Matrice (matematică)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 decembrie 2021; verificările necesită 16 modificări .

O matrice este un obiect matematic scris ca un tabel dreptunghiular de elemente ale unui inel sau câmp (de exemplu, numere întregi , numere reale sau complexe ), care este o colecție de rânduri și coloane la intersecția cărora se află elementele sale. Numărul de rânduri și coloane stabilește dimensiunea matricei. Deși, de exemplu, matricele triunghiulare [1] au fost considerate istoric, în prezent ele vorbesc exclusiv de matrice dreptunghiulară, întrucât sunt cele mai convenabile și mai generale.

Matricele sunt utilizate pe scară largă în matematică pentru reprezentarea compactă a sistemelor de ecuații algebrice liniare sau diferențiale . În acest caz, numărul de rânduri ale matricei corespunde numărului de ecuații, iar numărul de coloane corespunde numărului de necunoscute. Ca urmare, soluția sistemelor de ecuații liniare se reduce la operații pe matrice.

Următoarele operații algebrice sunt definite pentru o matrice :

adăugarea de matrici având aceeași dimensiune ;
înmulțirea matricelor de mărime adecvată (o matrice cu coloane poate fi înmulțită în dreapta cu o matrice cu rânduri) ; $n$ $n$
inclusiv înmulțirea unei matrice cu un vector coloană și înmulțirea unui vector rând cu o matrice (după regula uzuală a înmulțirii matriceale; un vector este în acest sens un caz special al unei matrice) ;
înmulțirea unei matrice cu un element al inelului sau câmpului subiacent (adică un scalar ) .

În ceea ce privește adăugarea, matricele formează un grup abelian ; dacă luăm în considerare și înmulțirea cu un scalar, atunci matricele formează un modul peste inelul corespunzător (un spațiu vectorial peste un câmp). Mulțimea matricelor pătrate este închisă sub înmulțirea matricei, astfel încât matricele pătrate de aceeași dimensiune formează un inel asociativ cu unitate sub adunarea matricei și înmulțirea matricei.

Se demonstrează că fiecare operator liniar care acționează în spațiul liniar dimensional poate fi asociat cu o matrice pătrată unică de ordin ; și invers - fiecare matrice de ordin pătrat poate fi asociată cu un operator liniar unic care acționează în acest spațiu. [2] Proprietățile unei matrice corespund proprietăților unui operator liniar. În special, valorile proprii ale unei matrice sunt valorile proprii ale operatorului corespunzătoare vectorilor proprii corespunzători . $n$ $n$ $n$

Același lucru se poate spune despre reprezentarea formelor biliniare (patratice) prin matrice .

În matematică, sunt luate în considerare multe tipuri și tipuri diferite de matrice . Astfel, de exemplu, sunt matricele unitare , simetrice , oblice-simetrice , triunghiulare superioare (triunghiulare inferioare), etc.

De o importanță deosebită în teoria matricei sunt toate tipurile de forme normale , adică forma canonică, la care o matrice poate fi redusă prin schimbarea coordonatelor. Cea mai importantă (în sens teoretic) și elaborată este teoria formelor normale Iordaniei . În practică, totuși, se folosesc forme normale care au proprietăți suplimentare, cum ar fi stabilitatea.

Istorie

Pentru prima dată, matricele au fost menționate în China antică, numită atunci „ pătratul magic ”. Principala aplicație a matricelor a fost rezolvarea ecuațiilor liniare [3] . De asemenea , pătratele magice au fost cunoscute puțin mai târziu printre matematicienii arabi, în acea perioadă a apărut principiul adunării matriceale. După ce a dezvoltat teoria determinanților la sfârșitul secolului al XVII-lea, Gabriel Cramer a început să-și dezvolte teoria în secolul al XVIII-lea și a publicat regula lui Cramer în 1751. Aproximativ în aceeași perioadă de timp a apărut „ metoda Gauss ”. Teoria matricei și-a început existența la mijlocul secolului al XIX-lea în lucrările lui William Hamilton și Arthur Cayley . Rezultatele fundamentale în teoria matricelor se datorează lui Weierstrass , Jordan , Frobenius . Termenul „matrice” a fost introdus de James Sylvester în 1850 [4]

Introducere

Matricele apar în mod natural atunci când se rezolvă sisteme de ecuații liniare , precum și când se consideră transformări liniare .

Sisteme de ecuații liniare

Luați în considerare un sistem de ecuații liniare de forma:

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{ cazuri}

Acest sistem constă din ecuații liniare în necunoscute. Poate fi scrisă ca următoarea ecuație matriceală: $m$ $n$

ax = b

Unde

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

O matrice este o matrice de coeficienți ai unui sistem de ecuații liniare, un vector coloană este un vector de necunoscute, iar un vector coloană este un vector dat. $A$ $X$ $b$

Pentru ca sistemul să aibă o soluție (cel puțin una), este necesar și suficient ca vectorul să fie o combinație liniară de coloane , iar atunci vectorul să fie un vector care conține coeficienții de expansiune a vectorului peste coloanele de matricea . $b$ $A$ $X$ $b$ $A$

În limbajul matricelor, condiția de solvabilitate a unui sistem de ecuații liniare este formulată ca teorema Kronecker-Capelli :

rangul unei matrice este egal cu rangul matricei augmentate ,

A

[A|b]

compus din coloane si o coloana . $A$ $b$

Un caz special important . Dacă numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute ( , adică matricea este pătrată), atunci condiția de solvabilitate unică este echivalentă cu condiția ca matricea să fie inversabilă . $m=n$ $A$ $A$

(Notă. Solvabilitatea sistemului nu implică încă nedegenerarea matricei. Exemplu: .) $0x=0$

În special, dacă matricea este inversabilă, atunci soluția sistemului poate fi scrisă (și dacă este calculată , apoi găsită) sub forma $A$ $A^{{-1}}$

x = A^{-1}b

Acest lucru duce la un algoritm pentru calcularea valorilor necunoscutelor prin regula lui Cramer .

Transformări liniare

Luați în considerare o transformare liniară din spațiu vectorial -dimensional în spațiu vectorial -dimensional care are următoarea formă: $\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\la\mathbb{R}^m$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{m}$

\left\{\begin{array}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{array}\right.

În formă de matrice, aceasta este o transformare a unei ecuații de forma:

y=ax

Matricea este o matrice de coeficienți de transformare liniară. $A$

Dacă avem în vedere acţiunea unei transformări liniare asupra vectorilor de forma $\mathcal{A}$

e_j=(0,\dots,0,1_j,0,\dots,0)^T,\quad j=\overline{1,n}

constituind baza spațiului , atunci - aceasta este a --a coloană a matricei . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathcal{A}\mathbf{e}_j$ $j$ $A$

Astfel, matricea descrie complet transformarea liniară și, prin urmare, este numită matrice de transformare liniară . $A$ $\mathcal{A}$

Definiții

Matrice dreptunghiulară

Să fie două mulțimi finite:

numere de linii: ; $M=\{1,2,\dots,m\}$

numere de coloană: , unde și sunt numere naturale . $N=\{1,2,\puncte,n\}$ $m$ $n$

Să numim o matrice de dimensiune (citiți mai departe ) ( - rânduri , - coloane ) cu elemente dintr-un inel sau câmp o mapare a formei . Matricea este scrisă ca $A$ $m\ori n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathcal{K}$ $A\colon M\ori N\la\mathcal{K}$

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

unde elementul matricei se află la intersecția rândului -lea și a coloanei -lea . $a_{ij}=a(i,j)$ $i$ $j$

$i$ - al-lea rând al matricei ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{{i1}}&a_{{i2}}&\cdots &a_{{in}}\end{pmatrix}};}$
$j$ -a coloană a matricei ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix)).}$

În acest caz, numărul de elemente ale matricei este egal cu . $m\cdot n$

Conform cu aceasta

fiecare rând al matricei poate fi interpretat ca un vector în spațiu de coordonate dimensional ; $n$ $\mathcal{K}^{n}$
fiecare coloană a matricei este ca un vector în spațiu de coordonate dimensional . $m$ $\mathcal{K}^{m}$

Matricea însăși este interpretată în mod natural ca un vector într-un spațiu de dimensiune . Acest lucru permite introducerea adunării componentă cu componentă a matricelor și înmulțirii unei matrice cu un număr (vezi mai jos); în ceea ce privește înmulțirea matricei , se bazează în mare măsură pe structura dreptunghiulară a matricei. $\mathcal{K}^{mn}$ $mn$

Square Matrix

Dacă matricea are același număr de rânduri ca și numărul de coloane , atunci o astfel de matrice se numește pătrat , iar numărul se numește dimensiunea matricei pătrate sau ordinea acesteia . $m$ $n$ $m=n$

Vector rând și vector coloană

Matricele de dimensiune și sunt elemente ale spațiilor și, respectiv: $m\ori 1$ $de 1\ ori n$ $\mathcal{K}^{m}$ $\mathcal{K}^{n}$

o matrice de dimensiune se numește vector coloană și are o notație specială: $m\ori 1$

\mathrm{colon}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m) =\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{ matrice} \right) =(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m)^{T};

matricea de dimensiune se numește vector rând și are o notație specială: $de 1\ ori n$

\mathrm{rând}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)=(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n);

Transformări matrice elementare

Următoarele transformări sunt numite transformări elementare ale rândurilor matriceale:

Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero,
Adăugarea unei linii la alta
Rearanjarea a două rânduri.

Transformările elementare ale coloanelor matricei sunt definite în mod similar.

Rang matrice

Rândurile și coloanele matricei sunt elemente ale spațiilor vectoriale corespunzătoare:

coloanele matricei constituie elementele spaţiului dimensional ; $A$ $m$
rândurile matricei alcătuiesc elementele spațiului de dimensiune . $A$ $n$

Rangul unei matrice este numărul de coloane liniar independente ale unei matrice ( rangul coloanei unei matrice) sau numărul de rânduri liniar independente ale unei matrice ( rangul rândului unei matrice). Echivalentă cu această definiție este definiția rangului unei matrice ca ordinul minorului maxim diferit de zero al matricei.

În cadrul transformărilor elementare , rangul matricei nu se modifică.

Notație

O matrice este de obicei desemnată printr-o literă majusculă a alfabetului latin: let

A\colon M\times N\to {\mathcal {K}),

atunci este o matrice, care este interpretată ca o matrice dreptunghiulară de elemente de câmp de forma , unde $A$ $\mathcal{K}$ $a_{ij}=A(i,j)$

primul index înseamnă indexul de rând: ; $i=\overline{1,m}$
al doilea indice înseamnă indexul coloanei: ; $j=\overline{1,n}$

astfel, este elementul matricei situat la intersecția rândului -lea și coloanei -lea. În consecință, se adoptă următoarea notație compactă pentru o matrice de dimensiune : $a_{{ij}}$ $A$ $i$ $j$ $m\ori n$

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

sau pur și simplu

A=(a_{ij}),

dacă trebuie doar să specificați denumirea pentru elementele matricei.

Uneori, în loc de , se scrie , pentru a separa indicii unul de celălalt și pentru a evita confuzia cu produsul a două numere. $a_{{ij}}$ $a_{i,j}$

Dacă este necesar să oferiți o reprezentare detaliată a matricei sub forma unui tabel, atunci utilizați înregistrarea formei

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j } & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \ vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|

Puteți găsi atât denumiri cu paranteze „(...)”, cât și desemnări cu paranteze drepte „[...]”. Mai puțin frecvente sunt simbolurile cu linii drepte duble „||…||”).

Deoarece o matrice constă din rânduri și coloane, se folosește următoarea notație pentru acestea:

a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]

este al treilea rând al matricei ,

i

A

a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end {matrice}\dreapta]

este a coloana a matricei .

j

A

Astfel, matricea are o reprezentare duală - pe rânduri:

A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]

si pe coloane:

A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]

Această reprezentare permite formularea proprietăților matricelor în termeni de rânduri sau în termeni de coloane.

Matrice transpusă

Pentru fiecare matrice de dimensiuni $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\ sfârșit{pmatrix}}$ $m\ori n$

se poate construi o matrice de dimensiune , $B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\ sfârșit{pmatrix}}$ $de n\ ori m$

care are pentru toti si . $b_{j,i}=a_{i,j)$ $i=\overline{1,m}$ $j=\overline{1,n}$

O astfel de matrice se numește matrice transpusă pentru și se notează cu , $A$ $A^{T}$

uneori (dacă nu există posibilitatea de confuzie cu diferențierea ) este notat , $A'$

uneori (dacă nu există posibilitatea de confuzie cu conjugarea hermitiană ) se notează cu . $A^{*}$

Atunci când sunt transpuse, rândurile (coloanele) de matrice devin coloane (respectiv, rânduri) ale unei matrice . $A$ $A^{T}$

Evident . $(A^{T})^{T}=A$

Pentru matrice peste un inel , transpunerea este un izomorfism al modulelor matricelor, deoarece $\mathcal{K}$ $\mathcal{K}$

(A+B)^T=A^T+B^T

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, pentru orice .

\lambda \in {\mathcal {K}}

Diagonal Matrix

Matrice diagonală - o matrice pătrată, ale cărei toate elementele, cu excepția celor diagonale, sunt zero , uneori scrisă ca: $(i \neq j: a_{ij} = 0)$

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n).

Alte diagonale matriceale

Pe lângă diagonala principală , sunt considerate uneori elementele matricei care sunt direct deasupra elementelor diagonale. Aceste elemente formează supradiagonala matricei. Elementele imediat sub diagonală formează o matrice subdiagonală (vezi matricea bidiagonală ).

Elementele situate în locuri formează o diagonală laterală (vezi, de exemplu, Diagonala laterală sau tipurile de matrice ). $a_{1,n},a_{2,n-1},\dots,a_{n,1)$

Matricea de identitate

Matricea de identitate este o matrice, atunci când este înmulțită cu care orice matrice (sau vector) rămâne neschimbată, este o matrice diagonală cu (toate) elementele diagonale identitare:

\mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1).

Pentru desemnarea sa, cel mai des este folosită denumirea I sau E , precum și pur și simplu 1 (sau 1 într-un font special).

Pentru a desemna elementele sale, se folosește și simbolul Kronecker , definit ca: $\delta _{{ij}}$

\delta_{ii} = 1

\delta_{ij} = 0

eu \neq j.

Matrice zero

Pentru a desemna o matrice zero - o matrice, toate elementele care sunt zero (când este adăugată la orice matrice, rămâne neschimbată și atunci când este înmulțită cu orice matrice, se obține o matrice zero) - de obicei, pur și simplu 0 sau 0 este folosit într-un font special sau o literă similară cu zero, de exemplu . $\Theta$

Operații cu matrice

Adăugarea matricei

Puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune.

Adunarea matricei este operația de a găsi o matrice , ale cărei toate elementele sunt egale cu suma pe perechi a tuturor elementelor corespunzătoare ale matricei și , adică fiecare element al matricei este egal cu $A+B$ $C$ $A$ $B$ $C$

\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Proprietăți de adăugare a matricei:

comutativitate : ; $A+B=B+A$
asociativitate : ; $(A+B)+C=A+(B+C)$
adunare cu matrice zero: ; $A+\theta =\theta +A=A$
existenţa matricei opuse: ; $A+(-A)=\theta$

Toate proprietățile operațiilor liniare repetă axiomele unui spațiu liniar și, prin urmare, următoarea teoremă este adevărată:

Setul tuturor matricelor de aceeași dimensiune cu elemente din câmp (câmpul tuturor numerelor reale sau complexe ) formează un spațiu liniar peste câmp (fiecare astfel de matrice este un vector al acestui spațiu). Cu toate acestea, în primul rând pentru a evita confuzia terminologică, matricele sunt evitate în contexte obișnuite fără a fi nevoie (ceea ce nu este în cele mai comune aplicații standard) și specificarea clară a utilizării termenului pentru a apela vectori. $m\ori n$ $P$ $P$

Înmulțirea unei matrice cu un număr

Înmulțirea unei matrice cu un număr înseamnă a construi o matrice . $A$ $\lambda \in \mathcal{K}$ $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$

Proprietățile înmulțirii matricelor cu un număr:

inmultirea cu unu: ; $1\cdot A=A\cdot 1=A$
asociativitate : ; $(\lambda \beta )A=\lambda (\beta A)$
distributivitate: ; $(\lambda +\beta)A=\lambda A+\beta A$
distributivitate: ; $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

Înmulțirea matricelor

Înmulțirea matriceală (notația:, rar cu semnul înmulțirii) este operația de calcul a unei matrice, a cărei element este egal cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana celui de-al doilea. $AB$ $A\ori B$ $C$

c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj)

Numărul de coloane din matrice trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din matrice , cu alte cuvinte, matricea trebuie să fie consecventă cu matricea . Dacă matricea are dimensiunea , - , atunci dimensiunea produsului lor este . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $m\ori n$ $B$ $n \ori k$ $AB=C$ $m \time k$

Proprietăți de multiplicare a matricei:

asociativitate : ; $(AB)C=A(BC)$
necomutativitate (în general): ; $AB\neq BA$
produsul este comutativ în cazul înmulțirii cu o matrice de identitate: ; $AI=IA=A$
distributivitate : , $(A+B)C=AC+BC$

$A(B+C)=AB+AC$ ;

asociativitatea şi comutativitatea faţă de înmulţirea cu un număr: . $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$

Înmulțirea unui vector cu o matrice

Conform regulilor obișnuite de înmulțire a matricei, un vector coloană este înmulțit cu o matrice, care este scrisă în stânga acestuia, iar un vector rând este înmulțit cu o matrice, care este scrisă în dreapta acesteia. Deoarece elementele unui vector coloană sau un vector rând pot fi scrise (ceea ce se face de obicei) folosind un index mai degrabă decât doi, această înmulțire poate fi scrisă ca:

pentru un vector coloană (obținerea unui nou vector coloană ): $v$ $Av$

(Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},

pentru un vector rând (obținerea unui nou vector rând ): $s$ $sA$

(sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.

Un vector rând, o matrice și un vector coloană pot fi multiplicate unul cu celălalt, dând un număr (scalar):

sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.

(Ordinea este importantă: vectorul rând este în stânga, vectorul coloană este în dreapta matricei).

Aceste operații stau la baza reprezentării matriceale a operatorilor liniari și a transformărilor de coordonate liniare (schimbarea bazelor), cum ar fi rotațiile, scalarea, reflexiile în oglindă și, de asemenea, (ultimul) reprezentarea matriceală a formelor biliniare (patratice).

Când se reprezintă un vector al unui spațiu vectorial real pe o bază ortonormală (ceea ce este echivalent cu utilizarea coordonatelor carteziene dreptunghiulare), vectorul coloană și vectorul rând corespunzător acestuia, care sunt un set de componente vectoriale, vor coincide (element cu element), diferind doar formal prin imaginea lor pentru corectitudinea operatiilor matriceale (atunci una se obtine de la alta pur si simplu printr-o operatie de transpunere). Când se utilizează baze non-ortonormale (de exemplu, coordonate oblice sau cel puțin scale diferite de-a lungul axelor), vectorul coloană corespunde componentelor vectorului din baza principală, iar vectorul rând corespunde bazei duale cu cea principală. [5] (Uneori se vorbește despre spațiul vectorilor rând și ca un spațiu special, dual al vectorilor coloane, spațiul covectorilor ).

Rețineți că motivația obișnuită pentru introducerea matricelor și definirea operației de înmulțire a matricelor (vezi și în articolul despre înmulțirea matricelor ) este tocmai introducerea acestora, începând cu înmulțirea unui vector cu o matrice (care este introdusă pe baza transformărilor de bază). sau, în general, operații liniare pe vectori), și abia atunci se compară compoziția transformărilor cu produsul matricelor. Într-adevăr, dacă noul vector Av , obținut din vectorul original v printr-o transformare reprezentabilă prin înmulțire cu matricea A , este acum transformat din nou printr-o transformare reprezentabilă prin înmulțire cu matricea B , obținându- se B(Av) , atunci, pe baza regulii pentru înmulțirea unui vector cu o matrice, dată la începutul acestei secțiuni (folosind asociativitatea înmulțirii numerelor și inversând ordinea însumării), este ușor de observat formula rezultată care dă elementele unei matrice (BA) reprezentând alcătuirea primei și celei de-a doua transformări și coincide cu definiția obișnuită a înmulțirii matriceale.

Conjugare complexă

Dacă elementele matricei sunt numere complexe, atunci matricea conjugată complexă (a nu se confunda cu conjugatul hermitian ! Vezi mai jos) matricea este egală cu . Iată conjugatul complex al lui . $A=(a_{ij})$ $\bar A = (\bar a_{i,j} )$ ${\bar {a}}$ $A$

Transpunerea și conjugarea hermitiană

Transpunerea a fost deja discutată mai sus: dacă , atunci . Pentru matricele complexe, conjugarea hermitiană este mai frecventă : . Din punctul de vedere al vederii operatorului a matricelor, matricea transpusă și matricea conjugată Hermitiană sunt matricele operatorului conjugat în raport cu produsul scalar sau , respectiv, Hermitian . $A=(a_{ij})$ $A^T = (a_{ji})$ $A^* = \bar A^T$

Minori

Următorul

Pentru o matrice pătrată, suma elementelor diagonale (adică minore principale de ordinul întâi) se numește urmă : $A$

\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}

(alte denumiri , , ). $\mathrm{urme}$ $\mathrm{Sp}$ $\mathrm{Spin}$

Proprietăți:

Dacă și sunt definite , atunci . $AB$ $BA$ $\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)$
Urma este un invariant al transformărilor de similaritate a matricei , i.e. dacă este nedegenerat, atunci . $S$ $\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)$
Urma este egală cu suma (a tuturor, ținând cont de multiplicitatea) valorilor proprii ale matricei: . Mai mult, pentru orice număr întreg (pozitiv) , . $\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}$ $k$ $\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{ k}$

Determinant (determinant)

Fie matricea pătrată, apoi desemnarea determinantului: . Dacă matricea este atunci $A$ $\Delta =\det A$ $2\times 2$ $\Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21)$

Permanent

Concepte înrudite

Combinații liniare

Într -un spațiu vectorial, o combinație liniară de vectori este un vector $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$

\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,

unde sunt coeficienții de expansiune: $a_1,\dots,a_n$

dacă toți coeficienții sunt egali cu zero, atunci o astfel de combinație se numește trivială ,
dacă cel puțin un coeficient este diferit de zero, atunci o astfel de combinație se numește netrivială .

Aceasta permite descrierea produsului matricelor și a termenilor combinațiilor liniare: $C=AB$ $A$ $B$

coloanele de matrice sunt combinații liniare de coloane de matrice cu coeficienți prelevați din matrice ; $C$ $A$ $B$
rândurile de matrice sunt combinații liniare de rânduri de matrice cu coeficienți prelevați din matrice . $C$ $B$ $A$

Dependență liniară

Dacă orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară, atunci se vorbește despre o dependență liniară a acestui vector de elementele combinației.

Mai precis, ei spun acest lucru: un anumit set de elemente ale unui spațiu vectorial se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară de elemente din această mulțime egală cu zero sau

\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\dots+a_n\mathbf{x_n},

unde nu toate numerele sunt egale cu zero; dacă o astfel de combinație netrivială nu există, atunci colecția dată de vectori se numește liniar independentă . $a_1,\dots,a_n$

Dependența liniară a vectorilor înseamnă că un vector dintr-o mulțime dată este exprimat liniar prin restul vectorilor.

Fiecare matrice este o colecție de vectori (din același spațiu). Două astfel de matrici sunt două seturi. Dacă fiecare vector al unei mulțimi este exprimat liniar în termeni de vectori ai altei mulțimi, atunci în limbajul teoriei matricelor acest fapt este descris folosind produsul matricelor:

dacă rândurile matricei sunt dependente liniar de rândurile matricei , atunci pentru o anumită matrice ; $C$ $B$ $C=AB$ $A$
dacă coloanele unei matrice sunt dependente liniar de coloanele unei alte matrice , atunci pentru o anumită matrice . $C$ $A$ $C=AB$ $B$

Proprietăți

Operații cu matrice

Adunarea și scăderea sunt permise numai pentru matrice de aceeași dimensiune.

Există o matrice nulă astfel încât adăugarea acesteia la o altă matrice A nu schimbă A, adică. $\Theta$

A + \Theta = A

Toate elementele matricei zero sunt egale cu zero.

Numai matricele pătrate pot fi ridicate la o putere .

Asociativitatea adunării: $A + (B + C) = (A + B) + C.$
Comutativitatea adunării: $A + B = B + A.$
Asociativitatea înmulțirii: $A(BC) = (AB)C.$
În general, înmulțirea matriceală este necomutativă : . Folosind această proprietate, se introduce un comutator matriceal . $AB \ne BA$
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea: $A(B + C) = AB + AC;$ $(B + C)A = BA + CA.$
Având în vedere proprietățile menționate mai sus, matricele formează un inel în ceea ce privește operațiile de adunare și înmulțire.
Proprietățile operației de transpunere a matricei: $(A^T)^T=A$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ dacă există matricea inversă . $A^{{-1}}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$ $\text{det}\; A=\text{det}\; A^T$

Exemple

Matricea pătrată și definițiile aferente

Dacă numărul de rânduri ale unei matrice este egal cu numărul de coloane, atunci o astfel de matrice se numește pătrat .

Pentru matricele pătrate, există o matrice de identitate (analogă unității pentru operația de înmulțire a numerelor ) astfel încât înmulțirea oricărei matrice cu aceasta nu afectează rezultatul, și anume $E$

EA=AE=A

Matricea de identitate are unități doar de-a lungul diagonalei principale, restul elementelor sunt egale cu zero

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {pmatrix}

Pentru unele matrice pătrate, se poate găsi așa-numita matrice inversă . Matricea inversă este astfel încât dacă matricea este înmulțită cu matricea sa inversă, atunci se va obține matricea de identitate: $A^{{-1}}$

AA^{- 1} = E

Matricea inversă nu există întotdeauna. Matricele pentru care există o matrice inversă sunt numite nedegenerate (sau regulate) și pentru care nu există - degenerate (sau singulare ). O matrice este nedegenerată dacă toate rândurile (coloanele) ei sunt liniar independente ca vectori . Numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente se numește rangul matricei. Determinantul (determinantul) unei matrice este valoarea formei de valență multiliniare normalizate simetrice-simetrice (antisimetrice) pe coloanele matricei. O matrice pătrată peste un câmp numeric este degenerată dacă și numai dacă determinantul său este zero. $(p;\;0)$

Matrix ring

Din proprietățile de mai sus de adunare și înmulțire a matricelor (asociativitatea și comutativitatea adunării, distributivitatea înmulțirii, existența unei matrici care este zero și opusă în plus), rezultă că n cu n matrice pătrate cu elemente din orice inel R formează o inel izomorf cu inelul de endomorfism al modulului liber R n . Acest inel este notat cu sau . Dacă R este un inel comutativ , este și o algebră asociativă peste R. Determinantul unei matrice cu elemente dintr-un inel comutativ poate fi calculat folosind formula uzuală, iar matricea va fi inversabilă dacă și numai dacă determinantul său este inversabil în R . Acest lucru generalizează situația cu matricele cu elemente din câmpul , deoarece orice element cu excepția zero este inversabil în câmp. $M(n,R)$ $M_{n}(R)$ $M(n,R)$

Matrici în teoria grupurilor

Matricele joacă un rol important în teoria grupurilor . Se folosesc la construirea grupelor liniare generale , grupelor liniare speciale , grupelor diagonale , grupurilor triunghiulare , grupurilor unitariunghiulare .

Un grup finit (în special unul simetric) poate fi modelat (izomorf) prin matrici de permutare (conținând doar „0” și „1”),

de exemplu, pentru : , , , , , . $S_{3}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 și 0 și 1\\1 și 0 și 0\\0 și 1 și 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Câmpul numerelor complexe poate fi modelat (izomorf) peste câmpul numerelor reale: $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$

pentru analogii de matrice , , unde ; $z = x + iy , \quad c = a + ib \in \mathbb{C}$ $Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix}$ $C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ $x , y , a , b \in \mathbb{R}$

$z + c = (x + a) + i(y + b)$ meciuri ; $Z + C = \begin{pmatrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmatrix}$

$zc = (xa - yb) + i(xb + ya)$ meciuri ; $ZC = \begin{pmatrix} xa - yb & xb + ya\\- ya - xb & - yb + xa\end{pmatrix}$

$\bar{z} = x - iy$ meciuri ; $Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix}$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R}$ ;

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$ la corespunde cu la ; $z \ne 0$ $Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)))$ $\det(Z)\neq 0$

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))$ corespondenta . $e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix))$

În special, pentru $E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$ $I = \begin{pmatrix} 0 și 1\\-1 și 0 \end{pmatrix}$

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ corespunde , $Z = x E + y I$

unde . $I^2=-E$

Cometariu. Modelul are un automorfism , adică $(I \la -I)$ $Z \la Z^T$

Corpul de cuaternioni poate fi modelat (izomorf) pe câmpul numerelor reale: $\mathbb{H}$ $\mathbb{R}$

pentru analogul de matrice , unde . $q=t+ix+jy+kz\in \mathbb {H}$ $Q = \begin{pmatrix} t & x & y & -z\\ -x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{ pmatrix}$ $t , x , y , z \in \mathbb{R}$

Pentru ca cuaternionul să corespundă matricei , $q = t + ix + jy + kz$ $Q = t E + x I + y J + z K$

unde , , , , $I^2=J^2=K^2=-E$ $IJ=-JI=K$ $JK=-KJ=I$ $KI=-IK=J$

puteți introduce elemente de bază

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , , , . $I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix}$ $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix}$ $K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Parametrii trebuie să îndeplinească condițiile: și . $a , b , c , d \in \left \{ -1, +1 \right \}$ $abcd=-1$

Există 8 soluții (8 vizualizări).

Vezi și

Norma matricei
Determinant de matrice
Vectori proprii, valori și spații
Un tablou este un tip de date din programare care corespunde unei matrice (multidimensionalitatea este realizată prin matrice imbricate).
O matrice rară este una dintre formele computerizate de reprezentare a matricelor rare .
Inegalitățile matriceale liniare sunt un aparat pentru rezolvarea problemelor de sinteză a legilor de control.
matricea lambda
Iordan forma normală
Lista matricelor

Note

↑ Matricele triunghiulare sunt acum înțelese ca matrici ale căror elemente nenule umplu o regiune triunghiulară din tabelul matricei, în timp ce elementele rămase sunt zerouri.
↑ Acest izomorfism este complet specificat prin alegerea unei baze într-un spațiu liniar: pentru o bază fixă, izomorfismul este fix și astfel se realizează corespondența unu-la-unu a matricelor cu operatori. Aceasta nu înseamnă că un astfel de izomorfism este, în principiu, unic: într-o altă bază, aceiași operatori liniari vor corespunde altor matrici (de asemenea, unu-la-unu când această nouă bază este fixă).
↑ Berezkina E. I. [libgen.pw/view.php?id=1211718 Mathematics of Ancient China] / Ed. ed. B.A. Rosenfeld. - M . : Nauka, 1980. - S. 173-206. - 312 p.
↑ Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Eseuri despre istoria matematicii: Per. din franceza - M . : Mir, 1986. - S. 397.
↑ Formal, totul în această definiție este simetric și ar fi posibil să se schimbe locurile bazei „principale” și duale (ambele sunt pur și simplu duale reciproc), dar tocmai acordul descris este acceptat.

Literatură

Bellman R. Introducere în teoria matricelor . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Birkhoff G. (Garrett Birkhoff), Barty T. (Thomas C. Bartee) Algebră aplicată modernă. — M .: Mir, 1976. — 400 p.
Van der Waerden B. L. (BL van der Waerden) Algebră. (ed. a II-a) - M . : Nauka, 1979. - 624 p.
Gantmakher F. R. Teoria matricei. - a 5-a ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (ed. a II-a). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Calcule matrice. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Curs de algebră superioară. - Ed. a 9-a. - M . : Nauka, 1968. - 432 p.
Kurosh A. G. Prelegeri despre algebră generală. - Ed. a II-a. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
Lancaster P. (P. Lankaster) Teoria matricelor / Per. din engleza. - Ed. a II-a. — M .: Nauka, 1982. — 272 p.; 1-a ed. - M . : Nauka, 1973 (djvu) .
Leng S. (Serge Lang) Algebră. — M .: Mir, 1968. — 564 p.
Naimark M. A. Teoria reprezentării grupurilor. — M .: Nauka, 1976. — 560 p.
Sokolov NP Matrici spațiale și aplicațiile lor . — M .: GIFML, 1960 (djvu).
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Analiză matrice. — M .: Mir, 1989. — 655 p. — ISBN 5-03-001042-4
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite = Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte