Lema Shapley-Folkman

Lema Shapley-Folkman [aprox. 1] leagă două operații de geometrie convexă — adunarea Minkowski și corpul convex . Lema are aplicații într-un număr de discipline, inclusiv economia matematică , optimizarea și teoria probabilității [2] . Lema și rezultatele aferente ne permit să dăm un răspuns afirmativ la întrebarea „Este suma mai multor mulțimi apropiată de starea de convexitate [3] .

Lema este numită după Lloyd Shapley și John Folkmanși a fost publicat pentru prima dată în lucrarea economistului Ross Starr. În 2012, Shapley, împreună cu Alvin Roth , au câștigat Premiul Nobel pentru Economie [aprox. 2] . Lucrarea lui Starr, în care a apărut prima mențiune a lemei, a fost publicată în 1969. Apoi economistul a colaborat cu celebrul om de știință american Kenneth Arrow și s-a ocupat de problema existenței unor echilibre economice [1] . În lucrarea lui Starr s-a realizat un studiu al economiei , în care unele relații exprimate geometric care aveau proprietatea de neconvexitate au fost înlocuite cu cele mai apropiate omoloage convexe - coji convexe . Starr a demonstrat că o astfel de economie „convexă” are echilibre care sunt foarte apropiate de cvasi-echilibrele economiei originale. Mai mult, omul de știință a demonstrat că fiecare cvasi-echilibru are o serie de caracteristici optime ale unui echilibru adevărat, care s-au găsit în economiile convexe. Lucrările lui Shapley, Folkman și Starr au arătat că principalele rezultate ale economiei convexe sunt bune aproximări ale economiei cu elemente neconvexe. Lema sugerează că , dacă numărul de sume de mulțimi depășește dimensiunea spațiului vectorial D , atunci găsirea covoarelor convexe („ov-convexitate”) este necesară doar pentru D sumandole [1] . Economistul francez Roger Gesnery scria: „Obținerea acestor rezultate într-o formă generală a fost una dintre principalele realizări ale teoriei economice postbelice ” [4] .

Tema seturilor neconvexe în economie a devenit subiect de cercetare de către mulți alți laureați ai Premiului Nobel [aprox. 2] . La această problemă au lucrat Paul Samuelson (Premiul 1970), Kenneth Arrow (1972), Tjalling Koopmans (1975), Gerard Debreux (1983), Robert Aumann (2005), Paul Krugman (2008) . Leonid Kantorovich (1975), Robert Solow (1987), Leonid Gurvich (2007) au tratat subiecte conexe ale mulțimilor convexe . În teoria optimizării , lema Shapley-Folkman a fost folosită pentru a explica soluția cu succes a problemelor de minimizare a sumelor mai multor funcții [5] [6] , precum și pentru a demonstra „ legea mediilor ” pentru mulțimi aleatoare (această teoremă a fost dovedit doar pentru mulțimi convexe) [7] .

Categorii luate în considerare

Lema se bazează pe câteva categorii matematice și rezultate ale geometriei convexe.

Spațiu vectorial real

O structură algebrică se numește spațiu vectorial , pentru elementele cărora sunt definite două operații - adunarea și înmulțirea cu un număr (numit „ scalar ” ). În acest caz, operațiile sunt supuse opt axiome: $V$

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , pentru orice ( comutativitatea adunării ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \în V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , pentru orice ( asociativitatea adunării ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \în V$
există un element astfel încât pentru orice ( existența unui element neutru în ceea ce privește adăugarea ), în special, nu este gol; $\theta \în V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \în V$ $V$
pentru orice există un element astfel încât ( existența unui element opus în raport cu adunarea ). $\mathbf {x} \în V$ $-\mathbf {x} \în V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\lambda (\mu {\mathbf {x}})=(\lambda \mu ){\mathbf {x}}$ ( asociativitatea înmulțirii cu un scalar );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitaritate: înmulțirea cu un scalar neutru în multiplicare păstrează un vector ).
$(\lambda +\mu ){\mathbf {x}}=\lambda {\mathbf {x}}+\mu {\mathbf {x}}$ ( distributivitatea înmulțirii cu un vector în raport cu adunarea scalarilor );
$\lambda ({\mathbf {x}}+{\mathbf {y}})=\lambda {\mathbf {x}}+\lambda {\mathbf {y}}$ ( distributivitatea înmulțirii cu un scalar în raport cu adunarea vectorială ),

unde este o mulțime nevidă de elemente ( „vectori” ) ale spațiului dat [8] . $V$

O caracteristică importantă a unui spațiu vectorial este dimensiunea , care caracterizează numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului. Aceste elemente liniar independente formează baza spațiului vectorial [9] .

Set convex

O mulțime nevidă într-un spațiu vectorial real este considerată convexă dacă segmentul care leagă oricare două puncte este o submulțime [10] . De exemplu, mulțimea neconvexă de numere întregi {0, 1, 2} este o submulțime a intervalului [0, 2], care are proprietatea de convexitate. Cercul este o mulțime convexă, iar cercul nu poate fi considerat ca atare, deoarece nu toate punctele segmentului vor fi simultan puncte ale mulțimii: . Mulțimea goală este considerată a fi convexă fie prin definiție [11] , fie pe baza principiului adevărului gol . $Q$ $Q$ $Q$ $\glonţ$ $\circ$ $\oslash$ [aproximativ. 3] .

Formal, o mulțime convexă poate fi definită după cum urmează:

O mulțime este convexă dacă pentru orice puncte și orice număr real este condiția $Q$ $v_{0}$ $v_{1}\în Q$ $\lambda \in[0,1]$

(1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}\în Q

O combinație convexă a unui set este o medie ponderată definită de formulă

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}

in conditii

{\begin{cases}\lambda _{i}\geqslant 0,\\\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}=1.\end{cases}}

Folosind metoda inducției matematice , se poate stabili că o mulțime este convexă dacă și numai dacă fiecare combinație convexă aparține mulțimii în sine [12] [13] [14] : $Q$ $Q$

\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}v_{i}\în Q

Definiția unei mulțimi convexe presupune că intersecția a două mulțimi convexe este întotdeauna convexă. Acest lucru implică, de asemenea, că intersecția unei familii de mulțimi convexe este de asemenea convexă. În special, o pereche de mulțimi disjunctive are o intersecție a mulțimii goale, care, după cum sa stabilit mai sus, este convexă [11] .

Cocă convexă

Corpul convex al unei mulțimi este cea mai mică mulțime convexă care conține ca submulțime. Cea mai mică mulțime este cel mai mic element în ceea ce privește înglobarea mulțimilor, adică o mulțime convexă care conține o figură dată, astfel încât să fie conținută în orice altă mulțime convexă care conține o figură dată. Deci, este intersecția tuturor mulțimilor convexe care acoperă . De exemplu, învelișul convex al mulțimii {0, 1} este segmentul dreptei numerice [0, 1] care conține numerele întregi 0 și 1 [15] . $ConvQ$ $Q$ $Q$ $ConvQ$ $Q$

Adăugarea Minkowski

Suma Minkowski a mulțimilor nevide și într-un spațiu vectorial real este mulțimea constând din sumele tuturor elementelor posibile ale sumelor mulțimilor [16] [17] : $Q_1$ $Q_{2}$ $Q_{3}$

$Q_{3}=\left\{\,q_{3}\mid q_{3}=q_{1}+q_{2},q_{1}\in Q_{1},q_{2}\in Q_ {2}\,\dreapta\}.$

Deci, ca rezultat al operației, se formează o sumă, care include toate sumele posibile de elemente ale primului și celui de-al doilea set. De exemplu, dacă se adaugă o mulțime formată din zero și unu , atunci rezultatul va fi o mulțime care include zero, unu și doi [15] :

\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.

Conform metodei de inducție matematică, suma Minkowski a unei familii finite de mulțimi nevide în condițiile $Q_{n}$

{\begin{cases}Q_{n}\neq \varnothing ,\\1\leqslant n\leqslant N.\\\end{cases))

este o mulțime formată prin adăugarea în funcție de elemente a mulțimilor sumand [18] [19] :

\sum Q_{n}=\{\sum q_{n}:q_{n}\in Q_{n}\}

Suma unei mulțimi și a unei mulțimi care conține doar un element zero este egală cu : $Q$ $\{0\}$ $Q$

Q+\{0\}=Q

Corpul convex al sumei Minkowski

Operația de adunare Minkowski are o proprietate utilă în mulțimile „convexe”, adică în găsirea învelișurilor lor convexe. Pentru orice mulțime și într-un spațiu vectorial real, învelișul convex al sumei lor Minkowski este egală cu suma Minkowski a învelișurilor lor convexe: $Q_1$ $Q_{2}$

Conv(Q_{1}+Q_{2})=ConvQ_{1}+ConvQ_{2}

Folosind inducția matematică, o afirmație similară este derivată pentru o mulțime finită de mulțimi [20] [21] :

Conv(\sum Q_{n})=\sum Conv(Q_{n})

Lema

Identitate

Conv(\sum Q_{n})=\sum Conv(Q_{n})

ne permite să stabilim că, dacă un punct aparține învelișului convex al sumei de mulțimi Minkowski, atunci el aparține și sumei învelișurilor convexe ale sumelor mulțimilor: $v$ $N$

v\in Conv(\sum Q_{n})\Rightarrow v\in \sum Conv(Q_{n})

Din această implicație și definiția sumei Minkowski rezultă că orice punct aparținând mulțimii poate fi reprezentat ca suma unor puncte aparținând învelișurilor convexe ale sumelor mulțimilor: $Conv(\sum Q_{n})$ $q_{n}$

{\begin{cases}v=\sum q_{n},\\v\in Conv(\sum Q_{n}),\\q_{n}\in Conv(Q_{n}).\\\end {cazuri}}

În această reprezentare, mulțimea punctelor de sumă depinde de punctul de sumă ales . $q_{n}$ $v$

Lema Shapley-Folkman

Să luăm reprezentarea indicată a punctului . $v=\sum q_{n}$

Dacă dimensiunea spațiului vectorial este strict mai mică decât numărul de sume ale mulțimilor

D<N

apoi, conform lemei Shapley-Folkman, „convexitatea” este necesară numai pentru sumandu-le mulţimilor (mulţimea lor specifică depinde de alegerea punctului ) [22] . Acest lucru permite exprimarea punctului după cum urmează: $D$ $v$ $v$

v=\sum _{{1\leq {d}\leq {D}}}{q_{d}}+\sum _{{D+1\leq {n}\leq {N}}}{q_{ n}}

v\in {\sum _{{1\leq {d}\leq {D))}{\operatorname {Conv}{(Q_{d)))))+\sum _{{D+1\leq { n }\leq {N}}}{Q_{n}}}.

Cu alte cuvinte, suma punctelor aparține învelișului convex al sumei mulțimilor (sau unui număr mai mic de mulțimi), iar suma punctelor aparține sumei secțiunilor însumate rămase. $q_{d}$ $D$ $q_{n}$

Să ilustrăm conținutul lemei cu cel mai simplu exemplu: fiecare punct al mulțimii convexe [0, 2] poate fi reprezentat ca suma unui număr întreg din mulțimea neconvexă {0, 1} și a unui număr real din mulţime convexă [0, 1] [15] .

Dimensiune

Lema ne permite, de asemenea, să tragem concluzii opuse , referitoare nu la mulțimi, ci la dimensiunea unui spațiu vectorial. Dacă într-un spațiu vectorial real de dimensiuni finite lema este valabilă pentru un număr natural și pentru niciun număr mai mic de , atunci dimensiunea spațiului vectorial este [23] . Desigur, această afirmație este relevantă numai pentru spațiile vectoriale cu dimensiuni finite [24] [25] . $D$ $D$ $D$

Teorema Shapley-Folkman și corolarul Starr

Shapley și Folkman au folosit lema pentru a-și demonstra teorema, care a stabilit o limită superioară distanteîntre suma Minkowski și corpul său convex, suma „convexă”. Teorema Shapley-Folkman afirmă că pătratul distanței euclidiene dintre orice punct al sumei „convexe” și punctul corespunzător al sumei inițiale nu depășește valoarea sumei pătratelor celor mai mari raze ale cercurilor circumscrise cca . multimile (sfera circumscrisa este cea mai mica sfera care include multimea) [26] . Valoarea unei astfel de limite nu depinde de numărul de sume ale mulțimilor dacă [27] . Prin urmare, distanța este zero dacă și numai dacă suma este ea însăși o mulțime convexă. Când limita superioară depinde de dimensiunea , forma seturilor de sumare și nu depinde de numărul de sume ale mulțimilor [2] . $Conv(\sum Q_{n})$ $\sum Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$ $N$ $N>D$ $N>D$ $D$

Raza cercului circumferitor depășește raza interioară a mulțimii sau, mai rar, o egalează [28] . Raza interioară este cel mai mic număr , astfel încât pentru orice punct există un cerc de rază , care conține acele puncte care înconjoară centrul cercului (adică ) [29] . Raza interioară este o caracteristică a dimensiunilor neconvexităților mulțimii. Formal, raza interioară a unei mulțimi poate fi definită după cum urmează [29] [aprox. 4] : $r$ $q\in Conv(Q_{n})$ $r$ $Q_{n}$ $q$

r(Q_{n})=\sup \,\{q\in Conv(Q_{n})\}\inf \,\{T\subset Q_{n}\}rad(T).

Corolarul lui Starr la teoremă a stabilit o nouă limită superioară (mai mică decât cea a lui Shapley și Folkman) între sumă și suma „convexă”:

conform corolarului lui Starr, pătratul distanței euclidiene dintre orice punct și punctul corespunzător al mulțimii este limitat de suma pătratelor celor mai mari raze interioare ale mulțimilor [28] [30] . $v\in Conv(\sum Q_{n})$ $\sum Q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Pentru a simplifica prezentarea teorieimăsura distanței propusă de Starr se numește non- convexity ( engleză non-convexity ) [aprox. 5] seturi. Granița impusă de corolarul lui Starr neconvexității setului de sume depinde doar de cele mai mari raze interioare ale mulțimilor de sume și nu depinde de numărul de sume la . $D$ $N$ $N>D$

Submulțimea termenilor ( ), mai precis, forma lor , determină limita superioară a distanței dintre valoarea medie a mulțimilor după Minkowski $D$ $N>D$ $N$

{\frac {1}{N}}(Q_{1}+Q_{2}+\ldots +Q_{n})

iar carcasa convexă a acestui mijloc. Deoarece N tinde spre infinit , distanța maximă tinde spre zero (pentru sumanzi de mărime uniform mărginită ) [2] .

Dovada

Dovada originală a lemei a stabilit doar certitudinea existenței unei astfel de reprezentări a punctelor, în timp ce algoritmul de găsire a acestora nu a fost prezentat în demonstrație. Demonstrări similare au fost propuse de Arrow și Hahn [31] , Cassels [32] , Schneider [33] și alții. Dovada abstractă și elegantă prezentată de Ivar Ekeland — opera sa a fost completată ulterior de Artstein [5] [34] . Unele dovezi nu au fost publicate [3] [35] . În 1981, Starr a publicat o metodă iterativă pentru calcularea reprezentării unui punct de sumă dat. Cu toate acestea, dovada prezentată în lucrare a fost mai puțin puternică decât cea originală [36] .

Dovada lui Ekeland [5] [aprox. 6]

Fie , și toate minusurile aparțin mulțimii . $v=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}$ $D$ $Q_{n}$

Să definim o mapare care acționează de la până la după cum urmează: $\Phi$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$ ${\mathbb {R}}^{D}$

\Phi (q_{n})=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}

Prin definiție, . $\sum _{{n}}^{{}}Q_{n}=\Phi (\prod _{{n}}^{{}}Q_{n})$

Din liniaritate rezultă că $\Phi$

Conv(\Phi (\prod _{{n}}^{{}}Q_{n}))=\Phi (Conv(\prod _{{n}}^{{}}Q_{n}))= \Phi (\prod _{{n}}^{{}}Conv(Q_{n}))

Conv(\sum _{{n}}^{{}}Q_{n})=\sum _{{n}}^{{}}Conv(Q_{n}).

Rețineți că dacă și numai dacă aparține și învelișului convex al unui număr finit de puncte din mulțime . Conform teoremei lui Carathéodory a corpului convex , totuși, acest rezultat nu va fi folosit în această demonstrație. Așa că ne putem imagina așa: $v\in Conv(\sum _{{n}}^{{}}Q_{n})$ $v$ $m$ $\sum _{{n}}^{{}}Q_{n}$ $m\leqslant D+1$ $v$

v=\sum _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}y_{p},

Unde

y_{p}\in \sum _{{n}}^{{}}Q_{n},

\alpha _{p}>0,\sum _{{p=1}}^{{m}}\alpha _{p}=1.

La rândul său, oricine poate fi reprezentat ca $y_{p}$

y_{p}=\sum _{{n}}^{{}}y_{{np}},y_{{np}}\în Q_{n}.

Să notăm m-mul ca . Este evident că pentru fiecare $\{y_{{np}}\}_{{1\leqslant p\leqslant m}}$ $F_{n}$ $p$

y_{p}\in \sum _{{n}}^{{}}F_{n},

în care

v\in Conv(\sum _{{n}}^{{}}F_{n}).

Astfel, am înlocuit fiecare mulțime cu o submulțime finită de . Pentru scopuri suplimentare, rețineți că sunt politopi în , iar produsul este un politop în . $Q_{n}$ $F_{n}$ $Conv.(F_{n})$ ${\mathbb {R}}^{D}$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$

Să notăm pre -imaginea elementului când este afișată cu litera . Suntem interesați de subsetul : $v$ $\Phi$ $H$ $A\in {\mathbb {R}}^{{Dn}}$

A=H\cap Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})=\{q_{n}|q_{n}\in Conv(F_{n}),\sum _ {{n}}^{{}}q_{n}=v\}.

Presupunerea înseamnă că nu este gol. Mai mult, deoarece există un politop și este un subspațiu afin al lui , atunci este și un politop. Să fie unul dintre vârfurile sale. Ca și înainte, , unde la . Vom demonstra, de asemenea, că toate punctele, cu excepția celor mai multe puncte, sunt vârfuri . Deoarece orice vârf trebuie să aparțină lui , demonstrația acestei afirmații va servi ca o dovadă a lemei în ansamblu. $v\in \sum _{{n}}^{{}}Conv(F_{n})$ $A$ $Conv(\prod _{{n}}^{{}}F_{n})$ $H$ $A$ $q_{n}$ $v=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}$ $q_{n}\in Conv(F_{n})$ $q_{n}\în A$ $q_{n}$ $D$ $Conv.(F_{n})$ $Conv.(F_{n})$ $F_{n}$

Să presupunem că declarația specificată este falsă și că există puncte care nu sunt vârfuri . Să le notăm $D+1$ $q_{n}$ $F_{n}$

q_{n},\dots ,q_{{D+1}}.

Pentru fiecare există un vector și un număr astfel încât $q_{n}$ $z_{n}\in {\mathbb {R}}^{D}$ $\varepsilon_{n}$

\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).

Denota

\varepsilon =\min _{{1\leqslant n\leqslant D+1}}\varepsilon _{n}.

Deci, dacă există vectori în spațiul dimensional , există o dependență liniară între ei . Prin urmare, nu există toate numerele egale cu zero astfel încât $D+1$ $D$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{{D+1}}$

\sum _{{n}}^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=0.

Putem presupune că la . Acum definim două puncte de apartenență și : $|\alpha _{n}|\leqslant 1$ $1\leqslant n\leqslant D+1$ ${\mathbb {R}}^{{Dn}}$ $q_{n}'$ $q_{n}''$

q_{n}'=q_{n}+\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}''=q_{n}-\varepsilon \alpha _{n}z_{n},1\leqslant n\leqslant D+1,

q_{n}'=q_{n}=q_{n}''

in alte cazuri.

Rezultă că și aparțin . In afara de asta, $\forall t\in [-\varepsilon _{n},\varepsilon _{n}],q_{n}+tz_{n}\in Conv(F_{n}).$ $q_{n}'$ $q_{n}''$ $Conv.(F_{n})$

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'+\varepsilon \sum _{{n=1}} ^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v,

\sum _{{n}}^{{}}q_{n}''=\sum _{{n}}^{{}}q_{n}'-\varepsilon \sum _{{n=1} }^{{D+1}}\alpha _{n}z_{n}=v.

Prin urmare, punctele și aparțin . În același timp, evident $q_{n}'$ $q_{n}''$ $A$

q_{n}=1/2q_{n}'+1/2q_{n}''.

Contrar presupunerii, nu poate fi un top . $q_{n}$ $A$

Aplicații

Lema permite cercetătorilor să extrapoleze rezultate relevante pentru sumele Minkowski de mulțimi convexe la alte sume de mulțimi nu neapărat convexe. Instrumentele lui Shapley, Folkman și Starr au găsit aplicații în economie , optimizare matematică și teoria probabilității .

Economie

Multe relații economice, dependențe și procese pot fi modelate prin prezentarea interpretării lor geometrice. Prin urmare, dacă o mulțime care are sens economic se pretează la operația de adunare Minkowski, atunci lema, teorema și consecințele lor devin relevante pentru modelul acestui fenomen economic. Un exemplu de astfel de set este curba indiferenței , un model microeconomic simplu, dar important de consum și utilitate .

În teoria microeconomică, se presupune că preferințele consumatorilor sunt definite pe întregul spațiu al unor „coșuri” , adică seturi definite cantitativ de diferite bunuri: consumatorii au cunoștințe exacte despre preferințele și caracteristicile lor cantitative. Fiecare coș este reprezentat de un vector nenegativ , ale cărui coordonate indică cantitatea fiecărui produs luat în considerare. Pe acest set de coșuri sunt determinate curbe de indiferență pentru fiecare consumator . Fiecare curbă reprezintă locul punctelor corespunzătoare acelor coșuri pe care consumatorul le consideră echivalente ca utilitate . Cu alte cuvinte, cumpărătorul experimentează indiferență față de ce coș (dintre cele situate pe aceeași curbă) va primi. În acest model, se presupune că o singură curbă de indiferență poate trece printr-un anumit coș (punct). Posibilitățile financiare ale cumpărătorului sunt limitate de linia bugetară (în spațiu bidimensional). Astfel, decizia optimă pentru consumator este să aleagă coșul care se află în punctul în care linia bugetară atinge o curbă de indiferență. Setul de preferințe al unui consumator este unirea unei curbe de indiferență și a tuturor punctelor situate deasupra graficului său (adică setul unor coșuri la fel de valoroase pentru consumator și toate celelalte coșuri mai valoroase). O relație de preferință a consumatorului este convexă dacă acest set de preferințe este convex [37] [38] .

Deci, dacă se găsește soluția optimă pentru consumator, atunci linia bugetară este linia dreaptă de referință a celei mai bune curbe de indiferență disponibilă. Poziția liniei bugetare este determinată de vectorul preț și de vectorul venit al cumpărătorului (mai precis, vectorul venit și înclinația spre consum ).). Prin urmare, setul de coșuri optime este o funcție a prețurilor, iar această funcție se numește cererea consumatorului . Dacă setul de preferințe este convex, atunci cererea consumatorului este, de asemenea, un set convex la orice preț. Un exemplu de funcții de cerere convexe sunt coșul optim unic și segmentul coșurilor optime [39] .

Relație de preferință neconvexă

Cu toate acestea, dacă setul de preferințe este neconvex, atunci la unele prețuri se formează o astfel de linie bugetară care permite alegerea unuia dintre cele două coșuri optime izolate. De exemplu, un îngrijitor al grădinii zoologice care dorește să cumpere un leu sau un vultur (care sunt evaluați la fel) nu poate cumpăra o parte dintr-un animal și o parte din celălalt - setul de preferințe nu este convex. Astfel, consumatorul refuză să cumpere o combinație strict convexă de bunuri în favoarea cumpărării unui singur produs într-o cantitate arbitrară [40] .

Dacă setul de preferințe al consumatorului este neconvex, atunci la anumite prețuri funcția de cerere a consumatorului nu este un spațiu conectat . Harold Hotelling a vorbit despre cererea incoerentă:

Dacă, luând în considerare cumpărarea curbelor de indiferență, presupunem că acestea sunt ondulate, convexe în unele locuri și concave în altele, vom concluziona invariabil că numai porțiunile convexe pot fi percepute ca având vreo semnificație, deoarece celelalte sunt în esență neobservabile. Ele pot fi detectate doar de lacune care pot apărea în cerere odată cu modificarea raporturilor prețurilor; [ruperile] duc la salturi ascuțite în punctul de contact „de-a lungul abisului”, care apar atunci când linia [tangențială] se rotește. Însă, deși aceste goluri pot indica existența unor „pânzări”, ele nu își vor putea caracteriza în principiu profunzimea. Concavele curbelor de indiferență și generalizările lor multidimensionale, dacă există, vor rămâne pentru totdeauna într-o obscuritate incomensurabilă [41] .

Text original (engleză)[ arataascunde] Dacă curbele de indiferență pentru achiziții sunt considerate ca având un caracter ondulat, convexe față de origine în unele regiuni și concave în altele, suntem forțați să concluzionam că numai porțiunile convexe față de origine pot fi considerate ca având vreo importanță. , deoarece celelalte sunt în esență neobservabile. Ele pot fi detectate numai de discontinuitățile care pot apărea în cerere cu variația raportului preț, conducând la o săritură bruscă a unui punct de tangență peste o prăpastie atunci când linia dreaptă este rotită. Dar, deși astfel de discontinuități pot dezvălui existența prăpastiei, ele nu le pot măsura niciodată adâncimea. Porțiunile concave ale curbelor de indiferență și generalizările lor multidimensionale, dacă există, trebuie să rămână pentru totdeauna într-o obscuritate de nemăsurat.

Dificultatea de a studia preferințele neconvexe a fost remarcată de Herman Vold [42] [43] și Paul Samuelson . Acesta din urmă, conform Divert [44] , a scris că non-bulgările sunt „învăluite în întunericul etern” [aprox. 7] [45] .

Cu toate acestea, o serie de publicații în 1959-1961 în The Journal of Political Economyaruncă lumină asupra problemei preferințelor neconvexe. Farrell [46] [47] [48] , Baytor [49] [50] , Koopmans [51] [52] și Rotenberg [53] [54] au devenit principalii cercetători în acest domeniu . În special, problema convexității aproximative a sumelor mulțimilor neconvexe a fost luată în considerare în lucrarea lui Rotenberg [55] . Articolele în JPE i- au împins pe Shapley și Martin Shubikpentru a scrie o lucrare care a descris relațiile „convexe” de preferințe ale consumatorilor. Conceptul de „echilibru aproximativ” a fost menționat și acolo pentru prima dată [ 56 ] . Articolul lui Shapley și Shubik, precum și publicațiile anterioare, l-au inspirat pe Robert Aumann să inventeze termenul de „ cvasi-echilibru ” [57] .

Raportul Starr din 1969 și economia modernă

În timp ce studia la Universitatea Stanford, Ross Starr a urmat un curs special de economie și matematică de complexitate avansată sub îndrumarea lui Kenneth Arrow . Arrow, care în trecut a alcătuit o bibliografie adnotată a publicațiilor pe tema nonconvexității în economie, a transmis-o unui tânăr coleg [58] . Starr și-a petrecut munca semestrului studiind echilibrele generale ale unei economii fictive în care relațiile de preferințe neconvexe au fost înlocuite cu corpurile lor convexe. Cererea agregată în această economie „convexă” a fost suma învelișurilor convexe ale funcțiilor cererii de consum la fiecare preț. Ideile lui Starr i-au interesat pe Shapley și Folkman: în cadrul corespondenței private, oamenii de știință au demonstrat lema și teorema care le-au primit numele, iar apoi aceste rezultate au fost publicate în lucrarea lui Starr din 1969 [1] .

Starr a reușit să constate că, dacă numărul agenților de pe piață depășește „dimensiunea” mărfurilor (numărul de bunuri schimbate), atunci echilibrele generale ale economiei „convexe” sunt foarte apropiate de cvasi-echilibrele economiei originale. . Economistul a obținut o dovadă riguroasă că într-o astfel de situație există cel puțin un cvasi-echilibru de preț p opt , care are următoarele proprietăți:

la fiecare preț, toți consumatorii pot alege coșurile optime (preferate și accesibile din punct de vedere al bugetului),
la prețurile p opt , piața pentru fiecare produs dintr-o economie „convexă” este în echilibru (oferta și cererea sunt egale),
pentru fiecare cvasi-echilibru, prețurile contribuie la o compensare aproape completă a pieței: valoarea limitei superioare a distanței dintre mulțimea echilibrelor economiei „convexe” și mulțimea cvasi-echilibrelor economiei originale este determinată de corolarul Starr [59] [60] .

Starr a descoperit asta

în general, discrepanța dintre amplasarea într-o economie fictivă [generată prin găsirea învelișurilor convexe ale tuturor ansamblurilor de consum și producție] și o locație într-o economie reală este mărginită indiferent de numărul agenților economici [61] .

Text original (engleză)[ arataascunde] în ansamblu, discrepanța dintre o alocare în economia fictivă generată de [luând învelișurile convexe ale tuturor seturilor de consum și producție] și o anumită alocare în economia reală este limitată într-un mod care este independent de numărul de agenți economici .

Rezultatele lui Shapley, Folkman și Starr au fost aplicate și în alte ramuri ale științei economice: microeconomie [62] [63] , teoria echilibrului general [59] [64] [65] [66] [67] , economia sectorului public [ 68] (în includerea în teoria eșecurilor pieței [69] ), precum și în teoria jocurilor [70] , economia matematică [71] și matematica aplicată [72] [73] [74] [75] . Realizările lui Shapley, Folkman și Starr au dat impuls introducerii în metodologia economică a teoriei măsurii mulțimilor și a teoriei integrării [76] .

Optimizare matematică

Optimizarea neliniară se bazează pe următoarele concepte de bază:

un grafic al funcțieieste un set de perechi de argumentși valoare funcției: $f$ $X$ $f(x)$

grafic(f)=\{x,f(x)\},

Epigraful unei funcții reale este mulțimea de puncte situate deasupra graficului funcției: $f$

Epi(f)=\{x,u;f(x)<u\},

o funcție reală este convexă dacă epigraful ei este o mulțime convexă [77] .

De exemplu, funcțiile și sunt convexe, dar funcția (sinusoida) nu are o astfel de proprietate (sinusoida nu este convexă pe intervalul ). $f(x) = x^2$ $g(x)=|x|$ $h(x)=sinx$ $[0,\pi ]$

Probleme de optimizare aditivă

În multe probleme de optimizare , funcția obiectiv este separabilă , adică este suma mai multor sume de funcții, fiecare având propriul argument: $f(x)$

f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum f_{n}(x_{n})

În special, funcțiile obiectiv din problemele de programare liniară sunt separabile.

Problemele de optimizare pot fi „convexe” prin găsirea de corpuri convexe de sume de funcții. Soluția optimă pentru o astfel de problemă este limita șirului [aprox. 8] puncte cu coordonate aparținând mulțimii [5] . Punctul optim, conform lemei, este suma punctelor graficelor termenilor „convexe” ai funcțiilor și un anumit număr de puncte ale graficelor funcțiilor originale. $(x_{j},f(x_{j}))$ $\sum Conv(Graph(f_{n}))$ $D$

Această analiză a fost publicată pentru prima dată de Ivar Ekelandîn 1974. Matematicianul a încercat apoi să explice de ce problemele separabile cu un număr mare de termeni sunt convexe atunci când termenii inițiali nu sunt convexe. Cu câteva luni mai devreme, omul de știință francez Claude Lemarechala aplicat cu succes metode iterative de minimizare convexă la rezolvarea problemelor neconvexe. Soluția problemei de minimizare duală neliniară nu conține întotdeauna informații utile pentru rezolvarea problemei directe (cu toate acestea, pentru problemele directe convexe care satisfac condițiile de regularitate , nu este cazul). Problema lui Lemarechal a fost separabilă aditiv și fiecare funcție sumand a fost neconvexă. Cu toate acestea, soluția problemei duale a dat o aproximare destul de precisă a valorii optime pentru problema directă [78] [79] [80] [5] [81] . Analiza lui Ekeland a clarificat motivele succesului metodelor de minimizare convexe aplicate problemelor mari și separabile cu sume de funcții neconvexe. Ekeland și alții au susținut că separabilitatea aditivă a făcut posibil să se considere problema ca fiind aproximativ convexă dacă termenii nu sunt convexi. Un punct de cotitură în acest domeniu de cercetare a fost apelul matematicienilor la lema Shapley-Folkman [81] [5] [82] [83] . Apariția lemei a stimulat utilizarea metodelor de minimizare convexe pentru rezolvarea altor clase de probleme cu funcții separabile [5] [6] [73] [84] .

Teoria probabilității și măsurării

Mulțimile convexe sunt adesea studiate în cadrul teoriei probabilităților . Fiecare punct aparținând învelișului convex al unei mulțimi nevide într-un spațiu finit-dimensional este valoarea de așteptare a unui vector aleator simplu care ia valori pe mulțime (asta reiese din lema lui Carathéodory [Nota 9]) . pentru o mulțime nevidă, setul de valori de așteptare ale valorilor unui vector aleator simplu este echivalent cu învelișul convex al unei mulțimi - prin urmare, lema poate fi aplicată și în această zonă.85 Pe pe de altă parte, teoria probabilității în sine are instrumente pentru studierea mulțimilor convexe în general și a lemei în particular.86 Rezultatele lui Shapley, Folkaman și Starr au fost utilizate pe scară largă în teoria probabilistică a mulțimilor aleatoare. $Q$ $Q$ $Q$ $Q$ [87] , de exemplu, pentru a demonstra legea numerelor mari [7] [88] , teorema limitei centrale [88] [89] și teoria abaterilor mari[90] . Pentru a evita presupunerea că toate mulțimile aleatoare sunt convexe, rezultatele lui Shapley, Folkman și Starr au fost folosite pentru a demonstra aceste teoreme limită ale teoriei probabilităților .

Lema are aplicații și în acele secțiuni ale teoriei măsurii care nu sunt legate de probabilitate, de exemplu, în teoriile volumului și măsurării vectoriale .. Lema face posibilă rafinarea teoremei Brunn-Minkowski , care stabilește raportul dintre volumul unei sume-multimi și suma volumelor mulțimilor-sume [91] . Volumul unei mulțimi este caracterizat de măsura Lebesgue , care este definită pentru mulțimile din spațiul euclidian . Lema a fost folosită și în demonstrarea teoremei lui Lyapunov , ceea ce indică faptul că imaginea [aprox. 10] a unei măsuri de vector fără atom este convex [92] . O măsură vectorială ale cărei valori sunt vectori este o generalizare a conceptului de măsură. De exemplu, dacă și sunt măsuri de probabilitate definite pe un spațiu măsurabil, atunci funcția lor de produs este o măsură vectorială, unde este definită pentru fiecare eveniment aleatoriu : $p_{1}$ $p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $p_{1}p_{2}$ $\omega$

(p_{1}p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega ))

Teorema lui Lyapunov este folosită în economia matematică [93] , teoria controlerelor automate cu releeși teoria statistică[94] . Această teoremă este considerată a fi un analog continuu al lemei Shapley-Folkman [2] , care, la rândul său, este numită „dublu” discret al teoremei Lyapunov [95] .

Note

Comentarii

↑ Variante de Folkman , Folkmann sunt, de asemenea, folosite în literatură .
↑ 1 2 3 4 Acordarea Premiului Nobel pentru Științe Economice nu este în mod oficial moștenirea lui Alfred Nobel . Premiul a fost acordat de Banca de Stat Suedeză din 1969.
↑ Un adevăr gol este o afirmație fără sens despre toate elementele unei clase goale. Astfel, implicația „dacă A… atunci B…” devine un adevăr gol dacă A este în mod evident fals.
↑ vezi articolul „ Limitele superioare și inferioare exacte ale seturilor ”
↑ Utilizarea cuvântului „non-convexitate” în acest sens este permisă numai în această secțiune. În alte secțiuni, cuvântul este folosit ca antonim pentru termenul „bulge”.
↑ Mai jos sunt extrase din demonstrația lemei lui Ivar Ekeland. Denumirile folosite în acest articol diferă de cele prezentate în sursa originală. Înlocuirea a fost făcută pentru a menține uniformitatea în proiectare.
↑ engleză. învăluită în întunericul etern
↑ Un punct se numește limita unei șiruri dacă pentru fiecare există un număr astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toate . $A$ $\{x_n\}$ $\varepsilon >0$ $N_{{\varepsilon }}$ $n>N_{{\varepsilon ))$ $|x_{n}-a|<\varepsilon$
↑ Posibilitatea reprezentării punctelor unei mulțimi convexe prin variabile aleatoare este relevantă pentru mulțimi închise mărginite într- un spațiu Banach cu proprietatea Radon-Nikodim(conform teoremei Edgar) și pentru mulțimi închise complet mărginite în spații convexe local (conform teoremei Krein-Milman )
↑ Aici, termenul „imagine” înseamnă un set de valori în care sunt mapate elementele setului original .

Literatură și surse folosite

↑ 1 2 3 4 5 Starr , 1969 .
↑ 1 2 3 4 Starr , 2008 .
↑ 12 Howe , 1979 , p. unu.
↑ Guesnerie , 1989 , p. 138.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Ekeland , 1999 , p. 357–359.
↑ 1 2 Bertsekas , 1996 , p. 364–381.
↑ 1 2 Artstein & Vitale , 1975 , p. 881–882.
↑ Ilyin și Poznyak , 2010 , p. 42-43.
↑ Ilyin și Poznyak , 2010 , p. 48-50.
↑ Enciclopedia de matematică , 1977-1985 .
↑ 1 2 Rockafellar , 1997 , p. zece.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , p. 376.
↑ Rockafellar , 1997 .
↑ Green & Heller , 1981 , p. 37.
↑ 1 2 3 Carter , 2001 , p. 94.
↑ Schneider , 1993 , p. xi.
↑ Rockafellar , 1997 , p. 16.
↑ Rockafellar , 1997 , p. 17.
↑ Starr , 1997 , p. 78.
↑ Schneider , 1993 , p. 2–3.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , p. 387.
↑ Starr , 1969 , p. 35–36.
↑ Schneider , 1993 , p. 131.
↑ Schneider , 1993 , p. 140.
↑ Borwein & O'Brien , 1978 , p. 100-102.
↑ Schneider , 1993 , p. 129.
↑ Starr , 1969 , p. 36.
↑ 12 Starr , 1969 , p. 37.
↑ 12 Starr , 1981 , p. 315.
↑ Schneider , 1993 , p. 129–130.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , p. 392–395.
↑ Cassels , 1975 , p. 435–436.
↑ Schneider , 1993 , p. 128.
↑ Artstein , 1980 , p. 180.
↑ Anderson , 2005 , p. 1-5.
↑ Starr , 1981 , p. 314–317.
↑ Mas-Colell , 1985 , p. 58–61.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , p. 76–79.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , p. 79–81.
↑ Starr , 1969 , p. 26.
↑ Hotelling , 1935 , p. 74.
↑ Wold , 1943 , p. 231, 239–240.
↑ Wold & Juréen , 1953 , p. 146.
↑ Dietert , 1982 , p. 552–553.
↑ Samuelson , 1950 , p. 359–360.
↑ Farrell(a) , 1959 , p. 371–391.
↑ Farrell (b) , 1961 , p. 484–489.
↑ Farrell (c) , 1961 , p. 493.
↑ Bator(a) , 1961 , p. 480–483.
↑ Bator (b) , 1961 , p. 489.
↑ Koopmans , 1961 , p. 478–479.
↑ Koopmans , 1957 , p. 1–126.
↑ Rothenberg , 1960 , p. 435–468.
↑ Rothenberg , 1961 , p. 490-492.
↑ Arrow & Hahn , 1980 , p. 182.
↑ Shapley & Shubik , 1966 , p. 806.
↑ Aumann , 1966 , p. 1–2.
↑ 1 2 Starr & Stinchcombe , 1999 , p. 217–218.
↑ 12 Arrow & Hahn , 1980 , p. 169–182.
↑ Starr , 1969 , p. 27–33.
↑ Green & Heller , 1981 , p. 44.
↑ Varian , 1992 , p. 393–394.
↑ Mas-Colell, Whinston & Green , 1995 , p. 627–630.
↑ Mas-Colell , 1985 , p. 52–55, 145–146, 152–153, 274–275.
↑ Hildenbrand , 1974 , p. 37, 115–116, 122, 168.
↑ Starr , 1997 , p. 169.
↑ Ellickson , 1994 , p. xviii, 306-310, 312, 328-329, 347, 352.
↑ Laffont , 1988 , p. 63–65.
↑ Salanié , 2000 , p. 112–113, 107–115.
↑ Ichiishi , 1983 , p. 24–25.
↑ Cassels , 1981 , p. 127.
↑ Carter , 2001 , p. 93–94, 143, 318–319, 375–377, 416.
↑ 12 Aubin , 2007 , p. 458–476.
↑ Moore , 1999 , p. 309.
↑ Florenzano & Le Van , 2001 , p. 47–48.
↑ Trockel , 1984 , p. treizeci.
↑ Rockafellar , 1997 , p. 23.
↑ Lemarechal , 1973 , p. 38.
↑ Aardal , 1995 , p. 2–3.
↑ Hiriart-Urruty & Lemaréchal , 1993 , p. 143–145, 151, 153, 156.
↑ 1 2 Ekeland , 1999 , p. 149–151.
↑ Aubin & Ekeland , 1976 , pp. 226, 233, 235, 238, 241.
↑ Di Guglielmo , 1977 , p. 287–288.
↑ Bertsekas , 1999 , p. 496.
↑ Schneider & Weil , 2008 , p. 45.
↑ Cassels , 1975 , p. 433–434.
↑ Molchanov , 2005 , p. 195-198, 218, 232, 237-238, 407.
↑ 12 Puri & Ralescu , 1985 , p. 154–155.
↑ Weil , 1982 , p. 203, 205–206.
↑ Cerf , 1999 , p. 243–244.
↑ Ruzsa , 1997 , p. 345.
↑ Tardella , 1990 , p. 478–479.
↑ Vind , 1964 , p. 168, 175.
↑ Artstein , 1980 , p. 172–183.
↑ Mas-Colell , 1978 , p. 210.

Literatură

A–D

Aardal K. Interviu Optima Claude Lemaréchal // Optima: Buletin informativ al Societății de Programare Matematică. - 1995. - Nr. 45 . — S. 2–4 .
Anderson RM Teorema Shapley–Folkman // Economics 201B: Preferințe neconvexe și echilibre aproximative. — Departamentul de Economie, Universitatea din California, Berkeley, 2005.
Arrow K. , Hahn F. Analiza generală a concurenței. - Olanda de Nord, 1980. - ISBN 0-444-85497-5 .
Artstein Z., Vitale RA O lege puternică a numerelor mari pentru mulțimi compacte aleatoare // The Annals of Probability. - 1975. - V. 3 , nr 5 . — S. 879–882 . - doi : 10.1214/aop/1176996275 .
Artstein Z. Bang-bang și spații faciale discrete și continue sau: Căutați punctele extreme // SIAM Review. - 1980. - V. 2 , Nr. 22 . — S. 172–185 . - doi : 10.1137/1022026 .
Aubin J.-P., Ekeland I. Estimări ale decalajului de dualitate în optimizarea neconvexă // Matematica cercetării operaționale. - 1976. - Nr 3 . — S. 225–245 . - doi : 10.1287/moor.1.3.225 .
Aubin J.P. 14.2 Dualitate în cazul criteriului integral neconvex și al constrângerilor // Metode matematice de joc și teorie economică. - Dover Publications, Inc, 2007. - ISBN 978-0-486-46265-3 .
Aumann YRJ Existența unui echilibru competitiv pe piețe cu un continuum de comercianți // Econometrica . - 1966. - T. 34 , nr 1 . — S. 1–17 .
Bator FM Despre convexitate, eficiență și piețe // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 480–483 .
Bator FM Despre convexitate, eficiență și piețe: duplică // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . - S. 489 .
Bertsekas DP 5.6 Probleme de programare cu numere întregi separabile la scară largă și metoda exponențială a multiplicatorilor // Optimizarea constrânsă și metodele multiplicatorilor Lagrange. - Athena Scientific, 1996. - ISBN 1-886529-04-3 .
Bertsekas DP 5.1.6 Probleme separabile și geometria lor // Programare neliniară. - Athena Scientific, 1999. - ISBN 1-886529-00-0 .
Borwein MJ, O'Brien RC Anularea caracterizează convexitatea // Nanta Mathematica. - 1978. - Nr. 11 . — S. 100–102 .
Carter M. Fundamentele economiei matematice. - MIT Press, 2001. - ISBN 0-262-53192-5 .
Cassels JWS Măsuri ale neconvexității mulțimilor și teorema Shapley–Folkman–Starr // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1975. - Nr 3 . — S. 433–436 . - doi : 10.1017/S0305004100051884 .
Cassels JWS Anexa A Mulțimi convexe // Economie pentru matematicieni. - Cambridge University Press, 1981. - ISBN 0-521-28614-X .
Cerf R. Abateri mari pentru sume ale multimilor compacte aleatoare iid // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1999. - T. 127 , nr. 8 . — S. 2431–2436 . - doi : 10.1090/S0002-9939-99-04788-7 .
Di Guglielmo F. Dualitatea neconvexă în optimizarea multiobiectivă // Matematica cercetării operaționale. - 1977. - Nr. 3 . — S. 285–291 . - doi : 10.1287/moor.2.3.285 .
Diewert WE Duality approaches to microeconomic theory // Manual de economie matematică, Volumul II. - Olanda de Nord, 1982. - ISBN 978-0-444-86127-6 .

E-O

Ekeland I. Anexa I: O estimare a priori în programarea convexă // Analiză convexă și probleme variaționale. - Societatea de Matematică Industrială și Aplicată, 1999. - ISBN 0-89871-450-8 .
Ellickson B. Echilibrul competitiv: Teorie și aplicații. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-31988-1 .
Farrell MJ Ipoteza convexității în teoria piețelor competitive // The Journal of Political Economy. - 1959. - T. 67 , nr 4 . — S. 371–391 .
Farrell MJ Despre convexitate, eficiență și piețe: un răspuns // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 484–489 .
Farrell MJ Ipoteza convexității în teoria piețelor competitive: duplică // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . - S. 493 .
Florenzano M., Le Van C. Convexitate și optimizare dimensională finită. - Springer-Verlag, 2001. - ISBN 3-540-41516-5 .
Green J., Heller WP Analiză matematică și convexitate cu aplicații în economie // Handbook of mathematical economics, Volumul I. - North-Holland, 1981. - ISBN 0-444-86126-2 .
Guesnerie R. First-best allocation of resources with nonconvexities in production // Contributions to Operations Research and Economics: The twentieth anniversary of CORE (Lucrări de la simpozionul organizat la Louvain-la-Neuve, ianuarie 1987) . - MIT Press, 1989. - ISBN 0-262-03149-3 .
Hildenbrand W. Nucleul și echilibrele unei economii mari. - Princeton University Press, 1974. - ISBN 978-0-691-04189-6 .
Hiriart-Urruty J.-B., Lemaréchal C. XII Dualitate abstractă pentru practicieni // Algoritmi de analiză și minimizare convexă, Volumul II: Teorie avansată și metode de pachet. - Springer-Verlag, 1993. - ISBN 3-540-56852-2 .
Hotelling H. Funcții de cerere cu bugete limitate // Econometrica . - 1935. - V. 3 , Nr. 1 . — p. 66–78 .
Howe RE Despre tendința spre convexitate a sumei vectoriale a mulțimilor. — Fundația Cowles pentru Cercetare în Economie, 1979.
Ichiishi T. Teoria jocurilor pentru analiză economică. - Academic Press, Inc., 1983. - ISBN 0-12-370180-5 .
Koopmans TC Alocarea resurselor și sistemul de prețuri // Trei eseuri despre starea științei economice. — Compania de carte McGraw–Hill, 1957.
Koopmans TC Ipoteze de convexitate, eficiență alocativă și echilibru competitiv // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 478–479 .
Laffont J.-J. 3 Neconvexități // Fundamentele economiei publice . - MIT Press, 1988. - ISBN 0-262-12127-1 .
Lemarechal C. Utilization de la dualité dans les problémes non convexes. - Institutul National de Cercetare in Informatica si Control, 1973.
Mas-Colell A. O notă despre teorema echivalenței de bază: Câte coaliții de blocare există? // Journal of Mathematical Economics. - 1978. - V. 5 , nr 3 . — S. 207–215 . - doi : 10.1016/0304-4068(78)90010-1 .
Mas-Colell A. 1.L Mediile multimilor // Teoria echilibrului economic general: O abordare diferentiabila. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-26514-2 .
Mas-Colell A. Non-convexitate // The New Palgrave Dictionary of Economics. — Palgrave Macmillan, 1987.
Mas-Colell A. , Whinston MD, Green J. 17.1 Economii mari și nonconvexități // Teoria microeconomică. - Oxford University Press, 1995. - ISBN 978-0-19-507340-9 .
Molchanov I. 3 Adunarea Minkowski // Teoria mulţimilor aleatoare. - Springer-Verlag London Ltd, 2005. - ISBN 978-1-84996-949-9 .
Moore JC Metode matematice pentru teoria economică: Volumul I. - Springer-Verlag, 1999. - ISBN 3-540-66235-9 .

P-Z

Puri ML, Ralescu DA Teoreme limită pentru mulțimi compacte aleatoare în spațiul Banach // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1985. - Nr. 1 . — S. 151–158 . - doi : 10.1017/S0305004100062691 .
Analiza Rockafellar RT Convex. - Princeton University Press, 1997. - ISBN 0-691-01586-4 .
Rothenberg J. Non-convexitate, agregare și optimitate Pareto // The Journal of Political Economy. - 1960. - T. 68 , nr 5 . — S. 435–468 .
Rothenberg J. Comments on non-convexity // The Journal of Political Economy. - 1961. - T. 69 , nr 5 . — S. 490–492 .
Ruzsa IZ Inegalitatea Brunn–Minkowski și mulțimile neconvexe // Geometriae Dedicata . - 1997. - Nr. 67 . — S. 337–348 . - doi : 10.1023/A:1004958110076 .
Salanié B. 7 Nonconvexitie // Microeconomia eșecurilor pieței. - MIT Press, 2000. - ISBN 0-262-19443-0 .
Samuelson, PA Problema integrabilității în teoria utilității // Economica. - 1950. - T. 17 , nr 68 . — S. 355–385 .
Schneider R. Corpuri convexe: Teoria Brunn–Minkowski. - Cambridge University Press, 1993. - ISBN 0-521-35220-7 .
Schneider R., Weil W. Stochastic and integral geometry. - Springer, 2008. - ISBN 978-3-540-78858-4 .
Shapley LS , Shubik M. Quasi-cores într-o economie monetară cu preferințe neconvexe // Econometrica . - 1966. - T. 34 , nr 4 . — S. 805–827 .
Starr RM Cvasi-echilibre în piețele cu preferințe neconvexe (Anexa 2: Teorema Shapley–Folkman) // Econometrica . - 1969. - Nr. 37 . — p. 35–37 .
Starr RM Aproximarea punctelor învelișului convex al unei sume de mulțimi prin puncte ale sumei: o abordare elementară // Journal of Economic theory. - 1981. - Nr. 1 . — S. 314–317 .
Starr RM 8 Mulțimi convexe, teoreme de separare și mulțimi neconvexe în R N // Teoria echilibrului general: o introducere. - 1997. - ISBN 0-521-56473-5 .
Starr RM, Stinchcombe MB Piețe, informații și incertitudine: Eseuri în teoria economică în onoarea lui Kenneth J. Arrow. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 978-0-521-08288-4 .
Starr RM Shapley–Teorema Folkman // Noul Dicționar de Economie Palgrave. — Palgrave Macmillan, 2008.
Tardella F. O nouă dovadă a teoremei de convexitate Lyapunov // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1990. - Nr 2 . — S. 478–481 . - doi : 10.1137/0328026 .
Trockel W. Cererea pieței: O analiză a economiilor mari cu preferințe neconvexe. - Springer-Verlag, 1984. - ISBN 3-540-12881-6 .
Varian HR 21.2 Convexitate și dimensiune // Analiză microeconomică. - W. W. Norton & Company, 1992. - ISBN 978-0-393-95735-8 .
Vind K. Edgeworth-alocări într-o economie de schimb cu mulți comercianți // International Economic Review. - 1964. - V. 5 , nr 2 . — S. 165–177 .
Weil W. O aplicație a teoremei limitei centrale pentru variabile aleatoare cu valoare Banach-space la teoria mulțimilor aleatoare // Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. - 1982. - T. 60 , nr 2 . — S. 203–208 . - doi : 10.1007/BF00531823 .
Wold H. O sinteză a analizei cererii pure II // Skandinavisk Aktuarietidskrift. - 1943. - Nr. 26 . — S. 220–263 .
Wold H., Juréen L. Analiza cererii: Un studiu în econometrie. — John Wiley and Sons, Inc., 1953.

A-Z

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebră liniară. — M.: Literatură fizico-matematică, 2010. — ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Enciclopedia matematică , ed. I. M. Vinogradova . - M .: Enciclopedia Sovietică, 1977-1985.