Triunghi dreptunghic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 mai 2022; verificările necesită 5 modificări .

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care un unghi este drept (adică 90 de grade ).

Relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic sunt în centrul trigonometriei .

Definiții înrudite

Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză (latura c din figura de mai sus).
Laturile adiacente unghiului drept se numesc picioare . Latura a poate fi identificată ca adiacentă unghiului B și opusă unghiului A , iar latura b ca adiacentă unghiului A și opusă unghiului B.

Tipuri de triunghiuri dreptunghiulare

Dacă catetele sunt egale, atunci triunghiul se numește triunghi dreptunghic isoscel .
Dacă lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi dreptunghic sunt numere naturale, atunci triunghiul se numește triunghi pitagoreic , iar lungimile laturilor sale formează așa-numita triplă pitagoreică .

Semne de egalitate de triunghiuri dreptunghiulare

După două catete: dacă catetele unui triunghi dreptunghic sunt, respectiv, egale cu catetele altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Acest semn urmează imediat de la primul semn de egalitate triunghi , deoarece două triunghiuri vor avea două catete și un unghi drept egal.

Conform catetei și unghiului ascuțit adiacent: dacă cateta și unghiul ascuțit adiacent unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și, respectiv, unghiul ascuțit adiacent altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt egale Acest semn urmează imediat din al doilea semn al egalității triunghiurilor, deoarece două triunghiuri vor avea o catenă, un unghi adiacent și un unghi drept.

Prin ipotenuză și unghi ascuțit: dacă ipotenuza și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt, respectiv, egale cu ipotenuza și unghiul ascuțit al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Acest semn decurge din al doilea semn de egalitate al triunghiurilor, deoarece al doilea unghi ascuțit va fi egal conform teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi , iar ipotenuzele și două unghiuri adiacente acestuia vor fi egale pentru triunghiuri.

Prin ipotenuză și catete: dacă ipotenuza și catetul unui triunghi dreptunghic sunt, respectiv, egale cu ipotenuza și catetul altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Vom demonstra acest semn după cum urmează. Suprapunem două triunghiuri unul peste altul astfel încât să obținem un triunghi isoscel, adică le combinăm cu catete egale, astfel încât unghiurile situate la aceste catete să se afle în planuri diferite. Deoarece ipotenuzele sunt egale, triunghiul rezultat este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt egale. Atunci două triunghiuri dreptunghiulare vor fi egale în ipotenuză și unghi ascuțit.

Conform catetei și unghiului ascuțit opus : dacă cateta și unghiul ascuțit opus al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și, respectiv, unghiul ascuțit al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Acest semn se demonstrează astfel: dacă unul dintre unghiurile ascuțite ale primului triunghi este egal cu unghiul ascuțit al celui de-al doilea triunghi, atunci al doilea unghi ascuțit va fi cunoscut prin teorema privind suma unghiurilor triunghiulare. Deoarece al doilea unghi ascuțit este adiacent catetei, atunci egalitatea triunghiurilor va fi demonstrată în continuare conform teoremei anterioare.

Proprietăți

În plus, presupunem că atât lungimile catetelor, cât și lungimea ipotenuzei $A$ $b$ $c$

( Teorema lui Pitagora ) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul celor două catete ale sale. Acesta este, $S={\tfrac {1}{2}}ab.$

Pentru mediane și este valabilă următoarea relație : $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$
- În special, mediana care cade pe ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză.

Înălțime

Dacă altitudinea este atrasă de ipotenuză, atunci triunghiul este împărțit în două triunghiuri mai mici similare cu originalul și asemănătoare unul cu celălalt. De aici rezultă că în notația prezentată în diagramă: [1]

Înălțimea este media geometrică (media proporțională) a celor două segmente ale ipotenuzei formate de aceasta, adică

\displaystyle f^{2}=de,

(uneori numită teorema înălțimii triunghiului dreptunghic )

Fiecare catetă a triunghiului este media geometrică a ipotenuzei și proiecția catetei pe ipotenuză, adică.

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea scăzută de la vârful unghiului drept la ipotenuză împarte ipotenuza în același raport cu pătratele catetelor adiacente, adică

\displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

În plus, înălțimea coborâtă la ipotenuză este legată de catetele unui triunghi dreptunghic prin relația: [2] [3]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

și

f={\frac {ab}{c}}.

De asemenea, dacă un triunghi dreptunghic este isoscel , atunci înălțimea scăzută la ipotenuză va fi egală cu:

f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2)))

, unde este raza cercului înscris și este secțiunea de argint .

r

\delta _{S}

Caracteristici

Triunghiul ABC cu laturile a, b, c (unde c este cea mai lungă latură), cu un cerc circumscris cu raza R este un triunghi dreptunghic dacă și numai dacă oricare dintre următoarele este adevărată: [4]

$c=2R$ , adică una dintre laturi este diametrul cercului circumscris ,
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2$ ,
$\cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1$ ,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ ,
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (teorema lui Pitagora inversă),
$a+b=2(R+r)$ , adică suma celor două laturi este egală cu dublul sumei razelor cercurilor circumscrise și înscrise,
cercul circumscris este tangent la cercul de nouă puncte .

Relații trigonometrice

Funcțiile trigonometrice pentru unghiuri ascuțite pot fi definite ca raportul laturilor unui triunghi dreptunghic. Pentru orice unghi dat, este posibil să se construiască un triunghi dreptunghic care să conțină un astfel de unghi, și cu laturi: catetul opus, catetul adiacent și ipotenuza, raportate la acest unghi prin relațiile definite mai sus. Aceste raporturi ale laturilor nu depind de triunghiul dreptunghic ales, ci doar de unghiul dat, deoarece toate triunghiurile construite în acest fel sunt similare . Dacă pentru un unghi dat α, catetul opus, catetul adiacent și ipotenuza sunt notate cu a , b și , respectiv, c , atunci funcțiile trigonometrice au forma:

\sin \alpha ={\frac {a}{c)),\,\cos \alpha ={\frac {b}{c)),\,\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a} {b)),\,\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {b}{a)),\sec \alpha ={\frac {c}{b)),\,\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}.

Și, astfel:

catetul opus unghiului este egal cu produsul dintre ipotenuza și sinusul acestui unghi

a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .

Catpul adiacent unui unghi este egal cu produsul dintre ipotenuza și cosinusul acestui unghi

a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .

Catonul opus unghiului este egal cu produsul celui de-al doilea catete și tangentei unghiului

a=b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatorname {tg} \beta .

Piciorul adiacent unghiului este egal cu produsul celui de-al doilea picior și cotangentei unghiului

a=b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatorname {ctg} \alpha .

Ipotenuza este egală cu raportul catetei la sinusul unghiului opus și / sau raportul parțial al catetei și cosinusul unghiului inclus (unghiul dintre ele)

c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b} {\cos \alpha }}.

Triunghiuri dreptunghiulare speciale

Valorile funcțiilor trigonometrice pot fi estimate cu precizie pentru anumite unghiuri folosind triunghiuri dreptunghiulare cu valori specifice unghiurilor. Astfel de triunghiuri includ triunghiul 30-60-90 , care poate fi folosit pentru a evalua funcțiile trigonometrice pentru orice multipli de π/6 și triunghiul 45-45-90 ( triunghi dreptunghic isoscel ), care poate fi folosit pentru a evalua funcțiile trigonometrice pentru multipli de π/4. În special,

Un picior situat opus unui unghi ascuțit de 30° (și, în consecință, adiacent unui unghi de 60°) este egal cu jumătate din ipotenuză.

Teorema lui Thales

Teorema lui Thales afirmă că dacă orice punct A se află pe un cerc cu diametrul BC (excluzând punctele B și C înșiși ), atunci △ ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept A . Afirmația inversă este următoarea: dacă un triunghi dreptunghic este înscris într-un cerc, atunci ipotenuza va fi diametrul său. Consecința este că lungimea ipotenuzei este de două ori distanța de la vârful unghiului drept până la mijlocul ipotenuzei. De asemenea, este adevărat că centrul cercului care descrie un triunghi dreptunghic este punctul de mijloc al ipotenuzei, iar raza acestuia este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Alte proprietăți

Raza cercului înscris într-un triunghi dreptunghic cu catetele a și b și ipotenuza c este:

r={\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Dacă segmentele de lungime p și q care emană din vârful C împart ipotenuza în trei segmente egale de lungime c /3, atunci: [5] :pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.

Un triunghi dreptunghic este singurul triunghi cu două, nu trei, pătrate distincte înscrise. [6]

Fie h și s ( h > s ) laturile a două pătrate înscrise într - un triunghi dreptunghic cu ipotenuza c . Apoi:

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.

Perimetrul unui triunghi dreptunghic este egal cu suma a două raze ale cercurilor înscrise și ale celor patru circumscrise:

$P=2r+4R$

Dacă S și r sunt date , atunci laturile triunghiului se găsesc prin formulele:

a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} {r^{2}}}}}}\dreapta)

b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} {r^{2}}}}}}\dreapta)

c={\frac {S}{r}}-r

Un alt raport important:

a={\frac {l_{b}}{4c}}\,\left({l_{b}+{\sqrt {8\,c^{2}+l_{b}^{2} }}}\dreapta)\,\,\,

, unde este lungimea bisectoarei care emană din unghiul ascuțit B, c este ipotenuza.

l_{b}\,

În toate triunghiurile dreptunghiulare, mediana scăzută de ipotenuză este jumătate din ipotenuză.

Cercul de nouă puncte atinge cercul circumscris aceluiași triunghi în singurul caz în care triunghiul este dreptunghic. În acest caz, tangența a două cercuri merge la vârful unghiului drept al triunghiului.

Variații și generalizări

Patrulatere cu perechi perpendiculare de elemente: cu 2 laturi perpendiculare și cu 2 diagonale perpendiculare, degenerează într-un triunghi dreptunghic dacă lungimea unei laturi dorite (din cele 4 laturi ale lor), situată în apropierea unui unghi drept sau sprijinindu-și capetele pe acest unghi, tinde spre zero.

Dacă un segment este desenat într-un triunghi dreptunghic paralel cu ipotenuza sa, atunci el taie acest triunghi într-un triunghi dreptunghic similar și un trapez . În acest caz, suma unghiurilor de la una dintre bazele trapezului va fi egală cu 90 °, iar prelungirile laturilor trapezului se vor intersecta în unghi drept. Atunci segmentul care leagă punctele medii ale bazelor trapezului indicat este egal cu jumătatea diferenței bazelor. Această afirmație generalizează proprietatea: mediana unui triunghi dreptunghic coborât de la vârful unghiului drept la ipotenuză este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Note

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, „Integer solutions of ”, Mathematical Gazette 83, iulie 1999, 269-271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
^ Richinick , Jennifer, „The upside-down Pythagore Theorem”, Mathematical Gazette 92, iulie 2008, 313-317.
↑ Andreescu, Titu și Andrica, Dorian, „Numerele complexe de la A la…Z”, Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.
↑ Posamentier, Alfred S. și Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert și DeTemple, Duane, „Pătrate înscrise în unghiuri și triunghiuri”, Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

Link -uri

Calculator pentru triunghiuri dreptunghiulare
Weisstein, Eric W. Right Triangle (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Wentworth, GA O carte text de geometrie (nedefinită) . — Ginn & Co., 1895.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)

Poligoane

După numărul de laturi

Monogon
Bigon
Triunghi
Patrulater
Pentagon
Hexagon
Heptagon
Octogon
pentagon
Decagon
Hendecagon
Dodecagonul
Treisprezece
tetradecagon
Pentagon
Hexagon
Şaptesprezece
octogon
Nouăsprezece agon
Dodecagonul
Douăzeci și una de părți
Douăzeci și doi de unghi
Twentytrigon
Douăzeci și patru de unghi
Douăzeci de pentagon
Douăzeci de octogon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Patruzeci de pătrați
Patruzeci de bicagon
penticostal
penticostal
Hexagon
Șaizeci și patru
Heptagon
Octogon
Nonagon
[ en
Millagon
Zece-mii de gon
Suta de mii
Milliogon
infinit

corect

convex	Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stelat	Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă

triunghiuri

Cadrilatere

Vezi si