Algebră diferențială

Inelele , câmpurile și algebrele diferențiale sunt numite inele , câmpurile și algebrele echipate cu diferențiere - o operație unară care satisface regula produsului . Un exemplu natural de câmp diferențial este câmpul funcțiilor raționale ale unei variabile complexe , operația de diferențiere corespunde diferențierii în raport cu . Teoria a fost creată de Joseph Ritt (1950) și elevul său Ellis Kolchin [1] [2] . $CT)$ $t$

Definiții

Inele diferențiale

Un inel diferential este un inel R echipat cu unul sau mai multe endomorfisme ( derivatii )

\partial \colon R\la R

satisfacerea regulii produsului

\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})

pentru orice . Subliniem că regula poate eșua într-un inel necomutativ. În forma de notare non-index, dacă - înmulțire în inel, atunci regula produsului va lua forma $r_{1},r_{2}\în R$ $d(xy)=xdy+ydx$ $M\colon R\time R\la R$

\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id})+M\circ (\operatorname {id}\otimes \partial ).

unde este o mapare pereche-la-pereche . $uneori g$ $(X y)$ $(f(x),g(y))$

Câmpuri diferențiale

Un câmp diferențial este un câmp K echipat cu o derivație. Diferențierea trebuie să se supună regulii Leibniz în formă

\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u

întrucât înmulțirea într-un câmp este comutativă. Diferențierea trebuie să fie și distributivă în raport cu adunarea:

\partial (u+v)=\partial u+\partial v

Câmpul constantelor unui câmp diferențial se numește . $K$ $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$

Algebră diferențială

O algebră diferențială peste un câmp K este o K -algebră A în care derivațiile comută cu câmpul. Adică pentru orice și : $k\în K$ $x\în A$

\ \partial (kx)=k\partial x

În formă non-index, dacă este un morfism de inele care definește înmulțirea cu scalari în algebră, atunci $\eta\colon K\to A$

\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id})=M\circ (\eta \times \partial )

Ca și în alte cazuri, diferențierea trebuie să îndeplinească regula lui Leibniz pentru înmulțirea în algebră și să fie liniară în raport cu adunarea. Adică pentru orice și : $a,b\în K$ $x,y\în A$

\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)

și

\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y

Diferențierea în algebra Lie

O derivație de algebră Lie este o mapare liniară care satisface regula Leibniz: $L$ $\delta \colon L\la L$

\ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]

Pentru orice operator - diferențiere pe , care decurge din identitatea Jacobi . Orice astfel de derivație se numește intrinsecă . $a\in L$ $\operatorname {ad} (a)$ $L$

Exemple

Dacă este o algebră cu unitate , atunci , deoarece . De exemplu, în câmpurile diferențiale cu caracteristica 0, elementele raționale formează un subcâmp în câmpul constantelor. $A$ $\partial(1)=0$ $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)$

Orice câmp poate fi considerat ca un câmp de constante.

În câmpul , există o structură naturală a câmpului diferențial, definită de egalitate : din axiomele câmpului și diferențierii rezultă că aceasta va fi o diferențiere față de . De exemplu, din comutativitatea înmulțirii și din regula Leibniz rezultă că $\mathbb {Q} (t)$ $\partial(t)=1$ $t$

\partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)

Nu există o soluție pentru ecuația diferențială într-un câmp diferențial , dar poate fi extinsă la un câmp care conține o funcție care are o soluție la această ecuație. $\mathbb {Q} (t)$ $\partial (u)=u$ $e^{t}$

Un câmp diferențial care are o soluție pentru orice sistem de ecuații diferențiale se numește câmp diferențial închis . Astfel de câmpuri există, deși nu apar în mod natural în algebră sau geometrie. Orice câmp diferențial (de putere limitată ) este încorporat într-un câmp diferențial închis mai mare. Câmpurile diferențiale sunt studiate în teoria diferențială Galois .

Exemple naturale de derivate sunt derivatele parțiale , derivatele Lie , derivata Pincherle și comutatorul față de un element dat al algebrei. Toate aceste exemple sunt strâns legate de ideea generală de diferențiere.

Inel de operatori pseudodiferențiali

Inelele diferențiale și algebrele diferențiale sunt adesea studiate folosind inelul operatorilor pseudodiferențiali peste ele:

R((\xi ^{{-1)))))=\left\{\sum _{{n<\infty }}r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\în R\dreapta \}.

Înmulțirea în acest inel este definită ca

(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{{k=0}}^{m}r(\partial ^{k}s){m \alege k}\ xi ^{{m+nk}}.

Aici este coeficientul binom . Observați identitatea ${m \alege k}$

\xi ^{{-1}}r=\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{{-1 -n}}

urmare de la

{-1 \alegeți n}=(-1)^{n}

și

r\xi ^{{-1}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }\xi ^{{-1-n}}(\partial ^{n}r).

Diferențierea gradată

Fie o algebră gradată , fie o mapare liniară omogenă, . se numeste derivata omogena daca , cand actioneaza asupra elementelor omogene . O derivată gradată este suma derivatelor omogene cu același . $A$ $D$ $d=\stanga|D\dreapta|$ $D$ $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{{|a||D|}}aD(b)$ $\epsilon=\pm 1$ $A$ $\epsilon$

Dacă , definiția este aceeași cu diferențierea obișnuită. $\epsilon=1$

Dacă , atunci , pentru impar . Astfel de endomorfisme sunt numite antiderivate . $\epsilon=-1$ $D(ab)=D(a)b+(-1)^{{|a|}}aD(b)$ $\stanga|D\dreapta|$

Exemple de anti-derivate sunt derivatele externe și interne ale formelor diferențiale .

Derivatele gradate ale superalgebrelor (adică algebrele gradate) sunt adesea numite superderivate . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Note

↑ Ritt, Joseph Fels (1950). Algebră diferențială. New York: AMS Coloquium Publications (volumul 33).
↑ Kolchin, ER (1985), Grupuri algebrice diferențiale , voi. 114, Pure and Applied Mathematics, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417640-9 , < https://books.google.com/books?isbn=0124176402 >

Vezi și

Teoria diferențială Galois
Diferenţial Kähler
Câmp închis diferențial
Un modul D este o structură algebrică cu mai mulți operatori diferențiali care acționează asupra ei.

Literatură

Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
I. Kaplansky Algebra Diferenţială, Hermann (1957).
E. Kolchin algebră diferențială și grupuri algebrice, 1973.
D. Marker, M. Messmer și A. Pillay, Springer Verlang (1996).
A. Magid Prelegeri despre teoria diferenţială Galois, American Math. societate, 1994.

Pagina de pornire a lui David Marker conține mai multe articole despre câmpuri diferențiale.

Ramuri ale matematicii

Portalul „Știință”

Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii

Teoria numerelor ( aritmetică )

Algebră
Algebră elementară	Soluția ecuației
Algebră liniară	Calcul vectorial matrici Calcul tensor Algebră multiliniară
Algebră generală	Algebră comutativă Teoria reprezentării Algebră diferențială Algebră omologică Algebră universală Teoria categoriilor

Analiză
Analiza clasică	Calcul diferenţial Calcul integral
Teoria funcției	Analiza armonică Analiza cuaterniilor Analiză complexă teoria măsurării Teoria funcțiilor unei variabile reale analiza functionala Calculul variațiilor
Ecuații diferențiale și integrale	Sisteme dinamice și teoria ergodică Ecuatii diferentiale comun în derivate parţiale Ecuații integrale
Analiza Vectorială Analiza globală Teoria catastrofei Analiză personalizată Analiză infinitezimală netedă

Geometrie și topologie
Geometrie	Geometrie algebrică Geometrie analitică Geometrie euclidiană Geometrie non-euclidiană Planimetrie Stereometrie
Topologie	Topologie generală Topologie algebrică Geometrie și topologie diferențială

Matematică discretă
Combinatorică teoria grafurilor

Matematică aplicată
Fizică matematică Chimie matematică biologie matematică Statistici matematice Modelare matematică Teoria algoritmilor Metode numerice economie matematică matematica financiara Teoria probabilității Cercetare operațională Teoria jocului

Portalul „Matematică”
Categoria „Matematică”