Poliedre multidimensionale regulate

Un politop regulat n -dimensional este un politop spațial euclidian n - dimensional care este cel mai simetric într-un anumit sens. Poliedre tridimensionale obișnuite sunt numite și solide platonice .

Istorie

O clasificare a poliedrelor multidimensionale regulate a fost obținută de Ludwig Schläfli . [unu]

Definiție

Steagul unui politop n -dimensional este mulțimea fețelor sale , unde este fața -dimensională a politopului P și pentru . $P$ $F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{{n-1}})$ $F_{i}$ $i$ $F_{i}\subseteq F_{{n-1}}$ $i=1,2,\dots ,n-1$

Un poliedru n -dimensional obișnuit este un poliedru n - dimensional convex , pentru care pentru oricare dintre steaguri și există o mișcare care duce la . $P$ $F$ $F'$ $P$ $F$ $F'$

Clasificare

Dimensiunea 4

Există 6 poliedre cu patru dimensiuni obișnuite (multi-celule):

Nume	Simbolul Schläfli	Celulă	Numărul de celule	Numărul de fețe	Numărul de margini	Numărul de vârfuri
Cinci celule	{3,3,3}	tetraedru regulat	5	zece	zece	5
tesseract	{4,3,3}	cub	opt	24	32	16
Celulă hexazecimală	{3,3,4}	tetraedru regulat	16	32	24	opt
douăzeci şi patru de celule	{3,4,3}	octaedru	24	96	96	24
120 de celule	{5,3,3}	dodecaedru	120	720	1200	600
Șase sute de celule	{3,3,5}	tetraedru regulat	600	1200	720	120

Dimensiuni 5 și mai sus

În fiecare dintre dimensiunile superioare, există 3 poliedre regulate ( politopi ):

Nume	Simbolul Schläfli
n - simplex regulat dimensional	{3;3;...;3;3}
hipercub n -dimensional	{4;3;...;3;3}
hiperoctaedru n -dimensional	{3;3;...;3;4}

Proprietăți geometrice

Unghiuri

Unghiul diedric dintre fețele adiacente (n-1)-dimensionale ale unui politop regulat n-dimensional, dat de simbolul său Schläfli , este dat de formula [2] [3] [4] : $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{{N-3}},p_{{N-2}},p_{{N-1}}\}$

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-1))))}{1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{{n-2))))}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-3))} )){{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3)))){1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{2)))){1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1)))))))))))))) )))) }

unde este jumătate din unghiul dintre fețele adiacente (n-1)-dimensionale ale unui poliedru n-dimensional regulat $\beta$

Radii, volume

Raza unei sfere N-dimensionale înscrise:

r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta},

unde este raza sferei dimensionale (N-1) înscrise a feței. $r_{{N-1}}$

Volumul unui poliedru N-dimensional:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{{N-1}}A_{{N-1}}r_{N},

unde este volumul unei fețe (N-1)-dimensionale, este numărul de fețe (N-1)-dimensionale. $V_{{N-1}}$ $A_{{N-1}}$

Tilings

În dimensiunea n = 4

tesseract
faguri cu
Douăzeci și patru

În dimensiunea n ≥ 5

Fagure hipercubic

Vezi și

Note

↑ Schläfli, L. (1901). „Theorie der vielfachen Continuität”. Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38:1–237.
↑ Sommerville DMY O introducere în geometria n dimensiuni . - Londra, 1929. - S. 189. - 196 p.
↑ Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes . - Londra, 1948. - S. 134. - 321 p. Arhivat pe 5 mai 2016 la Wayback Machine
↑ Rosenfeld B.A. Spații multidimensionale . - Știință, 1966. - S. 193.

Link -uri

Exemplu vizual pe YouTube

Politopi obișnuiți (solide platonice) în 4D (link indisponibil) (2003). Data accesului: 30 ianuarie 2011. Arhivat din original pe 4 mai 2012. (nedefinit)

E. Yu. Smirnov. Grupuri de reflexie și poliedre regulate . - M. : MTSNMO, 2009. - 48 p. - ISBN 978-5-94057-525-2 .

E. B. Vinberg, O. V. Shvartsman. Grupuri discrete de mișcări ale spațiilor de curbură constantă // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. mat. Fundam. directii. - 1988. - T. 29 . — S. 147–259 .

Poliedre

Corect

Tridimensional (solide platonice)	tetraedru regulat cub Octaedru Dodecaedru icosaedru
4D	Cinci celule tesseract Celulă hexazecimală douăzeci şi patru de celule 120 de celule Șase sute de celule
Dimensiune mai mare (indicată între paranteze)	Simplex obișnuit Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hiperoctaedru

Regular
neconvex

Tridimensional după numărul de
fețe (indicat între paranteze)

Monoedru (1)
diedru (2)
Triedru (3)
Tetraedru (4)
Pentaedru (5)
Hexaedru (6)
Heptaedru (7)
Octaedru (8)
Enneaedrul (9)
Decaedru (10)
Endecaedru (11)
Dodecaedru (12)
Tridecaedru (13)
Tetradecaedru (14)
Pentadecaedru (15)
Hexadecaedru (16)
Heptadecaedru (17)
Octadecaedru (18)
Eneadecaedru (19)
Icosaedru (20)
Icosotetraedru (24)
Triacontaedru (30)
Hexacontaedru (60)
Enneacontaedru (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

convex

Solide arhimediene

organismele catalane

Prisme
prisma triunghiulara prismă pătrangulară Prismă pentagonală Prismă hexagonală prismă heptagonală Prismă octogonală Prismă cu nouă unghiuri Prismă decagonală Prismă cu unsprezece unghi Prismă dodecagonală

poliedre Johnson

Formule ,
teoreme ,
teorii

Alte

Politopuri de bază convexe regulate și omogene în dimensiunile 2–10
Familie	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H₄
poligon regulat	triunghi dreptunghic	Pătrat	P-gon obișnuit	Hexagon obișnuit	pentagon obișnuit
Poliedru uniform	tetraedru regulat	Octaedru regulat • Cub	jumătate cub		Dodecaedru regulat • Icosaedru regulat
Multicelulă uniformă	Cinci celule	16 celule • Tesseract	Semiteseract	24 de celule	120 de celule • 600 de celule
5-politop omogen	5-simple obișnuit	5-ortoplex • 5-hipercub	5-semihipercub
6-politop omogen	6-simple obișnuit	6-ortoplex • 6-hipercub	6-semihipercub	1 22 • 2 21
7-politop omogen	7-simple obișnuit	7-ortoplex • 7-hipercub	7-semihipercub	1 32 • 2 31 • 3 21
8-politop omogen	8-simple obișnuit	8-ortoplex • 8-hipercub	8-semi-hipercub	1 42 • 2 41 • 4 21
9-politop omogen	9-simple obișnuit	9-ortoplex • 9-hipercub	9-semihipercub
10-politop omogen	10 simplex obișnuit	10-ortoplex • 10-hipercub	10-jumătate-hipercub
Uniform n - politop	Regular n - simplex	n - ortoplex • n - hipercub	n - semi-hipercub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - poliedru pentagonal
Subiecte: Familii de politopuri • Politopuri obișnuite • Lista politopilor obișnuiți și compușii acestora