Ecuație integrală

O ecuație integrală este o ecuație funcțională care conține o transformare integrală peste o funcție necunoscută. Dacă ecuația integrală conține și derivate ale unei funcții necunoscute, atunci se vorbește de o ecuație integro-diferențială .

Clasificarea ecuațiilor integrale

Ecuații integrale liniare

Acestea sunt ecuații integrale în care funcția necunoscută intră liniar:

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)

unde este funcția dorită, , sunt funcțiile cunoscute și este parametrul. Funcția se numește nucleul ecuației integrale. În funcție de tipul de nucleu și de termenul liber, ecuațiile liniare pot fi împărțite în mai multe tipuri. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(x,\;s)$ $\lambda$ $K(x,\;s)$

Ecuațiile lui Fredholm Ecuații Fredholm de al 2-lea fel

Ecuațiile Fredholm de al 2-lea fel sunt ecuații de forma:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Limitele integrării pot fi fie finite, fie infinite. Variabilele satisfac inegalitatea: , iar nucleul și termenul liber trebuie să fie continui: , sau să îndeplinească condițiile: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$ $K(x,\;s)\în C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\în C([a,\;b])$

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^ 2\,dx<+\infty.

Nuezele care îndeplinesc ultima condiție se numesc Fredholm . Dacă este activată , atunci ecuația se numește omogenă , în caz contrar se numește ecuație integrală neomogenă . $f(x)\equiv 0$ $[a,\;b]$

Ecuații Fredholm de primul fel

Ecuațiile Fredholm de primul fel arată la fel ca ecuațiile Fredholm de al 2-lea fel, doar că nu au o parte care conține o funcție necunoscută în afara integralei:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

în acest caz, nucleul și termenul liber îndeplinesc condițiile formulate pentru ecuațiile Fredholm de al doilea fel.

Ecuațiile lui Volterra Ecuații Volterra de al 2-lea fel

Ecuațiile Volterra diferă de ecuațiile Fredholm prin aceea că una dintre limitele de integrare din ele este variabilă:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

Ecuații Volterra de primul fel

De asemenea, ca și pentru ecuațiile Fredholm, în ecuațiile Volterra de primul fel nu există nicio funcție necunoscută în afara integralei:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

În principiu, ecuațiile Volterra pot fi considerate ca un caz special al ecuațiilor Fredholm dacă nucleul este redefinit:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\ 0, & x<s\leqslant b.\end {cazuri}

Cu toate acestea, unele proprietăți ale ecuațiilor Volterra nu pot fi aplicate ecuațiilor Fredholm.

Ecuații neliniare

Puteți veni cu o varietate de neconceput de ecuații neliniare, așa că nu este posibil să le oferim o clasificare completă. Iată doar câteva dintre tipurile lor, care au o mare importanță teoretică și aplicată.

Ecuațiile lui Urysohn

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\în C (a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

O constantă este un număr pozitiv care nu poate fi întotdeauna determinat în avans. $M$

Ecuațiile lui Hammerstein

Ecuațiile Hammerstein sunt un caz special important al ecuației Urysohn:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

unde este miezul Fredholm. $K(x,\;s)$

Ecuațiile Lyapunov-Lichtenstein

Se obișnuiește să se numească ecuații Lyapunov-Lichtenstein care conțin operatori esențial neliniari, de exemplu, o ecuație de forma:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int \limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Ecuația Volterra neliniară

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

unde funcţia este continuă în totalitatea variabilelor sale. $F(x,\;s,\;\varphi)$

Metode de rezolvare

Înainte de a lua în considerare unele metode de rezolvare a ecuațiilor integrale, trebuie menționat că pentru ele, precum și pentru ecuațiile diferențiale , nu este întotdeauna posibilă obținerea unei soluții analitice exacte. Alegerea metodei soluției depinde de tipul de ecuație. Aici vom lua în considerare câteva metode de rezolvare a ecuațiilor integrale liniare.

Transformarea Laplace

Metoda transformării Laplace poate fi aplicată unei ecuații integrale dacă integrala inclusă în aceasta are forma unei convoluții a două funcții :

\int\limits_0^xf(xt)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

adică atunci când nucleul este o funcție a diferenței a două variabile:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(xs)\varphi(s)\,ds.

De exemplu, având în vedere următoarea ecuație:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(xs)\varphi(s)\,ds.

Să aplicăm transformarea Laplace pe ambele părți ale ecuației:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),

\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1} {(p-1)^2}.

Aplicând transformarea Laplace inversă, obținem:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})' _p\Big|_{p=1}=xe^x.

Metoda aproximărilor succesive

Metoda aproximărilor succesive se aplică ecuațiilor Fredholm de al 2-lea fel, dacă este îndeplinită următoarea condiție:

|\lambda||ba|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Această condiție este necesară pentru convergența seriei Liouville-Neumann :

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

care este soluția ecuației. - gradul operatorului integral : $(K^kf)(x)$ $k$ $(Kf)(x)$

(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

Cu toate acestea, o astfel de soluție este o bună aproximare numai pentru suficient de mici . $|\lambda|$

Această metodă este aplicabilă și rezolvării ecuațiilor Volterra de al 2-lea fel. În acest caz, seria Liouville-Neumann converge pentru orice valori ale , și nu numai pentru cele mici. $|\lambda|$

Metoda rezolvării

Metoda rezolvării nu este cea mai rapidă soluție pentru ecuația integrală Fredholm de al doilea fel, dar uneori este imposibil să se indice alte modalități de rezolvare a problemei.

Dacă introducem următoarea notație:

\begin{align} K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\ K_1(t,\;s)=K(t,\;s), \end{align}

atunci nucleele repetate ale nucleului vor fi nucleele : $K(x,\;s)$ $K_p(x,\;s)$

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

O serie alcătuită din nuclee repetate,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

se numește soluția nucleului și este în mod regulat convergent la , iar condiția de mai sus pentru convergența seriei Liouville-Neumann . Rezolvarea ecuației integrale este reprezentată de formula: $K(x,\;s)$ $a\leqslant x$ $s\leqslant b$

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

De exemplu, pentru ecuația integrală

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

se vor repeta următoarele nuclee:

K_0(x,\;s)=xs,

K_1(x,\;t)=xt,

K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},

K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},

\ldots

K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

iar soluția este funcția

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\ lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Apoi soluția ecuației se găsește cu formula:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Metoda reducerii la o ecuație algebrică

Dacă nucleul ecuației integrale Fredholm este degenerat , adică ecuația integrală în sine poate fi redusă la un sistem de ecuații algebrice . Într-adevăr, în acest caz, ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: $K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)$

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{ i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

unde . Înmulțind egalitatea anterioară și integrând-o pe segment , ajungem la un sistem de ecuații algebrice pentru numere necunoscute : $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds$ $g_i(x)$ $X$ $[a,\;b]$ $c_{i}$

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

unde și sunt coeficienți numerici. $a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx$ $b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx$

Aproximativ această metodă poate fi folosită pentru a rezolva ecuația integrală Fredholm cu orice nucleu, dacă luăm segmentul seriei Taylor pentru funcție ca un nucleu degenerat apropiat de cel real . [unu] $K(x,\;s)$

Înlocuirea integralei cu o sumă finită

Se consideră ecuația integrală Fredholm de al 2-lea fel: , unde și au derivate continue de ordinul dorit, este un număr dat. Folosim formula de cuadratura: , unde sunt punctele de pe segment , iar coeficientii nu depind de tipul functiei . Se consideră ecuația inițială în punctele : . Să înlocuim integrala din partea stângă a ecuației cu formula de cuadratura: . Obținem un sistem liniar de ecuații algebrice cu necunoscute , care sunt valori aproximative ale soluției în puncte . Ca o soluție aproximativă a ecuației integrale originale, puteți lua funcția: [1] . $\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)$ $K(x,t)$ $f(x)$ $\lambda$ $\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $[a,b]$ $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}$ $\Phi (x)$ $x_{k}$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})$ $n$ $n$ $\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})$ $\varphi(x)$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})$

Aplicații

Termenul „ecuație integrală” a fost introdus în 1888 de către P. Dubois-Reymond , însă primele probleme cu ecuații integrale au fost rezolvate mai devreme. De exemplu, în 1811 Fourier a rezolvat problema inversării integrale , care acum îi poartă numele.

Formula de inversare Fourier

Sarcina este de a găsi o funcție necunoscută dintr-o funcție cunoscută : $f(y)$ $g(x)$

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Fourier a obținut expresia funcției : $f(y)$

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

Reducerea problemei Cauchy la o ecuație integrală

Problema Cauchy pentru ecuațiile diferențiale obișnuite conduce la ecuații integrale Volterra neliniare :

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

Într-adevăr, această ecuație poate fi integrată de la la : $t$ $A$ $t$

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

Rezolvarea problemei inițiale pentru ecuațiile diferențiale liniare conduce la ecuații liniare integrale Volterra de al 2-lea fel. Liouville a profitat de acest lucru în 1837 . Să fie, de exemplu, sarcina să fie stabilită:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x „(a)=0.

Pentru o ecuație cu coeficienți constanți cu aceleași condiții inițiale:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

soluția poate fi găsită prin metoda variației constantelor și este reprezentată ca:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^tg(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Apoi, pentru ecuația inițială rezultă:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\ ,d\tau

este ecuația integrală Volterra de al 2-lea fel.

Ecuație diferențială liniară de ordinul al-lea $n$

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t) =F(t),\qquad t>a,

x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

poate fi redusă și la ecuația integrală Volterra de al 2-lea fel.

Problema lui Abel

Din punct de vedere istoric, se crede că prima problemă care a condus la necesitatea luării în considerare a ecuațiilor integrale este problema Abel . În 1823, Abel , în timp ce generaliza problema tautocronei, a ajuns la ecuația:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

unde este funcția dată și este cea necesară. Această ecuație este un caz special al ecuației integrale liniare Volterra de primul fel. Ecuația Abel este interesantă prin faptul că formularea uneia sau alteia probleme specifice de mecanică sau fizică duce direct la aceasta (ocolind ecuațiile diferențiale ). De exemplu, problema determinării energiei potențiale din perioada oscilațiilor duce la o ecuație de acest tip [2] $f(x)$ $\varphi(x)$

Formularea lui Abel a problemei arăta cam așa:

Un punct material sub acțiunea gravitației se deplasează într-un plan vertical de-a lungul unei anumite curbe. Este necesar să se definească această curbă astfel încât punctul material, după ce și-a început mișcarea fără viteza inițială în punctul curbei cu ordonata , să ajungă în timp pe axa , unde este o funcție dată. $(\xi ,\;\eta )$ $X$ $O\xi$ $t=f_1(x)$ $f_1(x)$

Dacă desemnăm unghiul dintre tangenta la traiectorie și axă ca și aplicăm legile lui Newton , putem ajunge la următoarea ecuație: $O\xi$ $\beta$

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta )=\frac{1}{\sin\beta}.

Note

↑ 1 2 Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Ecuații integrale. - M .: Nauka, 1976. - S. 214.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Fizica teoretică: manual. alocație: pentru universități. În 10 vol. T. I. Mecanica .. - ed. a V-a. Stereot.. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 42-43. — 224 p. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Literatură

Krasnov M. L. Ecuații integrale: Introducere în teorie. — M.: Nauka, 1975.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Petrovsky I. G. Prelegeri despre ecuații cu diferențe parțiale, ed. a III-a. — 1961.
Vasilyeva A. B., Tikhonov N. A. Ecuații integrale. - Ed. a II-a, stereotip. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 160 p. — ISBN 5-9221-0275-3 .
Zabreiko P. P. , Koshelev A. I., Krasnoselsky M. A. Ecuații integrale. — M.: Nauka, 1968.

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare