Tensor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 iunie 2022; verificările necesită 6 modificări .

Un tensor (din lat. tensus , „timp”) este un obiect de algebră liniară folosit în matematică și fizică , definit pe un spațiu vectorial de dimensiune finită . În fizică, spațiul fizic tridimensional sau spațiu-timp cu patru dimensiuni acționează de obicei ca tensor, iar componentele tensorului sunt coordonatele unor mărimi fizice interconectate. $V$ $n$ $V$

Utilizarea tensoarelor în fizică vă permite să înțelegeți mai bine legile și ecuațiile fizice, să simplificați scrierea acestora prin reducerea multor mărimi fizice asociate într-un singur tensor și, de asemenea, să scrieți ecuații într-o formă care nu depinde de cadrul de referință ales .

Tensorii diferă în rang , care este determinat de o pereche de numere naturale , unde este contravariant și este rang covariant (și se spune o dată contravariant și o dată tensor covariant), iar suma se numește pur și simplu rangul tensorului. $(s,r)$ $s$ $r$ $s$ $r$ $s+r$

Tensorii de rang sunt vectori ai unui spațiu liniar, legați poliliniar de spațiu și notați cu sau . Dimensiunea este egală cu numărul de componente tensoare, iar componentele în sine sunt coordonatele tensorului din bază, „atașate” bazei spațiale . Rangul tensorului, împreună cu dimensiunea spațiului , determină numărul de componente ale tensorului , iar rangul covariant și contravariant determină natura dependenței lor pe baza spațiului . $(s,r)$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $T_{r}^{s}(V)$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $n^{s+r}$ $V$

Este relația multiliniară dintre și care face posibilă identificarea vectorilor din ca tensori pe , și nu doar vectori ai unui spațiu, deoarece atunci când se schimbă baza în, baza în și coordonatele tensorului ca vector al acestui spațiu schimba de asemenea. Prin urmare, se vorbește despre reprezentarea în coordonate a tensorului în baza spațiului . În ciuda modificărilor componentelor tensorilor la schimbarea bazei, tensorii, ca obiecte algebrice și geometrice, nu depind de bază - seturi diferite de coordonate în baze diferite pot corespunde aceluiași obiect. $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$ $V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $V$

Componentele unui tensor cu bază fixă pot fi structurate sub forma unui tabel -dimensional . La rangul 0, tabelul este un singur număr, la rangul 1, o mulțime ordonată (vector coloană sau rând), la rangul 2, o matrice pătrată, la rangul 3, un cub tridimensional și așa mai departe. o reprezentare vizuală pentru ranguri mari este dificilă. $V$ $(n+r)$ $n\times n\times \cdots \times n$

Astfel, tensorii de rang 1 sunt vectori ai spațiului , precum și funcționale liniare ( covectori ) pe , formând spațiul dual de aceeași dimensiune. Tensorii de rang 2 sunt forme biliniare , operatori liniari și bivectori pe , care formează și spațiile liniare corespunzătoare. Tensorii (de rang 0) includ și scalari - elemente ale câmpului pe care este dat spațiul (de obicei acestea sunt numere reale sau complexe). Scalarii nu se modifică (invarianți) atunci când se schimbă baza. $V$ $V$ $V^*$ $V$ $V$

Componentele tensorului de rang sunt scrise folosind indici superiori (contravarianți) și inferiori (covarianților): . De exemplu, vectorii în notație tensorală se scriu cu un indice , operatori liniari cu indice și indice: , forme biliniare (tensori dublu covarianți) cu două indice . Un tensor de tip (de exemplu, tensorul de curbură Riemann ) ar fi scris ca . $(s,r)$ $s$ $r$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $x^i$ $a_{j}^{i)$ $F_{{ij}}$ $(1,3)$ $R_{jkl}^{i)$

Aplicațiile folosesc adesea câmpuri de tensori , care atribuie tensori diferiți diferitelor puncte din spațiu (de exemplu, tensorul tensorii dintr-un obiect). Cu toate acestea, ei sunt adesea denumiți simplist și tensori.

Tensorii au fost popularizați în 1900 de Tullio Levi-Civita și Gregorio Ricci-Curbastro , care au continuat lucrările anterioare ale lui Bernhard Riemann și Alvin Bruno Christoffel . Cuvântul „tensor” a fost inventat de fizicianul german W. Vogt în 1898 [1] .

Preliminari

regula lui Einstein

Aici și mai departe în textul articolului, se va folosi în principal convenția general acceptată - așa-numita regulă a lui Einstein , conform căreia, dacă în înregistrare există indici superiori și inferiori, indicați prin aceeași literă (așa- numit indice „tăcut”), atunci se presupune însumarea. De exemplu, intrarea înseamnă același lucru cu . Acest lucru simplifică scrierea formulelor prin nespecificarea semnelor de însumare. Pentru indecșii marcați cu litere diferite, nu se așteaptă însumarea. Indexul mute „dispare” ca urmare, în timp ce indicii rămași rămân, de exemplu: sau . Vezi și subsecțiunea acestui articol dedicată operației de convoluție. $x^{i}e_{i)$ $x=\sum _{i=1}^{n}x^{i}e_{i)$ ${\displaystyle y^{j}=c_{i}^{j}x^{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{j}x^{i))$ $a_{i}^{j}=b_{k}^{j}c_{i}^{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{j}c_ {i}^{k}$

Contravarianța vectorilor

Fie un set de vectori să fie o bază într-un spațiu vectorial . Atunci orice vector al acestui spațiu în baza dată este reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază: . Un set de numere (ordonate) (vector coloană) se numește coordonatele sau componentele vectorului în baza dată sau reprezentarea în coordonate a vectorului. $\{e_{i}\}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ $V$ $X$ $x=x^{i}e_{i)$ $\{x^{i}\}=(x^{1},x^{2},...,x^{n})^{T)$

Luați în considerare un alt set de vectori , care este, de asemenea, o bază. Fiecare dintre vectorii bazei noi poate fi reprezentat în baza „veche” (precum și orice vector): , adică prin coordonatele . În consecință, matricea ale cărei coloane reprezintă coordonatele noii baze în cea veche este matricea de transformare a bazei vechi în cea nouă. Matricea inversă vă permite să obțineți baza veche din cea nouă. În plus, cu ajutorul matricei inverse se poate obține reprezentarea în coordonate a unui vector arbitrar într-o bază nouă. Într-adevăr, , adică noile coordonate (în noua bază) sunt egale (în formă matrice-vector, aceasta este scrisă ca ). Adică, coordonatele vectorului sunt convertite înapoi la bază. Această proprietate a unei transformări de coordonate se numește contravarianță . $\{e'_{i}\}=(e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})$ ${\displaystyle e'_{i}=e_{i'}=c_{i'}^{i}e_{i))$ ${\displaystyle (c_{i'}^{1},c_{i'}^{2},...,c_{i'}^{n})^{T))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $C^{-1}=\{c_{i}^{i'}\}$ $x=x^{i}e_{i}=x^{i}c_{i}^{i'}e_{i'}=(x^{i}c_{i}^{i'} )e'_{i}$ $x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}$ $x'=C^{-1}x$

Covarianța funcționalelor liniare

Dacă coordonatele oricărui obiect vor fi transformate ca bază, adică folosind matricea de transformare a bazei, atunci aceasta se numește covarianță . Un exemplu de obiect covariant este așa-numiții covectori - acestea sunt funcționale liniare (forme liniare ) pe spațiu . Acest lucru necesită o explicație. Datorită liniarității, mulțimea tuturor acestor funcționale formează, de asemenea, un spațiu vectorial , care se numește dual cu și are aceeași dimensiune cu . Astfel, funcționalele liniare (formele) sunt vectori ai spațiului dual. Ei devin covectori (tensori covarianți de rang 1) în virtutea legării la spațiul principal , și anume, alegerea specifică a bazei spațiului dual, determinată unic de baza spațiului . Într-o bază de spațiu dat, o formă liniară arbitrară este egală cu .Coordonatele vectoriale pot fi interpretate și ca funcții liniare care asociază fiecare vector cu coordonatele corespunzătoare: . Aceste funcționale liniare sunt o bază în spațiul dual și sunt numite bază duală (sau duală) (la baza spațiului de bază). În consecință, o formă liniară arbitrară este reprezentată ca: , adică și ca un set de coordonate (sunt scrise ca vector rând, spre deosebire de vectorul coloană de coordonate ale vectorilor spațiali principali). $V$ $V^*$ $V$ $V$ $V$ $V$ $V$ $f(x)=f(x^{i}e_{i})=f(e_{i})x^{i}=f_{i}x^{i)$ $x^i$ $x^{i}=e^{i}(x)$ $f(x)=f_{i}e^{i)$ $(f_{1},f_{2},...,f_{n})$

În noua bază avem: , unde sunt coordonatele formei liniare în noua bază duală . Ele sunt transformate folosind aceeași matrice de tranziție de la vechea bază spațială la cea nouă . Acest lucru poate fi explicat fără formule: o funcțională liniară este un vector în spațiu , prin urmare, atunci când se schimbă baza în ea, coordonatele sale se schimbă înapoi la baza lor, dar această bază duală se schimbă la rândul său invers cu schimbarea bazei în spațiu ( deoarece acestea sunt coordonatele vectorilor de fapt) . Ca urmare, coordonatele funcției liniare sunt transformate în același mod ca baza spațiului principal. Prin urmare, se numesc covectori în raport cu spațiul principal. $f(x)=f(x^{i'}e_{j'})=f(e_{i'})x^{i'}=f(c_{i'}^{i}e_ {i})e^{i'}(x)=f(e_{i})c_{i'}^{i}e^{i'}=(f_{i}c_{i'}^{i })e^{i'}=f_{i'}e^{i'}$ $f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i)$ ${\displaystyle \{e^{i'}(x)\))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $V$ $f'=fC$ $V^*$ $V$

Note

1. În cazul bazelor ortonormale , se transpune pur și simplu matricea de transformare inversă a bazei: , deci , adică dacă coordonatele formei liniare sunt scrise nu ca vector rând, ci ca vector coloană, atunci regula pentru transformarea coordonatelor formei liniare nu va diferi de transformările vectorului de regulă. Astfel, în timpul tranzițiilor între baze ortonormale (rotații sau modificări ale orientării bazei), transformarea covariantă nu diferă de cea contravariantă. $C^{T}=C^{-1)$ $(fC)^{T}=C^{T}f^{T}=C^{-1}f^{T)$

2. În spațiile cu (pseudo) produs scalar ((pseudo) spații euclidiene), spațiul este izomorf canonic față de spațiul , adică pot fi identificate (fiecare funcțional liniar este reprezentat ca produs scalar al unui vector fix și argumentul vectorial al funcției , adică , respectiv, între și există o corespondență unu-la-unu). Prin urmare, un vector și un covector pot fi considerate în esență un singur obiect. În acest sens, se crede că același vector (în cazul general, un tensor) poate fi reprezentat simplu atât în coordonate contravariante, cât și în coordonate covariante. Acest lucru se face adesea, de exemplu, în fizică, unde tensorii sunt de obicei considerați fie în spațiu geometric tridimensional, fie în spațiu-timp cu patru dimensiuni. $V^*$ $V$ $a\in V$ $x \în V$ $f(x)=(a,x)$ $A$ $f$

Exemple de recalculare a coordonatelor la schimbarea bazei

Un exemplu de recalculare a coordonatelor unui vector la schimbarea bazei

Să luăm în considerare un vector dintr-un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian ), care este reprezentat în figura din dreapta ca o săgeată verde direcționată. Într-o anumită bază (este marcat cu roșu în figură) pe un plan format din vectori și , acest vector are coordonate , adică (vectorul în sine nu depinde de alegerea bazei și este setat independent de acesta). $v$ ${\color {roșu}e_{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\color {roșu}e_{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ ${\color {limegreen}v}={\color {roșu}e_{1}}+2\color {roșu}e_{2}$ $v$

Acum introducem o nouă bază , obținută de la prima prin pornirea în direcția pozitivă. Să extindem vectorii , , în termeni de bază , și notăm prin coordonata --a a vectorului , atunci $\color {albastru}f_{1}$ $\color {albastru}f_{2}$ $45^{\circ )$ $\color {albastru}f_{1}$ $\color {albastru}f_{2}$ $\color {roșu}e_{1}$ $\color {roșu}e_{2}$ $c_{i}^{j)$ $j$ $\color {albastru}f_{i}$

f i = c i unu e unu + c i 2 e 2 = c i j e j , i = unu , 2 , {\displaystyle {\color {albastru}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {roșu}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {roșu}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {roșu}e_{j}},\quad i=1,2,}

{\color {albastru}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {roșu}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {roșu}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\color {roșu}e_{j}},\quad i=1,2,

Evident._ _ _ În consecință, matricea de tranziție de la bază , la bază , are forma . ${\color {albastru}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}} }\end{pmatrix}}$ ${\color {albastru}f_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2} }}\end{pmatrix}}$ $(c_{i}^{j})$ $\color {roșu}e_{1}$ $\color {roșu}e_{2}$ $\color {albastru}f_{1}$ $\color {albastru}f_{2}$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt { 2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

Deoarece coordonatele vechi sunt legate de cele noi ca sau, respectiv, în forma matriceală , dependența inversă a coordonatelor din noua bază de coordonatele din cea veche arată ca în notația tensorală ca și în notația matriceală ca . Inversul matricei este ușor de găsit în acest caz: . În consecință, coordonatele vectorului din noua bază sunt ${\color {limegreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {albastru}f_{i}}={\tilde {v}}^{i}c_{i} ^{j}{\culoare {roșu}e_{j}}=v^{j}{\culoare {roșu}e_{j}}$ $v^{j}=c_{i}^{j}{\tilde {v}}^{i}$ $v=C{\tilde {v}}$ ${\tilde {v}}^{i}=c_{j}^{i}v^{j}$ ${\tilde {v}}=C^{-1}v$ $C^{-1}=C^{T}=\{c_{j}^{i}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2)}}& {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix }}$

v ~ = ( unu 2 unu 2 − unu 2 unu 2 ) ( unu 2 ) = ( 3 2 unu 2 ) = ( 3 2 2 2 2 ) {\displaystyle {\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}} și {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}} ${\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}} și {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}$

Se poate observa că coordonatele vectorului din noua bază diferă într-adevăr de coordonatele din vechea bază (care era deja văzută din figură), în timp ce vectorul în sine , ca element al spațiului, nu depinde de alegere. a bazei (geometric, săgeata verde nu s-a schimbat în niciun fel) . $\color {limegreen}v$

Un exemplu de recalculare a coordonatelor unei funcționale liniare

Funcționalele liniare sunt covectori (tensori covarianți de rang 1), prin urmare, la schimbarea bazei, coordonatele lor sunt transformate în același mod ca și baza (folosind aceeași matrice). De exemplu, luați în considerare același spațiu euclidian bidimensional cu aceeași bază roșie inițială și vector verde.

Fie în această bază (mai precis, în dualul său) o funcțională liniară are coordonatele (1,1) (se poate demonstra că o astfel de funcțională găsește o proiecție pe direcția vectorului (1,1) și o înmulțește de . De exemplu, pentru vectorul verde din figură valoarea funcționalei este 1 + 2 = 3. Valoarea funcționalului nu ar trebui să depindă de bază. Să arătăm acest lucru folosind exemplul unei noi baze, în care axa se obține prin rotirea cu 45 de grade în sens invers acelor de ceasornic, iar axa rămâne neschimbată.Matricea de transformare a bazei va arăta astfel: , iar noile coordonate ale funcționalei liniare vor fi egale cu .Matricea de transformare inversă a bazei este .Folosind aceasta, găsim coordonatele vectorului v în noua bază . În consecință, valoarea funcționalei liniare a vectorului în noua bază va fi: , adică am obținut aceeași valoare ca în baza originală . $\varphi(x)$ ${\sqrt {2}}$ $v$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ $X$ $y$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\end{pmatrix}}$ $\varphi =(1,1){\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\ end{pmatrix}}=({\frac {2}{\sqrt {2}}},1)$ $C^{-1}={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}$ $v={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}$ $({\frac {2}{\sqrt {2}}},1){\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}=3$

Valoarea funcționalei liniare nu depinde de baza aleasă, ci depinde doar de argumentul vectorial, care, de asemenea, nu depinde de bază, cu toate acestea, în notația de coordonate, atât vectorul, cât și covectorul depind de bază.

Definiții

Există mai multe definiții echivalente ale tensoarelor. Echivalența lor se datorează faptului că între seturile de obiecte (inclusiv operațiile tensorice și relațiile dintre ele) generate de aceste definiții, se poate stabili o corespondență unu-la-unu (se spune că spațiile acestor obiecte sunt izomorfe între ele) .

Tensor ca set de componente (obiect multi-index)

Definiție generală. Regula de transformare a coordonatelor

Un tensor de tip pe un spațiu vectorial (dimensiune ) este un obiect specificat în mod arbitrar printr-un set de numere (fiecare dintre indici poate lua valori de la 1 la ), care, la trecerea la o altă bază , se modifică în funcție de următoarea lege (se aplică regula Einstein): $(_{r}^{s})$ $V$ $n$ $\{e_{i}\}$ $T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}$ $n$ ${\displaystyle \{e_{i}^{'}\))$

T_{j'_{1}j'_{2}\dots j'_{r}}^{i'_{1}i'_{2}\dots i'_{s}}= T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}c_{i_{1}}^{i'_{1}} c_{i_{2}}^{i'_{2}}\dots c_{i_{s}}^{i'_{s}}c_{j'_{1}}^{j_{1}} c_{j'_{2}}^{j_{2}}\dots c_{j'_{r}}^{j_{r}}

adică o dată cu matricea inversă a matricei de transformare a bazei și o dată cu matricea de transformare a bazei. Cu alte cuvinte, în cadrul acestei definiții, un tensor este o matrice de componente + legea transformării componentelor la schimbarea bazei. $s$ $r$

Numărul se numește valență sau rang al tensorului, - valență contravariantă, - valență covariantă. Se mai spune - ori contravariant și - ori tensor covariant. Numărul de componente tensoare (un set de numere care reprezintă un tensor într-o bază dată) este . $s+r$ $s$ $r$ $s$ $r$ $n^{s+r}$

În consecință, din această definiție rezultă că vectorul unui spațiu este un tensor de tip , iar covectorul acestui spațiu este un tensor de tip . Pentru comoditate, se crede că tensorul de tip este câmpul numerelor reale în sine, adică scalari care nu se schimbă atunci când se schimbă baza. $V$ $(_{0}^{1})$ $(_{1}^{0})$ $(_{0}^{0})$

Transformări de coordonate în cazuri particulare

Pentru un vector spațial , care este un tensor contravariant de rang 1 , formula de transformare a coordonatelor la schimbarea bazei va avea forma , sau sub formă de matrice: , unde sunt vectorii coloană ai coordonatelor vectorului x în vechea bază și noua bază. $X$ $V$ $x^i$ $x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}=c_{i}^{i'}x^{i}$ $\mathbf {x} '=C^{-1}\mathbf {x}$ $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '$

Pentru o formă liniară - un tensor covariant de rang 1, formula de transformare a coordonatelor va arăta ca: , sau sub formă de matrice , unde sunt vectorii rând de coordonate ai formei liniare în baza veche și nouă. $f(x)$ $f_{i}$ $f'_{i}=f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i)$ $\mathbf {f} '=\mathbf {f} C$ $\mathbf {f} ,\mathbf {f} '$ $f$

Pentru o formă biliniară (un tensor dublu covariant ), formula de transformare a coordonatelor este: $B:V^{2}\rightarrow R$ $B_{ij)$

$B'_{ij}=B_{i'j'}=B_{ij}c_{i'}^{i}c_{j'}^{j}=c_{i'}^{i} B_{ij}c_{j'}^{j}=C^{T}BC$

Pentru un operator liniar (o dată covariant și o dată contravariant tensor ), formula de recalculare a coordonatelor este: $A:V\rightarrow V$ $A_{i}^{j)$

$A_{i'}^{j'}=A_{i}^{j}c_{i'}^{i}c_{j}^{j'}=c_{j}^{j'} A_{i}^{j}c_{i'}^{i}=C^{-1}AC$

Pseudotensori

Pseudotensorii sunt obiecte algebrice ale căror coordonate sunt transformate similar tensoarelor, cu excepția schimbării orientării bazei - în acest caz, pseudotensorii își schimbă semnul, spre deosebire de tensorii adevărați. Formal, aceasta înseamnă că în legea transformării coordonatelor este necesar să se adauge un factor egal cu semnul determinantului matricei transformării bazei: . $sign(det(C))$

Cazurile speciale de pseudotensori sunt pseudoscalari și pseudovectori . Un exemplu de pseudoscalar este așa-numitul volum orientat . Un exemplu de pseudovector este rezultatul unui produs încrucișat în spațiul 3D, cum ar fi vectorul moment unghiular . Simbolurile Levi-Civita sunt, de asemenea, pseudotensori .

Obiecte multi-index care nu sunt tensori

Orice set de numere (de exemplu, o matrice), în absența sau inconsecvența legii modificării lor atunci când baza spațiului se schimbă cu legea tensorială a transformării coordonatelor, nu este un tensor. Obiectele multi-index care sunt egale cu zero în cel puțin o bază (toate coordonatele din această bază sunt egale cu zero) nu sunt, de asemenea, tensori.

Există obiecte care sunt similare cu tensorii (le sunt aplicabile operațiuni standard cu tensori, de exemplu, convoluția cu vectori sau alți tensori), dar legea de transformare a cărora la schimbarea bazei nu este tensor. Un exemplu clasic, dar complex de astfel de obiecte sunt simbolurile Christoffel , care denotă componentele așa-numitei conexiuni (o translație paralelă infinitezimală a unui vector de-a lungul unei curbe) în varietățile Riemanniene - legea lor de transformare nu este tensorial. Cu toate acestea, convoluția componentelor conectate cu un vector dă un vector real, iar diferența lor este un tensor real (tensor de torsiune ). Simbolurile Christoffel, ca orice coeficienți de conexiune de pe mănunchi , sunt elemente ale unui spațiu mai complex decât spațiul tensoarelor - fascicule de jet . $\Gamma _{jk}^{i)$

De asemenea, tensorii nu includ în sine matricele de transformare a coordonatelor ( matrice Jacobi ), care sunt un caz special de difereomorfism între două varietăți, cu ajutorul cărora se introduce definiția clasică a tensorului, deși în multe dintre proprietățile lor seamănă cu un tensor. Pentru ei, puteți introduce și superindice și indice, operații de înmulțire, adunare și convoluție. Totuși, spre deosebire de tensor, ale cărui componente depind doar de coordonatele de pe varietatea dată, componentele matricei iacobiene depind și de coordonatele de pe imaginea de varietate. Această diferență este evidentă în cazul în care sunt luate în considerare matricele Jacobi ale unui difeomorfism a două varietăți arbitrare, dar când varietatea este mapată în sine, ea poate fi trecută cu vederea, deoarece spațiile tangente ale imaginii și ale preimaginei sunt izomorfe (nu canonice) . Cu toate acestea, persistă. Analogia dintre matricele Jacobi și tensorii poate fi dezvoltată luând în considerare mănunchiurile vectoriale arbitrare peste o varietate și produsele lor, și nu doar mănunchiurile tangente și cotangente.

Tensor ca funcție multiliniară

Definiție generală

Un tensor de tip este o funcție multiliniară (formă multiliniară) , adică o funcție numerică a argumentelor de următoarea formă , unde sunt funcționale liniare pe și sunt vectori de spațiu . $(_{r}^{s})$ $T\colon (V^{*})^{s}\times V^{r}\to R$ $s+r$ $T(f_{1},f_{2},...,f_{s},x_{1},x_{2},...,x_{r})$ $f_{i}$ $V$ $x_{j}$ $V$

Coordonatele tensorului în anumite baze vor fi valorile funcției multiliniare pe diferite combinații de vectori de bază: $T_{j_{1}j_{2}...j_{r}}^{i_{1}i_{2}...i_{s}}=T(e^{i_{1}} ,e^{i_{2}},...,e^{i_{s}},e_{j_{1}},e_{j_{2}},...,e_{j_{r}} )$

Funcții multiliniare pe V ca tensori covarianți

Pe un spațiu, funcțiile multiliniare sunt funcții numerice ale mai multor argumente vectoriale ale acestui spațiu, liniare în fiecare dintre argumentele: . Liniaritatea față de fiecare argument înseamnă că aceste funcții pot fi considerate funcționale liniare față de fiecare argument, dacă celelalte argumente sunt fixe. $V$ $f(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

Funcțiile multiliniare ale argumentelor vectoriale în spațiu sunt tensori de tip , adică tensori covarianți de -time (covectorii au fost un caz particular al acestui tip de tensori). Într-adevăr, dacă considerăm un astfel de tensor ca o funcție , atunci când reprezentăm fiecare dintre vectori ca o combinație liniară de vectori ai bazei spațiului, datorită multiliniarității funcției, obținem: $r$ $V$ $(_{r}^{0})$ $r$ $T(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

$T(x_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}},x_{2}^{i_{2}}e_{i_{2}},...,x_{r }^{i_{r}}e_{i_{r}})=x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{ r}}T(e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{r}})=T_{i_{1}i_{2}...i_{r }}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$

unde este expresia coordonate a funcției multiliniare, iar produsele sunt baza duală a spațiului dual la . Adică, funcțiile multiliniare formează un spațiu vectorial dual cu . Când se schimbă baza în spațiul principal din spațiul dual, baza se schimbă înapoi, iar vectorii spațiului dual însuși (adică, în acest caz, funcțiile multiliniare) se schimbă înapoi la baza lor și, prin urmare, la fel ca și baza spațiului principal. Astfel, funcțiile multiliniare de pe spațiu se transformă covariant în reprezentarea în coordonate și sunt tensori covarianți de -time. $T_{i_{1}i_{2}...i_{r))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$ $(V^{*})^{r}$ $(V)^{r)$ $(V)^{r)$ $V$ $r$

Un exemplu clasic de tensori de tip (tensor dublu covariant) sunt formele biliniare - funcții numerice a două argumente-vectori ai spațiului , liniare în fiecare dintre argumente. În reprezentarea de coordonate, este scris ca o matrice de componente - valori biliniare pe perechi de vectori de bază. La schimbarea bazei, matricea formei biliniare este transformată ca , unde C este matricea de transformare a bazei. $(_{2}^{0})$ $g(x,y)$ $A$ $A'=C^{T}AC$

Funcții multiliniare pe V* ca tensori contravarianți

În mod similar, se poate arăta că funcțiile multiliniare din spațiul dual sunt tensori de tip datorită naturii contravariante a transformării coordonatelor. ${\displaystyle (V^{*})^{s))$ $(_{0}^{s})$

Este ceva mai greu de înțeles în această definiție că tensorii contravarianți ai tipului sunt vectori ai spațiului . Ideea este că funcționalele liniare din spațiu formează, de asemenea, spațiul dual cu k — al doilea spațiu dual, notat cu . Cu toate acestea, se poate demonstra că pentru spațiile vectoriale cu dimensiuni finite, al doilea spațiu dual este izomorf canonic față de spațiul vectorial original , adică spațiile și pot fi identificate. Prin urmare, funcționalele liniare pe spațiul dual pot fi identificate cu vectorii spațiului , respectiv, aceștia sunt tensori de tip $(_{0}^{1})$ $V$ $V^{*}$ $V^{*}$ $V^{**}$ $V^{**}$ $V$ $V$ $V^{**}$ $V^{*}$ $V$ $(_{0}^{1})$

Funcții multiliniare ca mapări liniare

În mod similar, se poate arăta că legea de transformare a funcțiilor multiliniare generale corespunde și celei tensorale.

Ceea ce nu este evident din această definiție este că operatorii liniari pe sunt tensori de tip . Cu toate acestea, dacă luăm în considerare o funcție multiliniară , unde este un vector spațiu și este o funcție liniară (un vector al spațiului dual), atunci pentru o astfel de funcție fixă este pur și simplu o funcțională liniară pe spațiu , adică un element. a spatiului . După cum sa menționat mai sus, acest spațiu este identic cu spațiul original , ceea ce înseamnă că un alt vector al aceluiași spațiu este asociat cu această funcție pentru una fixă și, în același timp, o astfel de mapare este liniară. În consecință, funcțiile multiliniare de tip sunt identificate cu operatori liniari pe . $V$ $(_{1}^{1})$ $T(f,x)$ $X$ $f$ $X$ $V^*$ $V^{**}$ $V$ $X$ $y$ $T(f,x)$ $V$

Argumentând în mod similar, se poate arăta că mapările liniare sunt tensori de tip și, mai general, mapările liniare sunt tensori de tip . $L:V^{r}\rightarrow V$ $(_{r}^{1})$ $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$ $(_{r}^{s})$

Tensorul ca element al produsului tensor al spațiilor vectoriale

Definiție generală

Tensorul de rang peste un spațiu vectorial -dimensional este un element al produsului tensor al spațiilor și al spațiilor conjugate (adică spații ale funcționalelor liniare ( covectori ) pe ) $(s,r)$ $n$ $V$ $s$ $V$ $r$ $V^*$ $V$

\tau \in \underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} _{s}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} _{r}= \left(\bigotimes _{i=1}^{s}V\right)\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{r}V^{*}\right)=(\otimes ^{ s}V)\otimes (\otimes ^{r}V^{*})=\otimes _{r}^{s}V=T_{r}^{s}(V).

Explicații despre produsul tensor

Această definiție este considerată modernă, dar necesită o explicație preliminară a conceptului dificil de produs tensor al spațiilor vectoriale. Produsul tensor al spațiilor vectoriale este un spațiu vectorial care este asociat cu aceste spații vectoriale printr- o mapare multiliniară , adică fiecare element al produsului cartezian (direct) al spațiilor vectoriale este asociat cu un element de spațiu și fiecare formă poliliniară pe acestea. spații vectoriale corespunde unei forme liniare în spațiu . $W$ $W$ $W$

Produsul tensor al vectorilor este mai ușor de definit în reprezentarea în coordonate: este un vector ale cărui coordonate sunt toate produse posibile ale coordonatelor vectorilor „înmulțiți”. De exemplu, dacă doi vectori x și y ai spațiului de dimensiune sunt „înmulțiți” , atunci produsul lor tensor este un vector de dimensiune ale cărui coordonate sunt egale cu numerele , unde indicii parcurg toate valorile posibile de la 1 la (este convenabil să scrieți aceste coordonate ca o matrice pătrată ). În formă vectorială, obținerea acestui produs matrice-tensor se va scrie ca sau în funcție de ordinea înmulțirii (a nu se confunda cu sau - în aceste cazuri se obține doar un număr). Produsul tensor este necomutativ, adică ordinea vectorilor înmulțiți afectează rezultatul (mulțimea numerelor este aceeași, dar ca seturi ordonate de numere diferă). De fapt, produsele tensoriale ale vectorilor sunt niște tensori (vectorii multiplicați nu depind de bază și, prin urmare, produsul tensor este definit independent de acesta, în timp ce orice modificare a bazei modifică reprezentarea în coordonate a vectorilor multiplicați și a produselor lor). $V$ $n$ $z$ $n^{2}$ $x^{i}y^{j)$ $i,j$ $n$ $n\ ori n$ $xy^{T}$ $yx^{T}$ $x^{T}y$ $y^{T}x$

Reprezentarea în coordonate a unui tensor

Alegem o bază în spațiu și, în consecință , o bază duală în spațiul dual (adică unde este simbolul Kronecker ). $V$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots,\mathbf {e} _{n}\))$ ${\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots,\mathbf {f} ^{n}\))$ $V^*$ $(\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b$ $\delta_a^b$

Apoi, în spațiul tensoarelor , apare în mod natural o bază $\mathrm {T} _{r}^{s}(V)=\otimes _{r}^{s}V$

\{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\ mathbf {e} _{i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\ otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant n

Un tensor arbitrar poate fi scris ca o combinație liniară de produse tensorale de bază: $\tau \in \mathrm {T} _{r}^{s}(V)$

\tau =\sum _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}} {\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}}\mathbf {e} _ {i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{s}} \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \, \mathbf {f} ^{j_{r}}.

Folosind convenția Einstein , această expansiune poate fi scrisă ca

\tau ={\tau _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{n}}} \mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _ {i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}.

Numerele sunt numite componente ale unui tensor . Indicii inferiori ai componentelor tensorale se numesc covarianți, iar indicii superiori se numesc contravarianți. De exemplu, extinderea unui tensor dublu covariant ar fi: $\tau _{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}}$ $\tau$ $h$

h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

Câmp tensor

Pentru așa-numitele varietăți netede , care nu sunt în spații vectoriale generale, se poate da un tensor pe așa-numitul spațiu tangent la un punct al varietății, deoarece spațiul tangent este un spațiu vectorial. În consecință, tensorul poate fi considerat dat într-un punct al varietății. În consecință, o funcție netedă (cu valoare tensorală), care atribuie un tensor fiecărui punct al varietatii, este un câmp tensor . $M$ $T_{p}M$ $p$

Un exemplu clasic de câmp tensor, numit de obicei pur și simplu tensor, este tensorul metric în varietățile (spații) riemanniene și este folosit și în relativitatea generală.

Exemple și aplicații de tensori

Exemple de tensori grupați după valență

Clasament contravariant (număr de superscripte)

rang covariant (număr de indice)	0	unu	2	3	s
0	Scalar , lungime vectorială , spațiere (teoria relativității) , curbură scalară	Vector (algebră) , 4-vectori în SRT, de exemplu, 4-energie-moment vector (4-momentum)	Tensor energie-impuls în relativitate generală, bivector, tensor metric invers	Tensorul de spin în teoria câmpului cuantic	Polivector
unu	Covector , formă liniară , gradient de funcție scalară	Operator liniar , delta Kronecker $L:V\rightarrow V$
2	Forma biliniară , Produs punctual , Tensor metric , Tensor Ricci , Tensor de torsiune , Tensor de câmp electromagnetic , Tensor de efort , Tensor de deformare , Moment cvadrupol	Afișaj liniar $L:V^{2}\rightarrow V$	Tensor de elasticitate (rigiditate).
3	Levi-Civita Tensor	Tensorul de curbură Riemann
r	Forma poliliniei , forma volumului	Afișaj liniar $L:V^{r}\rightarrow V$			Afișaj liniar $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$

Exemple de tensori în diverse domenii ale matematicii și fizicii

Tensorii sunt folosiți pe scară largă în diferite ramuri ale matematicii și fizicii. Multe ecuații din fizică și matematică, atunci când se utilizează notația tensorală, devin mai scurte și mai convenabile. Utilizarea tensorilor permite vizualizarea diferitelor simetrii ale mărimilor fizice, ecuațiilor și modelelor, precum și să le scrieți într-o formă covariantă generală (independentă de un anumit cadru de referință).

În matematică , tensorii sunt subiectul de studiu în calculul tensorului , care include algebra tensorială și analiza tensorială . În topologia și geometria diferențială , care studiază varietăți netede (inclusiv riemanniene), sunt considerați diverși tensori: vector tangent , formă biliniară , tensor metric , gradient al unei funcții scalare, derivată de conexiune sau covariantă , tensor de torsiune , tensor de curbură Riemann și convoluțiile sale - tensorul Ricci și curbura scalară etc.

În fizică , termenul de tensor tinde să se aplice numai tensorilor peste spațiul fizic tridimensional obișnuit sau spațiu-timp cu patru dimensiuni sau, cel puțin, asupra celor mai simple și directe generalizări ale acestor spații (deși principiul posibilității de aplicare a acestuia). în cazuri mai generale rămâne ). De exemplu, operatorii liniari ai mecanicii cuantice pot fi interpretați ca tensori peste unele spații abstracte (spații de stare), dar în mod tradițional o astfel de aplicare a termenului tensor nu este practic utilizată și, în general, este extrem de rar folosită pentru a descrie operatorii liniari peste spații infinit-dimensionale. Tensorii în fizică sunt folosiți pe scară largă în teoriile care au o natură geometrică (cum ar fi teoria generală a relativității ) sau permit geometrizare completă sau semnificativă (practic toate teoriile fundamentale moderne pot fi atribuite acestora în mare măsură - electrodinamică , mecanică relativistă etc. .), precum și în teoria mediilor anizotrope (care pot fi inițial anizotrope, ca cristalele cu simetrie scăzută, sau datorită mișcării sau tensiunilor lor, ca un lichid sau gaz care curge , sau ca un corp solid deformat). În plus, tensorii sunt utilizați pe scară largă în mecanica corpului rigid . Majoritatea tensorilor din fizică (fără a lua în considerare scalarii și vectorii) sunt de rangul doi (cu doi indici). Tensorii cu o valență mare (cum ar fi tensorul Riemann în relativitatea generală) apar, de regulă, numai în teoriile care sunt considerate destul de complexe și chiar și atunci apar adesea în principal sub forma convoluțiilor lor de valență inferioară. Majoritatea tensorilor din fizică sunt simetrici sau antisimetrici.

Mai jos este un tabel cu aplicarea tensorilor în fizică după direcție.

Secțiunea Știință	Tensorii și aplicațiile acestora
relativitatea specială (SRT)	4-vectori , inclusiv 4-vector de coordonate în spațiu-timp Minkowski 4-dimensional, tensor metric , interval (teoria relativității) ("lungimea" în acest spațiu); 4-tensorii sunt folosiți pentru a desemna orice tensor în spațiu-timp cu patru dimensiuni, în care rotațiile cadrelor includ atât rotațiile obișnuite ale spațiului tridimensional, cât și tranziția între cadrele de referință care se mișcă la viteze diferite unul față de celălalt. Este un tensor peste spațiul a 4-vectori , un tensor al cărui indice ia patru valori: unul „timp” și trei „spațial”. Un exemplu este 4-momentum ( vector 4-energy-momentum );
Relativitatea generală (GR)	tensor metric peste o varietate 4-dimensională pseudo-riemanniană, care în relativitatea generală este o dezvoltare a conceptului de potențial gravitațional newtonian și a circumvoluțiilor tensorului de curbură Riemann care rezultă din acesta - tensorul Ricci și curbura scalară (convoluția tensorul Ricci), asociat în aceeași teorie cu energia câmpului gravitațional și inclus direct în ecuația principală a teoriei (în partea stângă a ecuației lui Einstein formează împreună așa-numitul tensor Einstein ), energia-impuls. tensor al câmpurilor materiale incluse în partea dreaptă a ecuației Einstein
Electrodinamica clasica	Tensorul câmpului electromagnetic peste spațiul Minkowski, care conține puterile câmpurilor electrice și magnetice și fiind obiectul principal al electrodinamicii clasice în notație 4-dimensională. În special, ecuațiile lui Maxwell sunt scrise folosindu-l ca o singură ecuație cu 4 dimensiuni.
Teoria elasticității și mecanicii continuumului	Tensori de rangul doi peste spațiul fizic tridimensional Tensorul de deformare și tensorul de tensiuni , legați unul de celălalt prin tensorul de elasticitate de rangul 4. Se aplică și module de elasticitate .
teoria câmpului cuantic	În teoria câmpului relativistă, apar tensorul energie-impuls și tensorul Spin , care în QFT iau forma unor operatori liniari peste vectorul de stare
Cinematica unui corp rigid	Cel mai important rol îl joacă tensorul de inerție , care conectează viteza unghiulară cu momentul unghiular și cu energia cinetică de rotație. Acest tensor diferă de majoritatea celorlalți tensori din fizică, care sunt, în general, câmpuri tensorice, prin aceea că un tensor caracterizează un corp absolut rigid, determinând complet, împreună cu masa, inerția acestuia.
Teoria câmpului	Momentul cvadrupol și, în general, tensorii incluși în expansiunea multipolară : un singur tensor reprezintă în întregime momentul de distribuție a sarcinilor de ordinul corespunzător la un moment dat.
alte secțiuni	Multe mărimi, care sunt caracteristici scalare ale unei substanțe în cazul izotropiei acesteia din urmă, sunt tensori în cazul unei substanțe anizotrope . Mai precis, aceasta se referă la coeficienți substanțiali care conectează cantități vectoriale sau care stau în fața produselor (în special, pătrate) de vectori. Exemple sunt conductivitatea electrică (de asemenea, rezistivitatea sa inversă ), conductivitatea termică , susceptibilitatea dielectrică și permisivitatea , viteza sunetului (în funcție de direcție), etc. Adesea în fizică este util pseudotensorul Levi-Civita , care este inclus, de exemplu, în notația de coordonate a vectorului și a produselor mixte ale vectorilor. Componentele acestui tensor sunt întotdeauna scrise aproape în același mod (până la un factor scalar în funcție de metrică), iar în baza ortonormală dreaptă sunt întotdeauna exact aceleași (fiecare este egală cu 0, +1 sau -1) .

Tensori simetrici si antisimetrici

În diferite tipuri de aplicații, tensorii apar adesea cu o anumită proprietate de simetrie .

Un tensor se numește simetric față de doi indici co-(contra)varianți dacă nu se modifică dintr-o permutare a acestor indici:

{T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}} }={T_{{\subliniat {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

{T_{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}^{{\subline {i_{1},i_{2}}},\ldots,i_{s}} }={T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\subline {i_{2},i_{1}}},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Când se consideră un tensor ca o funcție multiliniară, aceasta înseamnă că valoarea funcției nu se schimbă atunci când aceste două argumente sunt interschimbate.

Skew-simetric ( skew simetria ) sau antisimetric în raport cu doi indici co-(contra-)varianți este un tensor care își schimbă semnul atunci când acești indici sunt interschimbați:

T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots,i_{s}}= -T_{{\subliniat {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}},\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

T_{j_{1},j_{2},\ldots,j_{r}}^({\subline {i_{1},i_{2}}},\ldots,i_{s}}= -T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\subliniați {i_{2},i_{1}}},\ldots,i_{s}},\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Când se consideră un tensor ca o funcție multiliniară, aceasta înseamnă că valoarea funcției își schimbă semnul atunci când aceste două argumente sunt interschimbate.

Aceste definiții se generalizează în mod natural în cazul a mai mult de doi indici. Un tensor este simetric față de un set de indici dacă tensorul nu se modifică pentru nicio permutare a indicilor din această mulțime. Un tensor este antisimetric în raport cu un set de indici dacă își schimbă semnul după o permutare impară (obținută printr-un număr impar de permutări a doi indici) și nu își schimbă semnul după permutările pare peste acest set de indici.

Simetria sau antisimetria nu trebuie să acopere doar indici învecinați, poate include orice indici, totuși, ținând cont de următoarele: simetria sau antisimetria se poate referi doar la indici de același fel: co- sau contravarianți. Simetriile care amestecă indici tensori co- și contravarianți, de regulă, nu au prea mult sens, deoarece, chiar dacă sunt observați în componente, sunt distruși la trecerea la o altă bază de referință (adică nu sunt invariante). Totuși, în prezența unui tensor metric, prezența operațiilor de creștere sau coborâre a indicelui elimină acest inconvenient, iar restricția la acesta este în mod esențial eliminată atunci când tensorul este reprezentat într-un mod adecvat (de exemplu, tensorul de curbură Riemann este antisimetric în primii doi şi ultimii doi indici). $R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$

Există, de asemenea, simetrii mai complexe, cum ar fi prima identitate Bianchi pentru tensorul de curbură.

Operații cu tensori

Operații liniare standard

Tensorii de aceeași valență sunt elemente ale unui spațiu liniar și permit operații de însumare și înmulțire cu un scalar , similare operațiilor pe un spațiu liniar arbitrar. La înmulțirea cu un scalar, fiecare componentă a tensorului este înmulțită cu aceasta (similar cu înmulțirea unui vector cu un scalar). Atunci când se adaugă tensori, componentele acestor tensori sunt adăugate (de asemenea, asemănătoare vectorilor).

Produs tensor

Operația produsului tensor este definită între tensori de valență arbitrară .

În reprezentarea în coordonate, componentele unui produs tensor sunt în esență toate produsele posibile ale componentelor corespunzătoare ale tensorilor multiplicați, de exemplu . $P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}$

Când se consideră tensorii ca funcții multiliniare, produsul tensor este o funcție multiliniară egală cu produsul funcțiilor multiplicator-multiliniare. În consecință, dacă un factor conține argumente, al doilea - , atunci produsul lor este o funcție a argumentelor: $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

$\varphi _{r+r'}^{s+s'}=\sigma _{r}^{s}\otimes \tau _{r'}^{s'}=\varphi (f_{ 1},..f_{s+s'},x^{1},..,x^{r+r'})=\sigma (f_{1},..,f_{s},x^ {1},..,x^{r})\tau (f_{s+1},..,f_{s+s'},x^{r+1},..,x^{r+ r '})$

În consecință, produsul dintre tensorul de rang și tensorul de rang este tensorul de rang total . $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

Acest lucru este și mai evident dacă folosim definiția unui tensor ca element al unui produs tensor, și anume dacă și atunci produsul lor $\sigma \in T_{r}^{s}=\otimes _{r}^{s}V$ $\tau \in T_{r'}^{s'}=\otimes _{r'}^{s'}V$

\sigma \otimes \tau \in T_{r+r'}^{s+s'}=T_{r}^{s}\otimes T_{r'}^{s'}=(\otimes _{r}^{s}V)\otimes (\otimes _{r'}^{s'}V)=\otimes _{r+r'}^{s+s'}V

Astfel, operația cu produsul tensor face din mulțimea tuturor spațiilor tensorale dintr-un spațiu vectorial dat o așa-numită algebră bigradată . $\otimes V$

Convoluție

Regula de însumare prin așa-numitul indice silentios implicat în notația lui Einstein (când unii indici superiori și inferiori sunt notați cu aceeași literă în notație) definește de fapt o operație tensorală specifică numită convoluție.

Convoluție tensorală

Convoluția tensorială - o operație care scade valența unui tensor, se calculează prin însumarea unei perechi de indici (superioare și inferioare, dacă diferă) și parcurgând, rămânând egale între ele, toate valorile acestora, de exemplu:

{\displaystyle A_{jkl}^{ji}=\sum _{j}A_{jkl}^{ji}=A_{kl}^{i))

Tensorul final este de obicei notat cu aceeași literă, în ciuda faptului că acesta este deja un tensor de un rang diferit (numărul de indici) care este cu 2 mai puțin decât rangul tensorului original.

În cazul unui tensor de tip (1,1), din convoluție rezultă un singur număr, numit urmă tensorului (prin analogie cu urma urmei unei matrice ). Urma este o cantitate invariantă (independentă de bază), un scalar (numit uneori invariant tensor ).

Convoluția mai multor tensori

Operația de convoluție se aplică și la doi sau mai mulți tensori (inclusiv între un tensor și un vector), de exemplu:

B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=C_{jk}^{i }

Această operație poate fi redusă la înmulțirea tensorială succesivă a acestor tensori: și apoi la convoluția tensorului rezultat . Evident, această operație este liniară pe toate canalele de intrare. Astfel, convoluția cu un tensor implementează o mapare liniară sau multiliniară a spațiilor tensorale pe un spațiu tensor (în cazul general, pe altul), în special, vectori pe vectori și vectori pe scalari. $B_{l}^{i}A_{jk}^{m}=C_{ljk}^{im)$ $C_{mjk}^{im}=C_{jk}^{i)$

Convoluția unui vector cu un tensor de rang doi este acțiunea unui operator liniar definit de acest tensor asupra vectorului:

{\displaystyle A_{j}^{i}v^{j}=\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=u^{i))

Convoluția (singura) a doi tensori de valență doi implementează compoziția operatorilor liniari definiți de acești tensori:

B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=C_{j}^{i }

Convoluția unui vector și a unui covector dă un scalar - pătratul lungimii vectorului: $x^{i}x_{i)$ $d^{2}$

Coborârea și creșterea indicelui

În spațiile cu tensor metric (spații euclidiene și pseudo-euclidiene, varietăți riemanniene și pseudo-riemanniene), operațiile de scădere și de creștere a indicilor sunt definite prin convoluție cu tensorul metric (astfel de operații schimbă natura valenței tensorului, lăsând neschimbat rangul total al tensorului):

$x_{j}=g_{ij}x^{i)$ - scăderea indicelui (tranziția de la vector la covector)

$x^{i}=g^{ij}x_{i)$ - ridicarea indicelui (tranziția de la un covector la un vector) folosind un tensor metric contravariant (matricea sa este inversă tensorului metric covariant obișnuit)

$R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$ — tensorul de curbură Riemann de tip (1,3) este transformat într-un tensor complet covariant de tip (0,4)

Operațiile de scădere și creștere a indicilor permit determinarea invarianților tensorilor complet covarianți sau complet contravarianți. De exemplu, un tensor Ricci dublu covariant poate fi redus la o formă mixtă, iar tensorul rezultat poate fi convolut. Aceste două operații pot fi pur și simplu reduse la convoluția tensorului Ricci cu tensorul metric peste o pereche de indici deodată: . Valoarea rezultată se numește curbură scalară. Nu depinde de alegerea unei baze în spațiu. $R_{j}^{k}=g^{ki}R_{ij}$ $R=g^{ij}R_{ij}$

Simetrizare și antisimetrizare

Simetrizarea și antisimetrizarea este construcția unui tensor de același tip cu un anumit tip de simetrie. De exemplu, o simetrizare a unui tensor este un tensor simetric, iar o antisimetrizare este un tensor antisimetric. $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\peste 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\peste 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$

În cazul general, simetrizarea față de indici are forma $n$

T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},

și antisimetrizare (alternanță):

T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\peste n!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}

Aici sunt toate permutările posibile ale indicilor și este paritatea permutației . $\sigma$ $i_1,\ldots,i_n,$ $\mathrm{semn}\,(\sigma)$ $\sigma.$

Desigur, nu este necesar să se simetrizeze tensorul în raport cu toți indicii; acest lucru este folosit aici doar pentru a simplifica notația.

Dacă este simetrică, atunci simetrizarea față de acești indici coincide cu și antisimetrizarea dă un tensor zero. În mod similar, în cazul antisimetriei față de unii indici. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$

Dacă atunci Aici este un simetric , și este produsul exterior al spațiilor vectoriale. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\pană$

Concepte și generalizări înrudite

Tensori în spații infinit-dimensionale

Conceptul de tensor poate fi generalizat formal în cazul spațiilor liniare cu dimensiuni infinite. Generalizările tensorilor la spații topologice se realizează prin introducerea unui produs tensor topologic.

Pentru definirea corectă a tensorilor pe astfel de spații, proprietatea de reflexivitate a acestui spațiu trebuie să fie satisfăcută, adică trebuie să fie izomorf canonic față de cel de-al doilea spațiu dual al acestuia (toate spațiile finite-dimensionale au această proprietate). Apoi, de exemplu, definiția sub formă de funcții multiliniare are o semnificație corectă și duce la faptul că vectorii și operatorii liniari pe astfel de spații sunt tensori.

În special, tensorii sunt definiți pe spațiile Hilbert , iar apoi mapările liniare pe spațiile Hilbert sunt tensori. Cu toate acestea, în aplicații (în fizică), termenul „tensor” nu este de obicei aplicat unor astfel de obiecte (de exemplu, operatorii din fizica cuantică care reprezintă diferite mărimi fizice sunt în esență tensori în spațiul Hilbert, cu toate acestea, de obicei nu sunt numiți astfel).

Deviator și parte minge

Orice tensor de rangul doi poate fi reprezentat ca suma deviatorului și a părții sferice : $\sigma_{ij}$ $s_{ij}$

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+s_{ij},\quad p=-{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i }}{N}}.

Iată valorile proprii ale tensorului. Valorile proprii ale deviatorului sunt legate de valorile proprii ale tensorului: . Conceptul de deviator este utilizat pe scară largă în mecanica continuumului. [2] $\sigma_i$ $si}$ $s_{i}=\sigma _{i}+p,\i=1,\dots,N$

Vezi și

Câmp tensor
Tensor metric
Tensor de curbură
Tensor Computing (software)

Note

↑ Woldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [Proprietățile fizice fundamentale ale cristalelor într-o prezentare elementară] (Leipzig, Germania: Veit & Co., 1898), p. 20. De la pagina 20: „Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie charakteristischen physirensennen a Görper auftreten.” (Așadar] vrem [ei. tensorii".)
↑ Klimov D. M. , Petrov A. G., Georgievskiy D. V. Fluxuri viscoplastice: haos dinamic, stabilitate, amestecare. - M., Nauka, 2005. - p. 21 - ISBN 5-02-032945-2 .

Literatură

Akivis M. A., Goldberg V. V. Calcul tensor. — M .: Nauka, 1969;
Vinberg E. B. Curs de algebră. a 3-a ed. - M. : MTSNMO, 2017. - 592 p. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
Dimitrienko Yu. I. Calcul tensor: Proc. indemnizatie. - M . : Şcoala superioară, 2001. - 576 p. — ISBN 5-06-004155-7 .
Korenev GV Tensor calcul: Proc. indemnizatie. - M . : Editura MIPT, 2000. - 240 p. — ISBN 5-89155-047-4 .
Kostrikin A.I. Introducere în algebră. a 2-a ed. - M. : MTsNMO, 2012. - Partea a II-a: Algebră liniară. — 368 p. — ISBN 978-5-94057-888-8 .
Kochin N. E. Calcul vectorial și începuturile calculului tensor (ediția a 9-a). — M .: Nauka, 1965.
McConnel A. J. Introducere în analiza tensorială cu aplicații la geometrie, mecanică și fizică. — M .: Fizmatlit , 1963.
Nomizu K. Grupuri de Lie și geometrie diferențială. — M. : IL, 1960.
Pobedrya B.E. Prelegeri despre analiza tensorilor: Proc. indemnizatie. (ed. a 3-a). - M. : Editura Universității de Stat din Moscova, 1986.
Rashevsky P. K. Riemann geometrie și analiză tensorială (ediția a III-a). - M .: Nauka, 1967.
Sharipov R. A. O introducere rapidă în analiza tensorilor. - BashGU.

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare in jurul lumii
În cataloagele bibliografice	NDL : 00572865