Teoria portofoliului Markowitz

Teoria portofoliului Markowitz ( în engleză mean-variance analysis - o abordare bazată pe analiza mediilor așteptate și a variațiilor variabilelor aleatoare ) - elaborată de Harry Markowitz , o metodologie de formare a unui portofoliu de investiții , care vizează alegerea optimă a activelor, bazată pe raportul necesar randament / risc . Ideile pe care le-a formulat în anii 1950 formează baza teoriei moderne a portofoliului [1] [2] .

Origini

Principalele prevederi ale teoriei portofoliului au fost formulate de Harry Markowitz în timpul pregătirii tezei de doctorat în 1950-1951 .

Nașterea teoriei portofoliului Markowitz este considerată a fi articolul „Portfolio Choice” publicat în Financial Journal în 1952 [3] . În acesta, a propus mai întâi un model matematic pentru formarea unui portofoliu optim și a furnizat metode de construire a portofoliilor în anumite condiții [4] . Principalul merit al lui Markowitz a fost acela de a propune o formalizare probabilistică a conceptelor de „profitabilitate” și „risc”, care a făcut posibilă traducerea problemei alegerii portofoliului optim într-un limbaj matematic formal [5] . Trebuie remarcat faptul că în anii creării teoriei, Markowitz a lucrat la RAND Corp. , împreună cu unul dintre fondatorii optimizării liniare și neliniare - George Dantzig și el însuși au participat la rezolvarea acestor probleme. Prin urmare, propria sa teorie, după formalizarea necesară, se încadrează bine în direcția indicată.

Markowitz își îmbunătățește constant teoria și în 1959 a publicat prima monografie dedicată acesteia, Portfolio Selection: Effective Diversification of Investments [6] .

În 1990 , când Markowitz a fost distins cu Premiul Nobel , a fost publicată cartea „Mean-variance analysis in portfolio selection and the capital market” [7] .

Descrierea teoriei

După formalizarea efectuată de Markowitz, din punct de vedere matematic, problema formării unui portofoliu optim a fost o problemă de optimizare pătratică sub constrângeri liniare [5] . Această clasă de probleme este una dintre cele mai studiate clase de probleme de optimizare pentru care există un număr mare de algoritmi eficienți [8] .

Pentru a construi spațiul portofoliilor posibile, Markowitz a sugerat utilizarea clasei de active, vectorul randamentelor medii așteptate și a matricei de covarianță [5] .

Pe baza acestor date se construiește un set de portofolii posibile cu diferite rapoarte risc-randament [5] .

Deoarece analiza se bazează pe două criterii, managerul selectează portofoliile [5] :

Fie căutând soluții eficiente sau care nu pot fi îmbunătățite. În acest caz, orice altă soluție care este mai bună decât cele găsite într-un parametru va fi neapărat mai proastă în altul.
Sau alegerea criteriului principal (de exemplu, profitabilitatea nu trebuie să fie mai mică decât o anumită valoare), folosind restul doar ca restricții de criteriu.
Sau prin stabilirea unor super-criterii, care este o suprapunere a celor două de mai sus (de exemplu, funcția lor).

Formulare matematică și rezolvare de probleme

Risc minim portofoliul Markowitz

Sarcina de a optimiza un portofoliu de active cu vectorul randamentului mediu prin matricea de covarianță poate fi formulată după cum urmează $r$ $V$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}r=r_{p}\\d^{T}e=1 \\\end{cazuri}}$

La aceste condiții în problema optimizării portofoliului de active, trebuie adăugată condiția ca portofoliul (acțiunile) să fie pozitive. Totuși, în cazul general al instrumentelor financiare, se presupune posibilitatea deschiderii de poziții scurte (părți negative ale instrumentelor în portofoliu). Apoi putem găsi o soluție analitică generală a problemei. Dacă desemnăm

$A={\begin{pmatrix}r^{T}\\e^{T}\\\end{pmatrix}}V^{{-1}}(r,e)={\begin{pmatrix}r^ {T}V^{{-1}}r&r^{T}V^{{-1}}e\\e^{T}V^{{-1}}r&e^{T}V^{{- 1}}e\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\\a_{{21}}&a_{{22}}\\\end{ pmatrix}}$

atunci rezolvarea problemei are forma

$d^{*}=V^{{-1}}(r,e)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\\\end{pmatrix}}$

Apoi dependența varianței portofoliului optimizat (eficient) de randamentul necesar va avea forma

$\sigma _{p}^{2}=(r_{p},1)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\end{pmatrix}}={\frac {a_{{22}}r_{p}^{2}-2a_{{12}}r_{p}+a_{{{11}}}{a_{{11}}a_{{22}}-a_{ {12}}^{2}}}=\sigma _{0}^{2}{\frac {(r_{p}-r_{0})^{2}}{r_{0}(r_{1 }-r_{0})}}+\sigma _{0}^{2}$

unde este dispersia minimă posibilă a rentabilității portofoliului și rentabilitatea medie corespunzătoare $\sigma _{0}^{2}=1/a_{{22}},r_{0}=a_{{12}}/a_{{22}}$

r_{1}=a_{{11}}/a_{{12}}

- randamentul portofoliului, cu același raport risc-randament ca și portofoliul cu risc minim (grafic, acesta este singurul punct de intersecție cu parabola dreptei care trece prin originea și vârful parabolei) Portofoliul de risc minim al lui Tobin

În prezența unui activ fără risc (cu variație zero a randamentelor) cu randamente , formularea problemei se modifică $r_{f}$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}(r-r_{f}e)=r_{p}-r_ {f}\\d_{f}=1-d^{T}e\end{cases}}$

Soluția la această problemă are forma

$d^{*}={\frac {r_{p}-r_{f}}{(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e )}}V^{{-1}}(r-r_{f}e)$

Vectorul structurii portofoliului de risc (ponderea activelor riscante nu în întregul portofoliu, ci în valoarea totală a portofoliului de risc) va fi egal cu

$d^{{**}}={\frac {V^{{-1}}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{ f}e)}}$

Se poate observa că structura părții riscante a portofoliului nu depinde de randamentul necesar. Randamentul necesar determină doar raportul dintre portofoliul riscant și activul fără risc.

Rentabilitatea medie a portofoliului de risc va fi egală cu

$r_{p}^{{**}}=r^{T}d^{{**}}={\frac {r^{T}V^{{-1}}(r-r_{f} e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e)}}={\frac {a_{{11}}-r_{f}a_{{12}} }{a_{{12}}-r_{f}a_{{22}}}}={\frac {r_{0}(r_{1}-r_{f})}{r_{0}-r_{ f}}}$

Abaterea standard a portofoliului optim (eficient) depinde liniar de randamentul necesar, și anume după cum urmează

$\sigma _{p}={\frac {r_{p}-r_{f}}{{\sqrt {(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r- r_{f}e)}}}}={\frac {\sigma _{0}(r_{p}-r_{f})}{{\sqrt {(r_{f}-r_{0})^ {2}-r_{0}(r_{1}-r_{0})}}}}$

De asemenea, este ușor de determinat relația dintre rentabilitatea medie a instrumentelor individuale și rentabilitatea medie a portofoliului. Pentru a face acest lucru, definim vectorul de coeficienți

$\beta ={\frac {Vd^{*}}{\sigma _{p}^{2}}}={\frac {r-r_{f}e}{r_{p}-r_{f}} }\Rightarrow r-r_{f}e=\beta (r_{p}-r_{f})$

Din aceasta obținem că, dacă investitorii sunt raționali, atunci portofoliul de piață poate fi considerat condiționat în mod eficient, prin urmare, pe piață, rentabilitatea medie a instrumentului este legată de rentabilitatea portofoliului de piață în următorul mod liniar

$r-r_{f}=\beta (r_{M}-r_{f})$

Acesta este un model de preț al activelor financiare - CAPM

Vezi și

Modelul Black-Litterman

Note

↑ Gitman L. J., Jonk M. D. Fundamentals of investing. Pe. din engleza. - M .: Delo, 1997. - 1008 p. ISBN 0-06-0423625 (engleză) ISBN 5-7749-0011-8 (rusă). Pagină 810
↑ Krass M.S., Chuprynov B.P. Matematică pentru economiști. - Sankt Petersburg, Peter, 2009. - p. 251
↑ Markowits Harry M. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7. Nr. 1 p. 71-91
↑ Evsenko Olga Sergheevna. Investiții în întrebări și răspunsuri. Tutorial.
↑ 1 2 3 4 5 Yu. F. Kasimov. Fundamentele teoriei portofoliului optim de valori mobiliare - M: Editura Informare și „Filin”, 1998. - 144 p. ISBN 5-89568-086-0
↑ Selecția portofoliului Markowitz HM: diversificarea eficientă a investițiilor. Wiley. New York. 1959.
↑ Markowitz HM, Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Busuioc. Blackwell. 1990.
↑ Bazaraa MS, Sherali HD, Shetty CM Nonlinear Programming (ed. a doua) Wiley & Sons, 1994.

Literatură

Harry Markowitz. Portfolio Selection Arhivat 3 iunie 2017 la Wayback Machine

Piața de acțiuni și corpuri
Tipuri de piață	Piața primară Piață secundară Piața valorilor mobiliare OTC Piața a patra
Tipuri de titluri de valoare	Stoc imparteala normala cota de aur Valori mobiliare restricționate Urmărirea promovării cota preferată Legătură
Capitalul social	Capitalul autorizat Acțiuni în circulație Acțiuni emise cota de trezorerie
Membrii	Creator de piață Comerciant comerciant de zi Comerciant de acțiuni comerciant de prop Equity Trader asiguratorul Agent Broker de tranzacții Dealer Investitor Analist cantitativ Regulator
Bursa de Valori	Listare Delistare Listare încrucișată Valori mobiliare nelistate
Listele burselor de valori	Lista generală a burselor de valori Lista burselor africane Lista burselor europene Lista burselor americane Lista burselor din Asia de Sud Rețeaua de comunicații electronice
Estimarea valorii și profitabilității acțiunilor	Coeficientul alfa Teoria prețurilor de arbitraj Beta Răspândire Valoarea contabilă a companiei CAPM Linia pieței de capital Model de reducere a dividendelor Randament din dividende Câștigurile pe acțiune Rentabilitatea Model Feda Valoarea activului net Linia caracteristică a titlurilor de valoare Linia pieței valorilor mobiliare T-model Portofoliu Beta Neutru Raport Sharpe Coeficientul Sortino coeficientul Treynor Măsura riscului Valoare la risc Modelul Black-Litterman
Teorii și strategii de tranzacționare	Tranzacționare algoritmică Strategia de cumpărare și păstrare Opposite investing tranzacționare zilnică Medierea costurilor Ipoteza pieței eficiente Analiză fundamentală Stoc cu creștere rapidă Alegerea momentului tranzacției Teoria modernă a portofoliului Momentum investing Teoria mozaicului Tranzacționarea perechilor Teoria portofoliului postmodern Ipoteza de mers aleatoriu Rotația industriei Investiții stilizate Swing trading Analiza tehnica Urmărirea tendinței Medierea valorii Investiție în valoare Analiza pieței fractale Teoria Dow Teoria undelor Elliott efectul Mark Twain Efectul ianuarie
Indicatori financiari	Profitul pe acțiune (EPS) Preț/Câștiguri (P/E) Preț/Venit (P/S) Preț/Câștiguri viitoare (PEG) Preț/valoare contabilă (P/B)

Riscul financiar și managementul riscului financiar

Tipuri

Risc de credit	Riscul de concentrare Riscurile de creditare de consum Derivat de credit Securitizare CVA Risc de pre-decontare PFE
Riscul de piata	Riscul mărfurilor Risc de volum riscul de bază Risc de formă Risc de titularizare riscul stocurilor Risc valutar Risc de marjă Riscul dobânzii Risc de volatilitate Riscul de lichiditate Riscul de refinanțare
Risc operational	Managementul riscului operațional BIA TSA AMA SUNT O Riscul juridic Riscul politic Risc reputațional Riscul de estimare Risc de model
Alte riscuri	Risc de pierdere a profitului Risc estimat Risc sistemic

Modelare

Portofoliul pieței
Teoria portofoliului Markowitz
RAROC
Rata dobânzii fără risc
Paritatea riscului
Raport Sharpe
Coeficientul Sortino
VaR
Profit în pericol
Marja la risc
Lichiditate în pericol

Alte concepte