Teorema lui Pitagora

teorema lui Pitagora

Numit după	Pitagora
Formula care descrie o lege sau o teoremă	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Desemnarea în formulă	$c$ , și $A$ $b$
Elementul sau afirmația descrie	triunghi dreptunghic
Descris în link	geogebra.org/m/ZF… ( engleză)
Fișiere media la Wikimedia Commons

Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene , stabilind relaţia dintre laturile unui triunghi dreptunghic : suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei .

Raportul, într-o formă sau alta, era cunoscut de diferite civilizații antice cu mult înaintea erei noastre; prima dovadă geometrică este atribuită lui Pitagora . Afirmația apare ca Propoziția 47 în Elementele lui Euclid .

De asemenea, poate fi exprimat ca un fapt geometric că aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. Afirmația inversă este de asemenea adevărată : un triunghi în care suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii celei de-a treia laturi este un triunghi dreptunghic.

Există o serie de generalizări ale acestei teoreme - pentru triunghiuri arbitrare , pentru figuri din spații de dimensiuni mai mari. În geometriile non-euclidiene, teorema nu este valabilă pentru .

Istorie

Potrivit istoricului de matematică Moritz Cantor , în Egiptul antic în timpul regelui Amenemhet I (în jurul secolului al 23-lea î.Hr. ) se știa despre un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4, 5 - era folosit de harpedonapți - " întinzătoare de frânghie” [1] . Într -un text babilonian antic datând din vremea lui Hammurabi ( secolul XX î.Hr. ), este dat un calcul aproximativ al ipotenuzei [2] . Potrivit lui van der Waerden , este foarte probabil ca raportul în termeni generali să fi fost cunoscut în Babilon deja în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.

În cartea antică chineză „ Zhou bi suan jing ”, datată din perioada secolelor V-III î.Hr. e., se dă un triunghi cu laturile 3, 4 și 5, în plus, imaginea poate fi interpretată ca o justificare grafică a raportului teoremei [3] . În colecția chineză de probleme „ Matematica în nouă cărți ” (secolele X-II î.Hr.), o carte separată este dedicată aplicării teoremei.

Este general acceptat că dovada corelației a fost dată de filosoful grec antic Pitagora (570-490 î.Hr.). Există dovezi de la Proclus (412-485 d.Hr.) că Pitagora a folosit metode algebrice pentru a găsi triplele lui Pitagora [4] , dar timp de cinci secole de la moartea lui Pitagora nu există nicio mențiune directă a dovezii paternității sale. Totuși, când Plutarh și Cicero scriu despre teorema lui Pitagora, din conținut rezultă că paternitatea lui Pitagora este bine cunoscută și neîndoielnică [5] [6] . Există o legendă relatată de Diogenes Laertes , conform căreia Pitagora ar fi sărbătorit descoperirea teoremei sale cu un festin uriaș, sacrificând o sută de tauri de bucurie [7] .

Aproximativ 400 î.Hr. e., conform lui Proclu, Platon a dat o metodă de găsire a triplelor pitagoreice, combinând algebra și geometria. Aproximativ 300 î.Hr. e. în „Elementele” lui Euclid a apărut cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora [8] .

Formulări

Formularea principală conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale cu și , iar lungimea ipotenuzei este , relația $A$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de zonă a figurii : într-un triunghi dreptunghic, aria unui pătrat construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. În această formă, teorema este formulată în Elementele lui Euclid.

Teorema inversă a lui Pitagora este o afirmație despre dreptunghiularea oricărui triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate de raportul . Ca o consecință, pentru orice triplu de numere pozitive , și , astfel încât , există un triunghi dreptunghic cu catete și și ipotenuză . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A$ $b$ $c$

Dovezi

Cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora [9] au fost înregistrate în literatura științifică , ceea ce se explică atât prin valoarea fundamentală pentru geometrie, cât și prin caracterul elementar al rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: utilizarea algebrică a rapoartelor elementelor triunghiulare (de exemplu, metoda populară a similarității ), metoda ariei , există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri asemănătoare

Una dintre cele mai populare dovezi ale formulării algebrice în literatura educațională este demonstrarea folosind tehnica similarității triunghiului , în timp ce este derivată aproape direct din axiome și nu implică conceptul de aria figurii . [10] În ea, pentru un triunghi cu unghi drept la vârful cu laturile opuse vârfurilor , respectiv, se trasează înălțimea și (după criteriul de asemănare pentru egalitatea a două unghiuri) apar relații de asemănare: și , din care decurg direct relaţiile $\triunghi ABC$ $C$ $a,b,c$ $A,B,C$ $CH$ $\triunghi ABC\sim \triunghi ACH$ $\triunghi ABC\sim \triunghi CBH$

{\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}},\quad {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b }}.

Când se înmulțesc membrii extremi ai proporțiilor , egalitățile sunt derivate

a^{2}=c\cdot |HB|,\quad b^{2}=c\cdot |AH|,

adăugarea componentă cu componentă, care dă rezultatul dorit:

a^{2}+b^{2}=c\cdot {\big (}|HB|+|AH|{\big )}=c^{2}\quad \Leftrightarrow \quad a^{ 2}+b^{2}=c^{2}.

Dovezi prin metoda zonei

Un corp mare de dovezi implică conceptul de zonă. În ciuda simplității aparente a multora dintre ele, astfel de dovezi folosesc proprietățile ariilor figurilor, ale căror dovezi sunt mai complicate decât dovezile teoremei lui Pitagora în sine.

Dovada echivalenței

Dovada echicomplementării folosește patru copii ale unui triunghi dreptunghic cu catete și ipotenuză , aranjate astfel încât să formeze un pătrat cu laturile și un patrulater interior cu laturile de lungime . Patrulaterul interior în această configurație este un pătrat , deoarece suma a două unghiuri ascuțite opuse unuia drept este de 90°, iar unghiul drept este de 180°. Aria pătratului exterior este egală cu , constă dintr-un pătrat interior cu o zonă și patru triunghiuri dreptunghiulare, fiecare cu o arie , ca urmare , afirmația teoremei rezultă din relația din timpul transformării algebrice . $a,b$ $c$ $a+b$ $c$ $(a+b)^{2}$ $c^{2}$ ${\frac {ab}{2))$ $(a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2}$

Dovada lui Euclid

Demonstrația clasică a lui Euclid își propune să stabilească egalitatea ariilor dintre dreptunghiurile formate prin disecția pătratului de deasupra ipotenuzei cu înălțimea din unghiul drept cu pătratele de deasupra catetelor. [unsprezece]

Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept , pătrate peste catete și și un pătrat peste ipotenuză , se construiește o înălțime și o rază care o continuă , împărțind pătratul peste ipotenuză. în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalitatii ariilor dreptunghiului cu patratul de deasupra catetei ; egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, care este un pătrat deasupra ipotenuzei, și dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabilește în mod similar. $\triunghi ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABIK$ $CH$ $s$ $AHJK$ $BHJI$ $AHJK$ $AC$

Egalitatea ariilor dreptunghiului și se stabilește prin congruența triunghiurilor și , a căror aria fiecăruia este egală cu jumătate din aria dreptunghiurilor și, respectiv, în legătură cu următoarea proprietate: aria a triunghiului este egală cu jumătate din aria dreptunghiului, dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă latură a dreptunghiului. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la ). $AHJK$ $ACED$ $\triunghi ACK$ $\triunghi ABD$ $AHJK$ $ACED$ $A$

Astfel, dovada stabilește că aria pătratului de deasupra ipotenuzei, compus din dreptunghiuri și , este egală cu suma ariilor pătratelor de deasupra catetelor. $AHJK$ $BHJI$

Dovada lui Leonardo da Vinci

Tot legată de metoda zonelor este o dovadă atribuită lui Leonardo da Vinci . Potrivit matematicianului german Franz Lemmermeyer , această dovadă a fost inventată de fapt de Johann Tobias Mayer [12] . Fie un triunghi dreptunghic cu un unghi drept și pătrate și să fie dat (vezi figura). În această demonstrație se construiește un triunghi pe latura acestuia din urmă spre exterior, congruent , în plus, reflectat atât față de ipotenuză, cât și față de înălțimea față de aceasta (adică și ). Linia dreaptă împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiurile și sunt egale în construcție. Dovada stabilește congruența patrulaterelor și , a căror aria fiecăruia, pe de o parte, este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului original, pe pe de altă parte, la jumătate din aria pătratului de pe ipotenuză plus aria triunghiului original. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora. $\triunghi ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABHJ$ $HJ$ $\triunghi ABC$ $JI=BC$ $HI=AC$ $CI$ $\triunghi ABC$ $\triunghi JHI$ $CAJI$ $DABG$

Prin zonele triunghiurilor asemănătoare

Următoarea demonstrație se bazează pe faptul că ariile triunghiurilor similare sunt legate ca pătratele laturilor corespunzătoare. [13]

Să fie un triunghi dreptunghic, perpendiculara coborâtă la ipotenuză de la vârful unghiului drept. Triunghiurile sunt similare deoarece au un unghi drept și un unghi comun . Mijloace $ABC$ $ANUNȚ$ $ABC$ $DBA$ $B$

{\frac {{\text{area}}~DBA}{{\text{area}}~ABC}}={\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.

În mod similar, obținem asta

{\frac {{\text{area}}~DAC}({\text{area}}~ABC}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.

Deoarece triunghiurile și împreună formează , suma ariilor lui și este egală cu aria lui . De aici $DBA$ $DAC$ $\triunghi ABC$ $\triunghi DBA$ $\triangle DAC$ $\triunghi ABC$

{\frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1

sau $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.$

Dovada prin metoda infinitezimală

Există mai multe dovezi care recurg la tehnica ecuaţiilor diferenţiale . În special, lui Hardy i se atribuie o demonstrație folosind incremente infinitezimale ale catetelor și și ipotenuzei . De exemplu, creșterea catetei atunci când catetul este constant are ca rezultat creșterea ipotenuzei , astfel încât $A$ $b$ $c$ $da$ $b$ $dc$

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}.

Prin metoda separării variabilelor, din ele se derivă o ecuație diferențială , a cărei integrare dă relația . Aplicarea condițiilor inițiale definește constanta ca , ceea ce are ca rezultat afirmarea teoremei. $c\,dc=a\,da$ $c^{2}=a^{2}+\mathrm {const}$ $a=0,\c=b$ $b^{2}$

Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma se datorează contribuțiilor independente din incrementul diferitelor catete.

Variații și generalizări

Forme geometrice similare pe trei laturi

O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în Principia , trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile unor figuri geometrice similare arbitrare [14] : suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va să fie egală cu aria unei figuri asemănătoare acestora, construită pe ipotenuză.

Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru figuri similare cu ariile , și , construite pe catete cu lungimi și , respectiv, ipotenuză , este valabilă următoarea relație: $A$ $B$ $C$ $A$ $b$ $c$

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\ Săgeată la dreapta \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C

Întrucât conform teoremei lui Pitagora , atunci . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A+B=C$

În plus, dacă este posibil să se demonstreze fără a folosi teorema lui Pitagora că pentru ariile a trei figuri geometrice similare de pe laturile unui triunghi dreptunghic, relația este satisfăcută , atunci folosind reversul demonstrației generalizării lui Euclid, vom poate obține demonstrația teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu triunghiul inițial cu aria , iar pe catete - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu ariile și , atunci se dovedește că triunghiurile de pe catete sunt formate ca un rezultat al împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma a două arii mai mici de triunghiuri este egală cu aria a treia, în acest fel și aplicând raportul pentru figuri similare, se deduce teorema lui Pitagora. $A+B=C$ $C$ $A$ $B$ $A+B=C$

Teorema cosinusului

Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai general, care raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar [15] :

a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta}=c^{2)

unde este unghiul dintre laturile si . Dacă unghiul este de 90°, atunci , iar formula este simplificată la teorema obișnuită a lui Pitagora. $\theta$ $A$ $b$ $\cos \theta =0$

Triunghi arbitrar

Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor. Se crede că a fost stabilit pentru prima dată de astronomul sabian Thabit ibn Qurra [16] . În ea, pentru un triunghi arbitrar cu laturile , este înscris în el un triunghi isoscel cu o bază pe latura , un vârf care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii , și unghiuri la bază egale cu unghiul opus laturii latura . Ca urmare, se formează două triunghiuri, asemănătoare cu cel original: primul cu laturile , latura laterală a triunghiului isoscel înscris cea mai îndepărtată de acesta și - părți ale laturii ; al doilea este simetric față de acesta din partea cu latura - partea corespunzătoare a laturii . Ca urmare, relația [17] [18] $a,b,c$ $c$ $c$ $\theta$ $c$ $A$ $r$ $c$ $b$ $s$ $c$

a^{2}+b^{2}=c(r+s),

degenerând în teorema lui Pitagora la . Raportul este o consecință a asemănării triunghiurilor formate: $\theta =\pi /2$

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\quad {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\quad \Rightarrow \quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.

Teorema ariei lui Pappus

Teorema ariei Pappus , care permite ca un triunghi arbitrar și paralelograme arbitrare pe cele două laturi ale sale să construiască un paralelogram pe a treia latură în așa fel încât aria lui să fie egală cu suma ariilor a două paralelograme date, poate fi de asemenea considerată. ca o generalizare a teoremei lui Pitagora [19] : în cazul în care triunghiul inițial este dreptunghic, iar pătratele sunt date ca paralelograme pe catete, pătratul construit pe ipotenuză se dovedește a satisface condițiile ariei Pappus. teorema.

Generalizări multidimensionale

O generalizare a teoremei lui Pitagora pentru spațiul euclidian tridimensional este teorema de Gua : dacă trei unghiuri drepte converg la un vârf al unui tetraedru , atunci pătratul ariei feței opuse acestui vârf este egal cu suma lui pătratele ariilor celorlalte trei feţe. Această concluzie poate fi generalizată și ca „ teorema lui Pitagora n - dimensională” pentru spații euclidiene de dimensiuni mai mari [20] — pentru fețele unui simplex ortogonal- dimensional cu arii de fețe ortogonale și aria opusă acestora , relația este îndeplinită. : $n$ $S_{1},\dots ,S_{n}$ $S_{0}$

S_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2)

O altă generalizare multidimensională apare din problema găsirii pătratului lungimii diagonalei unei casete dreptunghiulare : pentru a-l calcula, trebuie să aplicați teorema lui Pitagora de două ori, ca urmare, va fi suma pătratelor lungimilor. a trei laturi adiacente ale cutiei. În general, lungimea unui cuboid diagonal-dimensional cu laturile adiacente cu lungimi este: $n$ $a_{1},\puncte ,a_{n}$

d^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}

ca si in cazul tridimensional, rezultatul este o consecinta a aplicarii succesive a teoremei lui Pitagora la triunghiuri dreptunghice in planuri perpendiculare.

O generalizare a teoremei lui Pitagora pentru un spațiu infinit-dimensional este egalitatea lui Parseval [21] .

Geometrie non-euclidiană

Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și este invalidă pentru geometria non-euclidiană [22] - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul de paralelism al lui Euclid [23] [24] .

În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică , toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care leagă octantul sferei unității, au lungimea , ceea ce contrazice teorema lui Pitagora. $\pi/2$

În același timp, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică , dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma a două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea [25] .

Geometrie sferică

Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază (de exemplu, dacă unghiul din triunghi este un triunghi dreptunghic) cu laturi, raportul dintre laturi are forma [26] $R$ $\gamma$ $a,b,c$

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}.

Această egalitate poate fi derivată ca un caz special al teoremei cosinusului sferic , care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a }{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma .

Aplicând seria Taylor în funcția cosinus ( ) se poate demonstra că dacă raza tinde spre infinit , iar argumentele , și tind spre zero, atunci raportul sferic dintre laturile unui triunghi dreptunghic se apropie de teorema lui Pitagora. $\cos x\aprox 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $R$ ${\dfrac {a}{R)}$ ${\dfrac {b}{R)}$ ${\dfrac {c}{R)}$

Geometria lui Lobaciovski

În geometria lui Lobachevsky pentru un triunghi dreptunghic cu laturile cu latura opusă unghiului drept, raportul dintre laturi va fi următorul [27] : $a,b,c$ $c$

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b

unde este cosinusul hiperbolic [28] . Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile [29] : $\operatorname {ch}$

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\cdot \operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\cdot \operatorname {sh} b\cdot \cos \gamma

unde este unghiul al cărui vârf este opus laturii . $\gamma$ $c$

Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ) se poate arăta că dacă triunghiul hiperbolic scade (adică când , și tinde spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice. $\operatorname {ch} x\aprox 1+{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $A$ $b$ $c$

Aplicație

Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale

Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este determinarea distanței dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular : distanța dintre punctele cu coordonate și este egală cu $s$ $(a,b)$ $(c,d)$

s={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}.

Pentru numerele complexe, teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea modulului unui număr complex - pentru că este egală cu lungimea vectorului rază pe planul complex până la punctul : $z=x+yi$ $(X y)$

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Distanța dintre numerele complexe și este reprezentată și sub forma teoremei lui Pitagora [30] : $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} }}.

Distanța dintre două puncte din planul Lobachevsky

$ds^{2}=dx^{2}+\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R))\right)dy^{2}$ .

Aici R este raza de curbură a planului Lobachevsky, ch este cosinusul hiperbolic .

metrica euclidiană

Metrica euclidiană - funcție de distanță în spații euclidiene , determinată de teorema lui Pitagora, aplicarea ei directă în cazul bidimensional, și secvenţială în cel multidimensional; pentru punctele de spațiu -dimensional și distanța dintre ele se determină după cum urmează: $n$ $p=(p_{1},\dots,p_{n})$ $q=(q_{1},\dots,q_{n})$ $d(p,q)$

d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2))))

Teoria numerelor

Un triplu pitagoreic este un set de trei numere naturale care pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic, adică numere naturale care satisfac ecuația diofantină . Triplele pitagorice joacă un rol important în teoria numerelor , problema găsirii lor efectiv a dat naștere unei game largi de lucrări, din cele mai vechi timpuri până în prezent. Formularea ultimei teoreme a lui Fermat este similară cu problema găsirii triplelor lui Pitagora pentru gradul mai mare de 2. $(x,\;y,\;z)$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Singurul triplu pitagoreic format din trei numere consecutive este 3, 4 și 5: [31] . $3^{2}+4^{2}=5^{2}$

În cultura populară

Una dintre imaginile demonstrației teoremei este asociată cu expresia populară din folclorul școlar rus „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile”, care a câștigat o faimă deosebită datorită operei comice din 1915 Ivanov Pavel [32] [ 33] .

Note

↑ Kantor se referă la Papirusul 6619 al Muzeului din Berlin
↑ Subiect de istorie: Teorema lui Pitagora în matematica babiloniană . Consultat la 1 iunie 2009. Arhivat din original pe 6 iunie 2011. (nedefinit)
↑ Știință, gândire tehnică și militară, îngrijire medicală și educație // Cultura spirituală a Chinei: o enciclopedie în 5 volume / Titarenko M. L. - M . : Literatura de Est a Academiei Ruse de Științe, 2009. - V. 5. - P. 939-941. — 1055 p. — ISBN 9785020184299 . Arhivat pe 4 martie 2016 la Wayback Machine
↑ Euclid, 1956 , p. 351.
↑ Heath, 1921 , vol. I, p. 144.
↑ Kurt Von Fritz . Descoperirea incomensurabilității de către Hippasus din Metapontum (engleză) // The Annals of Mathematics, a doua serie : jurnal. - Analele matematicii, 1945. - Aprilie ( vol. 46 , nr. 2 ). - P. 242-264 . — . : „Această formulă aparține personal condeiul lui Pitagora..., dar putem considera cu încredere că aparține celei mai vechi perioade a matematicii pitagoreice”.
↑ Georg Hegel. Prelegeri de Istoria Filosofiei . — Litri, 08-09-2016. - S. 282. - 1762 p. — ISBN 9785457981690 .
↑ Asger Aaboe. Episoade din istoria timpurie a matematicii (engleză) . - Mathematical Association of America , 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131 . Arhivat pe 9 august 2016 la Wayback Machine . - „...abia Euclid găsim o succesiune logică de teoreme generale cu dovezi adecvate.”
↑ Elisha Scott Loomis. Propunerea lui Pitagora
↑ Vezi, de exemplu , Geometria conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 196.
↑ Vezi, de exemplu , Geometria conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 259.
↑ Franz Lemmermeyer. Dovada teoremei lui Pitagora a lui Leonardo da Vinci (engleză) . The College Mathematics Journal 47(5):361 (noiembrie 2016). Preluat la 22 octombrie 2021. Arhivat din original la 7 iunie 2022.
↑ Vezi, de exemplu , Geometria conform lui Kiselyov Arhivat la 1 martie 2021 la Wayback Machine , § 263.
↑ Elementele lui Euclid : cartea VI, propoziţia VI 31: „În triunghiuri dreptunghiulare figura de pe latura care subtind unghiul drept este egală cu figurile similare şi descrise similar de pe laturile care conţin unghiul drept”.
↑ Lawrence S. Leff. Lucrare citată . - Seria educațională a lui Barron, 2005. - P. 326. - ISBN 0764128922 .
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalizarea teoremei lui Pitagora // Momente mari în matematică (înainte de 1650 ) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108 . Arhivat pe 9 august 2016 la Wayback Machine
↑ Aydin Sayili . Generalizarea teoremei lui Pitagora a lui Thâbit ibn Qurra (engleză) // Isis : jurnal. - 1960. - Martie ( vol. 51 , nr. 1 ). - P. 35-37 . - doi : 10.1086/348837 . — .
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Exercițiul 2.10(II) // Lucrare citată . - 2007. - S. 62. - ISBN 0821844032 . Arhivat pe 9 august 2016 la Wayback Machine
↑ George Jennings. Figura 1.32: Teorema generalizată a lui Pitagora // Geometrie modernă cu aplicații: cu 150 de figuri . — al 3-lea. — Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X .
↑ Rajendra Bhatia. analiza matriceală . — Springer , 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465 .
↑ Shilov G. E. Analiză matematică. Curs special. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Lucrare citată . - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229 . Arhivat pe 17 august 2016 la Wayback Machine
↑ Eric W. Weisstein. CRC enciclopedie concisă de matematică . — al 2-lea. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472 . Arhivat pe 17 august 2016 la Wayback Machine . — „Postulatul paralel este echivalent cu postulatul echidistanței , axioma Playfair , axioma Proclus , postulatul triunghiului și teorema lui Pitagora .”
↑ Alexander R. Pruss. Principiul rațiunii suficiente : o reevaluare . - Cambridge University Press , 2006. - P. 11. - ISBN 052185959X . Arhivat pe 9 august 2016 la Wayback Machine . „Am putea include... postulatul paralel și a deriva teorema lui Pitagora. Sau am putea, în schimb, să facem teorema lui Pitagora printre celelalte axiome și să derivăm postulatul paralel.”.
↑ Victor Pambuccian . Teorema lui Pitagora hiperbolică a Mariei Teresa Calapso (engleză) // The Mathematical Intelligencer : journal. - 2010. - Decembrie ( vol. 32 ). — P. 2 . - doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
↑ Barrett O'Neill. Exercițiul 4 // Geometrie diferențială elementară . — al 2-lea. - Academic Press , 2006. - P. 441. - ISBN 0120887355 .
↑ Saul Stahl. Teorema 8.3 // Semiplanul Poincaré: o poartă către geometria modernă (engleză) . — Jones și Bartlett Learning, 1993. - P. 122. - ISBN 086720298X .
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Dicționar matematic explicativ. Termeni de bază. - M. limba rusă, 1989
↑ Jane Gilman. Triunghiuri hiperbolice // Subgrupuri discrete cu doi generatori de PSL (2, R ) . - Librăria Societății Americane de Matematică, 1995. - ISBN 0821803611 .
↑ Alfred Gray , Elsa Abbena, Simon Salamon. Geometrie diferențială modernă a curbelor și suprafețelor cu Mathematica . — al 3-lea. - CRC Press , 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487 .
↑ Siegel E. Această ecuație, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², îl duce pe Pitagora la un nivel cu totul nou . Forbes (6 martie 2020). Preluat la 28 aprilie 2020. Arhivat din original la 4 aprilie 2020.
↑ Operă legendară: text și muzică . LiveJournal (4 august 2016). Preluat la 9 ianuarie 2020. Arhivat din original la 9 iunie 2020. (nedefinit)
↑ Dicționar de citate moderne. Litri, 20 mar. 2019. P. 9 .

Literatură

Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei. - M., 1959.
Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. - M., 1982.
Yelensky Sh. Pe urmele lui Pitagora. — M.: Detgiz , 1961. — 486 p. : ill., hărți.
Claudy Alsina. Secta numerelor. Teorema lui Pitagora. - M. : De Agostini, 2014. - 152 p. — (Lumea matematicii: în 45 de volume, volumul 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .
Litzman V. Teorema lui Pitagora. - M., 1960.
- Un site despre teorema lui Pitagora cu un număr mare de dovezi, materialul este preluat din cartea lui V. Litzman, un număr mare de desene sunt prezentate ca fișiere grafice separate.
Skopets Z. A. Miniaturi geometrice. - M., 1990
Euclid. The Elements (3 vol.) / Traducere de Johan Ludvig Heiberg cu o introducere și un comentariu de Thomas L. Heath. - Retipărire din 1908. - Dover, 1956. - Vol. 1 (Cărțile I și II). — ISBN 0-486-60088-2 .
Heath S. A History of Greek Mathematics (2 volume). — Ediția Dover Publications, Inc. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8 .

Link -uri

Istoria teoremei lui Pitagora
Glazer G. , academician al Academiei Ruse de Educație, Moscova. Despre teorema lui Pitagora și cum se demonstrează
Clip din seria „ Etudii matematice ”, dedicat teoremei lui Pitagora (pentru computer , iPhone , iPad )
Teorema lui Pitagora și triplele lui Pitagora. Arhivat 3 martie 2016 la Wayback Machine Un capitol din cartea lui D. V. Anosov „O privire asupra matematicii și ceva din ea”
Teorema lui Pitagora la WolframMathWorld
Cut-The-Knot, secțiune despre teorema lui Pitagora, aproximativ 70 de dovezi și informații suplimentare extinse (ing.)

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNE : XX4809534 BNF : 11946942j GND : 4176546-1 J9U : 987007551078005171 LCCN : sh85109374 NDL : 00934581

Triunghi
Tipuri de triunghiuri	Dreptunghiular Isoscel Echilateral Isoscel dreptunghiular
Linii minunate într-un triunghi	Median Înălţime Bisectoare Midperpendicular linia de mijloc Cercuri circumscrise și înscrise Linia dreaptă a lui Simson linia lui Euler Simediana Cheviana
Puncte remarcabile ale triunghiului	Ortocentru Centroid În centru Punctul Brocard Vecten punct Point Gergonne Punctul Lemoine punctul Miquel punctul Nagel Napoleon arată Punctele lui Torricelli Centru cerc cu nouă puncte Centrul Spieker Enciclopedia centrelor triunghiulare
Teoreme de bază	inegalitatea triunghiulară Semne de asemănare ale triunghiurilor Rezolvarea triunghiurilor Teorema unghiului exterior al triunghiului Teorema sumei unghiurilor triunghiulare teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema sinusului Teorema proiecției Formula lui Heron
Teoreme suplimentare	teorema lui Van Obel Teorema lui Menelaus Teorema Reuschle (Terkema). teorema lui Stewart Teorema tangentei Teorema cotangentei teorema lui Ceva Formule Mollweide
Generalizări	triunghi sferic triunghi hiperbolic Simplex

Trigonometrie
General	Prezentare generală a trigonometriei Poveste Utilizare Funcții Verso Folosit rar Trigonometrie generalizată
Director	Identități Constante exacte Mese cerc unitar
Legi și teoreme	Teorema sinusului teorema lui Pitagora Teorema cosinusului Teorema tangentei Teorema cotangentei Rezolvarea triunghiurilor
Analiza matematică	Substituția trigonometrică Integrale ( funcții inverse ) Derivate