să marcați două puncte de pe coastă, distanța dintre care este cunoscută și să măsurați unghiurile dintre linia care leagă aceste puncte și direcția către nava. Din formulele opțiunii „latura și două unghiuri” , puteți găsi lungimea înălțimii triunghiului [22] : $d$ $l$ $\alfa$ $\beta$

d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg } \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}\,l

Această metodă este utilizată în transportul de coastă . În acest caz, unghiurile sunt estimate prin observații de la navă a reperelor cunoscute la sol. O schemă similară este utilizată în astronomie pentru a determina distanța până la o stea din apropiere: unghiurile de vizualizare ale acestei stele sunt măsurate din puncte opuse ale orbitei pământului (adică, cu un interval de șase luni) și distanța necesară este calculată din punctul lor. diferență ( paralaxă ) [22] . $\alpha ,\beta$

Un alt exemplu: vrei să măsori înălțimea unui munte sau a unei clădiri înalte. Se cunosc unghiurile de vizualizare ale vârfului din două puncte situate la distanță . Din formulele aceleiași versiuni ca mai sus, rezultă [23] : $h$ $\alpha ,\beta$ $l$

h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )))\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg } \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l

Distanța dintre două puncte de pe suprafața globului

Este necesar să se calculeze distanța dintre două puncte de pe glob [24] :

Punct : latitudine longitudine

A

\lambda _{\mathrm {A} },

L_{\mathrm {A} },

Punct : latitudine longitudine

B

\lambda _{\mathrm {B} },

L_{\mathrm {B} },

Pentru un triunghi sferic , unde este polul nord, se cunosc următoarele mărimi: $ABC$ $C$

a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }

b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }

\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }

Acesta este cazul „două laturi și un unghi între ele”. Din formulele de mai sus , obțineți:

\mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A } }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}

unde este raza Pământului . $R$

Istorie

Începuturile cunoștințelor trigonometrice pot fi găsite în manuscrisele matematice ale Egiptului antic , Babilonului și Chinei antice . Principala realizare a acestei perioade a fost raportul, care a primit mai târziu numele de teorema lui Pitagora ; Van der Waerden crede că babilonienii l-au descoperit între 2000 și 1786 î.Hr. e. [25]

Formularea generală a problemei rezolvării triunghiurilor (atât plate, cât și sferice) a apărut în geometria greacă veche [26] . În a doua carte a lui Euclid Principia , Teorema 12 este un analog verbal al teoremei cosinus pentru triunghiuri obtuse [27] :

În triunghiuri obtuz, pătratul de pe latura care subtind unghiul obtuz este mai mare decât [suma] pătratelor de pe laturile care conțin unghiul obtuz de către dreptunghiul dublu luat cuprins între una dintre laturi la un unghi obtuz, pe care perpendiculara cade, iar segmentul tăiat de această perpendiculară din exterior la un colț obtuz.

Teorema 13 care urmează este o variantă a teoremei cosinusului pentru triunghiuri acute . Grecii nu aveau un analog al teoremei sinusului , această descoperire cea mai importantă a fost făcută mult mai târziu [28] : cea mai veche demonstrație a teoremei sinusului pe plan care a ajuns până la noi este descrisă în cartea lui Nasir ad-Din. At-Tusi „Tratat despre patrulaterul complet”, scris în secolul al XIII-lea [29] .

Primele tabele trigonometrice au fost probabil întocmite de Hiparh la mijlocul secolului al II-lea î.Hr. e. pentru calcule astronomice. Mai târziu, astronomul din secolul al II-lea Claudius Ptolemeu , în Almagest , a completat rezultatele lui Hiparh. Prima carte a Almagestului este cea mai semnificativă lucrare trigonometrică din toată antichitatea. În special, Almagest conține tabele trigonometrice extinse de acorduri pentru unghiuri acute și obtuze, în trepte de 30 de minute de arc . În tabele, Ptolemeu dă valoarea lungimii acordurilor cu o precizie de trei cifre sexagesimale [30] . O astfel de precizie corespunde aproximativ unui tabel zecimal de cinci cifre de sinusuri în trepte de 15 minute de arc [1] .

Ptolemeu nu stabilește în mod explicit teorema sinusului și cosinusului pentru triunghiuri. Cu toate acestea, el se confruntă întotdeauna cu problema rezolvării triunghiurilor prin împărțirea triunghiului în două dreptunghic [31] .

În paralel cu dezvoltarea trigonometriei plane, grecii, sub influența astronomiei, au avansat mult trigonometria sferică [32] . Etapa decisivă în dezvoltarea teoriei a fost monografia „ Sfera ” în trei cărți, care a fost scrisă de Menelau din Alexandria (aproximativ 100 d.Hr.). În prima carte, el a schițat teoreme asupra triunghiurilor sferice , similare cu teoremele lui Euclid asupra triunghiurilor plane (vezi Cartea I a Începuturilor). Potrivit lui Pappus , Menelaus a fost primul care a introdus conceptul de triunghi sferic ca o figură formată din segmente de cercuri mari [33] . Câteva decenii mai târziu, Claudius Ptolemeu , în Geografia, Analemma și Planisferium, oferă o expunere detaliată a aplicațiilor trigonometrice la cartografie, astronomie și mecanică.

În secolul al IV-lea, după declinul științei antice, centrul de dezvoltare a matematicii s-a mutat în India. Scrierile matematicienilor indieni ( siddhantas ) arată că autorii lor erau bine familiarizați cu lucrările astronomilor și geometrilor greci [34] . Indienii erau puțin interesați de geometria pură, dar contribuția lor la astronomia aplicată și la aspectele computaționale ale trigonometriei este foarte semnificativă. În special, indienii au fost primii care au introdus folosirea cosinusului [35] . În plus, indienii cunoșteau formulele pentru unghiuri multiple , pentru . În Surya-siddhanta și în lucrările lui Brahmagupta, la rezolvarea problemelor, se utilizează de fapt versiunea sferică a teoremei sinusului , dar formularea generală a acestei teoreme nu a apărut în India [36] . $\sin n\varphi$ $\cos n\varphi$ $n=2,3,4,5$

În secolul al VIII-lea, oamenii de știință din țările din Orientul Apropiat și Mijlociu s-au familiarizat cu lucrările matematicienilor și astronomilor greci și indieni antici. Tratatele lor astronomice, asemănătoare cu Siddhanta indienilor, erau numite „ ziji ”; un zij tipic era o colecție de tabele astronomice și trigonometrice, prevăzute cu un ghid de utilizare a acestora și (nu întotdeauna) un rezumat al teoriei generale [37] . Comparația zijurilor din perioada secolelor VIII-XIII arată evoluția rapidă a cunoștințelor trigonometrice. Cele mai vechi lucrări supraviețuitoare aparțin lui al-Khwarizmi și al-Marvazi (sec. IX), care au considerat, alături de sinusul și cosinusul cunoscut indienilor, noi funcții trigonometrice : tangentă , cotangentă , secanta și cosecantă [35] .

Thabit ibn Qurra (secolul al IX-lea) și al-Battani (secolul al X-lea) au fost primii care au descoperit teorema sinusului fundamental pentru cazul special al unui triunghi sferic dreptunghic . Pentru un triunghi sferic arbitrar, dovada a fost găsită (în diverse moduri și probabil independent unul de celălalt) de Abu-l-Vafa , al-Khujandi și ibn Irak la sfârșitul secolului al X-lea [28] . Într-un alt tratat, ibn Irak a formulat și a demonstrat teorema sinusului pentru un triunghi plat [38] . Teorema cosinusului sferic nu a fost formulată în general în țările islamice, cu toate acestea, în lucrările lui Sabit ibn Kurra, al-Battani și alți astronomi, există afirmații echivalente cu ea [39] .

Prezentarea fundamentală a trigonometriei ca știință independentă (atât plană, cât și sferică) a fost dată de matematicianul și astronomul persan Nasir ad-Din at-Tusi în 1260 [40] . „Tratatul său despre patrulaterul complet” conține metode practice de rezolvare a problemelor tipice, inclusiv a celor mai dificile, rezolvate chiar de at-Tusi - de exemplu, construirea laturilor unui triunghi sferic la trei unghiuri date [41] . Astfel, până la sfârșitul secolului al XIII-lea, au fost descoperite teoremele de bază necesare pentru rezolvarea eficientă a triunghiurilor.

În Europa, dezvoltarea teoriei trigonometrice a devenit extrem de importantă în timpurile moderne, în primul rând pentru artilerie , optică și navigație în călătoriile maritime pe distanțe lungi. În 1551, au apărut tabelele trigonometrice cu 15 cifre ale lui Rheticus , un student al lui Copernic, cu un pas de 10" [42] . Nevoia de calcule trigonometrice complexe a determinat descoperirea logaritmilor la începutul secolului al XVII-lea și primul logaritm . tabelele lui John Napier conțineau doar logaritmii funcțiilor trigonometrice.Printre alte descoperiri, cel al lui Napier este un algoritm eficient pentru rezolvarea triunghiurilor sferice, numit „ formule de analogie a lui Napier ” [43] .Algebrizarea trigonometriei, începută de François Vieta , a fost finalizată de Leonhard Euler . în secolul al XVIII-lea, după care algoritmii de rezolvare a triunghiurilor au căpătat o formă modernă.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Vygodsky M. Ya., 1978 , p. 266-268.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 487.
↑ Rezolvarea triunghiurilor . Matematica este distracție. Preluat la 23 iulie 2022. Arhivat din original la 30 iunie 2019. (nedefinit)
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 488.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 133.
↑ Rezolvarea triunghiurilor SSS . Matematica este distracție. Preluat la 23 iulie 2022. Arhivat din original la 30 septembrie 2012. (nedefinit)
↑ Rezolvarea triunghiurilor S.A.S. Matematica este distracție. Preluat la 24 iulie 2022. Arhivat din original la 30 septembrie 2012. (nedefinit)
↑ Rezolvarea triunghiurilor S.S.A. Matematica este distracție. Consultat la 24 iulie 2012). Arhivat din original la 30 septembrie 2012. (nedefinit)
↑ Vygodsky M. Ya., 1978 , p. 294.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 493-496.
↑ Rezolvarea triunghiurilor A.S.A. Matematica este distracție. Preluat la 24 iulie 2022. Arhivat din original la 30 septembrie 2012. (nedefinit)
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 87-90.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 102-104.
↑ 1 2 Enciclopedia de matematică elementară, 1963 , p. 545.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 121-128.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 115-121.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 128-133.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 104-108.
↑ Formule de bază ale fizicii, 1957 , p. 14-15.
↑ Zeiten G. G., 1932 , p. 223-224.
↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 126-127.
↑ 1 2 Geometrie: clasele 7-9, 2009 , p. 260-261.
↑ Geometrie: clasele 7-9, 2009 , p. 260.
↑ Stepanov N. N., 1948 , p. 136-137.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometrie și algebră în civilizațiile antice . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , p. 94-95.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , p. 92-96.
↑ Berggren, J. Lennart. Matematica în Islamul medieval // Matematica Egiptului, Mesopotamiei, Chinei, Indiei și Islamului: O sursă . - Princeton University Press , 2007. - P. 518 . — ISBN 9780691114859 .
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 143.
↑ Van der Waerden . Trezirea Științei. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei . - M. : Nauka, 1959. - S. 366. - 456 p.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 25-27.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 33-36.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 40-44.
↑ 1 2 Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , p. 79.
↑ Yushkevich A.P. Istoria matematicii în Evul Mediu. - M. : GIFML, 1961. - S. 160. - 448 p.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 111.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , p. 96-98.
↑ Tusi Nasiruddin . Un tratat despre patrulaterul complet. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , p. 105.
↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 320.
↑ Stepanov N. N. § 42. Formulele de analogie ale lui Napier // Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 87-90. — 154 p.

Literatură

Teorie și algoritmi

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometrie: clasele 7-9. Manual pentru instituțiile de învățământ. - Ed. a XIX-a. - M . : Educaţie , 2009. - 384 p. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. — M .: Nauka, 1978.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometrie, manual pentru clasa a 10-a. - M. : MTsNMO, 2002. - ISBN 5-94057-050-X .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Menzel D. (ed.). Formule de bază ale fizicii. Capitolul 1. Formule matematice de bază. - M .: Ed. literatură străină, 1957. - 658 p.
Concepte de bază de geometrie sferică și trigonometrie // Enciclopedia de matematică elementară (în 5 volume) . - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 4. - S. 518-557. — 568 p.
Stepanov N. N. Trigonometrie sferică. - M. - L .: OGIZ, 1948.

Poveste

Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. clasele VII-VIII. Un ghid pentru profesori. - M . : Educaţie, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele IX-X. Un ghid pentru profesori. - M . : Educaţie, 1983. - 352 p.
Istoria matematicii, editat de A. P. Yushkevich în trei volume, M .: Nauka.
- Istoria matematicii. Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Eseuri despre istoria trigonometriei: Grecia antică. Orientul medieval. Evul Mediu târziu. - Ed. al 2-lea. - M. : Librokom, 2012. - 160 p. - (Moștenirea fizico-matematică: matematică (istoria matematicii)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Rybnikov K. A. Istoria matematicii în două volume. - M .: Ed. Universitatea de Stat din Moscova, 1960. - T. I.
Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P. Abu Raykhan Beruni și lucrările sale matematice. Ajutor pentru studenți. - M . : Educaţie, 1978. - 95 p. — (Oameni de știință).
Zeiten GG Istoria matematicii în antichitate și în Evul Mediu. - M. - L. : GTTI, 1932. - 230 p.
Zeiten G. G. Istoria matematicii în secolele al XVI-lea și al XVII-lea. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 p.

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex

Trigonometrie sferică
Noțiuni de bază	triunghi sferic triunghi polar Exces Bigon
Formule și rapoarte	Teoreme ale cosinusului Teorema sinusului Formula cu cinci elemente Formula pe jumătate regula mnemonică a lui Napier Teorema sferică a lui Pitagora formule Delambre formulele de analogie ale lui Napier teorema lui Legendre Rezolvarea triunghiurilor
subiecte asemănătoare	Sistem de coordonate sferice geometrie sferică unghi triedric

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană