Analiza infinitezimale

Analiza infinitezimală  este numele istoric al calculului , ramura matematicii superioare care studiază limitele , derivatele , integralele și serii infinite și este o parte importantă a educației matematice moderne. Este alcătuit din două părți principale: calcul diferențial și calcul integral , care sunt interconectate prin formula Newton-Leibniz .

Antichitate

În perioada antică au apărut câteva idei care au dus mai târziu la calculul integral, dar în acea epocă aceste idei nu au fost dezvoltate într-un mod strict, sistematic. Calculele volumelor și ariilor, care sunt unul dintre scopurile calculului integral, pot fi găsite în Papirusul matematic din Moscova din Egipt (c. 1820 î.Hr.), dar formulele sunt mai multe instrucțiuni, fără nicio indicație a metodei, și unele sunt pur și simplu eronate. [1] În epoca matematicii grecești , Eudoxus (c. 408-355 î.Hr.) a folosit metoda epuizării pentru a calcula suprafețe și volume , care anticipează conceptul de limită, iar mai târziu această idee a fost dezvoltată în continuare de Arhimede (c. 287). -212 î.Hr.), inventând euristici care seamănă cu metodele calculului integral. [2] Metoda de epuizare a fost inventată mai târziu în China de Liu Hui în secolul al III-lea d.Hr., pe care a folosit-o pentru a calcula aria unui cerc. [3] În al 5-lea d.Hr., Zu Chongzhi a dezvoltat o metodă de calcul al volumului unei sfere, care mai târziu va fi numită principiul lui Cavalieri . [patru]

Evul Mediu

În secolul al XIV-lea, matematicianul indian Madhava Sangamagrama și școala de matematică astronomică din Kerala au introdus multe componente ale calculului, cum ar fi seria Taylor , aproximarea seriilor infinite , testul de convergență integrală , formele timpurii de diferențiere, integrarea termen cu termen, metode iterative pentru rezolvarea ecuațiilor neliniare și determinarea zonei de sub curbă este integrala acesteia. Unii consideră Yuktibhaza (Yuktibhāṣā) a fi prima lucrare despre calcul. [5]

Epoca modernă

În Europa, tratatul lui Bonaventure Cavalieri a devenit o lucrare fundamentală , în care el susținea că volumele și ariile pot fi calculate ca suma volumelor și ariilor unei secțiuni infinit de subțiri. Ideile erau similare cu cele expuse de Arhimede în Metodă, dar acest tratat al lui Arhimede s-a pierdut până în prima jumătate a secolului al XX-lea. Opera lui Cavalieri nu a fost recunoscută, deoarece metodele sale puteau duce la rezultate eronate și și-a creat o reputație dubioasă pentru valori infinitezimale.

Studiul formal al calculului infinitezimal, pe care Cavalieri l-a combinat cu calculul diferențelor finite , se desfășura în Europa aproximativ în același timp. Pierre Fermat , susținând că a împrumutat acest lucru de la Diophantus , a introdus conceptul de „cvasi-egalitate” ( în engleză  adequality ), care era egalitate până la o eroare infinitezimală. [7] John Wallis , Isaac Barrow și James Gregory au avut și ei contribuții majore . Ultimele două în jurul anului 1675 au dovedit a doua teoremă fundamentală a calculului .

Isaac Newton a introdus regula produsului și regula lanțului , conceptul de derivate de ordin superior , seria Taylor și funcțiile analitice în notație specială, pe care le-a folosit în rezolvarea problemelor de fizică matematică . În publicațiile sale, Newton și-a reformulat ideile în conformitate cu limbajul matematic al zilei, înlocuind calculele infinitezimale cu alte forme echivalente de reprezentări geometrice care erau considerate impecabile. El a folosit metodele de calcul pentru a rezolva problemele mișcării planetare, forma suprafețelor unui fluid în rotație, aplatizarea Pământului, alunecarea unei sarcini pe un cicloid și multe alte probleme, pe care le-a subliniat în lucrarea sa. Principii matematice ale filosofiei naturale (1687). În alte lucrări, el a dezvoltat expansiuni în serie de funcții, inclusiv cele care folosesc puteri fracționale și iraționale și a fost clar că a înțeles principiile seriei Taylor . Nu și-a publicat toate descoperirile, pentru că la acea vreme metodele infinitezimale aveau o reputație îndoielnică.

Aceste idei au fost codificate într-un adevărat calcul infinitezimal de către Gottfried Wilhelm Leibniz , care a fost acuzat inițial de plagiat de Newton . [8] În prezent, el este considerat un inventator și dezvoltator independent de calcul. Contribuția sa constă în dezvoltarea unor reguli clare pentru lucrul cu infinitezimale, care să permită calcularea derivatelor de ordinul doi și superior, precum și în dezvoltarea regulii produsului și a regulii lanțului în formele lor diferențiale și integrale. Spre deosebire de Newton, Leibniz a acordat o mare atenție formalismului, petrecând adesea multe zile alegând simbolurile potrivite pentru anumite concepte.

Invenția calculului este de obicei atribuită atât lui Leibniz , cât și lui Newton . Newton a fost primul care a aplicat calculul la fizica generală , iar Leibniz a dezvoltat o mare parte din notația folosită în calcul astăzi. Principala perspectivă pe care atât Newton, cât și Leibniz au arătat-o ​​a fost descoperirea legilor diferențierii și integrării, introducerea derivatelor de ordinul doi și superior și introducerea conceptului de aproximare în serie a polinoamelor. Pe vremea lui Newton, teorema fundamentală a calculului era deja cunoscută.

Când Newton și Leibniz și-au publicat pentru prima dată rezultatele, nu a existat un dezacord serios la momentul respectiv cu privire la prioritatea matematicianului (și, prin urmare, a țării) cu privire la această inovație. Newton a fost primul care a obținut rezultatele, dar Leibniz a fost primul care le-a publicat pe ale lui. Newton a susținut mai târziu că Leibniz i-a furat ideile din notele nepublicate pe care Newton le-a împărtășit mai multor membri ai Societății Regale . Această controversă a separat matematicienii vorbitori de limbă engleză de omologii lor continentali timp de mulți ani, în detrimentul matematicii engleze. Un studiu atent al lucrării lui Leibniz și Newton a arătat că ei și-au obținut rezultatele independent unul de celălalt, Leibniz a început cu integrarea, iar Newton cu diferențierea. Astăzi, dezvoltarea calculului este creditată atât lui Newton, cât și lui Leibniz. Noi am primit numele noii discipline de la Leibniz. Newton și-a numit calculul „metode ale derivatelor”.

De pe vremea lui Leibniz și Newton, mulți matematicieni au contribuit la dezvoltarea ulterioară a calculului. Una dintre cele mai complete lucrări despre analiza finitului și infinitezimalului a fost o carte scrisă în 1748 de Maria Gaetana Agnesi . [9]

Fundații

În matematică, fundamentele se referă la o definiție strictă a unui subiect, pornind de la axiome și definiții precise. În stadiul inițial al dezvoltării calculului, utilizarea cantităților infinitezimale a fost considerată nestrictă, a fost supusă unor critici dure din partea unui număr de autori, în primul rând Michel Rolle și Bishop Berkeley . Berkeley a descris infinitezimalele drept „fantome ale cantităților moarte” în cartea sa The Analyst din 1734. Dezvoltarea unor fundații riguroase pentru calcul i-a ocupat pe matematicieni timp de peste un secol după Newton și Leibniz și este încă oarecum un domeniu activ de cercetare astăzi.

Mai mulți matematicieni, inclusiv Maclaurin , au încercat să demonstreze validitatea utilizării infinitezimalelor, dar acest lucru a fost făcut abia 150 de ani mai târziu prin lucrările lui Cauchy și Weierstrass , care au găsit în sfârșit mijloace de a evita „lucrurile” simple ale infinitezimale și începuturile au fost puse de calcul diferenţial şi integral. În scrierile lui Cauchy găsim un spectru universal de abordări fundamentale, inclusiv definiția continuității în termeni de infinitezimale și prototipul (oarecum imprecis) al definiției limitei (ε, δ) în definiția diferențierii. În lucrarea sa, Weierstrass formalizează conceptul de limită și elimină cantitățile infinitezimale. După această lucrare a lui Weierstrass, limitele și nu mărimile infinitezimale au devenit baza generală pentru calcul. Bernhard Riemann a folosit aceste idei pentru a da o definiție precisă a integralei. De asemenea, în această perioadă, ideile de calcul au fost generalizate la spațiul euclidian și la planul complex .

În matematica modernă, bazele calculului sunt incluse în secțiunea de analiză reală , care conține definiții complete și dovezi ale teoremelor în calcul. Sfera cercetării calculului a devenit mult mai larg. Henri Lebesgue a dezvoltat teoria măsurilor seturilor și a folosit-o pentru a defini integralele tuturor funcțiilor, cu excepția celor mai exotice. Laurent Schwartz a introdus funcții generalizate , care pot fi folosite pentru a calcula derivatele oricărei funcții.

Introducerea limitelor a determinat nu singura abordare riguroasă a bazei calculului. O alternativă ar fi, de exemplu, analiza non-standard a lui Abraham Robinson . Abordarea lui Robinson, dezvoltată în anii 1960, folosește instrumente tehnice din logica matematică pentru a extinde sistemul de numere reale la infinitezimale și infinite, așa cum a fost cazul conceptului original Newton-Leibniz. Aceste numere, numite hiperreale , pot fi folosite în regulile obișnuite ale calculului, similar cu ceea ce a făcut Leibniz.

Importanță

Deși unele idei de calcul au fost dezvoltate anterior în Egipt , Grecia , China , India , Irak, Persia și Japonia , utilizarea modernă a calculului a început în Europa în secolul al XVII-lea, când Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz au construit pe lucrarea lui. matematicienii anteriori principiile sale de bază. Dezvoltarea calculului s-a bazat pe conceptele anterioare de mișcare instantanee și aria sub o curbă.

Calculul diferențial este utilizat în calcule legate de viteză și accelerație , unghiul curbei și optimizare . Aplicațiile calculului integral includ calcule care implică suprafețe , volume , lungimi de arc , centre de masă , lucru și presiune . Aplicațiile mai complexe includ calculele seriei de putere și seriei Fourier .

Calcul[ rafina ] este, de asemenea, folosit pentru a obține o idee mai precisă a naturii spațiului, timpului și mișcării. Timp de secole, matematicienii și filozofii s-au luptat cu paradoxurile asociate cu împărțirea la zero sau găsirea sumei unei serii infinite de numere. Aceste întrebări apar în studiul mișcării și calculul ariilor. Filosoful grec antic Zenon din Elea a dat câteva exemple celebre de astfel de paradoxuri . Calculul oferă instrumente pentru rezolvarea acestor paradoxuri, în special limite și serii infinite.

Limite și infinitezimale

Cantitățile infinit de mici pot fi considerate numere, dar totuși sunt „infinit de mici”. Un număr infinitezimal dx este mai mare decât 0, dar mai mic decât oricare dintre numerele din secvența 1, 1/2, 1/3, ... și mai mic decât orice număr real pozitiv . Luat de mai multe ori, un infinitezimal este încă infinitezimal, adică infinitezimalele nu satisfac axioma lui Arhimede . Din acest punct de vedere, calculul este un set de metode de tratare cu infinitezimale. Această abordare nu a fost susținută în secolul al XIX-lea, deoarece a fost dificil de reprezentat conceptul de exact infinitezimal. Cu toate acestea, conceptul a fost reînviat în secolul al XX-lea odată cu apariția analizei non-standard și a analizei infinitezimale netede , care au oferit o bază solidă pentru manipularea infinitezimalelor.

În secolul al XIX-lea, infinitezimale au fost înlocuite cu limite . Limitele descriu valoarea unei funcții pentru o anumită intrare în termeni de valoare pentru o intrare vecină. Acestea acoperă modificări la scară mică, cum ar fi infinitezimale, dar sunt utilizate pentru sistemul obișnuit de numere reale. În această interpretare, calculul este un set de metode de manipulare a anumitor limite. Infinitesimalele sunt înlocuite cu numere foarte mici, iar modificările infinitezimale ale funcției sunt găsite prin asumarea comportamentului limitativ la numere din ce în ce mai mici. Limitele sunt cel mai simplu mod de a stabili o bază riguroasă pentru calcul și din acest motiv sunt acceptate ca abordare standard.

Notație Leibniz

Notația introdusă de Leibniz pentru derivată arată astfel:

În abordarea newtoniană bazată pe limite, simbolul dy/dx nu trebuie interpretat ca un coeficient al împărțirii a două numere, ci ca o prescurtare a limitei calculate mai sus. Leibniz, pe de altă parte, a căutat să o reprezinte ca raportul a două numere infinitezimale: dy  - diferențială , adică o modificare infinitezimală în y , și dx  - o modificare infinitezimală în x care a provocat o modificare în y [10] .

Chiar și atunci când se reprezintă calculul folosind mai degrabă limite decât infinitezimale, notația este generică pentru manipularea simbolurilor ca și cum dx și dy ar fi numere reale. Deși, pentru a evita astfel de manipulări, uneori este convenabil să se utilizeze astfel de notații în exprimarea operației, așa cum, de exemplu, aceasta este folosită atunci când se indică derivata totală .

Note

  1. ↑ Morris Kline, Gândirea matematică din timpuri antice până în timpurile moderne , Vol. eu
  2. ↑ Arhimede, Metoda , în Lucrările lui Arhimede ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ↑ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Studii chineze în istoria și filosofia științei și tehnologiei  (engleză)  : jurnal. - Springer, 1966. - Vol. 130 . — P. 279 . - ISBN 0-792-33463-9 . , Capitolul, p. 279 Arhivat pe 26 mai 2016 la Wayback Machine
  4. ↑ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calcul: Transcendentale timpurii  . — 3. — Jones & Bartlett Learning, 2009. - P. xxvii. — ISBN 0-763-75995-3 . , Extras din pagina 27 Arhivat 21 aprilie 2019 la Wayback Machine
  5. ↑ Matematică indiană . Consultat la 16 februarie 2012. Arhivat din original pe 3 iulie 2006.
  6. ↑ von Neumann, J., „The Mathematician”, în Heywood, RB, ed., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Retipărit în Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , pp. 618-626.
  7. ↑ André Weil: Teoria numerelor. O abordare prin istorie. De la Hammurapi la Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , p. 28.
  8. ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm. Manuscrisele matematice timpurii ale lui Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Copie arhivată 16 iulie 2017 la Wayback Machine
  9. ↑ Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi . Colegiul Agnes Scott (aprilie 1995). Arhivat din original pe 5 septembrie 2012.
  10. ↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 281-282.

Literatură

Link -uri

  Accesați articolul Wikidata  Dicționare și enciclopedii
 Ramuri ale matematicii
Portalul „Știință”
Bazele matematicii teoria multimilor logica matematica algebra logicii
Teoria numerelor ( aritmetică )
  • Portalul „Matematică”
  • Categoria „Matematică”