Raportul Bretschneider
Relația Bretschneider este o relație într-un patrulater , un analog al teoremei cosinusului .
Formulare
Între laturile a, b, c, d , unghiuri opuse unul față de celălalt, și diagonalele e, f ale unui patrulater simplu (neauto-intersectare), este valabilă următoarea relație:
Notă
- Formulări echivalente:
Dovada
Dovada
În afara patrulaterului, construim similar și similar într-un mod extern, astfel încât
,
,
,
.
Din proprietatea triunghiurilor similare avem: ; ; ; . De aici ; ; . Suma unghiurilor și în patrulater este egală cu suma unghiurilor , adică este egală cu . De aici . De asemenea , adică un paralelogram. De aici . În colțul clădirii. Conform legii cosinusurilor: . Înmulțind cu obținem necesarul: , h.t.d.
Consecințele
- Dacă patrulaterul degenerează într-un triunghi (un vârf cade pe o latură), atunci se obține teorema lui Stewart .
- Dacă patrulaterul degenerează într-un triunghi și un vârf cade pe mijlocul laturii, atunci ținând cont de egalitatea unghiului principal și a celui suplimentar, obținem și teorema Apollonius .
- Dacă un patrulater este înscris într-un cerc, atunci . Atunci prima teoremă a lui Ptolemeu rezultă din penultima formulă de mai sus : .
- Dacă D este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , atunci DA = DB = DC . Folosind teorema unghiurilor înscrise într-un cerc, obținem teorema cosinusului pentru triunghiul ABC .
Vezi și
Literatură
- Ponarin Ya. P. Geometrie elementară. În 2 vol. - M . : MTsNMO , 2004. - S. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0 .