Plus

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 4 august 2022; verificarea necesită 1 editare .

Adunarea ( adunarea [2] ) este una dintre operațiile matematice binare de bază ( operații aritmetice ) a două argumente (termeni), al cărei rezultat este un număr nou ( sumă ), obținut prin creșterea valorii primului argument cu valoarea al celui de-al doilea argument. Adică, fiecărei perechi de elemente din mulțime i se atribuie un element numit sumă și . Aceasta este una dintre cele patru operații matematice elementare ale aritmeticii . Prioritatea sa în ordinea obișnuită a operațiilor este egală cu prioritatea scăderii , dar mai mică decât cea a exponențiării , extragerii rădăcinilor , înmulțirii și împărțirii [3] . În scris, adăugarea este de obicei indicată cu semnul plus : . Adunarea este posibilă numai dacă ambele argumente aparțin aceluiași set de elemente (au același tip ). Deci, în imaginea din dreapta, intrarea înseamnă trei mere și două mere împreună, ceea ce dă un total de cinci mere. Dar nu puteți adăuga, de exemplu, 3 mere și 2 pere. $(a,b)$ $A$ $c=a+b$ $A$ $b$ $a+b=c$
$3+2$

Folosind generalizări sistematice, adunarea poate fi definită pentru cantități abstracte, cum ar fi numere întregi , numere raționale , numere reale și numere complexe și pentru alte obiecte abstracte, cum ar fi vectori și matrice .

Adunarea are câteva proprietăți importante (de exemplu, pentru ) (vezi Suma ): $A=$ $\mathbb {R}$

Comutativitate : $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A;$
Asociativitate : $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A;$
Distributivitatea : și ${\ displaystyle x \ cdot (a+b) = (x \ cdot a)+(x \ cdot b)}$ ${\ displaystyle (a+b) \ cdot x = (a \ cdot x)+(b \ cdot x), \ quad \ forall a, b \ in \ a;}$
Adăugarea (zero element) dă un număr egal cu originalul: $0$ ${\ displaystyle x+0 = 0+x = x, \ quad \ forall x \ in a, \ quad \ există 0 \ in A.}$

Adăugarea de numere mici este una dintre primele abilități predate copiilor în școala elementară.

Sunt cunoscute diferite dispozitive de adăugare, de la abaci antice la computere moderne .

Forme și terminologie

Adunarea se scrie folosind simbolul plus „+” între termeni; această formă de notație se numește notație infixă . Rezultatul este scris folosind semnul egal . De exemplu,

$a+b=c$ („un plus este egal cu ce”)
$1+1=2$ ("unu plus unu este egal cu doi")
$2+2=4$ ("doi plus doi este egal cu patru")
$5+4+2=11$ (vezi „asociativitatea” de mai jos )
$3+3+3+3=12$ (vezi „înmulțirea” de mai jos )

В ряде ситуаций подразумевается сложение, но при этом символы сложения не используются:

В записи чисел в позиционных системах счисления: запись числа подразумевает сумевает сумнает сумнает сурамах счисления . $a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$ $a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot P^{1}+ a_{0}\cdot P^{0}$
Dacă există o coloană de numere, ultimul număr (de jos) în care este subliniat , atunci de obicei se înțelege că toate numerele din această coloană sunt adăugate, iar suma rezultată este scrisă sub numărul subliniat.
Dacă există o intrare când există un număr întreg înaintea fracției , atunci această intrare înseamnă suma a doi termeni - un număr întreg și o fracție, care se numește număr mixt [5] . De exemplu,
3½ = 3 + ½ = 3,5.
Această notație poate provoca confuzie, deoarece în majoritatea celorlalte cazuri o astfel de notație înseamnă înmulțire , nu adunare [6] .

Suma unei serii de numere înrudite poate fi scrisă folosind simbolul Σ, care permite scrierea compactă a iterației . De exemplu,

\ sum _ {k = 1}^{5} k^{2} = 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2} = 55.

Aditivii sunt numere sau obiecte adunate împreună [7] .

Semnul plus „+” ( Unicode :U+002B; ASCII : +) este o simplificare a cuvântului latin „et” care înseamnă „și” [8] . Pentru prima dată acest simbol se găsește în cărți, începând cu 1489 [9]

Interpretări

Adăugarea este folosită pentru a modela nenumărate procese fizice. Chiar și pentru simpla adăugare a numerelor naturale, există multe interpretări diferite și chiar mai multe moduri de reprezentare vizuală.

Combinarea seturi

Poate cea mai fundamentală interpretare a adunării este combinația de mulțimi:

Dacă două sau mai multe seturi de caracteristici care nu se suprapun sunt îmbinate într-un singur set, atunci numărul de caracteristici din setul rezultat este egal cu suma numărului de caracteristici din seturile originale.

Эту интерпретацию легко визуализировать, при этом опасность двусмысленности будет минималь. Однако непонятно, как с помощью этой интерпретации сложения объяснить сложение сло1жение дроч0 инте этой интерпретации сложения объяснить сложение дрох0 .

Одним из возможных решений будет обращение к набору объектов, которые могут быть легко разделены, например, пироги или стержни с сегментами[11]. Вместо комбинирования наборов сегментов стержни могут быть присоединены друг к другу концами, что иллюстрирует другую концепцию сложения: складываются не стержни, складываются их длины.

Extensie de lungime

Вторая интерпретация сложения заключается в расширении начальной длины на величается доличается доличается

Когда начальая длина расширяется добавляе %й длиной, то полученная длина равна сsea даначачалальой д р ы дuter кавачачалальой д р ы дuter кавачачачальой д р ы дuter кавачачалальой .

Suma a + b poate fi interpretată ca uniunea binară a lui a și b în sens algebric și poate fi interpretată și ca adunând b la numărul a . În această din urmă interpretare, părți ale sumei a + b joacă roluri asimetrice, iar operația a + b este considerată ca aplicând operația unară + b numărului a [13] . Abordarea unară vă permite să treceți la scădere , deoarece fiecare operație de adunare unară are o operație de scădere unară inversă și invers.

Proprietăți

Operația de adunare pe mulțimi numerice are următoarele proprietăți principale: ${\ displaystyle \ mathbb {n}, \ mathbb {z}, \ mathbb {q}, \ mathbb {r}, \ mathbb {c}}}$

Comutativitate

Сложение коммутативно — от перемены мест слагаемых сумма не меняется (это свойство также известно как переместительный закон сложения ): Есть и другие законы коммутативности: например, существует коммутативный закон умножения. Тем не менее многие бинарные операции , например, вычитание и деление, не коммутативны. ${\ displaystyle a+b = b+a, \ quad \ forall a, b \ in \ A.}$

Сложение ассоциативно — при последовательном выполнении сложения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения ( сочетательный закон сложения ): ${\ displaystyle (a+b)+c = a+(b+c), \ quad \ forall a, b, c \ in \ a.}$

Distributivitatea

Adunarea este distributivă , aceasta este proprietatea de consistență a două operații binare definite pe aceeași mulțime ( legea distributivă ) [14] : $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Element neutru

În ceea ce privește adunarea, există un singur element neutru în mulțime , adăugarea unui număr cu (zero sau element neutru) dă un număr egal cu originalul: $A$ $0$ ${\ displaystyle x+0 = 0+x = x, \ quad \ forall x \ in a, \ quad \ există 0 \ in A.}$

Этот закон был впервые описан в Исправленном трактате Брахмы , который был написан Брахмы Брусан Брахмы [en] Он написал этот закон в виде трёх отдельных законов: для отрицательного, положительного и нулевого числа a , и для описания этих законов он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики уточнили понятия; около 840 г., Махавира написал, что «ноль становится таким же, как то, что добавира написал, что «ноль становится таким же, как то, что добавира", добавира что добависал, a со писо . В XII веке Бхаскара II написал: «Если добавить ничего или вычесть ничего, то количество, положительное или отрицательное, остаётся таким же, как и было», что соответствует записи a + 0 = a [15] .

Element invers

Adăugând cu elementul opus rezultă : [ 16] $0$ $a+(-a)=0,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.$

În plus, adunarea nu duce rezultatul în afara setului de numere dat, prin urmare, ele sunt închise în cadrul operației de adunare. Aceste mulțimi cu operații și formează inele ( inele comutative cu identitate) [17] . În limbajul algebrei generale , proprietățile de adunare de mai sus spun că sunt grupuri abeliene în ceea ce privește operația de adunare. ${\ displaystyle \ mathbb {n}, \ mathbb {z}, \ mathbb {q}, \ mathbb {r}, \ mathbb {c}}}$ $+$ $\cdot$ ${\ displaystyle \ mathbb {z}, \ mathbb {q}, \ mathbb {r}, \ mathbb {c}}$

Efectuarea adăugării

Operația de adunare poate fi reprezentată ca un fel de „ cutie neagră ” cu doi termeni la intrare și unul la ieșire - suma: [18] [19]

În rezolvarea practică a problemei adunării a două numere , este necesar să o reducem la o succesiune de operații mai simple: „adunare simplă”În acest caz, adăugarea ar trebui să fie considerată ca o procedură (spre deosebire de o operație).

Un algoritm exemplificator pentru procedura de adăugare pe biți a două numere [21]

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при сложении больших чисел может занять продолжительное время.

„Adăugarea simplă” - în acest context înseamnă operația de adăugare a numerelor dintr-o singură cifră, care poate fi ușor redusă la creșterea . Este un hiperoperator incremental :

${\ displaystyle a+b = \ operatoname {hyper1} (a, b) = \ operatoname {hyper} (a, 1, b) = a^{(1)} b.}$

$a{^{(1)}}b=a+b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b }.$

unde este succesiunea operațiilor de creștere efectuate și timpii. $1+1+\dots +1$ $A$ $b$

Abilitatea înnăscută

Исследования развития математических способностей, которые начались в 1980-х годах, рассматривали феномен привыкания : младенцы смотрят дольше на ситуации, которые являются для них неожиданными [22] . В эксперименте Карен Винн 1992 года использовались куклы Микки Мауса , с кототорими пилимоци пилоровались Этот эксперимент показал, что пятимесячные младенцы ожидают , что 1 + 1 — это 2, и удивляются тому, когда оказывается, что 1 + 1 — это 1 или 3. Позже этот результат был подтверждён в других лабораториях с использованием разных методов [23] . В другом эксперименте в 1992 году с малышами постарше, в возрасте от 18 до 35 месяцев, использовалось развитие моторных функций детей, позволявшее им доставать шарики для пинг-понга из коробки; младшие ребята хорошо справлялись с небольшим числом шариков ;

Даже некоторые животные проявляют способность складывать, в особенности приматы . Эксперимент 1995 года был аналогичен эксперименту Винн 1992 года, но вместо кукол ислональб . Выяснилось, что макаки-резусы и эдиповы тамарины показывают схожие человеческим мловеческим младбисним мларины. Более того, один шимпанзе , после того, как его научили различать и понимать смысл арабских цифр от 0 до 4, смог считать сумму двух чисел без какой-либо подготовки [25] . Позже было выяснено, что азиатские слоны способны овладеть базовыми арифметичесемя 66] пособны .

Stăpânirea adăugării de către copii

Mulți copii înșiși vin la asta.

В разных странах к изучению целых чисел и арифметики приступают в разных возрастах, в основном сложению учат в учреждениях дошкольного образования [30] . При этом по всему миру к концу первого года начальной школы школьники обучаются сло.ж31н сло .

Tabel de adunare

Copiilor li se arată adesea un tabel pentru adăugarea perechilor de numere de la 1 la 10 pentru o mai bună memorare.[ обтекаемое выражение ] . Зная эту таблицу, можно выполнить любое сложение.

tabel de adunare zecimală

+	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9
0	0	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9
unu	unu	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece
2	2	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece
3	3	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12
patru	patru	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13
5	5	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece
6	6	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece
7	7	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece	16
opt	opt	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece	16	17
9	9	zece	unsprezece	12	13	paisprezece	cincisprezece	16	17	optsprezece

Для успешного сложения весятичной систея нужно помнить или уееть »» »» »сe. Кто-то может запомнить все эти факты, заучивая их, но стратегии изучения сложения путём использования шаблонов более информативны и для большинства людей более эффективны: [32]

Proprietate comutativă : utilizarea unui model reduce numărul de „fapte de adunare” de reținut de la 100 la 55. $a + b = b + a$
Încă una sau două : adăugarea a 1 sau 2 este o problemă de bază, și poate fi rezolvată prin enumerare (numărătoare) sau, în final, bazându-se pe intuiție [32] .
Ноль : поскольку ноль является нейтральным элементом для операции сложения (аддититивной едпитивной едпильной Ноль), Тем не менее, во время изучения арифметики некоторым ученикам сложение представляется как процесс, во время которого слагаемые всегда увеличиваются; акцент на словесной формулировке задачи может помочь понять «исключительность [32 н] уля .
Dublare : Adăugarea unui număr la sine este legată de sarcina de a dubla (re)număra și înmulți . Faptele de dublare sunt baza pentru multe fapte înrudite și sunt relativ ușor de înțeles de către elevi [32] .
Почти-удваивание (Суммы, близкие к операции удваивания) : сумма 6 + 7 = 13 может быть быстро выведена из факта об удваивании 6 + 6 = 12 и прибавления единицы, или из факта 7 + 7 = 14 и вычитания единицы [32] .
Пять и десять : суммы вида 5 + x и 10 + x обычно запоминаются рано и могут быть исполньвади исполньзодя исполньзодя. Например, результат суммы 6 + 7 = 13 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 может 12 лелонием
Получение десятки (достраивание до десяти) : существует такая стратегия, в которой 10 используется в качестве промежуточного результата при наличии слагаемых 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 [32] .

Pe măsură ce elevii cresc, ei memorează din ce în ce mai multe fapte și învață să deducă rapid alte fapte din ele. Mulți studenți nu memorează toate faptele, dar pot deduce rapid necesarul [29] .

Transfer

În algoritmul standard de adunare cu mai multe cifre[ expresie simplificată ] cifrele care compun intrările numerelor adăugate sunt situate una sub alta.

¹ 27 +59 ———— 86

Există multe alte metode de transfer.

Adăugarea de zecimale

Способ сложения десятичных дробей является простой модификацией сложения многоразения многоразер,вадо 3 ныслер,вляется простой модификацией сложения многоразения многоразер,вадо 3 . При сложении столбиком дроби располагают таким образом, чтобы запятые[ stil ] erau exact unul sub celălalt.

De exemplu, suma 45,1 + 4,34 poate fi calculată după cum urmează:

4 5 , 1 0 + 0 4 , 3 4 ————————————— 4 9 , 4 4 Notație exponențială

В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где — мантисса , — характериси числа записываются в виде , где — мантисса , — характериси характериси характеристика , ссим на характеристика Для сложения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: согласно свойству дистрибутивности. $a=\pm x\cdot P^{\pm n}$ $X$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},$

De exemplu:

2.34\cdot 10^{-5}+5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}+0.567\cdot 10^{-5}=(2.34+0.567)\cdot 10^{-5}=2,907\cdot 10^{-5}

Особый случай — сложение чисел, различающихся на несколько порядков , с последовательнователь. Если , то и погрешности этих чисел будут несопоставимы ( ), și при выполнении сложения чисел будут несопоставимы ( ), și при выполнении сложения чисел будут несопоставимы ( ), Так может быть нарушено свойства ассоциативности. $a\gg b$ $\Delta a\gg \Delta b$

Рассмотрим, например, выражение : если выполнить сначала , после округления результата получим , складывая далее, имеем , а если выполнять сложение в ином порядке, то: . Таким образом, при неаккуратном округлении могут получиться различные значения округлении могут получиться различные значения округлении могут получиться. $5,6\cdot 10^{8}+7,2+(-5,6\cdot 10^{8})$ $5,6\cdot 10^{8}+7,2$ $\approx 5,6\cdot 10^{8}$ $5,6\cdot 10^{8}+(-5,6\cdot 10^{8})=0$ $5,6\cdot 10^{8}+(-5,6\cdot 10^{8})+7,2=0+7,2=7,2$

Adunarea în alte sisteme numerice

Сложение для чисел с другими основаниями идентично сложению в десятичной системе

Ca exemplu, luați în considerare adăugarea în sistemul binar [34] . Adăugarea a două numere binare cu o singură cifră folosind carry este destul de simplă:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 este reportat (deoarece 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Suma a două „1” este egală cu „0”, iar 1 trebuie adăugat la următoarea coloană. Această situație este analogă cu ceea ce se întâmplă în sistemul zecimal atunci când anumite numere dintr-o singură cifră sunt adunate; dacă rezultatul este egal sau mai mare decât valoarea bazei (10), cifrele din stânga cresc:

5 + 5 → 0, poartă 1 (deoarece 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, poartă 1 (pentru că 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Această operație este cunoscută sub numele de „transfer” [35] . Acest lucru se datorează faptului că valoarea din cifra următoare este de ori mai mare (în sistemul de numere -th) decât valoarea din cifra curentă. Transportul în binar funcționează la fel ca în zecimal: $N$ $N$

1 1 1 1 1 (transfer) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ——————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

Acest exemplu adaugă două numere: 01101 2 (13 10 ) și 10111 2 (23 10 ). Linia superioară indică prezența unui reportaj. Începem să adăugăm din coloana din dreapta: 1 + 1 = 10 2 . Aici 1 este transportat la stânga și 0 este scris pe linia de jos. Acum numerele din a doua coloană din dreapta sunt adăugate: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; 1 este reportat și 0 este scris pe linia de jos. A treia coloană: 1 + 1 + 1 = 11 2 . În acest caz, 1 este purtat pe linia de jos. Ca rezultat, obținem 100100 2 (sau 36 în zecimală).

Calculatoare

Calculatoarele analogice lucrează direct cu cantități fizice, astfel încât mecanismul lor de adăugare depinde de tipul de termeni. Un sumator mecanic poate reprezenta doi termeni ca poziții ale blocurilor culisante, caz în care aceștia pot fi adăugați folosind o pârghie de mediere . Dacă termenii sunt prezentați sub formă de viteze de rotație a doi arbori , aceștia pot fi adăugați folosind un diferențial . Cea mai tipică aplicație analogică a computerului este adăugarea a două tensiuni (în raport cu solul ); Acest lucru poate fi implementat aproximativ cu un circuit de rezistență , iar o versiune avansată folosește un amplificator OP [36] .

Операция сложения является базовой в персональном компьютере . Производительность операции сложения и в особенности ограничения, связанные с механизмом переноса , влияют на общую производительность компьютера.

Se presupune că Abacusul a fost creat până la 2700-2300 î.Hr. de exemplu, atunci a fost folosit de sumerieni [37] .

В этом калькуляторе механизм переноса осуществлялся благодаря гравитации.

Сумматоры ыыолняюю целочисленное сложение вэлитектонных цифиновых ычислительиыхи минах, оыч ( ифммете noastre . Неболшшое улучшение представлено в с с с с с с суматоре п пoропcurs дйрййззser п и кiel;

В высокоуровневом языке программирования оценивание a + b не изменяет ни a , ни b ;

// algoritm iterativ int add ( int x , int y ) { } // algoritm recursiv int add ( int x , int y ) { }

Revărsarea aritmetică neașteptată este o cauză destul de frecventă a erorilor de programare . Adăugarea în puncte plutitoare poate, de asemenea, să se revarsă, dar va arunca întotdeauna o excepție și nu va trece neobservată.

Una dintre cele mai eficiente metode de reducere a erorii de rezumare este algoritmul Kahan .

Изначально сложение определено для натуральных чисел .

Numere naturale

Восполззееpareм оределениея натуральных чисел как класов эквивалентности конечных множеств. Обозначи§ класы эквивалентности конечных множеств порождённых биекцияporta , с помощщю бобоXк :. Тогда арифметическая операция «сложение» орределяется следующим оразом: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ ${\ displaystyle [c], [a], [b]}$

[C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];

где - дизъюнктное объединение множеств . Данная операция на класах ведена корректно, то есть неависит о ыи и с эреннтов класов, и и с эcină cord. $A \sqcup B$

Этот процесс нумерации называют « счётом » [50] [ уточните ссылку (уже 506 дней) ] . $A$ $N_{a}$ ${\ displaystyle a: \ quad a \ sim n_ {a))$

Если даны два натуральных числа и такие, что: $A$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

где: $a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k)$ ;

n

- количество цифр висле ;

n\in \{1,2,\dots ,n\}

k

- порядковый номером разряда (позиции), ;

{\ displaystyle k \ in \ {0,1, \ dots, n-1 \}}

P

- основание системы счисления;

\{P\}

множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

;

apoi:

c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}+b_ {n-1}b_{n-2}\dots b_{0};

складывая поразрядно, получаем:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P- 1{\text{ }}\end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_ {1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{ dacă }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{dacă }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_ {n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text { }}\end{cazuri}}$

Таким образом, операция сложения сводится к процедуре последовательного простого сложения одноразрядных чисел $a_{k}+b_{k}$ , с формированием единицы переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо инкрементированием (счётом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами [52]. При этом нужно пользоваться таблицей сложения, соответствующей данному основанию $P$ системы счисления.

Пример сложения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, единица переноса пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

{\begin{array}{cccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array));\quad \quad {\begin {array}{ccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&3&4&5&6&7\\+&8&7&5&4&1\\\hline 1&2&2&1&0&8\end{array));\quad \quad {\begin{array}{ccccccc} &_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.

Другое известное определение рекурсивно:

Пусть n + — следующее за n натуральное число, например 0 + =1, 1 + =2. Пусть a + 0 = a . Тогда общая сумма определяется рекурсивно: a + ( b + ) = ( a + b ) + . Отсюда 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 [53] .

В литературе существуют различные варианты этого определения. В рекурсионной теореме[54] .

Это рекурсивное определение сложения было дано Дедекиндом ещё в 1854 году, и он расширил его в последующие десятилетия[56]. С помощью математической индукции Дедекинд доказал свойства ассоциативности и коммутативности.

Numere întregi

Setul de numere întregi este o extensie a setului de numere naturale , obținută prin adăugarea de numere negative [57] a formei . Este necesar să țineți cont de direcția reciprocă a numerelor, mai multe cazuri sunt posibile aici: $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Если оба слагаемых положительные, тогда: $c=a+b;$
Если одно из слагаемых отрицательно, тогда нужно от слагаемого с большим значением модуля вычесть слагаемое с меньшим значением модуля, после чего перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше: $c=-a+b=b+(-a)=ba;$
Если оба слагаемых отрицательны, тогда: [58] . $c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)$

Другое построение множества целых чисел основано на группах Гротендика . Тогда сложение определяется следующим образом:

Let there be two integers a − b and c − d , where a , b , c and d are natural numbers, then ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) [ 59] .

Numere raționale

Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb {Q}$ (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде: ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

Pentru a adăuga numere raționale sub formă de fracții obișnuite (sau simple) ale formei:, acestea ar trebui convertite (aduse) într -un numitor comun (identic) . $\pm {\frac {m}{n}}$

Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби несократимые), тогда: $A$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a }\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}} ={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[60]

Procedură:

Находим наименьшее общее кратное знаменателей: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на . ${\frac {M}{n_{a)}}$
Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на . ${\frac {M}{n_{b)}}$

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны $M$ ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве $M$ любое другое общее кратное.

Пример сложения:

{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13} {cincisprezece}}.

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.

Если знаменатели кратны какому-либо числу, то преобразуем только одну дробь:

{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 }}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.

Более строгое и общеее о Piestделение с. в с татье поле дробей .

De exemplu, pentru a adăuga 50 de mililitri și 1,5 litri, trebuie să convertiți mililitri în litri și să aduceți fracțiile într -un numitor comun: litri. ${\frac {50}{1000}}+{\frac {1500}{1000}}={\frac {1550}{1000}}=1{,}55$

Operațiunile aritmetice pe numere reale , reprezentabile ca fracții zecimale infinite, sunt definite ca o continuare continuă [63] a operațiunilor corespunzătoare pe numere raționale.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\)

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\)

definit, respectiv , de secvențele fundamentale ale numerelor raționale (satisfacerea condiției cauchy ), notate ca: și , atunci suma lor este numărul definit de suma secvențelor și : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]

;

вещественное число $\gamma =\alpha +\beta$ , удовлетворяет следующему условию:

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'' )

Таким образом, сумма двух вещественных чисел $\alfa$ и $\beta$ — такое вещественное число $\gamma$ , которое содержится между всеми суммами вида $a'+b'$ с одной стороны и всеми суммами вида $a''+b''$ с другой стороны[64].

На практике для того, чтобы сложить два числа их , необходи deja заменить ianuată . За приближённое значение суммы чисел берут сумму указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные чжисные чжратку . Сложение производится по алгор vedere $\alfa$ $\beta$ $A$ $b$ $\alpha +\beta$ $a+b$ $\alfa$ $\beta$

Относительная поярешность су Comd на практике принимается наибольшее значение . $\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$

Пример сложения $\gamma =\pi +e$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
Получаем: ; $\pi \aprox 3,1416,\quad e\aprox 2,7183$
Поразрядно складываем: $\gamma =\pi +e\aprox 3,1416+2,7183\aprox 5,8599$ ;
Округляем до 3-го знака после запятой: . $\gamma \aproximativ 5.860$

Program

[65] $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Numere complexe

Numerele complexe se adună între ele prin adăugarea părților reale și imaginare [66] . Înseamnă că:

c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\

Where:, is an imaginary unit . Using the representation of complex numbers as points on the complex plane , we can give the addition of complex numbers the following geometric interpretation : the sum of complex numbers and , represented by points on the complex plane, is punct Obținut prin construirea unui paralelogram ale cărui trei vârfuri sunt situate în punctele O , A și B . Sau putem spune că C este un punct astfel încât triunghiurile OAB și CBA sunt congruente . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $a+di$ $b+ei$

Аналогично для гиперкомплексных чисел (комплексных чисел n-ой размерности): [67] $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\dots +b_{n}i_{n};$ $C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_ {2}+\puncte +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}+b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}.$

Аналогично, пользуясь тем, что: , можно складывать числа из различных множестуй мсожестой мсожесть тем. Возвращаясь к примеру с яблоками, воспользуемся тем, что множество яблок и множество груш — подмножества множества фруктов: , и таким образом можно сложить 3 яблока и 2 груши, представив их как подмножества множества фруктов: фрукта_яблока фрукта_груши фруктов. $3$ $4.56$ $3$ $3.00$ $3,00+4,56=7,56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $\{{\mbox{mere}}\}\subset \{{\text{mere}}\}\subset \{{\text{fructe}}\}~~~{\text{end}} ~~~\{{\text{pere}}\}\subset \{{\text{pere}}\}\subset \{{\text{fruct}}\}$ $3$ $+2$ ${\displaystyle=5}$

Generalizări

Există multe operații binare care pot fi considerate generalizări ale adunării numerelor reale.

Adăugare vectorială

Сумма двух векторов получается путём сложения их соответствующих координат: . Эта операция сложения — центральная в классической механике , в которой векторы рассматра и рассматра . $(a,b)$ $(0,0)$ $(a,b)$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Сложение матриц определяется для двух матриц одинакового размера. Сумма двух матриц A и B размера m × n (произносится «m на n»), записывается как A + B и представляет собой матрицу размера m × n , полученную путём сложения соответствующих элементов [68] [69] :

{\begin{aliniat}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{aliniat}}

De exemplu:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+ 0 \\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}

Множество остатков от деления на 12 состоит из двенадцати элементов; это множество наследует операцию сложения целых чисел. Множество остатков по модулю 2 имеет только два элемента; наследуемая им операция сложения известна в логике высказываний как операция « исклюечаюлия ». В геометрии сумма двух угловых мер часто определяется как сумма вещественных чисел по часто определяется как сумма вещественных чисел по модπу. Такое определение соответствует операции сложения на окружности , которая, в свою очередь, обобщается до операции сложения на многомерном торе .

Adăugare generală

В общей теории абстрактной алгебры операцией «сложения» может называться любая астацией «сложения» может называться любая астацией « сложения » Основные алгебраические системы с такими операциями сложения включают коммутативные момутативные моперациями сложения включают коммутативные момутативные моныпы моныпы моныпы .

Adăugarea în teoria mulțimilor și teoria categoriilor

O generalizare a adunării numerelor naturale este adăugarea numerelor ordinale și a numerelor cardinale în teoria mulțimilor. Aceste operații sunt două generalizări diferite ale adunării numerelor naturale la cazul transfinit . Spre deosebire de majoritatea tipurilor de operații de adunare, adunarea ordinală nu este comutativă. Adunarea numerelor cardinale este însă o operație comutativă strâns legată de operația de unire disjunctivă .

În teoria categoriei, uniunea disjunctă este tratată ca un caz special al operației de coproduct , iar coprodustele generale sunt poate cele mai abstracte dintre toate generalizările operației de adăugare. Unele coproduse, cum ar fi suma directă și suma pană , sunt denumite pentru a indica relația lor cu operația de adunare.

Сложение, так же, как и вычитание, умножение и деление, считается одной из основных основных основных основных основных основных основных основных основных основных основных

Aritmetică

Вычитание можно рассматривать как частный случай операции сложения, а именно — как прил приова . Ычычитание само по себе является соеaliz рода обратной оерац ocupate

На множестве чисел, на котором определена операция сложения, не всегда можно определена определена операция сложения; простым примером является множество натуральных чисел. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения и аднчитания однозначно определяет операцию сложения и аднчитания ивния; по этой причине аддитивную группу можно определять как множество, замкнутое относителое относитель 70 .

Умножение можно понимать как повторённое несколько раз сложение . Если терм x входит в сумму n раз, то эта сумма равна произведению n и x . Если n не является натуральным числом , произведение всё ещё может иметь смысл; например, умножение на -1 даёт противоположное число .

Сложение и умножение действительных или комплексных чисел можно взаимно заменятельных или комплексных чисел можно взаимно заменятельных или комплексных сложение

e a + b = e a e b [71] .

Это тождество позволяет умножать, используя таблицы логарифмов и сложение вручную; оно также позволяет умножать с использованием логарифмической линейки. Эта формула является также хорошим приближением первого порядка в широком контексте групп Ли, где она связывает умножение бесконечно малых элементов группы Ли со сложением векторов в соответствующей алгебре Ли [72].

Înmulțirea are chiar mai multe generalizări decât adunarea [73] . În general, operațiile de înmulțire sunt întotdeauna distributive în raport cu adunarea. Această cerință este consacrată în definiția unui inel . Proprietatea distributivă caracterizează și adunarea; extinzând parantezele din produsul (1 + 1)( a + b ) în două moduri, ajungem la concluzia că adunarea trebuie să fie comutativă. Din acest motiv, adăugarea într-un inel este întotdeauna comutativă [74] .

Деление — это арифметическая операция, отдалённо связанная со сложением. Поскольку a/b = a(b−1), деление является дистрибутивным справа относительно сложения: (a + b) / c = a / c + b / c[75]. Тем не менее, деление не является дистрибутивным слева относительно сложения; 1/ (2 + 2) не равняется 1/2 + 1/2.

См.

Это приближение становится точным при переходе к бесконечному пределу[уточнить]; если какое-либо из чисел a и b является кардинальным числом, то их кардинальная сумма в точности равна большему из двух[77]. Соответственно, операция вычитания не определена для множеств бесконечной мощности[78].

Нахождение максимума является коммутативной и ассоциативной операцией, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет упорядочение действительных чисел, сложение дистрибутивно по отношению к функции нахождения максимума таким же образом, как и умножение по отношению к сложению:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).

По ээим причина§ в тропической геометрии унжение заменяется на сложение, а сложение - на нахожжение мак и — на ахожхение макак iser.

Объединяя эти наблюдения вместе, тропическое сложение приблизительно соответствует обычному сложению при помощи логарифма:

log (a + b) ≈ max (log a, log b),

что становится более точным при возрастании основания логарифма[81]. Приближение может стать точным, если выделить константу h, названную по аналогии с постоянной Планка в квантовой механике [82], и взять "классический предел", при котором h стремится к нулю:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

В этом смысле операция нахождения максимума является деквантизацией сложения[83].

Инкрементирование, или применение функции следования — это прибавление 1 к числу.

Rezumarea este adăugarea unui număr arbitrar mare de numere, de obicei mai mult de două.

Суммирование единичной функции по конечному множеству даёт тот же результат, что и подсчёт числа элементов этого множества.

Интеярирование - это своеëо рода «сizieмирование» по континууvan или, более точно и ооооо dispoziția, по г гадкоisi .

Combinațiile liniare combină înmulțirea și însumarea; acestea sunt sume în care fiecare termen are un factor, de obicei un număr real sau complex .

Свёртка используется для сложения двух независимых случайных величин, заданных функциями распределения. В стандартном определении свёртки используются интегрирование, вычитание и умножение. В целом, свёртку уместно рассматривать как «сложение на области определения», а векторное сложение — как «сложение на области значений».

Vezi și

Note

↑ Эндертон, 1977, p. 138: «…выберите два набора K и L с мощностью K = 2 и мощностью L = 3. Наборы из пальцев удобны; в учебниках предпочитают использовать наборы из яблок.».
↑ Rudnitskaia, 2004 , p. 110.
↑ Порядок выполнения операций, 2012.
3.
↑ Девайн и соавторы, 1991, с. 263.
161.
130.
↑ Каджори, 1928.
↑ Оксфордский словарь английского языка, 2005.
↑ Viro, 2012 , p. 5.
↑ Kilpatrick, 2001 : "Inci, de exemplu, pot fi împărțite în părți dificil de distins de centimetri întregi, cu excepția faptului că apar mai scurte;
opt.
204.
↑ Так эти свойства называются в учебниках для младших классов
↑ Kaplan, 1999 , pp. 69-71.
unu.
↑ Zelvensky, [b. g.] , p. optsprezece.
↑ Black Box este un termen folosit pentru a se referi la un sistem a cărui structură internă și mecanism de funcționare sunt foarte complexe, necunoscute sau neimportante în cadrul unei sarcini date. „Metoda cutiei negre” este o metodă pentru studierea unor astfel de sisteme, atunci când în loc de proprietățile și relațiile părților constitutive ale sistemului, se studiază reacția sistemului în ansamblu la condițiile de schimbare.
↑ Ashby, 1959, Introducere în cibernetică , p.
195.
↑ Algoritmul de adăugare , p. unu.
5.
↑ Wynn, 1998 , p. cincisprezece.
17.
↑ Wynn, 1998 , p. 19.
↑ Elefanții sunt suficient de deștepți pentru a desena forme, 2008 .
↑ Smith F., 2002 , p. 130.
↑ Карпентер и др., 2014.
↑ 1 2 Henry Valerie D., 2008 , pp.
↑ Învățarea matematicii în școala primară în numere întregi, 2014 , pp. 1-8.
1-18.
99.
21.
155.
↑ Botman, 1837 , p. 31.
↑ Трайт и Рождерс, 1960, pp. 41—49.
↑ Georges, 2001 , p. unsprezece.
48.
62.
↑ См.
↑ Флинн и Оверман, 2001, pp. 2—8.
↑ Флинн и Оверман, 2001, pp. 1—9.
194.
102-103.
↑ Хоровец и Хилл, 2009, с. 679.
unu.
4-5.
patru.
37: «чевидно, что представить половину яблока леëче, че su отрицательное я suflet!».
↑ numerotarea , Fundamente teoretice pentru introducerea numerelor întregi nenegative, p. 7.
71.
3.
↑ Enderton, 1977 , p. 79.
в книize берnțeмана версию, приmisениutareю к юююо§ частично уорярячченнояму Pătru .
79: «но нам нужна одна бинарная операция +, не все ээи маленькие одно dejaтные фizieнции.».
223.
↑ Выгодский, 2003.
25.
92.
douăzeci.
104.
87.
↑ Deoarece relația de ordine liniară a fost deja introdusă pe setul de numere reale, putem defini topologia liniei reale: ca seturi deschise, luăm toate uniunile posibile de intervale ale formei $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , p. 46.
↑ График выполнен программой «3D Grapher Версия 1.2», www.romanlab.com. Входные аргументы: x=a, y=b, z=a+b
107.
304.
201.
253.
48.
178.
↑ Lee J., 2013 , p. 526.
49.
224: «чтобы это ыыолнялось, необходиutare, чтобы сложение ыло гщеisergв н н э э э э э э э э эеществов н н ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ь ьнн яяяяннннннннннннннн așa
↑ Loday, 2002 , p. 15: „Pentru un exemplu de distribuție la stânga și la dreapta, consultați articolul lui Loday, în special la pag. cincisprezece".
↑ Viro, 2012 , p. 2.
↑ эндертон, 1977 : «эндертон называет это утверждение« погающающий закон арифметики кардинальных чисеac »; оно зависит от сравни dejaости кардинальных чисел и, таким образом, о аксиомы ыооразом . ».
164.
unu.
patru.
↑ Mikhalkin, 2009 , p. 2.
↑ Litvinov, 2005 , p. 3.
patru.
49.
opt.

Literatură

in rusa

Барсуков, А. Н. С. И. Новосёлова. — М.
Я. Я. — М.
materiale: carte.
- Sankt Petersburg.
si suplimentare -ISBN 978-5-346-02573-3 .
Matematica, conținutul, metodele și sensul ei: în 3 volume / [Ed. Academia de Științe a URSS A. D. Alexandrov și alții]; științe ale URSS. Mat. - M . : Editura Acad.
- M. : Editura Moscovei.
- Ed. a II-a.
ed.
- Ed. a II-a, revizuită.
cercetare; Ed. - M . : Rus. lang.

în limba engleză

Akian, M. Metode Min-plus în teoria perturbațiilor cu valori proprii și teorema generalizată Lidskii-Vishik-Ljusternik / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert.
Austein, R. DATE-86 sau The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest: journal. 4, nr. 45.
Baez, J. Matematică Unlimited - 2001 și nu numai: de la seturi finite la Diagramele Feynman / J. Baez, J. Dolan. - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - 1236 p. -ISBN 3-540-66913-2 .
Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Dezvoltarea conceptelor și abilităților aritmetice = dezvoltarea conceptelor și abilităților aritmetice. - Routledge, 2013. - 520 p. -ISBN 0-8058-3155- X .
— ISBN 0-07-004325-6 .
- Ed. a II-a.
Iosua Bloch.
Bogomolny, Alexandru. Ce este adăugarea? (Engleză) = Ce este adăugarea?.
Bates Bothman.
Bunt, Lucas NH; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Исторические корни элементарной математики = The Historical roots of Elementary Mathematics. — ISBN 0-13-389015-5 .
Burrill, Claude.
Beckmann, S. Изучение математики в начальной школе в целых числах (англ.) = The twenty-third ICMI study: primary mathematics study : ж лорурна. - International Journal of STEM Education, 2014.
Van de Walle, John. Matematică elementară și medie: predarea dezvoltării. - a 5-a ed. - Pearson Education, 2015. - 576 p. -ISBN 0-205-38689- X .
Weaver, J. Fred. Сложение и вычитание: когнитивная точка зрения. Интерпретации числа операций и символических представлений сложения и вычитания = Adunare și scădere cognitivă:. Interpretări ale operațiilor cu numere și reprezentări simbolice ale adunării și scăderilor. 8.- ISBN 0-89859-171-6 .
Williams, Michael. История вычислительной техники = A History of Computing Technology. — Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-389917-9.
Десятичные и обыкновенные дроби: Это легко = zecimale și fracții: este ușor.
Wynn, Karen. Развитие математических навыков = The Development of Mathematical Skills. — Taylor & Francis, 1998. — 338 с. — ISBN 0-86377-816-X.
Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Verdera, Joan; Европейский конгресс математики: Барселона, Июль 10–14, 2000, Volumul I = Congresul European de Matematică: Barcelona, 10–14 iulie, 2000, Volumul I.
Henry, Valerie J .; Brown, Richard S. Изучение основных фактов первоклассниками = Fapte de bază de prima clasă: O investigație asupra predării și învățării unui standard de memorare accelerat și solicitat. - Heinemann, 2008.
Dummit, D.; Foote, R. Абстрактная алгебра = Abstract Algebra. — Wiley, 1999. — 912 с.
Математика: Исследования и приложения = Matematică: Explorări și aplicații. -ISBN 0-13-435817-1 .
Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Основы Электронных Цифровых Систем = Electronic Digital System Fundamentals.
Departamentul Armatei (1961) Manualul Tehnic al Armatei TM 11-684. Principii și aplicații ale matematicii pentru comunicații-electronică. - Cartierul General, Departamentul Armatei, 1992. - S. sectia 5.1.
Olson, M. Matematică elementară pentru profesori.
Analog Computing = Analog Computation.
Johnson, Paul. От палок и камней: личные приключения в математике = Din Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. — Science Research Associates, 1975. — 552 с. -ISBN 0-574-19115-1 .
Istoria universală a calculului: de la abac la computerul cuantic.
Joshi, Kapil D. Fundațiile matematicii discrete. - New Age International, 1989. - 748 p. - ISBN 978-0-470-21152-6 .
Математическая Вселенная = The Mathematical Universe.
Ce nu este nimic: istoria naturală a zero = nimic care este: o istorie naturală a zero (engleză) . - Oxford University Press, 1999. - 240 p. -ISBN 0-19-512842-7 .
Florian Cajori. Istoria notăților matematice = o istorie a notărilor matematice. - The Open Court Company, 1928. - 818 p.
Tâmplar, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Empson, Susan. - Heinemann, 2014. - 218 p.
- Russell & Russell, 1925. - 200 p.
Сложение: помощь детям в изучении математики = Adunarea: Ajutând copiii să învețe matematica. - National Academy Press , 2001. - 454 с. -ISBN 0-309-06995-5 .
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. - Springer Science, 1986. - 322 p.
Introducere în Smooth Manifolds. - Springer, 2013. - 631 p.
Li, Y., & Lappan, G. Математический курс обучения в школьном образовании = Curriculum de matematică în învățământul școlar. - Springer, 2013. - 663 с. - ISBN 9400775601 .
Математика затрудняет = Matematica a devenit dificilă. - World Pub, 1972. - 207 с. -ISBN 0-7234-0415-1 .
Lipschutz, S. și Lipson, M. Схема Шаумся теории и проблем линейной алгебры = Schița teoriei și problemelor algebrei liniare a lui Schaum. - Erlangga, 2001. - 424 с. - ISBN 9797815714 .
Litvinov, grigorii; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Иденпотентная математика и интервальный анализ = Idempotent matematică și analiză de intervale. - American Mathematical Soc, 2005. - 370 с. - ISBN 0821835386 .
Аритметр (англ.) = Arithmetree // Journal of Algebra : журнал.
— Princeton University Press, 2014. — 321 с.
Williams, Michael. История вычислительной техники = O istorie a tehnologiei de calcul. — 2. — IEEE Computer Society Press, 1997. — 426 с. -ISBN 0-13-389917-9 .
История устройства вычислительных машин = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. - Hermann., 1994. - 206 с.
- Ed. a II-a. - ISBN 978-3-03719-022-7 .
Введение в языки и теорию вычислений = Introducere în limbaje și în teoria calculului.
Mosley, F. Использование цифровых линий с 5-8 летними детьми = Utilizarea liniilor numerice cu copii de 5-8 ani.
Оксфордский словарь английского языка = Oxford English Dictionary (англ.) .
Ordinea operațiunilor (engleză) = lecții de comandă a operațiunilor // Algebrahelp: Jurnal. - 2012. Arhivat la 2 noiembrie 2012.
James Randerson. У слонов достаточно ума, чтобы рисовать фигуры (англ.) = Elephants have a head for figures : журнал. — Theguardian, 2008. — 21 августа.
— Cambridge University Press, 2006. — 437 с.
Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis.
Yeo, Sang-Soo, et al., eds. Алгоритмы и архитектуры для параллельной обработки = Algorithms and Architectures for Parallel Processing. — Springer, 2010. — 574 с. — ISBN 3642131182.
- Ed. a 3-a.
Smith, Frank. Стеклянная стена: почему математика может показаться трудной = The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. — Teachers College Press, 2002. — 163 с. — ISBN 0-8077-4242-2.
Rees C. Исследование основной математики = A Survey of Basic Mathematics.
Исчисление: раннее трансцендирование = Calculus: Early Transcendentals.
Ce stiu eu? = Le Calcul Mecanique. Que sais-je?
Rogers, A. Основы аналоговых компьютеров = Basics of Analog Computers.
Ferreirós, José. Лабиринты мысли: История теории множеств и её роль в современной математике = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — Birkhäuser, 2013. — 440 с. — ISBN 0-8176-5749-5.
Математика для учителей начальной школы = Matematică pentru profesorii din școala elementară.
Flynn, M.; Oberman, S. Передовые компьютерные арифметические конструкции = Advanced Computer Arithmetic Design. — Wiley, 2001. — 325 с. — ISBN 0-471-41209-0.
Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Tinerii matematicieni la locul de muncă: construirea simțului, adunării și scăderii numerelor. - Heinemann, 2001. - 193 p. — ISBN 0-325-00353-X .
Hempel, CG Filosofia lui Carl G. Hempel : studii în știință, explicație și raționalitate . - Oxford University Press, 2000. - 464 p. — ISBN 0195343875 .
Horowitz, P.; - ISBN 0-521-37095-7 .
Schwartzman, Steven. Cuvinte matematice: un dicționar etimologic de termeni matematici utilizați în engleză = The Words of Mathematics: un dicționar etimologic de termeni matematici folosit în engleză. - MAA, 1994. - 261 p. - ISBN 0-88385-511-9 .
Schmidt, W., Houang, R. și Cogan, L. Learning Sequence = A coherent curriculum : journal .
Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Adunarea și scăderea fracțiilor la vârsta de 5 - 8 ani = Adding and Subtracting Fractions, Grades 5 - 8. - Carson-Dellosa, 2013. - 64 p. — ISBN 162223006X .
Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves Foss. Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Festival = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. - Springer, 1995. - 400 p.
Enderton, Herbert. Elements of Set Theory = Elements of Set Theory. - Editura Gulf Professional, 1977. - 279 p. -ISBN 0-12-238440-7 .

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Mare norvegian Rusă mare Britannica (online) Rodie
În cataloagele bibliografice	BNF: 11976283t GND: 4296282-1 J9U: 987007292953205171 LCCN: sh85000817 NKC: ph898518