Pătrat

Pătrat
$S$ , de la fr. superficial
Dimensiune	l²
Unități
SI	m²
GHS	cm²
Note
scalar

Aria - în sens restrâns, aria unei figuri - o caracteristică numerică introdusă pentru o anumită clasă de figuri geometrice plate (din punct de vedere istoric, pentru poligoane , apoi conceptul a fost extins la cifrele pătrate ) și având proprietățile unui zona [1] . Intuitiv, din aceste proprietăți rezultă că o suprafață mai mare a unei figuri corespunde „dimensiunii mai mari” a acesteia (de exemplu, un pătrat cu o suprafață mai mare tăiată din hârtie poate acoperi complet un pătrat mai mic), iar aria lui o figură poate fi estimată prin suprapunerea unei grile de linii care formează linii identice pe desenul ei, pătrate ( unități de suprafață ) și numărând numărul de pătrate și cotele lor care au căzut în interiorul figurii [2] (în figura din dreapta ). Într-un sens larg, conceptul de zonă este generalizat [1] la suprafețele k - dimensionale în spațiul n - dimensional ( euclidian sau riemannian ), în special la o suprafață bidimensională în spațiul tridimensional .

Din punct de vedere istoric, calculul ariei a fost numit cuadratura . Valoarea specifică a zonei pentru cifre simple rezultă în mod clar din cerințele practic importante pentru acest concept ( vezi mai jos ). Figurile cu aceeași zonă se numesc zone egale.

O metodă generală pentru calcularea ariei figurilor geometrice a furnizat calcul integral . O generalizare a conceptului de zonă a devenit teoria măsurii seturilor , potrivită pentru o clasă mai largă de obiecte geometrice.

Pentru un calcul aproximativ al suprafeței, în practică folosesc o paletă sau un dispozitiv special de măsurare - un planimetru .

Definiția conceptului de zonă

Proprietăți

Aria este o funcție care are următoarele proprietăți [3] [1] :

Pozitivitatea, adică aria este o mărime nenegativă ( scalară );
Aditivitatea , adică aria unei figuri este egală cu suma ariilor figurilor sale constitutive fără puncte interioare comune;
Invarianța, adică ariile figurilor congruente sunt egale;
Normalizat, adică aria unui pătrat unitar este 1.

Din această definiție a zonei, rezultă monotonitatea acesteia, adică aria unei părți a figurii este mai mică decât aria întregii figuri [3] .

Cifrele la pătrat

Inițial, definiția ariei a fost formulată pentru poligoane , apoi a fost extinsă la cifre pătrate. O figură care poate fi înscrisă într-un poligon și în care poate fi înscris un poligon se numește figură pătrată, iar ariile ambelor poligoane diferă cu o cantitate arbitrar de mică. Astfel de cifre sunt numite și Jordan măsurabile [1] . Pentru figurile din plan care nu constau dintr-un număr întreg de pătrate unitare , aria se determină folosind trecerea la limită ; se cere ca atât figura cât și limita ei să fie netede în bucăți [4] . Există figuri plane nepătratare [1] . Definiția axiomatică a zonei propusă mai sus în cazul figurilor plate este de obicei completată cu una constructivă, în care calculul propriu-zis al suprafeței se realizează cu ajutorul unei palete. În același timp, pentru calcule mai precise în pașii următori, se folosesc palete, în care lungimea laturii pătratului este de zece ori mai mică decât lungimea paletei anterioare [5] .

Aria figurii plane pătrate există și este unică. Conceptul de zonă, extins la mulțimi mai generale, a condus la definirea mulțimilor măsurabile Lebesgue , care este preocuparea teoriei măsurii . În viitor, apar clase mai generale pentru care proprietățile zonei nu garantează unicitatea acesteia [1] .

Metodă generală de determinare a zonei

Aria unei figuri plane

În practică, cel mai adesea este necesar să se determine aria unei figuri delimitate cu o limită netedă pe bucăți. Analiza matematică oferă o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme.

Coordonate carteziene

Aria cuprinsă între graficul unei funcții continue pe interval și axa orizontală poate fi calculată ca o integrală definită a acestei funcții: $[a,b]$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx

Aria cuprinsă între graficele a două funcții continue pe interval se găsește ca diferență a anumitor integrale ale acestor funcții: $f(x),\,g(x)$ $[a,b]$

$S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx$

Coordonatele polare

În coordonate polare : aria delimitată de graficul funcției și a razelor se calculează cu formula: $r=r(\theta)$ $\theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}$

S={1 \over 2}\int \limits _{{\theta _{1}}}^{{\theta _{2}}}r^{2}(\theta )\,d\theta

Suprafața

Pentru a determina aria unei suprafețe netede pe bucăți în spațiul tridimensional, se folosesc proiecții ortogonale la planurile tangente în fiecare punct, după care se realizează trecerea la limită. Ca urmare, aria suprafeței curbe A , dată de funcția vectorială , este dată de integrala dublă [1] : ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u,v),$

S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial {\mathbf {r}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\mathbf {r}}}{ \partial v}}\right|\,du\,dv.

Același în coordonate:

S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\ frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)))\ dreapta)^{2))\;{\mathrm {d}}\,u\,{\mathrm {d}}\,v

Aici . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Teoria zonei

Teoria ariilor se ocupă cu studiul generalizărilor legate de extinderea definiției ariei k-dimensionale de la o imersiune lină pe bucăți la spații mai generale. Pentru o imersare lină în bucăți f, zona este determinată într-o manieră similară cu cea indicată mai sus, în timp ce zona păstrează proprietăți precum pozitivitatea, aditivitatea , normalizarea, precum și o serie de altele noi.

Unități de suprafață

Unități metrice

Metroul pătrat , o unitate derivată a Sistemului Internațional de Unități (SI) ; 1 m² = 1 sa ( santiar );
Kilometru pătrat , 1 km² = 1.000.000 m²;
Hectar , 1 ha = 10.000 m²;
Ar (țesătură), 1 a \u003d 100 m²:
Decimetru pătrat , 100 dm² = 1 m²;
Centimetru pătrat , 10.000 cm² = 1 m²;
Milimetru pătrat , 1.000.000 mm² = 1 m²;
Hambar , 1 b \u003d 10 -28 m².

Rusă învechită

Verstă pătrată = 1,13806 km²
Zeciuială = 10925,4 m²
Fân = 0,1 zecimi - cosirea fânului a fost măsurată în fân
Sazhen pătrat = 4,55224 m²

Măsurile terenului în calculele fiscale au fost urletul, plugul, obzha , a căror dimensiune depindea de calitatea terenului și de statutul social al proprietarului. Au existat și diverse măsuri locale de teren: boxe, frânghie, loturi etc.

Antic

Altele

Acru
Paradis = 1600 m² (40 m × 40 m).
parsec pătrat
Aria Planck ( ) ≈ 2,612099 10 −70 m 2 $S_{P},{\ell }_{{P}}^{{2}}$

Formule de calcul a ariilor celor mai simple figuri

Poligoane

Figura	Formulă	Variabile
triunghi dreptunghic	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$A$ - lungimea laturii triunghiului
Triunghi dreptunghic	${\frac {ab}{2))$	$A$ și - catetele triunghiului $b$
Triunghi arbitrar	${\frac {1}{2}}ah$	$A$ - latura triunghiului, - înălțimea trasată pe această latură $h$
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$A$ și - oricare două laturi, - unghiul dintre ele $b$ $\alfa$
	${\sqrt {p(pa)(pb)(buc)))$ ( formula lui Heron )	$A$ , și sunt laturile triunghiului, este semiperimetrul $b$ $c$ $p$ $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\dreapta)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{ vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$ _ _ _ $(x_{1};y_{1})$ $(x_{2};y_{2})$
Pătrat	$a^2$	$A$ - lungimea laturii pătratului
Dreptunghi	$ab$	$A$ și sunt lungimile laturilor dreptunghiului (lungimea și lățimea acestuia) $b$
Romb	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ și sunt lungimile diagonalelor rombului $d$
Paralelogram	$Ah$	$A$ și - lungimea laturii și respectiv înălțimea coborâtă pe aceasta $h$
Paralelogram	$ab\sin\alpha$	$A$ și - laturile adiacente ale paralelogramului, - unghiul dintre ele $b$ $\alfa$
Trapez	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$A$ și - baza trapezului, - înălțimea trapezului $b$ $h$
Patrulaterul arbitrar	${\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos \alpha }}$ ( formula Brahmagupta )	$A$ , , , sunt laturile patrulaterului, este semiperimetrul acestuia, este jumătatea sumei unghiurilor opuse ale patrulaterului $b$ $c$ $d$ $p$ $\alfa$
Hexagon obișnuit	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$A$ este lungimea laturii hexagonului
Octogon obișnuit	$2a^{2}(1+{\sqrt {2)))$	$A$ este lungimea laturii octogonului
poligon regulat	${\frac {P^{2}/n}{4\operatorname {tg}(\pi /n)))$	$P$ - perimetrul, - numărul de laturi $n$
Poligon arbitrar (convex și neconvex)	${\frac {1}{2}}\left\|\sum _{{i=1}}^{{n}}(x_{{i+1}}-x_{i})(y_{{i+ 1 }}+y_{i})\right\|$ ( metoda trapezoidală )	$(x_{i};y_{i})$ sunt coordonatele vârfurilor poligonului în ordinea în care sunt ocolite, închizându-l pe ultimul cu primul: ; dacă există găuri, direcția de ocolire a acestora este opusă de ocolire a limitei exterioare a poligonului $(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})$
Poligon arbitrar (convex și neconvex)	Calculul ariilor poligoanelor după metoda lui Sarron [6] . Există o formulă analitică.	Având în vedere lungimile laturilor poligonului și unghiurile azimutale ale laturilor

Zonele unui cerc, părțile sale, figurile circumscrise și înscrise

Figura	Formulă	Variabile
Un cerc	$\pi r^{2}$ sau ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ - raza, - diametrul cercului $d$
sector cerc	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ este raza cercului, este unghiul central al sectorului (în radiani ) $\alfa$
segment de cerc	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ este raza cercului, este unghiul central al segmentului (în radiani ) $\alfa$
Elipsă	$\pi ab$	$A$ , sunt semiaxele majore și minore ale elipsei $b$
Triunghi înscris într-un cerc	${\frac {abc}{4R))$	$A$ , și sunt laturile triunghiului, este raza cercului circumscris $b$ $c$ $R$
Cadrilater înscris într-un cerc	${\sqrt {(pa)(pb)(buc)(pd)))$ ( formula Brahmagupta )	$A$ , , , sunt laturile patrulaterului, este semiperimetrul acestuia $b$ $c$ $d$ $p$
Poligon circumscris unui cerc	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ - raza cercului înscris în poligon, - perimetrul poligonului $P$
Trapez dreptunghiular circumscris unui cerc	$ab$	$A$ , - bazele trapezului $b$

Suprafața corpurilor în spațiu

Corp	Formulă	Variabile
Suprafața completă a unui cilindru circular drept	$2\pi r(r+h)$	$r$ și sunt raza și, respectiv, înălțimea $h$
Suprafața laterală a unui cilindru circular drept	$2\pi rh$	$r$ și sunt raza și, respectiv, înălțimea $h$
Suprafața completă a unui con circular drept	$\pi r(l+r)$	$r$ și sunt raza și respectiv generatria suprafeței laterale $l$
Suprafața laterală a unui con circular drept	$\pi rl$
Suprafața unei sfere ( bile )	$4\pi r^{2}$ sau $\pi d^{2}$	$r$ și sunt raza și respectiv diametrul $d$
Suprafața laterală a unei prisme drepte	$Ph$	$P$ - perimetrul bazei, - înălțimea $h$
Suprafața totală a unei prisme arbitrare	${\displaystyle 2A_{1}+A_{2))$	$A_{1}$ - suprafata de baza - suprafata laterala $A_{2}$

Contur istoric

Zona figurilor plane

Timp de mulți ani, zona a fost considerată un concept primar care nu necesita definire. Sarcina principală a matematicienilor era să calculeze aria, în timp ce proprietățile de bază ale zonei erau cunoscute [3] . În Egiptul Antic , s-au folosit regulile exacte pentru calcularea ariei dreptunghiurilor, triunghiurilor dreptunghiulare și trapezelor, aria unui patrulater arbitrar a fost determinată aproximativ ca produsul semisumelor de perechi de laturi opuse. Utilizarea unei astfel de formule aproximative se datorează faptului că zonele a căror suprafață trebuia măsurată erau în mare parte apropiate de dreptunghiulare și eroarea în acest caz a rămas mică. Istoricul matematicii A.P. Yushkevich sugerează că egiptenii ar fi putut să nu fi știut că foloseau o formulă aproximativă. Problema 50 a papirusului Rhind conține o formulă pentru calcularea aria unui cerc, care a fost considerată egală cu aria unui pătrat cu latura de 8/9 din diametrul cercului [7] . Aceleași formule au fost folosite în Babilon , dar pentru aria unui cerc, aproximarea a fost mai puțin precisă. În plus, babilonienii puteau calcula aproximativ ariile celor cinci, șase și heptagoane obișnuite cu o latură egală cu unu. În sistemul sexagesimal , acestea corespundeau la 1,40 , 2,37,20 și respectiv 3,41 [8] .

Principala metodă de calcul a ariei în acest caz a fost construcția unui pătrat, aria care este egală cu aria unei figuri poligonale date, în special, în cartea I a lui Euclid . 's Beginnings , care este dedicat planimetriei figurilor rectilinii, se dovedește că un triunghi este egal cu o jumătate de dreptunghi care are baze și înălțime egale cu el [ 9 ] . Metoda expansiunii, bazată pe faptul că două figuri egale compuse au dimensiuni egale, a făcut posibilă și calcularea ariilor paralelogramelor și oricăror poligoane [5] .

Următorul pas a fost calcularea ariilor cercului, sectorului circular, găurilor și altor figuri. La baza calculelor în acest caz a stat metoda epuizării prin poligoane [1] [5] , din care provine teoria limitelor . Metoda constă în construirea unei secvențe de zone, care, cu o creștere treptată, „epuizează” suprafața necesară. Metoda epuizării, care și-a primit numele abia în secolul al XVII-lea, se bazează pe axioma de continuitate Eudoxus-Arhimede și este atribuită lui Eudox din Cnidus , care a arătat cu ea că ariile cercurilor sunt legate între ele ca pătratele de diametrele acestora. Metoda este descrisă în Elementele lui Euclid: axioma lui Eudoxus este formulată în cartea a V-a, iar metoda epuizării în sine și relațiile bazate pe ea sunt în cartea XII [9] . Arhimede a atins o perfecțiune deosebită în aplicarea metodei , care cu ajutorul său a calculat aria unui segment de parabolă și altele [10] [11] . Lucrarea lui Arhimede „Despre spirale” include multe afirmații referitoare la zonele diferitelor spire ale spiralei și raporturile acestora [12] . Arhimede a venit cu ideea de a folosi suprafețe sau volume atât ale cifrelor înscrise, cât și ale cifrelor circumscrise pentru a determina aria sau volumul necesar [13] .

Indienii au folosit la început aceeași formulă pentru calcularea patrulaterelor ca egiptenii și grecii. Brahmagupta a folosit formula pentru aria patrulaterelor, exprimată în termeni de semiperimetrul său, ceea ce este valabil pentru un patrulater înscris într-un cerc. Formulele de calcul al suprafeței nu au fost de obicei dovedite, ci au fost demonstrate cu desene vizuale [14] . Formula lui Brahmagupta este un analog al formulei lui Heron pentru aria unui triunghi, pe care a citat-o în „Metrica” sa [15] .

Dezvoltarea și generalizarea metodei de epuizare a avut loc abia în secolul al XVII-lea. În 1604, în cele trei cărți ale sale despre centrul de greutate al corpurilor, Valerio folosește pe scară largă teorema conform căreia diferența dintre ariile figurilor înscrise și circumscrise compuse din paralelograme poate fi făcută mai mică decât orice zonă dată [16] . Adevărata descoperire a fost făcută de Kepler , care trebuia să poată calcula aria unei elipse pentru calcule astronomice. Kepler a considerat zona ca o „suma de linii” și, regândind elipsa în trepte de un grad, a arătat [17] că . Cavalieri , argumentând o metodă similară, numită „ metoda indivizibililor ”, a comparat ariile figurilor plane folosind secțiunea figurilor prin linii paralele [18] . Utilizarea antiderivatei pentru a găsi aria unei figuri plane este cea mai versatilă metodă. Cu ajutorul antiderivatei se demonstrează principiul Cavalieri , conform căruia două figuri plate au o suprafață egală dacă, atunci când fiecare dintre ele intersectează o dreaptă paralelă cu una fixă, se obțin segmente de aceeași lungime. Principiul era cunoscut cu mult înainte de formarea calculului integral [1] [5] . $\int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi$

Suprafața

Arhimede s-a angajat în calcularea ariilor suprafețelor curbe, după ce a determinat, în special, aria suprafeței unei mingi [13] . În cazul general, pentru a determina suprafața, nu puteți folosi nici o măturare (nu este potrivită pentru o sferă), nici aproximarea prin suprafețe poliedrice, adică un analog al metodei de epuizare. Acesta din urmă a fost arătat de Schwartz prin construirea unor secvențe pentru secvența laterală a unui cilindru care duc la rezultate diferite (așa-numita cizmă Schwartz ) [1] [19] .

O metodă generală de calculare a suprafeței la începutul secolelor XIX-XX a fost propusă de Minkowski , care a construit un „strat învăluitor” de grosime mică constantă pentru fiecare suprafață, apoi aria suprafeței va fi aproximativ egală cu volumul acestei suprafețe. strat împărțit la grosimea lui. Trecerea la limită când grosimea tinde spre zero dă valoarea exactă a zonei. Cu toate acestea, potrivit lui Minkowski, proprietatea de aditivitate nu este întotdeauna satisfăcută pentru zonă. Generalizarea acestei definiții conduce la conceptul de linie după Minkowski și alții [20] .

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Aria // Enciclopedie Matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 4.
↑ Chirkova, Natalya Ivanovna și Valentina Nikolaevna Zinoveva. Formarea ideilor despre aria obiectelor și măsurarea acesteia la elevii din ciclul primar Copie de arhivă din 28 aprilie 2019 la Wayback Machine // Buletinul Universității Kaluga 1 (2017): 92-97.
↑ 1 2 3 Geometrie, 1966 , p. 7-13.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - Ed. al 6-lea. - M. : FIZMATLIT, 1966. - T. 2. - S. 186-224. — 800 s.
↑ 1 2 3 4 Boltyansky V. Despre conceptele de zonă și volum. Arhivat 5 mai 2017 la Wayback Machine Kvant , nr. 5, 1977, pp.2-9
↑ Khrenov L. S. Calculul ariilor poligoanelor folosind metoda Sarron // Matem. educaţie. 1936. Numărul 6. S. 12-15
↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 30-32.
↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 47-53.
↑ 1 2 Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 111-114.
↑ Metoda epuizării // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 2.
↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 101-105.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , p. 127-128.
↑ 1 2 Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 117-124.
↑ Istoria matematicii, vol. I, 1970 , p. 197-198.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , p. 172, 219.
↑ Istoria matematicii, vol. II, 1970 , p. 131-135.
↑ Istoria matematicii, vol. II, 1970 , p. 166-171.
↑ Istoria matematicii, vol. II, 1970 , p. 174-181.
↑ V. N. Dubrovsky, În căutarea determinării suprafeței Copie de arhivă din 27 iunie 2017 la Wayback Machine . Quantum . 1978. Nr 5. P. 31-34.
↑ V. N. Dubrovsky, Surface area conform Minkowski Arhivat 15 februarie 2017 la Wayback Machine . Quantum . 1979. Nr 4. S.33-35.

Literatură

Enciclopedia matematicii elementare. Cartea cinci. Geometrie / editat de P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich și A. Ya. Khinchin. — M .: Nauka, 1966. — 624 p.
Rashevsky PK Riemann geometrie și analiză tensorială. Ed. 3, M.: Nauka, 1967.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - M. : FIZMATLIT, 1960. - T. 2. - 680 p. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Istoria matematicii: în 3 volume / editat de A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Din cele mai vechi timpuri până la începutul New Age.
Istoria matematicii: în 3 volume / editat de A. P. Yushkevich. - M . : Nauka, 1970. - T. II: Matematica secolului al XVII-lea.
Boyer CB, Merzbach UC O istorie a matematicii . — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p. Arhivat pe 9 iulie 2019 la Wayback Machine