Analiză personalizată

Analiza non-standard  este o abordare alternativă a justificării analizei matematice , în care infinitezimale  nu sunt variabile, ci un tip special de numere. În analiza non-standard, pe baze moderne, se realizează ideea care se întoarce la Leibniz și adepții săi despre existența unor mărimi infinitezimale , altele decât zero, idee care în dezvoltarea istorică a analizei matematice a fost înlocuită cu conceptul de limita unei cantități variabile. Neîncrederea în cantitățile infinite reale în matematică a fost explicată prin dificultățile fundamentarii lor formale. Este curios că ideile despre cantități reale infinit de mari și infinit de mici au fost păstrate în manualele de fizică și alte științe ale naturii, unde se găsesc adesea expresii precum „să existe  un element de volum (infinit mic)...” [1] .

Conceptul lui Leibniz a fost reabilitat când a apărut prima expunere modernă a metodelor infinitezimale, dată de Abraham Robinson în 1961. Spre deosebire de analiza tradițională, bazată pe numere reale și complexe , analiza non-standard se ocupă de un domeniu mai larg de numere hiperreale , în care axioma lui Arhimede [2] nu este valabilă .

Analiza non-standard a apărut ca o ramură a logicii matematice , dedicată aplicării teoriei modelelor non-standard la cercetarea în domeniile tradiționale ale matematicii: analiza matematică , teoria funcțiilor , teoria ecuațiilor diferențiale , topologia etc.

Kurt Gödel scria în 1973: „Există motive întemeiate să credem că analiza non-standard, într-o formă sau alta, va deveni analiza viitorului” [3] .

Bazele

În termeni generali, metoda de bază a lui Robinson poate fi descrisă după cum urmează. Se are în vedere o anumită structură matematică și se construiește un limbaj logico-matematic de ordinul I, reflectând aspectele acestei structuri care prezintă interes pentru cercetător. Apoi, folosind metodele teoriei modelelor , se construiește un model non-standard al teoriei structurii , care este propria sa extensie . Cu o construcție adecvată, elementele noi, non-standard ale modelului pot fi interpretate ca elemente limitative, „ideale” ale structurii originale. De exemplu, dacă un câmp ordonat de numere reale a fost considerat inițial , atunci este firesc să considerăm elementele nestandard ale modelului drept „infinitesimale”, adică infinit de mari sau infinit de mici, dar diferite de zero, numere reale. În acest caz, toate relațiile obișnuite dintre numerele reale sunt transferate automat către elemente nestandard, cu păstrarea tuturor proprietăților acestora exprimate în limbajul logico-matematic. În mod similar, în teoria filtrului, pe o mulțime dată, un element non-standard definește o intersecție nevide a tuturor elementelor de filtrare; în topologie, apare o familie de puncte non-standard, situate „infinit aproape” de un punct dat. Interpretarea elementelor non-standard ale modelului ne permite adesea să oferim criterii convenabile pentru concepte obișnuite în ceea ce privește elementele non-standard. De exemplu, se poate demonstra că o funcție reală standard este continuă într-un punct standard dacă și numai dacă este infinit aproape de pentru toate punctele (și non-standard) infinit apropiate de . Criteriile rezultate pot fi aplicate cu succes la demonstrarea rezultatelor matematice obișnuite.

Rezultatele matematicii standard, obținute prin metode de analiză non-standard, pot fi în mod firesc dovedite în mod obișnuit, dar luarea în considerare a unui model non-standard are avantajul semnificativ că permite introducerea efectivă a elementelor „ideale” în argumentul, care permite să se ofere formulări transparente pentru multe concepte legate de tranzițiile limită.de la finit la infinit. Cu ajutorul analizei non-standard, au fost descoperite o serie de fapte noi. Multe dovezi clasice câștigă vizibil în claritate atunci când sunt prezentate prin metode de analiză non-standard. Totuși, locul și rolul analizei non-standard sunt departe de a fi epuizate de aceasta.

În înțelegerea zilelor noastre, analiza non-standard este o metodă matematică generală bazată pe conceptul de cantități de fapt infinite. Acum analiza non-standard este construită axiomatic în cadrul noilor variante ale teoriei mulțimilor, dintre care cele mai comune sunt teoria mulțimilor interne a lui Nelson și teoria mulțimilor externe a lui Kawai. Aceste teorii se bazează pe formalizarea ideilor care se întorc la ideile străvechi despre diferența dintre infinititățile actuale și potențiale. Aceste teorii sunt o extensie conservatoare a teoriei Zermelo-Fraenkel și, prin urmare, au același statut de rigoare atunci când sunt considerate ca fundament al matematicii moderne. În același timp, noile teorii au posibilități incomparabil mai largi.

Elemente standard și non-standard

Punctul de plecare semnificativ al axiomaticii analizei non-standard este noțiunea că fiecare obiect matematic poate conține elemente de doar două tipuri. Elementele de primul tip ne sunt disponibile fie în mod direct, fie în mod potențial infinit, în sensul că putem fie să indicăm astfel de elemente direct, fie să le dovedim existența și unicitatea folosind obiectele disponibile deja pe care le avem la dispoziție. Obiectele de acest tip sunt numite standard, iar altele sunt numite non-standard.

Analiza non-standard postulează că în fiecare set infinit de obiecte există cel puțin un element non-standard - „principiul idealizării”. În același timp, obiectele standard sunt suficiente pentru studiul proprietăților matematice clasice ale oricăror obiecte - „principiul transferului”. De asemenea, este posibil să setați obiecte standard prin selectarea elementelor standard cu o proprietate dată - „principiul standardizării”. Variante ale acestor principii sunt prezente în toate axiomaticile analizei non-standard.

Obiectul standard în sine este adesea infinit. Să presupunem că nu numai numerele naturale specifice 5, 7, 10 la puterea lui 10 la puterea lui 10, numerele transcendentale precum π și e sunt standard , ci și colecții complete ale tuturor numerelor naturale sau ale tuturor numerelor reale . Deoarece  este o mulțime infinită , atunci există un element nestandard N . Este evident că N este mai mare decât 1, deoarece 1 este un număr standard. Dacă numărul m este standard, atunci următorul număr m + 1 este de asemenea standard, deoarece este obținut în mod unic din două numere standard. Astfel, fiecare număr natural nestandard este mai mare decât orice număr natural standard. Prin urmare, numerele naturale non-standard sunt numite infinit de mari. Numărul r este infinit de mare dacă | r | mai mare decât un număr natural infinit de mare. Numerele infinitezimale diferite de zero sunt reciprocele unor numere infinit de mari. Fondatorii analizei infinitezimale nu au vorbit despre numere standard sau non-standard, ci au evidențiat „numere care pot fi date”. De exemplu, Euler a considerat un număr pozitiv ca fiind infinit de mare dacă este mai mare decât orice număr dat.

Un număr care nu este infinit se numește număr finit. Se spune că două numere sunt infinit apropiate dacă diferența dintre ele este infinit de mică. Se poate dovedi că fiecare număr finit este infinit aproape de singurul număr standard, partea sa standard . Numerele care sunt infinit aproape de un număr finit dat constituie monada acestuia . Monadele nu sunt seturi obișnuite (se numesc mulțimi externe în raport cu lumea Zermelo-Fraenkel). Monadele de numere standard diferite nu se intersectează în perechi, dar în unire acoperă toate numerele finite. Astfel, tehnica formală a analizei non-standard reflectă bine ideile natural-filosofice despre structura duală „discretă-continuă” a dreptei numerice „fizice”.

O reprezentare a numerelor non-standard

Analiza non-standard folosește un nou concept primar - proprietatea unui obiect de a fi sau de a nu fi standard. În matematica „standard”, aceste diferențe sunt de obicei inexprimabile: nu se poate vorbi de constante reale infinit de mari și infinit de mici.

De fapt, teoria formală a analizei non-standard este o extensie conservatoare a celei clasice, adică orice judecată a matematicii clasice, dovedită cu ajutorul analizei non-standard, poate fi dovedită fără a folosi metode noi. Cu toate acestea, există o reprezentare „clasică” utilă din punct de vedere tehnic a numerelor non-standard, care este dată de așa-numitele. numere duale , adică numere de forma , unde .

Aplicații

În același timp, analiza non-standard este capabilă să studieze proprietățile obiectelor de fapt infinite, oferind noi metode de modelare care sunt inaccesibile matematicii standard. Putem spune că analiza non-standard studiază exact aceleași obiecte matematice ca și matematica standard. Cu toate acestea, în fiecare astfel de obiect, el vede o structură internă suplimentară, care este complet ignorată de matematica obișnuită. Uneori, metoda de analiză non-standard este comparată cu televiziunea color. Un televizor alb-negru este capabil să arate aceleași obiecte ca un televizor color, dar nu este capabil să transmită bogăția culorilor elementelor lor constitutive. Această analogie ilustrează clar circumstanța fundamentală că rolul analizei non-standard este mult mai larg decât furnizarea de mijloace suplimentare pentru simplificarea aparatului matematicii obișnuite. Analiza non-standard ne dezvăluie structura internă bogată a obiectelor matematice clasice, pline atât de elemente accesibile, cât și doar imaginare.

Literatură

• Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Analiză infinitezimală . - Novosibirsk: Institutul de Matematică, 2006.
• Davis M. Analiza non-standard aplicată. M.: Mir, 1980.
• Uspensky V. A. Ce este analiza non-standard.  (link inaccesibil) M.: Nauka, 1987.
• Uspensky B. Analiză non-standard // Știință și viață . - 1984. - Nr. 1 . - S. 45-50 .
• Kanovei V., Reeken M. Nonstandard Analysis, Axiomatically. Berlin: Springer-Verlag, 2004.
• Robinson, Abraham. analiză non-standard. Princeton University Press, 1996.

• Albeverio S., Fenstad J., Heeg-Kron R., Lindstrom T. Metode non-standard în analiză stocastică și fizică matematică, M.: Mir, 1990, 616 p., ISBN 5-03-001180-3 .
• Zvonkin A. K., Shubin M. A. Analiza non-standard și perturbații singulare ale ecuațiilor diferențiale ordinare // Advances in Mathematical Sciences , 39 (1984), nr.2, p. 77-127.

Note

1. ↑ Vezi, de exemplu: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Physics course. - M . : Şcoala superioară, 1999. - S. 128 şi nu numai.
2. ↑ Panov V.F. Matematică antică și tânără. - Ed. al 2-lea, corectat. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
3. ↑ Kutateladze S. S. Non-standard analysis is 50 years old  // Science in Siberia. - 2012. - Emisiune. 11(2846) . - S. 6 .