Funcția de undă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 iulie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Funcția de undă , sau funcția psi , este o funcție cu valori complexe utilizată în mecanica cuantică pentru a descrie starea pură a unui sistem . Cele mai comune simboluri pentru funcția de undă sunt literele grecești ψ și Ψ ( psi literele mici, respectiv majuscule ). Este coeficientul de expansiune al vectorului de stare în ceea ce privește baza (de obicei cea de coordonate): $\psi$

$\left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx$

unde este vectorul de bază de coordonate și este funcția de undă în reprezentarea în coordonate. $\left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle$ $\Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle$

Conform interpretării de la Copenhaga a mecanicii cuantice , densitatea de probabilitate de a găsi o particule într-un punct dat din spațiul de configurare la un moment dat este considerată egală cu pătratul valorii absolute a funcției de undă a acestei stări în coordonatele. reprezentare.

Funcția de undă este o funcție a gradelor de libertate corespunzătoare unui set maxim de observabile de comutație . Odată aleasă o astfel de reprezentare , funcția de undă poate fi derivată din starea cuantică.

Pentru un sistem dat, alegerea gradelor de libertate de comutare nu este unică și, în consecință, domeniul de definire a funcției de undă nu este, de asemenea, unic. De exemplu, poate fi considerată ca o funcție a tuturor coordonatelor de poziție a particulelor în spațiul de coordonate sau a momentului tuturor particulelor din spațiul de impuls ; cele două descrieri sunt legate de transformata Fourier . Unele particule, cum ar fi electronii și fotonii , au spin diferit de zero , iar funcția de undă a unor astfel de particule include spin ca grad intern discret de libertate; de asemenea, alte variabile discrete precum isospinul pot fi luate în considerare pentru diferite sisteme . Când un sistem are grade interne de libertate, funcția de undă în fiecare punct din gradele continue de libertate (de exemplu, un punct din spațiul de coordonate) atribuie un număr complex pentru fiecare valoare posibilă a gradelor de libertate discrete (de exemplu, componenta z a spinului) - aceste valori sunt adesea afișate ca o coloană vectorială (de exemplu, 2 × 1 pentru un electron non-relativist cu spin.

Conform principiului suprapunerii din mecanica cuantică, funcțiile de undă pot fi adăugate și multiplicate cu numere complexe pentru a construi noi funcții de undă și a defini un spațiu Hilbert . Produsul interior din spațiul Hilbert dintre două funcții de undă este o măsură a suprapunerii dintre stările fizice corespunzătoare și este utilizat în interpretarea probabilistică fundamentală a mecanicii cuantice, regula Born , care leagă probabilitățile de tranziție cu produsul punctual al stărilor. Ecuația Schrödinger definește modul în care funcțiile de undă evoluează în timp, iar funcția de undă se comportă calitativ ca și alte valuri , cum ar fi undele pe apă sau undele dintr-un șir, deoarece ecuația Schrödinger este matematic o variație a ecuației de undă . Aceasta explică numele „funcție de undă” și duce la dualitatea undă-particulă . Cu toate acestea, funcția de undă în mecanica cuantică descrie un fel de fenomen fizic, încă deschis la diverse interpretări , care este fundamental diferit de cel pentru undele mecanice clasice [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7] .

În interpretarea statistică a lui Born a mecanicii cuantice non-relativiste [8] [9] [10] , modulul pătrat al funcției de undă este un număr real, interpretat ca densitatea probabilității de a măsura o particule ca fiind într-un loc dat sau având un impuls dat la un moment dat și, eventual, având anumite valori pentru grade discrete de libertate. Integrala acestei valori pe toate gradele de libertate ale sistemului trebuie să fie egală cu 1 în conformitate cu interpretarea probabilistică. Această cerință generală pe care trebuie să o îndeplinească funcția de undă se numește condiție de normalizare . Deoarece funcția de undă are valori complexe, pot fi măsurate doar faza ei relativă și magnitudinea relativă — valoarea sa, luată izolat, nu spune nimic despre mărimile sau direcțiile observabilelor măsurate; este necesar să se aplice operatori cuantici , ale căror valori proprii corespund unor seturi de rezultate posibile de măsurare, la funcția de undă ψ și să se calculeze distribuții statistice pentru mărimile măsurabile.

Istorie

În 1905 Albert Einstein a postulat o proporționalitate între frecvența unui foton și energia sa , [11] , iar în 1916 o relație corespunzătoare între impulsul unui foton și lungimea sa de undă , [12] , unde este constanta lui Planck . În 1923, De Broglie a fost primul care a sugerat că relația , numită acum relația lui De Broglie , este valabilă pentru particulele masive , principala cheie pentru înțelegerea care este invarianța Lorentz [13] , iar aceasta poate fi considerată ca punct de plecare. pentru dezvoltarea modernă a mecanicii cuantice. Ecuațiile descriu dualitatea undă-particulă atât pentru particulele fără masă, cât și pentru cele masive. $f$ $E$ $E=hf$ $p$ $\lambda$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ $h$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

În anii 1920 și 1930, mecanica cuantică s-a dezvoltat folosind calculul și algebra liniară . Analiza a fost folosită în munca lor de Louis de Broglie , Erwin Schrödinger și alții care au dezvoltat „ mecanica valurilor ”. Printre cei care au aplicat metodele algebrei liniare s-au numărat Werner Heisenberg , Max Born și alții care au dezvoltat „mecanica matriceală”. Ulterior, Schrödinger a arătat că aceste două abordări sunt echivalente [14] .

În 1926, Schrödinger a publicat celebra ecuație de undă, numită acum după el, ecuația Schrödinger . Această ecuație a fost bazată pe legea clasică de conservare a energiei , dar scrisă folosind operatori cuantici și relații de Broglie, iar soluțiile sale au fost reprezentate de funcțiile de undă ale unui sistem cuantic [15] . Cu toate acestea, nimeni nu a știut să interpreteze acest lucru [16] . La început, Schrödinger și alții au crezut că funcțiile de undă erau particule care erau distribuite în spațiu, cea mai mare parte a particulei fiind localizată acolo unde funcția de undă era mare [17] . Acest lucru s-a dovedit a fi incompatibil cu împrăștierea elastică a unui pachet de undă (care este o particulă) dintr-un dispersor deoarece se propagă în toate direcțiile [8] . Deși o particulă împrăștiată se poate împrăștia în orice direcție, nu se rupe în bucăți și nu zboară în toate direcțiile. În 1926, Born și-a prezentat interpretarea amplitudinii probabilității [9] [18] . Leagă calculele mecanicii cuantice direct cu probabilitățile observate în experiment. Această imagine este acum acceptată ca parte a interpretării de la Copenhaga a mecanicii cuantice. Există multe alte interpretări ale mecanicii cuantice . În 1927, Hartree și Fock au făcut primul pas în încercarea de a descrie funcția de undă pentru N-particule și au dezvoltat procedura auto-consistentă : un algoritm iterativ pentru aproximarea soluției unei probleme de mecanică cuantică cu mai multe particule. Această metodă este acum cunoscută ca metoda Hartree-Fock [19] . Determinantul și permanentul lui Slater ( matrice ) au făcut parte dintr-o metodă propusă de John C. Slater .

Schrödinger a lucrat cu o ecuație pentru funcția de undă care a satisfăcut legea relativistă a conservării energiei înainte de a publica versiunea non-relativistă, dar a renunțat-o pentru că a prezis probabilități negative și energii negative . În 1927, Klein , Gordon și Fock l-au găsit și ei, dar au luat în considerare interacțiunea electromagnetică și au demonstrat că este invariant Lorentz . De Broglie a ajuns și el la aceeași ecuație în 1928. Această ecuație de undă relativistă este acum cel mai frecvent cunoscută drept ecuația Klein-Gordon [20] .

În 1927, Pauli a găsit fenomenologic o ecuație non-relativistă pentru descrierea particulelor cu spin 1/2 în câmpurile electromagnetice, care se numește acum ecuația Pauli [21] . Pauli a descoperit că funcția de undă nu a fost descrisă de o funcție complexă de spațiu și timp, ci au fost necesare două numere complexe, care corespund stărilor fermionilor cu spin +1/2 și -1/2. La scurt timp după aceea, în 1928, Dirac a găsit o ecuație din prima unificare de succes a relativității speciale și a mecanicii cuantice aplicate electronului , numită acum ecuația Dirac . În acest caz, funcția de undă este un spinor reprezentat de patru componente complexe [19] : două pentru electron și două pentru antiparticula electronică , pozitronul . În limita nerelativista, funcția de undă Dirac seamănă cu funcția de undă Pauli pentru un electron. Mai târziu, au fost găsite alte ecuații de undă relativiste .

Funcții de undă și ecuații de undă în teoriile moderne

Toate aceste ecuații de undă sunt de o importanță veșnică. Ecuația Schrödinger și ecuația Pauli sunt în multe cazuri aproximări excelente pentru probleme relativiste. Ele sunt mult mai ușor de rezolvat în probleme practice decât omologii lor relativiști.

Ecuațiile Klein-Gordon și Dirac , fiind relativiste, nu împacă pe deplin mecanica cuantică și relativitatea specială. Ramura mecanicii cuantice în care aceste ecuații sunt studiate în același mod ca ecuația Schrödinger, numită adesea mecanică cuantică relativistă , deși foarte reușită, are limitări (a se vedea de exemplu Lamb shift ) și probleme conceptuale (a se vedea, de exemplu, Marea Dirac ).

Relativitatea face inevitabil ca numărul de particule dintr-un sistem să nu fie constant. Acordul deplin necesită teoria câmpului cuantic [22] . În această teorie, sunt folosite și ecuațiile de undă și funcțiile de undă, dar într-o formă ușor diferită. Principalele obiecte de interes nu sunt funcțiile de undă, ci mai degrabă operatori, așa-numiții operatori de câmp (sau pur și simplu câmpuri , prin care înțelegem „operatori”) în spațiul de stări Hilbert. Se pare că ecuațiile de undă relativiste originale și soluțiile lor sunt încă necesare pentru a construi spațiul Hilbert. Mai mult, operatorii de câmp liber , adică pentru particulele care nu interacționează, în multe cazuri satisfac în mod formal aceeași ecuație ca și câmpurile (funcții de undă).

Astfel, ecuația Klein-Gordon (spin 0 ) și ecuația Dirac (spin 1 ⁄ 2 ) rămân în teorie sub această formă. Analogii de spin mai înalți includ ecuația Proca (spin 1 ), ecuația Rarita-Schwinger (spin 3 ⁄ 2 ) și, mai general , ecuațiile Bargmann-Wigner . Pentru câmpuri libere fără masă , exemple sunt ecuațiile de câmp liber ale lui Maxwell (spin 1 ) și ecuația de câmp liber a lui Einstein (spin 2 ) pentru operatorii de câmp [23] . Toate sunt în esență o consecință directă a cerinței de invarianță Lorentz . Soluțiile lor trebuie transformate sub transformarea Lorentz într-un mod dat, adică în conformitate cu o anumită reprezentare a grupului Lorentz și, împreună cu alte cerințe rezonabile, de exemplu, principiul descompunerii cluster [24] , luând în considerare cauzalitatea contului , este suficientă pentru a modifica ecuația.

Acest lucru se aplică ecuațiilor de câmp liber când interacțiunile nu sunt incluse. Dacă densitatea lagrangianului (inclusiv interacțiunile) este disponibilă, atunci formalismul lagrangian va da ecuația mișcării la nivel clasic. Această ecuație poate fi foarte complexă și imposibil de rezolvat. Orice soluție se va referi la un număr fix de particule și nu va lua în considerare termenul „interacțiune” așa cum este înțeles în aceste teorii, care include crearea și distrugerea particulelor, mai degrabă decât potențialele externe, ca în teoria cuantică obișnuită ( cuantificarea primară ). .

În teoria corzilor, situația rămâne similară. De exemplu, funcția de undă în spațiul de impuls joacă rolul coeficientului de expansiune Fourier în starea generală a unei particule (șir) cu un impuls care nu este clar definit [25] .

Sensul fizic

În reprezentarea în coordonate, funcția de undă depinde de coordonatele (sau coordonatele generalizate) ale sistemului. Semnificația fizică a funcției de undă este că pătratul modulului său este densitatea probabilității (pentru spectre discrete, pur și simplu probabilitatea) de a detecta sistemul la un moment dat : $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)$ $\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)\right|^{2)$ $\omega$ $x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n)$ $t$

\omega ={\frac {dP}{dv}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)\right|^{2} =\Psi ^{\ast }\Psi

Deci, într-o stare cuantică dată a sistemului, descrisă de funcția de undă , probabilitatea ca particula să fie detectată în regiunea unui volum finit al spațiului de configurare este egală cu $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)$ $P$ $V$

P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dv}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv }

(unu)

De asemenea, este posibil să se măsoare diferența de fază a funcției de undă, de exemplu, în experimentul Aharonov-Bohm .

Normalizarea funcției de undă

Deoarece probabilitatea totală de a detecta o particule în întreg spațiul este egală cu unu, atunci funcția sa de undă trebuie să satisfacă așa-numita condiție de normalizare, de exemplu, în reprezentarea în coordonate având forma: $\psi$

{\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv}=1

În cazul general, integrarea ar trebui efectuată asupra tuturor variabilelor de care funcția de undă depinde în mod explicit în această reprezentare (cu excepția timpului).

Principiul suprapunerii stărilor cuantice

Pentru funcțiile de undă, principiul suprapunerii este valabil , ceea ce înseamnă că dacă sistemul poate fi în stări descrise de funcțiile de undă și , atunci pentru orice complex și , poate fi și într-o stare descrisă de funcția de undă. $\Psi _{1}$ $\Psi _{2}$ $c_{1}$ $c_{2}$ $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$

\Psi _{\Sigma}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2)

Evident, se poate vorbi și despre suprapunerea (adunarea) oricărui număr de stări cuantice, adică existența unei stări cuantice a sistemului, care este descrisă de funcția de undă.

\Psi _{\Sigma}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N }=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}

Într-o astfel de stare, pătratul modulului coeficientului determină probabilitatea ca, atunci când este măsurat, sistemul să fie găsit în starea descrisă de funcția de undă . ${c}_{n}$ ${\Psi }_{n)$

Prin urmare, pentru funcțiile de undă normalizate . $\sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1$

Condiții de regularitate a funcției de undă

Sensul probabilistic al funcției de undă impune anumite restricții, sau condiții, asupra funcțiilor de undă în problemele mecanicii cuantice. Aceste condiții standard sunt adesea numite condiții de regularitate pentru funcția de undă.

Condiția de finitate a funcției de undă. Funcția de undă nu poate lua valori infinite, astfel încât integrala să devină divergentă. Prin urmare, această condiție necesită ca funcția de undă să fie o funcție integrabilă în pătrat, adică să aparțină unui spațiu Hilbert . În special, în problemele cu o funcție de undă normalizată, modulul pătrat al funcției de undă trebuie să tinde spre zero la infinit. $(unu)$ $L^{2}$
Condiția pentru unicitatea funcției de undă. Funcția de undă trebuie să fie o funcție clară de coordonate și timp, deoarece densitatea probabilității de detectare a particulelor trebuie să fie determinată în mod unic în fiecare problemă. În problemele care utilizează un sistem de coordonate cilindric sau sferic, condiția de unicitate duce la periodicitatea funcțiilor de undă în variabilele unghiulare.
Condiție de continuitate a funcției de undă. În orice moment dat, funcția de undă trebuie să fie o funcție continuă a coordonatelor spațiului. În plus, derivatele parțiale ale funcției de undă , , , trebuie să fie și ele continue . Aceste derivate parțiale ale funcțiilor numai în cazuri rare de probleme cu câmpuri de forțe idealizate pot tolera o discontinuitate în acele puncte din spațiu în care energia potențială care descrie câmpul de forță în care se mișcă particula experimentează o discontinuitate de al doilea fel . ${\frac {\partial \Psi {\partial x)}$ ${\frac {\partial \Psi {\partial y)}$ ${\frac {\partial \Psi {\partial z)}$

Funcția de undă în diverse reprezentări

Setul de coordonate care acționează ca argumente pentru funcție este un sistem complet de comutare observabile . În mecanica cuantică, este posibil să alegeți mai multe seturi complete de observabile, astfel încât funcția de undă a aceleiași stări poate fi scrisă din argumente diferite. Setul complet de mărimi alese pentru înregistrarea funcției de undă determină reprezentarea funcției de undă . Deci, reprezentarea în coordonate, reprezentarea momentului sunt posibile, în teoria câmpului cuantic , se utilizează reprezentarea a doua cuantificare și a numărului de umplere , sau reprezentarea Fock etc.

Dacă funcția de undă, de exemplu, a unui electron dintr-un atom, este dată în reprezentarea în coordonate , atunci pătratul modulului funcției de undă este densitatea probabilității de a găsi un electron într-un anumit punct din spațiu. Dacă aceeași funcție de undă este dată în reprezentarea impulsului , atunci pătratul modulului său este densitatea de probabilitate de a detecta unul sau altul impuls .

Formulări matrice și vectoriale

Funcția de undă a aceleiași stări în reprezentări diferite va corespunde expresiei aceluiași vector în sisteme de coordonate diferite. Alte operații cu funcții de undă vor avea, de asemenea, analogi în limbajul vectorilor. În mecanica ondulatorie, se folosește o reprezentare în care argumentele funcției psi sunt un sistem complet de observabile cu comutație continuă , iar în mecanica matriceală se utilizează o reprezentare în care argumentele funcției psi sunt un sistem complet de observabile cu comutație discretă . Prin urmare, formulările funcționale (undă) și matricele sunt în mod evident echivalente din punct de vedere matematic.

Descrierea stărilor cuantice mixte

Funcția de undă este o metodă de descriere a stării pure a unui sistem mecanic cuantic. Stările cuantice mixte (în statistica cuantică ) ar trebui descrise folosind o matrice de densitate .

Reprezentări de coordonate și impuls

Funcția de undă reprezentată în funcție de coordonate se numește funcție de undă în reprezentarea în coordonate [26] $\psi =\psi ({\vec {r)})$

Orice funcție de undă din reprezentarea coordonatelor poate fi extinsă în termeni de funcțiile proprii ale operatorului său de impuls :

\psi _{\vec {p}}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }} {\vec {p}}{\vec {r}}}

Ca rezultat, obținem transformata Fourier inversă :

\psi ({\vec {r))}=\int a({\vec {p)))\psi _{\vec {p)}({\vec {r)))d^{3 }p={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int a({\vec {p}})e^{{\frac {i}{\hbar } }{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}p

Unde $d^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z}$

Coeficienții de expansiune sunt egali cu transformata Fourier $a({\vec {p)})$

a({\vec {p}})=\int \psi ({\vec {r)))\psi _{\vec {p}}^{*}({\vec {r}}) dV={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2))}\int \psi ({\vec {r)))e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}V

Funcția se numește funcție de undă a particulei în reprezentarea impulsului , deoarece este posibil ca impulsul particulei să aibă valori în intervalul [27] . $a({\vec {p)})$ $|a({\vec {p))}|^{2}d^{3}p$ $d^{3}p$

Funcții de undă și spații funcționale

Conceptul de spații funcționale este folosit în mod natural în discuția despre funcțiile de undă. Un spațiu funcțional este o colecție de funcții, de obicei cu anumite cerințe definitorii ale funcției (în acest caz sunt integrabile în pătrat ), uneori cu o structură algebrică dată pe mulțime (în acest caz o structură de spațiu vectorial cu un produs interior ) împreună cu o topologie pe platou. Acesta din urmă va fi folosit rar aici, este necesar doar pentru a obține o definiție precisă a ceea ce înseamnă un subset închis al unui spațiu funcțional. Se va concluziona mai jos că spațiul funcțional al funcțiilor de undă este un spațiu Hilbert . Această observație stă la baza formulării matematice predominante a mecanicii cuantice.

Structura spațiului vectorial

Funcția de undă, ca element al spațiului funcțional, se caracterizează parțial prin următoarele descrieri concrete și abstracte.

Ecuația Schrödinger este liniară. Aceasta înseamnă că soluțiile sale, funcțiile de undă, pot fi adăugate și multiplicate cu scalari pentru a obține o nouă soluție. Mulțimea soluțiilor ecuației Schrödinger este un spațiu vectorial.
Principiul de suprapunere al mecanicii cuantice. Dacă Ψ și Φ sunt două stări în spațiul de stări abstract al unui sistem mecanic cuantic și a și b sunt orice două numere complexe, atunci a Ψ + b Φ este o stare validă. Dacă vectorul nul este considerat o stare validă („nu există sistem”) este o chestiune de definiție. Vectorul zero nu descrie în niciun caz starea de vid în teoria câmpului cuantic. Mulțimea stărilor admisibile este un spațiu vectorial.

Această asemănare nu este întâmplătoare. De asemenea, fiți conștienți de diferențele dintre spații.

Vizualizări

Stările fundamentale sunt caracterizate de un set de numere cuantice. Acesta este setul de valori proprii ale setului maxim de observabile de comutare . Observabilele fizice sunt reprezentate de operatori liniari, numiți și observabili, în spațiul vectorilor. Maximalitatea înseamnă că la o astfel de mulțime nu pot fi adăugate alte observabile independente din punct de vedere algebric care fac naveta cu cele existente. Alegerea unui astfel de set poate fi numită alegerea reprezentării .

În mecanica cuantică, se postulează că o cantitate observabilă fizic a unui sistem, cum ar fi poziția, impulsul sau spinul, este reprezentată de un operator liniar hermitian în spațiul stărilor. Rezultate posibile ale măsurării acestei mărimi sunt valorile proprii ale operatorului [17] . La un nivel mai profund, majoritatea observabilelor, poate toate, apar ca generatori de simetrii [17] [28] [nb 1] .
Interpretarea fizică este că o astfel de mulțime reprezintă ceva care teoretic poate fi măsurat simultan cu o precizie arbitrară. Relația de incertitudine Heisenberg interzice măsurători exacte simultane a două observabile necommutabile.
Setul nu este unic. Pentru un sistem cu o particulă, aceasta ar putea fi proiecția z ( x , S z ) y proiecția ( p , S y ) . În acest caz, operatorul corespunzător poziției ( operatorul de multiplicare în reprezentarea în coordonate) și operatorul corespunzător impulsului ( operatorul diferențial în reprezentarea în coordonate) nu comută.
După ce se alege reprezentarea, ambiguitatea rămâne. Rămâne să alegeți un sistem de coordonate. Aceasta poate, de exemplu, să corespundă unei alegeri a axelor x , y și z , sau unei alegeri de coordonate curbilinii, așa cum este ilustrat de exemplul de coordonate sferice , utilizate pentru funcțiile de undă ale atomilor de hidrogen. Această alegere finală fixează și o bază într-un spațiu Hilbert abstract. Stările fundamentale sunt etichetate cu numere cuantice corespunzătoare setului maxim de observabile de comutare și sistemul de coordonate corespunzător [nb 2] .

Stările abstracte sunt „abstracte” doar în sensul că alegerea arbitrară necesară pentru o anumită descriere explicită nu este dată. Sau, cu alte cuvinte, nu a fost oferită nicio alegere a setului maxim de observabile de navetă. Care este analog cu un spațiu vectorial fără o bază dată. În consecință, funcțiile de undă corespunzătoare unei stări cuantice nu sunt unice. Această ambiguitate reflectă ambiguitatea în alegerea setului maxim de observabile de comutare. Pentru o particulă cu spin într-o dimensiune, două funcții de undă Ψ( x , S z ) și Ψ( p , S y ) corespund unei stări specifice , ambele descriu aceeași stare.

Pentru fiecare alegere a setului maxim de observabile de comutație pentru spațiul de stare abstract, există o reprezentare corespunzătoare care este asociată cu spațiul funcțional al funcțiilor de undă.
Există corespondențe unu-la-unu între toate aceste spații funcționale diferite și spațiul de stări abstract (normalizarea și factorii de fază neobservabili nu sunt luați în considerare aici), iar numitorul comun aici este o stare abstractă specifică. Conexiunea dintre funcțiile de undă de impuls și coordonate, de exemplu, care descriu aceeași stare, dă transformata Fourier .

Fiecare alegere de reprezentare ar trebui considerată ca definind un spațiu funcțional unic în care sunt definite funcțiile de undă corespunzătoare acestei alegeri de reprezentare. Această distincție este cel mai bine păstrată chiar dacă s-ar putea susține că două astfel de spații funcționale sunt egale din punct de vedere matematic, cum ar fi un set de funcții integrabile pătrate. Atunci ne putem gândi la spațiile funcționale ca două copii diferite ale acestui set.

Produs interior

Există o structură algebrică suplimentară pentru spațiile vectoriale ale funcțiilor de undă și un spațiu abstract al stărilor.

Funcțiile de undă diferite din punct de vedere fizic sunt interpretate ca fiind parțial suprapuse. Un sistem în starea Ψ care nu se suprapune cu starea Φ nu poate fi găsit în starea Φ când este măsurat. Dar dacă Φ 1 , Φ 2 , … se suprapun cu Ψ într- o oarecare măsură, există posibilitatea ca măsurarea sistemului descris de Ψ să se regăsească în stările Φ 1 , Φ 2 , … Se respectă și regulile de selecție . Ele sunt de obicei formulate în termeni de conservare a anumitor numere cuantice. Aceasta înseamnă că anumite procese care sunt permise din anumite puncte de vedere (de exemplu, conservarea energiei și a impulsului) nu au loc deoarece funcțiile de undă totale inițială și finală nu se suprapun.
Din punct de vedere matematic, se dovedește că soluțiile ecuației Schrödinger pentru potențiale specifice sunt oarecum ortogonale , acest lucru este de obicei descris de integrală

\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},

unde m , n sunt (seturi de) indici (numere cuantice) care denotă soluții diferite, funcția strict pozitivă w se numește funcție de greutate, iar δ mn este simbolul Kronecker . Integrarea se realizează pe întreg spațiul corespunzător.

Aceasta motivează introducerea produsului interior pe spațiul vectorial al stărilor cuantice abstracte, în concordanță cu rezultatele matematice date mai sus la trecerea la reprezentare. Se notează (Ψ, Φ) sau cu notația bra și ket . Ceea ce dă un număr complex. Cu produsul interior, spațiul funcțional este un spațiu pre-Hilbert . Forma explicită a produsului interior (de obicei o integrală sau o sumă de integrale) depinde de alegerea reprezentării, dar numărul complex (Ψ, Φ) nu. O mare parte din interpretarea fizică a mecanicii cuantice provine din regula Born . Se spune că probabilitatea p de detectare la măsurarea stării Φ , dat fiind că sistemul este în starea Ψ , este $\langle \Psi |\Phi \rangle$

p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},

unde Φ și Ψ se presupune că sunt normalizate. Luați în considerare un experiment de împrăștiere . În teoria câmpului cuantic, dacă Φ out descrie o stare în „viitorul îndepărtat” („undă de ieșire”) după terminarea interacțiunilor dintre particulele care se împrăștie, iar Ψ in este o undă incidentă în „trecutul îndepărtat”, atunci cantitățile ( Φ out , Ψ in ) , unde Φ out și Ψ in variază pe întregul set de unde de intrare și respectiv de ieșire, numite matrice S sau matrice de împrăștiere . A cunoaște acest lucru, în esență, înseamnă a rezolva problema în cauză, cel puțin în ceea ce privește predicțiile. Mărimile măsurabile, cum ar fi rata de dezintegrare și secțiunile transversale de împrăștiere , sunt calculate folosind matricea S [29] .

Spațiul Hilbert

Rezultatele de mai sus reflectă esența spațiilor funcționale ale căror elemente sunt funcții de undă. Cu toate acestea, descrierea nu este încă completă. Există o altă cerință tehnică pentru un spațiu funcțional, și anume cerința de completitudine , care permite să se ia limitele secvențelor dintr-un spațiu funcțional și să garanteze că, dacă există o limită, atunci aceasta este un element al spațiului funcțional. Un spațiu complet pre-Hilbert se numește spațiu Hilbert . Proprietatea completității este crucială pentru abordări și aplicații avansate ale mecanicii cuantice. De exemplu, existența operatorilor de proiecție sau depinde de caracterul complet al spațiului [30] . Acești operatori de proiecție sunt, la rândul lor, necesari pentru formularea și demonstrarea multor teoreme utile, cum ar fi teorema spectrală . Acest lucru nu este foarte important pentru o parte introductivă a mecanicii cuantice, iar detaliile tehnice și referințele pot fi găsite în notele de subsol precum următoarele [nb 3] . Spațiul L 2 este un spațiu Hilbert, al cărui produs scalar va fi prezentat mai jos. Spațiul funcțional din exemplul din figură este un subspațiu al lui L 2 . Un subspațiu al unui spațiu Hilbert se numește spațiu Hilbert dacă este închis.

Astfel, mulțimea tuturor funcțiilor de undă normalizate posibile pentru un sistem cu o anumită alegere a bazei, împreună cu vectorul zero, constituie un spațiu Hilbert.

Nu toate funcțiile de interes sunt elemente ale unui spațiu Hilbert, să spunem L 2 . Cel mai frapant exemplu este mulțimea de funcții e 2 πi p · x ⁄ h . Aceste unde plane sunt soluții ale ecuației Schrödinger pentru o particulă liberă, dar nu sunt normalizate, deci nu aparțin lui L 2 . Dar, cu toate acestea, ele sunt fundamentale pentru descrierea mecanicii cuantice. Ele pot fi folosite pentru a exprima funcții care pot fi normalizate folosind pachete wave . Într-un fel, ele sunt o bază (dar nu o bază spațială Hilbert, nici o bază Hamel ) în care pot fi exprimate funcțiile de undă de interes. Există și o altă descriere: „normalizare la funcția delta”, care este adesea folosită pentru comoditatea notării, vezi mai jos. Nici funcțiile delta în sine nu sunt integrabile în pătrat.

Descrierea de mai sus a spațiului funcțional care conține funcțiile de undă este motivată în principal din punct de vedere matematic. Spațiile funcționale sunt, într-un anumit sens, foarte mari datorită completitudinii lor . Nu toate funcțiile sunt descrieri realiste ale oricărui sistem fizic. De exemplu, în spațiul funcțional L 2 puteți găsi o funcție care ia valoarea 0 pentru toate numerele raționale și - i pentru irațional [0, 1] . Această funcție este pătrat-integrabilă [nb 4] , dar poate reprezenta cu greu o stare fizică.

Spații generale Hilbert

Deși spațiul de decizie este în general un spațiu Hilbert, există multe alte spații Hilbert.

Funcții cu valori complexe integrabile pătrate pe intervalul [0, 2 π ] . Mulțimea { e int /2 π , n ∈ ℤ } este baza spațiului Hilbert, adică mulțimea ortonormală maximă.
Transformarea Fourier transformă funcțiile din spațiul de mai sus în elemente l 2 ( ℤ) , spațiul funcțiilor însumabile pătrate ℤ → ℂ . Ultimul spațiu este un spațiu Hilbert, iar transformata Fourier definește un izomorfism al spațiilor Hilbert [nb 5] . Baza sa este { e i , i ∈ ℤ} unde e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ .
Cel mai simplu exemplu de polinoame mărginite este spațiul funcțiilor pătrat-integrabile pe intervalul [–1, 1] pentru care polinoamele Legendre sunt o bază de spațiu Hilbert (o mulțime ortonormală completă).
Funcțiile integrabile pătrate pe sfera unitate S 2 formează un spațiu Hilbert. Funcțiile de bază în acest caz sunt armonicele sferice . Polinoamele Legendre fac parte din armonicile sferice. Majoritatea problemelor cu simetria rotațională vor avea „aceeași” soluție (cunoscută) în ceea ce privește acea simetrie, astfel încât problema inițială este redusă la o problemă de dimensiuni inferioare.
Polinoamele Laguerre corespunzătoare apar în problema funcțiilor de undă a hidrogenului după selectarea armonicilor sferice. Ele acoperă spațiul Hilbert al funcțiilor pătrat-integrabile pe intervalul semi-infinit [0, ∞) .

Mai general, se pot considera toate soluțiile polinomiale ale ecuațiilor Sturm-Liouville de ordinul doi în contextul unui spațiu Hilbert. Acestea includ polinoamele Legendre și Laguerre, precum și polinoamele Chebyshev, polinoamele Jacobi și polinoamele Hermite . Ele apar de fapt în probleme fizice, acestea din urmă în oscilatorul armonic , iar ceea ce este altfel un labirint încâlcit de proprietăți ale funcțiilor speciale pare a fi o imagine organică. Vezi Byron & Fuller (1992 , capitolul 5) pentru aceasta.

Există și spații Hilbert cu dimensiuni finite. Spațiul ℂ n este un spațiu Hilbert de dimensiune n . Produsul interior este produsul interior standard pentru aceste spații. Conține „partea de rotație” a funcției de undă a unei particule.

Cu o descriere non-relatistă a unui electron , n = 2 , iar funcția de undă totală este o soluție a ecuației lui Pauli .
În interpretarea relativistă corespunzătoare , n = 4 și funcția de undă este o soluție a ecuației lui Dirac .

Cu un număr mare de particule, situația este mai complicată. Este necesar să se utilizeze produsele tensoriale și teoria reprezentării grupurilor de simetrie implicate (grupurile de rotație și , respectiv, grupurile de Lorentz) . Alte dificultăți apar în cazul relativist dacă particulele nu sunt libere [31] . Vezi ecuația Bethe-Salpeter . Observațiile relevante se referă la conceptul de isospin , pentru care grupul de simetrie este SU (2) . Modelele de forțe nucleare din anii șaizeci (care sunt încă utilizate astăzi, vezi forțele nucleare ) au folosit grupul de simetrie SU(3) . În acest caz, de asemenea, partea din funcțiile de undă corespunzătoare simetriilor interne se află în unele ℂ n sau subspații ale produselor tensorice ale unor astfel de spații.

În teoria câmpului cuantic, principalul spațiu Hilbert este spațiul Fock . Este construit din stări libere de o singură particule, adică funcții de undă, ale unei reprezentări alese și poate găzdui orice număr finit, nu neapărat constant de timp, de particule. O dinamică interesantă este ascunsă nu în funcțiile de undă, ci în operatorii de câmp care acționează asupra spațiului Fock. Astfel, imaginea lui Heisenberg se dovedește a fi mai convenabilă (stări constante, operatori care variază în timp).

Datorită naturii infinit-dimensionale a sistemului, instrumentele matematice corespunzătoare sunt obiecte de studiu în analiza funcțională .

Ontologie

Dacă există într-adevăr o funcție de undă și ce reprezintă aceasta sunt principalele întrebări în interpretarea mecanicii cuantice . Mulți fizicieni celebri din generația anterioară au fost nedumeriți cu privire la această problemă, cum ar fi Schrödinger , Einstein și Bohr . Unii susțin formulări sau variante ale interpretării de la Copenhaga (de exemplu, Bohr, Wigner și von Neumann ), în timp ce alții, precum Wheeler sau Jaynes , adoptă o abordare mai clasică [32] și consideră funcția de undă ca o reprezentare a informațiilor în mintea observatorului, atunci sunt măsuri ale cunoașterii noastre despre realitate. Unii, inclusiv Schrödinger, Bohm, Everett și alții, au susținut că funcția de undă trebuie să aibă o existență fizică obiectivă. Einstein credea că o descriere completă a realității fizice ar trebui să se refere direct la spațiu și timp fizic, în contrast cu funcția de undă, care se referă la un spațiu matematic abstract [33] .

Vezi și

Note

Comentarii

↑ Pentru ca această afirmație să aibă sens, observabilele trebuie să fie elemente ale unui set maxim de navetă. De exemplu, operatorul de impuls al particulei i într-un sistem de n particule „nu” este un generator de un fel de simetrie prin natura sa. Pe de altă parte, impulsul „total” este un generator de simetrie în natură; simetria translaţională.
↑ Baza rezultată poate fi sau nu, în sens matematic, o bază a spațiilor Hilbert. De exemplu, stările cu o anumită poziție și un anumit impuls nu sunt pătrat-integrabile. Acest lucru poate fi depășit cu pachete wave sau prin boxarea sistemului. Vezi mai jos notele suplimentare.
↑ Tehnic, este formulat după cum urmează. Produsul interior stabilește norma . Această normă, la rândul său, induce o metrică . Dacă această măsurătoare este completă , atunci limitele de mai sus vor fi date în spațiul funcțional. Atunci spațiul pre-Hilbert se numește complet. Produsul interior complet este un spațiu Hilbert . Un spațiu de stări abstract este întotdeauna tratat ca un spațiu Hilbert. Cerința de consistență pentru spațiile funcționale este firească. Proprietatea spațiului Hilbert a unui spațiu de stări abstract a fost definită inițial din observația că spațiile funcționale care formează soluții normalizate ale ecuației Schrödinger sunt spații Hilbert.
↑ După cum se explică în nota de subsol următoare, integrala trebuie tratată ca o integrală Lebesgue , deoarece integrala Riemann este insuficientă.
↑ Conway, 1990 . Aceasta înseamnă că produsele interioare și, prin urmare, normele, sunt păstrate și că maparea este mărginită și, prin urmare, o bijecție liniară continuă. Proprietatea de completitudine este de asemenea păstrată. Astfel, aceasta corespunde notiunii corecte de izomorfism din categoria spatiilor Hilbert.

Surse

↑ Născut, 1927 , pp. 354–357.
↑ Heisenberg, 1958 , p. 143.
↑ Heisenberg, W. (1927/1985/2009). Heisenberg este tradus de Camilleri, 2009 , (din Bohr, 1985 ).
↑ Murdoch, 1987 , p. 43.
↑ de Broglie, 1960 , p. 48.
↑ Landau și Lifshitz 1977 , p. 6.
↑ Newton, 2002 , pp. 19–21.
↑ 1 2 Born, 1926a , tradus în Wheeler & Zurek, 1983 la paginile 52-55.
↑ 1 2 Born, 1926b , tradus în Ludwig, 1968 . Tot aici Arhivat 1 decembrie 2020 la Wayback Machine .
↑ Born, M. (1954).
↑ Einstein, 1905 (în germană), Arons & Peppard, 1965 (în engleză)
↑ Einstein, 1916 și o versiune aproape identică a lui Einstein, 1917 tradusă în ter Haar, 1967 .
↑ de Broglie, 1923 , pp. 507–510.548.630.
↑ Hanle, 1977 , pp. 606–609.
↑ Schrödinger, 1926 , pp. 1049–1070.
↑ Tipler, Mosca, Freeman, 2008 .
↑ 1 2 3 Weinberg, 2013 .
↑ Young, Freedman, 2008 , p. 1333.
↑ 12 Atkins , 1974 .
↑ Martin, Shaw, 2008 .
↑ Pauli, 1927 , pp. 601–623..
↑ Weinberg (2002 ) consideră că teoria cuantică a câmpului apare așa cum apare, deoarece este singura modalitate de a reconcilia mecanica cuantică cu relativitatea specială.
↑ Weinberg (2002 ) Vezi mai ales capitolul 5, de unde sunt derivate unele dintre aceste rezultate.
↑ Weinberg, 2002 Capitolul 4.
↑ Zwiebach, 2009 .
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Mecanica cuantică. - M., Nauka, 1972. - p. 29
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Mecanica cuantică. - M., Nauka, 1972. - p. 49
↑ Weinberg, 2002 .
↑ Weinberg, 2002 , capitolul 3.
↑ Conway, 1990 .
↑ Greiner, Reinhardt, 2008 .
↑ Jaynes, 2003 .
↑ Einstein, 1998 , p. 682.

Literatură

Arons, AB; Peppard, M. B. (1965). „Propunerea lui Einstein a conceptului de foton: O traducere a lucrării Annalen der Physik din 1905” (PDF) . Jurnalul American de Fizică . 33 (5) : 367. Bibcode : 1965AmJPh..33..367A . DOI : 10.1119/1.1971542 .
Atkins, P.W. Quanta: Un manual de concepte . - 1974. - ISBN 978-0-19-855494-3 .
Bohr, N. Niels Bohr - Lucrări colectate: Fundamente ale fizicii cuantice I (1926 - 1932). - Amsterdam : Olanda de Nord, 1985. - Vol. Volumul 6. - ISBN 978-044453289-3 .
Născut, M. (1926). „Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange”. Z Phys . 37 (12): 863-867. Cod biblic : 1926ZPhy ...37..863B . doi : 10.1007/ bf01397477 .
Născut, M. (1926). „Quantenmechanik der Stoßvorgange”. Z Phys . 38 (11-12): 803-827. Cod biblic : 1926ZPhy ...38..803B . doi : 10.1007/ bf01397184 .
Născut, M. (1927). „Aspecte fizice ale mecanicii cuantice”. natura . 119 (2992): 354-357. Bibcode : 1927Natur.119..354B . DOI : 10.1038/119354a0 .
Născut, M. (11 decembrie 1954). „Interpretarea mecanicii cuantice statistice” . prelegere Nobel . Fundația Nobel . 122 (3172): 675-9. DOI : 10.1126/science.122.3172.675 . PMID 17798674 .
de Broglie, L. (1923). "Radiations-Ondes et quanta" [Radiation-Waves and quanta]. Comptes Rendus [ fr. ]. 177 : 507-510, 548, 630. Copie online (franceză) Copie online (engleză)
de Broglie, L. Non-linear Wave Mechanics: a Causal Interpretation . — Amsterdam: Elsevier, 1960.
Byron, FW Matematica fizicii clasice și cuantice / FW Byron, RW Fuller . — revizuită. - Dover Publications , 1992. - ISBN 978-0-486-67164-2 .
Camilleri, K. Heisenberg și interpretarea mecanicii cuantice: fizicianul ca filozof. - Cambridge UK: Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88484-6 .
Conway, JB Un curs de analiză funcțională. - Springer Verlag , 1990. - Vol. Volumul 96. - ISBN 978-0-387-97245-9 .
Dirac, PAM (1939). „O nouă notație pentru mecanica cuantică”. Actele matematice ale Societății Filozofice Cambridge . 35 (3): 416-418. Cod biblic : 1939PCPS ...35..416D . DOI : 10.1017/S0305004100021162 .
Dirac, PAM Principiile mecanicii cuantice. — al 4-lea. - Oxford University Press, 1982. - ISBN 0-19-852011-5 .
Einstein, A. (1905). „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt”. Annalen der Physik [ germană ] ]. 17 (6): 132-148. Cod biblic : 1905AnP ...322..132E . DOI : 10.1002/andp.19053220607 .
Einstein, A. (1916). Zur Quantentheorie der Strahlung. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 :47-62.
Einstein, A. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift [ germană ] ]. 18 :121-128. Cod biblic : 1917PhyZ ...18..121E .
Einstein, A. Albert Einstein: filozof-om de știință. — al 3-lea. - La Salle Publishing Company, Illinois : Curtea deschisă, 1998. - Vol. VII. — ISBN 978-0-87548-133-3 .
Eisberg, R. Fizica cuantică a atomilor, moleculelor, solidelor, nucleelor și particulelor / R. Eisberg, R. Resnick. — al 2-lea. - John Wiley & Sons, 1985. - ISBN 978-0-471-87373-0 .
Greiner, W. Electrodinamică cuantică / W. Greiner, J. Reinhardt. — al 4-lea. - springer, 2008. - ISBN 978-354087560-4 .
Griffiths, DJ Introducere în mecanica cuantică. — al 2-lea. - Essex England: Pearson Education, 2004. - ISBN 978-013111892-8 .
Griffiths, David. Introducere în particulele elementare . - Wiley-VCH, 2008. - P. 162 și urm. — ISBN 978-3-527-40601-2 .
ter Haar, D. Vechea teorie cuantică . - Pergamon Press , 1967. - P. 167-183 .
Hanle, P. A. (1977), Reacția lui Erwin Schrodinger la teza lui Louis de Broglie despre teoria cuantică , Isis vol. 68 (4): 606–609 , DOI 10.1086/351880
Heisenberg, W. Fizica și filozofia: revoluția în știința modernă . — New York: Harper & Row, 1958.
Jaynes, E. T. Teoria probabilității: logica științei. - Cambridge University Press , 2003. - ISBN 978-0-521 59271-0 .
Landau, L.D. Mecanica cuantică: Teorie non-relativistă / L.D. Landau, E.M. Lifshitz . — al 3-lea. - Pergamon Press , 1977. - Vol. Vol. 3. - ISBN 978-0-08-020940-1 . copie online
Lerner, RG Enciclopedia de fizică / RG Lerner, GL Trigg. — al 2-lea. - VHC Publishers, 1991. - ISBN 978-0-89573-752-6 .
Ludwig, G. Mecanica undelor . - Oxford Marea Britanie: Pergamon Press, 1968. - ISBN 978-0-08-203204-5 .
Martin, BR Fizica particulelor / BR Martin, G. Shaw. — al 3-lea. - John Wiley & Sons, 2008. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
Murdoch, D. Niels Bohr's Philosophy of Physics . - Cambridge UK: Cambridge University Press, 1987. - ISBN 978-0-521-33320-7 .
Newton, R. G. Fizica cuantică: un text pentru studentul absolvent. - New York: Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95473-8 .
Pauli, Wolfgang (1927). Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift blan Physik [ germană ] ]. 43 (9-10): 601-623. Cod biblic : 1927ZPhy ...43..601P . doi : 10.1007/ bf01397326 .
Peleg, Y. Mecanica cuantică / Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur … [ și alții ] . — al 2-lea. - McGraw Hill, 2010. - ISBN 978-0-07-162358-2 .
Rae, A.I.M. Mecanica cuantică . — al 5-lea. — Taylor & Francis Group, 2008. — Vol. Volumul 2. - ISBN 978-1-5848-89700 .
Schrodinger, E. (1926). „O teorie ondulatorie a mecanicii atomilor și moleculelor” (PDF) . Revizuirea fizică . 28 (6): 1049-1070. Cod biblic : 1926PhRv ...28.1049S . DOI : 10.1103/PhysRev.28.1049 . Arhivat din original (PDF) la 17 decembrie 2008.
Shankar, R. Principiile mecanicii cuantice. — al 2-lea. - 1994. - ISBN 978-030644790-7 .
Tipler, PA Fizica pentru oameni de știință și ingineri – cu Fizica modernă / PA Tipler, G. Mosca, Freeman. — al 6-lea. - 2008. - ISBN 978-0-7167-8964-2 .
Weinberg, S. (2002), Teoria cuantică a câmpurilor , voi. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 , < https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev >
Weinberg, S. (2013), Lectures in Quantum Mechanics , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02872-2
Wheeler, JA Teoria cuantică și măsurarea / JA Wheeler, W. H. Zurek . — Princeton NJ: Princeton University Press, 1983.
Young, HD Sears și Universitatea de Fizică Zemansky / HD Young, RA Freedman. — al 12-lea. - Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0-321-50130-1 .
Zettili, N. Mecanica cuantică: concepte și aplicații. — al 2-lea. - 2009. - ISBN 978-0-470-02679-3 .
Zwiebach, Barton. Un prim curs de teoria corzilor. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .
Dicţionar enciclopedic fizic / Ch. ed. A. M. Prohorov. Ed. numara D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov și alții - M .: Sov. Enciclopedie, 1984. - 944 p.
Yong-Ki Kim. Fizică atomică practică (neopr.) // Institutul Național de Standarde și Tehnologie. - 2000. - 2 septembrie. - S. 1 (55 pagini) . Arhivat din original pe 22 iulie 2011.
Polkinghorne, John . Teoria cuantică, ofoarte scurtă introducere . - Oxford University Press , 2002. - ISBN 978-0-19-280252-1 .

Link -uri

Mecanica cuantică - articol din Marea Enciclopedie Sovietică .
Dicționar enciclopedic fizic: mecanică cuantică"

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Britannica (online) Britannica (online)

Secțiuni de mecanică
mecanica clasica Teoria specială a relativității Mecanica teoretică Teoria generală a relativității Mecanica relativistă Mecanica cuantică
Mecanica continuului	Hidrostatică Hidrodinamică Aeromecanica Aerostatice dinamica gazelor Teoria elasticității Teoria plasticității Mecanica fracturii solidelor Reologie
teorii	Teoria oscilației Teoria durabilității
mecanica aplicata	Rezistența materialelor Teoria mecanismelor și mașinilor Piese de mașină Mecanica structurala Hidraulica Mecatronică Mecanica cerească Optomecatronică